模块检测卷2（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

模块检测卷二(教师用书独具) (考试用时：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“∀x≥2，x2≥4”的否定为(　　) A．“∀x≤2，x2≥4”　　 B．“∃x0<2，x<4” C．“∀x≥2，x2<4” D．“∃x0≥2，x<4” 答案　D 2．(2024·盐城期中)已知集合A＝{x|x≥－1}， B＝{－3，－2，－1，0，1，2}则(∁R A)∩B＝(　　) A．{－3，－2} B．{－3，－2，－1} C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2} 解析　由题意∁R A＝{x|x<－1}，所以(∁R A)∩B＝{－3，－2}．故选A. 答案　A 3．“x>1”是“<1”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 解析　<1得x>1或x<0，所以“x>1”是“<1充分而不必要条件． 答案　A 4．已知函数f(x)＝，则f(f(1))－f(5)的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．－3 解析　∵函数f(x)＝ ∴f(1)＝2，f(f(1))＝f(2)＝22＝4， f(5)＝5－3＝2， ∴f(f(1))－f(5)＝4－2＝2. 答案　B 5．已知集合P＝{x|0<lg x<2lg 3}，Q＝，则P∩Q为(　　) A．(0，2) B．(1，9) C．(1，4) D．(1，2) 解析　P＝{x|1<x<9}，Q＝{x|0<x<2}； ∴P∩Q＝(1，2). 答案　D 6．对于函数f(x)＝2sin ，给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线x＝成轴对称；③图象可由函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位得到；④图象向左平移个单位，即得到函数y＝2cos 2x的图象．其中正确结论的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　①图象不关于原点对称； ②图象关于直线x＝成轴对称，正确； ③图象可由函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位得到； ④图象向左平移个单位，即得到函数y＝2cos 2x的图象，正确． 答案　C 7．(2024·天津卷)已知函数f(x)＝sin 3的最小正周期为π，则f(x)在的最小值为(　　) A．－ B．－ C．0 D． 解析　由f(x)的最小正周期为π，可得π＝，所以ω＝，所以f(x)＝sin (2x＋π)＝－sin 2x.当x∈时，2x∈，sin 2x∈，所以f(x)min＝－，故选A. 答案　A 8．设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间(　　) A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3) 解析　f(x)＝ex＋x－4单调递增，仅有一个零点，又f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－2>0，故函数f(x)的零点位于区间(1，2). 答案　C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合A＝{x|x2>1}，a∈A，则a的值可以为(　　) A.－2 B．1 C．2 D．1 答案　AC 10．下列函数的周期为π的是(　　) A．y＝|sin2x| B．y＝ C．y＝(sinx－cos x)2 D．y＝cos x＋cos |x| 解析　∵函数y＝|sin2x|＝的最小正周期为＝π，满足条件；函数y＝＝|tanx|的最小正周期为π，满足条件； 函数y＝(sin x－cos x)2＝1－sin 2x最小正周期为＝π，满足条件； 函数y＝cos x＋cos |x|＝2cos x的最小正周期为＝2π，不满足条件． 答案　ABC 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝－，则关于函数g(x)＝[f(x)]的叙述中正确的是(　　) A．g(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数 C．f(x)在R上是增函数 D．g(x)的值域是{－1，0，1} 解析　根据题意知，f(x)＝－＝－. ∵g(1)＝[f(1)]＝＝0， g(－1)＝[f(－1)]＝＝－1， ∴g(1)≠g(－1)，g(1)≠－g(－1)， ∴函数g(x)既不是奇函数也不是偶函数，A错误； ∵f(－x)＝－＝－＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数，B正确； 由复合函数的单调性知f(x)＝－在R上是增函数，∴C正确； ∵ex＞0，∴1＋ex＞1，∴－＜f(x)＜， ∴g(x)＝[f(x)]＝{－1，0}，D错误，故选B，C. 答案　BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x＋1，则f(0)＋f(1)＝________． 解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x＋1，则f(0)＝0，f(1)＝1－4＋1＝－2， 则f(0)＋f(1)＝0－2＝－2. 答案　－2 13．函数f(x)＝的单调递减区间为________． 解析　∵函数f(x)＝， ∴x2－x－1≥0，求得x≤，或x≥， 故函数的定义域为， 本题即求t＝x2－x－1在定义域内的增区间， 再根据二次函数的性质可得t＝x2－x－1在定义域内的增区间为， 故答案为. 答案　 14．已知函数f(x)的定义域为R，对任意x1<x2，有>－1，且f(1)＝1，则不等式f(log2|3x－1|)<2－log2|3x－1|的解集为________． 