2.3 第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

第2课时　全称量词命题与存在量词命题的否定 学业标准 素养目标 1．通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律． 2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 1．通过全称量词命题与存在量词命题否定的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助全称量词命题和存在量词命题否定的应用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学1　命题的否定 　观察下列两个命题①②，它们之间有什么关系？ ①6是3的倍数； ②6不是3的倍数． 提示：命题②是命题①的否定． 　以上两个命题的真假如何？你能归纳出它们真假的一般规律吗？ 提示：①为真命题；②为假命题；若p是真命题，则¬p为假命题；若p为假命题，则¬p为真命题. ◎结论形成 命题的否定 对命题p__加以否定__，就得到一个新的命题，记作__“¬p”__，读作__“非p”__或__“p的否定”__． 如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是__假命题__，反之亦然． 导学2　存在量词命题的否定和全称量词命题的否定 　下列各命题是全称量词命题还是存在量词命题？你能写出它们的否定吗？ ①有些实数的绝对值是正数； ②某些平行四边形是菱形； ③∃x∈R，x2＋1＜0. 提示：它们是存在量词命题．其中①的否定为：所有实数的绝对值都不是正数，②的否定是“每一个平行四边形都不是菱形”，③的否定是“∀x∈R，x2＋1≥0”．可以看出，命题否定后，存在量词变为全称量词，肯定变成否定，真假性发生改变． 　下列各命题是全称量词命题还是存在量词命题？你能写出它们的否定吗？ ①所有矩形都是平行四边形； ②每一个素数都是奇数； ③∀x∈R，x2－2x＋1≥0. 提示：它们都是全称量词命题．①的否定是“存在一个矩形不是平行四边形”；命题②的否定是“存在一个素数不是奇数”；命题③的否定为：∃x∈R，x2－2x＋1＜0.可以看出，命题否定后，全称量词变为存在量词，肯定变成否定，真假性发生改变． ◎结论形成 p ¬p 结论 全称量词命题：∀x∈M，p(x) __∃x∈M，¬p(x)__ 全称量词命题的否 定是__存在量词命题__ 存在量词命题：∃x∈M，p(x) __∀x∈M，¬p(x)__ 存在量词命题的否 定是__全称量词命题__ [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(　　) (2)全称量词命题一定含有全称量词，存在量词命题一定含有存在量词．(　　) (3)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反．(　　) (4)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．若p：方程x2＋x＋2＝0没有实根，则¬p为__________(真、假)命题． 解析　∵p为真命题，∴¬p为假命题． 答案　假 3．命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是__________． 解析　命题：“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，按照存在量词命题改为全称量词命题的规则，即可得到该命题的否定． 答案　所有的三角形都不是直角三角形． 4．命题“同位角相等”的否定为____________． 解析　全称量词命题的否定是存在量词命题．故否定为：有的同位角不相等． 答案　有的同位角不相等 题型一　全称量词命题的否定 　写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根； (2)p：∀x∈R，2x>0. [解析]　(1)¬p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故¬p为假命题． (2)¬p：∃x∈R，2x≤0.¬p为假命题． [规律方法]　 全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x∈M，¬p(x)，即全称量词命题的否定是存在量词命题． [触类旁通]　 1．写出下列全称量词命题的否定，并判断所得命题的真假． (1)p：对所有正数x，>x＋1； (2)q：任何一个实数除以1，仍等于这个数； (3)r：所有被5整除的整数都是奇数； (4)s：任意两个等边三角形都相似． 解析　(1)¬p：存在正数x，≤x＋1，例如当x＝1时，<x＋1，所以¬p是真命题． (2)¬q：存在一个实数除以1，不等于这个数．由q是真命题可知¬q是假命题． (3)¬r：存在一个被5整除的整数不是奇数．例如10是能被5整除的整数且不是奇数，所以¬r是真命题． (4)¬s：存在两个等边三角形，它们不相似．由s是真命题可知¬s是假命题． 题型二　存在量词命题的否定 　写出这些命题的否定，并判断所得命题的真假． (1)p：某些梯形的对角线互相平分； (2)q：存在一个x∈R，使＝0； (3)r：在同圆中，有的等弧所对的圆周角不相等； (4)s：存在k∈R，函数y＝kx＋b随x的值增大而减小． [解析]　(1)¬p：任意一个梯形的对角线都不互相平分．由p是真命题可知¬p是假命题． (2)¬q：任意x∈R，≠0， 由q是假命题可知¬q是真命题． (3)¬r：在同圆中，任意等弧所对的圆周角相等． 由r是假命题可知¬r为真命题． (4)¬s：任意k∈R，函数y＝kx＋b随x的值增大而增大或不变．当k＜0时，函数y＝kx＋b随x的值增大而减小，所以s是真命题，¬s是假命题． [规律方法]　 对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述. [触类旁通]　 2．命题“∃x>0，ax2＋ax－3≥0”的否定是(　　) A．∀x>0，ax2＋ax－3<0 B．∀x<0，ax2＋ax－3≥0 C．∃x>0，ax2＋ax－3<0 D．∃x≤0，ax2＋ax－3≥0 解析　由于存在量词命题的否定是全称量词命题， 命题“∃x>0，ax2＋ax－3≥0”是存在量词命题， 所以命题“∃x>0，ax2＋ax－3≥0”的否定是“∀x>0，ax2＋ax－3<0”．故选A. 答案　A 题型三　含量词的命题的应用一题多变 　已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围． [解析]　因为全称量词命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为： “存在x∈R，x2＋ax＋1＜0”． 由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题．由于函数y＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象易知：Δ＝a2－4＞0，解得a＜－2或a＞2.所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞). [母题变式]　 1．(变条件)例3中把条件“x∈R”改为“x＞0”，则实数a的取值范围是____________． 解析　由题意新命题的否定为“存在x＞0，x2＋ax＋1＜0”为真．因为y＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线且过(0，1)点，借助二次函数的图象易知 解得a＜－2.所以实数a的取值范围是(－∞，－2). 答案　(－∞，－2) 2．(变条件)例3中把条件“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围． 解析　对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0是真命题， 即对任意实数x，不等式x2＋ax＋1≥0恒成立， 则Δ＝a2－4≤0.解得－2≤a≤2. 所以a的取值范围是－2≤a≤2. [素养聚焦]　通过含量词命题的综合应用把数学运算、逻辑推理、等核心素养体现在解题过程中． [规律方法] 含有一个量词的命题与参数范围的求解策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数的最大值(或最小值)，即a＞y最大(或a＜y最小). (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数的最小值(或最大值)，即a＞y最小(或a＜y最大). (3)若全称量词命题为假命题，通常转化为其否定形式——存在量词命题为真命题解决，同理，若存在量词命题为假命题，通常转化为其否定形式——全称量词命题为真命题解决． [触类旁通] 3．若命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．m≥1　　　　　　　 B．m＞1 C．m＜1 D．m≤1 解析　由题意知∃x∈R，x2－2x＋m＝0是假命题， ∴方程x2－2x＋m＝0没有实数根， 由Δ＜0得m＞1.故选B. 答案　B 知识落实 技法强化 (1)全称量词命题、存在量词命题的否定． (2)命题真假的判断． (3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用． (1)常用方法：转化法． (2)易错点：命题与其否定的真假性相反．存在量词命题的否定是全称量词命题，反之亦然． 学科网（北京）股份有限公司 $$