8.1 第2课时 用二分法求方程的近似解（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选)以下图象表示的函数有零点，能且用二分法求函数零点的是(　　) 解析　根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区间(a，b)一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点． 答案　ABD 2．(多选)用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，不可作为初始区间的是(　　) A．[－1，0]　　　　　　 B．[0，1] C．[1，2] D．[2，3] 解析　f(－1)＝－＜0，f(0)＝－2＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝1＞0，f(3)＝5＞0，则f(1)·f(2)＜0，即初始区间可选[1，2].A，B，D不可作为初始区间． 答案　ABD 3．已知函数f(x)在区间[0，a]中有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)在区间中有零点 B．函数f(x)在区间或中有零点 C．函数f(x)在区间中无零点 D．函数f(x)在区间或中有零点，或零点是 答案　D 4．用二分法求f(x)＝0的近似解，f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260，下一个求f(m)，则m＝____________． 解析　由于f(1.5)>0，f(1.375)<0，故下一个应求f(1.4375)，故m＝1.4375. 答案　1.4375 5．下列是函数f(x)在区间[1，2]上一些点的函数值. x 1 1.25 1.375 1.406 5 1.438 f(x) －2 －0.984 －0.260 －0.052 0.165 x 1.5 1.625 1.75 1.875 2 f(x) 0.625 1.982 2.645 4.35 6 由此可判断：方程f(x)＝0的一个近似解为________(精确到0.1). 解析　∵f(1.438)·f(1.406 5)<0， 且1.438和1.406 5精确到0.1的近似值都为1.4， ∴f(x)＝0的一个近似解为1.4. 答案　1.4 6.如图，有一块边长为15 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子． (1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域； (2)如果要做一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少(精确到0.1 cm)? 解析　(1)盒子的体积y是以x为自变量的函数. 解析式为：y＝x(15－2x)2，x∈(0，7.5)； (2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么有方程(15－2x)2·x＝150. 下面用二分法来求方程在(0，7.5)内的近似解． 令f(x)＝x(15－2x)2－150，由计算器可以确定f(x)分别在(0，1)和(4，5)内各有一个零点，即方程(15－2x)2·x＝150分别在区间(0，1)和(4，5)内各有一个解． 下面用二分法求方程的近似解． 取区间(0，1)的中点x1＝0.5， 计算得f(0.5)＝－52， 所以零点x0∈(0.5，1). 再取(0.5，1)的中点x2＝0.75，计算得f(0.75)≈－13.31，所以x0∈(0.75，1). 同理可得x0∈(0.75，0.875)； x0∈(0.812 5，0.875)， x0∈(0.843 75，0.875)； x0∈(0.843 73，0.859 375)； x0∈(0.843 75，0.851 562 5)； x0∈(0.843 75，0.847 656 25). 此时，0.843 75和0.847 656 25精确到0.1的近似值都是0.8， 所以方程在区间(0，1)内精确到0.1的近似解为0.8.同理可得方程在区间(4，5)内精确到0.1的近似值为4.7，所以要做成一个容积为150 cm3的无盖盒子时，截去小正方形的边长大约是0.8 cm或4.7 cm. [关键能力·综合提升] 7．若函数f(x)图象是连续不断的，且f(0)＞0，f(1)·f(2)·f(4)＜0，则下列命题正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(0，1)内有零点 B．函数f(x)在区间(1，2)内有零点 C．函数f(x)在区间(0，2)内有零点 D．函数f(x)在区间(0，4)内有零点 解析　f(1)·f(2)·f(4)＜0，则f(1)，f(2)，f(4)中有一个小于0，另两个大于0或三个都小于0，则有零点可能区间(0，1)，(1，2)，(0，2)，但它们都包含于(0，4)，因此选项D正确． 答案　D 8．函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为____________，函数f(x)＝ln (x＋1)－的零点所在的大致区间是(k，k＋1)k∈Z, 则k＝____________． 解析　由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0， ∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10. 因为f(1)＝ln 2－<0，f(2)＝ln 3－1>0，且函数f(x)的图象在(0，＋∞)上连续， 所以函数的零点所在区间为(1，2).故k＝1. 答案　x＝1或x＝10　1 9．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确到0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)＜0，f(2)＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他取的x的4个值依次是____________． 解析　第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，第四次得区间(1.75，1.812 5). 答案　1.5，1.75，1.875，1.812 5 10．某电视台有一档娱乐节目，主持人会给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间．选手开始报价：1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？ 解析　取价格区间[500，1 000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750，1 000]的中点875；否则取另一个区间[500，750]的中点；若遇到小数取整数(小数位无论是几都舍去).照这样的方案游戏过程猜价如下：750，875，812，843，859，851，经过6次可以猜中价格． [核心价值·探索创新] 11．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是(　　) A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln 解析　g(x)＝4x＋2x－2的零点，即函数y＝4x与函数y＝－2x＋2图象交点的横坐标，如图： 由图知g(x)的零点0＜x0＜， 又f(x)＝4x－1的零点为，∴选A. 答案　A 学科网（北京）股份有限公司 $$