解析　根据题意，设g(x)＝f(x)＋x， 若函数f(x)满足对任意x1<x2， 有>－1， 则>0， 则函数g(x)在R上为增函数， 又由f(1)＝1，则g(1)＝1＋1＝2， f(log2|3x－1|)<2－log2|3x－1|⇒f(log2|3x－1|)＋log2|3x－1|<2⇒g(log2|3x－1|)<g(1)⇒log2|3x－1|<1，则有0<|3x－1|<2， 解得x<1且x≠0，即不等式的解集为(－∞，0)∪(0，1). 答案　(－∞，0)∪(0，1) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)(1)计算：(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)化简求值： ＋＋0.027－×. 解析　(1)原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1. (2)原式＝＋＋(0.3)－×3×32 ＝＋4＋0.3－2×32＝106. 16．(15分)(2022·徐州高一统考)已知函数f(x)＝loga(4－ax)(a>0，且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域； (2)是否存在实数a，使函数f(x)在区间上单调递减，并且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 解析　(1)由题意可得4－ax>0，即ax<4，因为a>0，所以解得x<. 故f的定义域为. (2)假设存在实数a，使函数f在区间上单调递减，并且最大值为1. 设函数g＝4－ax，由a>0，得－a<0， 所以g在区间上为减函数且g>0恒成立，若f在区间上单调递减， 则a>1且4－a>0，即1<a<.又因为f在区间上的最大值为1， 所以fmax＝f＝loga＝1，整理得a＝4－a，解得a＝2. 因为1<2<，所以a＝2∈，所以存在实数a＝2，使函数f在区间上单调递减，并且最大值为1. 17．(15分)近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，然后改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x(百台)，其总成本为P(x)(万元)，其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入Q(x)(万元)满足： Q(x)＝，假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题： (1)求利润函数y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？ 解析　(1)由题意得P(x)＝12＋10x， 则f(x)＝Q(x)－P(x) ＝ 即为f(x)＝ (2)当x>16时，函数f(x)递减，即有 f(x)<212－10×16＝52万元， 当0≤x≤16时，函数f(x)＝－0.5x2＋12x－12＝－0.5(x－12)2＋60， 当x＝12时，f(x)有最大值60万元， 所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元． 18．(17分)已知定义在[－2，2]上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，2]时，f(x)＝－x＋2. (1)求函数f(x)的解析式； (2)设函数g(x)＝ax－2－a(a>0)，若对于任意的x1，x2∈[－2，2]都有g(x1)<f(x2)成立，求实数a的取值范围． 解析　(1)根据题意，设x∈[－2，0]，则－x∈[0，2]，从而f(－x)＝x＋2，因为f(x)定义在x∈[－2，2]偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝x＋2， 因此，f(x)＝ (2)因为对任意x1，x2∈[－2，2]，都有g(x1)<f(x2)成立，所以g(x)max<f(x)min 又因为f(x)是定义在[－2，2]上的偶函数， 所以f(x)在区间[－2，0]和区间[0，2]上的值域相同． 当x∈[－2，0]时，f(x)＝x＋2. 设t＝，则t∈[1，]， 函数化为y＝t2＋2t－3，t∈[1，]，则f(x)min＝0， 又g(x)max＝g(2)＝a－2，所以a－2<0即a<2， 因此，a的取值范围为0<a<2. 19．(17分)已知二次函数f(x)＝px2＋qx，满足f(x－1)＝f(x)＋x－1. (1)求f(x)的解析式； (2)求函数f(x)的零点，并写出f(x)<0时，x的取值集合； (3)设F(x)＝4f(ax)＋3a2x－1(a>0且a≠1)，当x∈[－1，1]时，F(x)有最大值14，试求a的值； (4)设a为常数，F(x)＝|f(x)|－a，试讨论F(x)的零点个数． 解析　(1)∵f(x)＝px2＋qx， 满足f(x－1)＝f(x)＋x－1 ∴p(x－1)2＋q(x－1)＝px2＋qx＋x－1， 即px2－(2p－q)x＋p－q＝px2＋(q＋1)x－1， ∴，解得， ∴f(x)＝－x2＋x. (2)由f(x)＝0得函数的零点为0，1.又函数f(x)的图象是开口向下的抛物线， ∴f(x)<0时，x>1或x<0.∴x的取值集合{x|x>1或x<0}． (3)由F(x)＝4f(ax)＋3a2x－1(a>0且a≠1)得F(x)＝a2x＋2ax－1. ①当a>1时，令u＝ax， ∵x∈[－1，1]，∴u∈， 令g(u)＝u2＋2u－1＝(u＋1)2－2，u∈. 因为对称轴u＝－1，所以g(u)在上是增函数． gmax(u)＝g(a)＝a2＋2a－1＝14， ∴a2＋2a－15＝0，a＝3，a＝－5(舍)， ②当0<a<1时，令u＝ax，∵x∈[－1，1]， ∴u∈， 令g(u)＝u2＋2u－1＝(u＋1)2－2，u∈. 因为对称轴u＝－1，所以g(u)在上是增函数． gmax(u)＝g＝＋－1＝14， ∴＝3，＝－5(舍)，∴a＝. 综上可得：a＝或a＝3. (4)F(x)＝|f(x)|－a，F(x)＝0，得|f(x)|＝a，所以F(x)的零点个数即是|f(x)|的图象与直线y＝a的交点个数． ∵|f(x)|＝ 画出函数y＝|f(x)|的图象易得 当a<0时，F(x)没有零点； 当a＝0或a>时，F(x)有2个零点； 当a＝时，F(x)有3个零点； 当0<a<时，F(x)有4个零点． 学科网（北京）股份有限公司 $$