4．2．1　对数的概念（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（苏教版2019）

4．2　对数 　 4．2．1　对数的概念 课程标准 核心素养 理解对数的概念和运算性质 数学抽象：通过对对数概念的理解，培养学生数学抽象概括能力 　知识探究区——注重知识生成过程 知识点一　对数的概念 【情境导入】 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……以此类推．回答下列 问题： 问题1.1个这样的细胞分裂2次得到多少个细胞？分裂x次得到多少个细胞？ 提示：分裂2次得到4个细胞，分裂x次得到2x个细胞． 问题2.分裂多少次可得到8个，16个呢？如何求解？ 提示：设分裂x次可得到8个，即2x＝8＝23，故x＝3，所以分裂3次可得到8个，同理由2x＝16可得x＝4…… 问题3.若ax＝N，如何表示x呢？ 提示：x＝logaN. 【知识概括】 1．对数：一般地，如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，记作b＝logaN ，其中a叫做对数的底数 ，N叫做真数． 2．常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg__N . 3．自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并且把logeN记为ln__N . 【要点解读】 1．对数概念中规定a>0，且a≠1 (1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在．如：x＝log(－2)8不存在． (2)若a＝0，则①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在； ②当N＝0时，x可以是任意实数，是不唯一的，即log00有无数个值． (3)若a＝1，则①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在； ②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值．因此规定a>0，且a≠1. 2．对数式logaN是不是loga与N的乘积，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数． [示例]　1.若log有意义，则实数k的取值范围是____________． ∪　解析：若log有意义，则满足，解得k∈∪. [对点练]　1.使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　) A．a>且a≠1 B．0<a< C．a>0且a≠1 D．a< B　解析：由题意知解得0<a<. 知识点二　对数式与指数式的互化 【情境导入】 1．你知道在幂运算ax＝N中包含几种运算关系吗？ 2．你能求出下列方程中的x的值吗？ ①32＝x；②x2＝4；③2x＝8. 3．方程2x＝5呢？ 【知识概括】 当a>0且a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN． 【要点解读】 对数与指数的关系 (1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算； (2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键． (3)指数式与对数式的互化(其中a>0，且a≠1)： [示例]　2.(多选)(教材P82例2改编)下列指数式与对数式互化正确的是(　　) A．e0＝1与ln 1＝0 B．8－＝与log8＝－ C．log39＝2与9＝3 D．log77＝1与71＝7 ABD　解析：A选项，e0＝1⇔ln 1＝0，正确．B选项，8－＝⇔log8＝－，正确．C选项，log39＝2⇔32＝9，C错误．D选项，log77＝1⇔71＝7，正确．故选ABD. [对点练]　2.2－3＝化为对数式为(　　) A．log2＝－3 B．log(－3)＝2 C．log2＝－3 D．log2(－3)＝ C　解析：由定义可知，底数不变，幂为复数，故选C. 知识点三　对数的性质 【情境导入】 1．你能将下列指数式化为对数式吗？ ①a0＝1；②a1＝a. 提示：①loga1＝0.②logaa＝1. 2．alogaN＝________． 提示：因ax＝N得x＝logaN，∴ax＝alogaN. 指数的底数与对数的底数相等． 【知识概括】 1．0和负数没有对数，即logaN中N>0 . 2．1的对数等于0，即loga1＝0． 3．底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)． 4．对数恒等式：alogaN＝N． 【要点解读】 由对数定义前提条件ax＝N(a>0，且a≠1)知道N一定是正数，所以N>0， 由对数式与指数式转换可以分别得到其余结论． [示例]　3.求下列各式中x的值． (1)log2(log4x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； 解：(1)log2(log4x)＝0，∴log4x＝1，∴x＝4.(2)由已知lg x＝3，∴x＝103＝1 000. [对点练]　3.3log32＋log21＋log55＝________． 3　解析：因为3log32＝2，log21＝0，log55＝1，所以原式＝2＋1＝3. 　能力提升区——注重题型技法阐释 题型一 对数的概念 角度1