第3章 不等式 章末达标检测3（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

(考试用时：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知m＝8－n，m＞0，n＞0，则mn的最大值为(　　) A．4　　　　　　　　　 B．8 C．16 D．32 解析　∵m＝8－n，m＞0，n＞0， ∴8＝m＋n≥2，解得mn≤16， 当且仅当m＝n＝4时取等号．则mn的最大值为16.故选C. 答案　C 2．已知不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是∅，则(　　) A．a＜0，Δ＞0 B．a＜0，Δ≤0 C．a＞0，Δ≤0 D．a＞0，Δ＞0 解析　∵不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是∅， ∴对应的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向上且与x轴至多有一个交点， ∴a＞0，Δ≤0，故选C. 答案　C 3．已知不等式ax2－5x＋b＞0的解集为{x|－3＜x＜2}，则a＋b的值为(　　) A．25 B．35 C．－25 D．－35 解析　∵ax2－5x＋b＞0的解集为{x|－3＜x＜2}， ∴ax2－5x＋b＝0的根为－3、2， 即－3＋2＝，－3×2＝， 解得a＝－5，b＝30， ∴a＋b＝－5＋30＝25.故选A. 答案　A 4．已知a＞0，b＞0，且a＋2b＝8，那么ab的最大值等于(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析　a＞0，b＞0，且a＋2b＝8， 则ab＝a·2b≤＝×16＝8， 当且仅当a＝2b＝4，取得等号．则ab的最大值为8.故选B. 答案　B 5．设x>0，那么3－－x有(　　) A．最大值1 B．最小值1 C．最大值5 D．最小值－5 解析　∵x>0， ∴3－－x＝3－≤3－2＝1， 当且仅当x＝即x＝1时，取等号． 答案　A 6．已知(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集是R，则实数a的取值范围是(　　) A．a<－或a>1 B．－<a<1 C．－<a≤1或a＝－1 D．－<a≤1 解析　a＝1显然满足题意，若该不等式为一元二次不等式，则必有a2<1，由Δ＝(a－1)2＋4(a2－1)<0，解得－<a<1.综上可知－<a≤1. 答案　D 7．某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示)，若要使其营运的年平均利润最大，则每辆客车需营运(　　) A．3年 B．4年 C．5年 D．6年 解析　设二次函数为y＝a(x－6)2＋11.又图象过点(4，7)，代入得7＝a(4－6)2＋11，解得a＝－1， ∴y＝－x2＋12x－25. 设年平均利润为m，则m＝＝－x－＋12≤2， 当且仅当x＝，即x＝5时取等号． 答案　C 8．已知x>0，y>0.若＋>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4 C．－2<m<4 D．－4<m<2 解析　∵x>0，y>0.∴＋≥8(当且仅当＝时取“＝”).若＋>m2＋2m恒成立， 则m2＋2m<8，解之得－4<m<2. 答案　D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式不一定成立的是(　　) A．ad＞bc B．ac＞bd C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d 解析　令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，则2×3＜(－2)(－6)＝12，可排除B；2×(－6)＜(－2)×3可排除A；2－3＜(－2)－(－6)＝4可排除C； ∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d(不等式的加法性质)正确． 答案　ABC 10．二次函数y＝x2＋x的零点是(　　) A．0 B．(0，0) C．－1 D．(－1，0) 解析　零点是函数与x轴交点的横坐标，是一个数，令x2＋x＝0， ∴x1＝0，x2＝－1. 答案　AC 11．(2024·江苏高一校联考期末)下列说法正确的是(　　) A．若x，y>0，x＋y＝2，则2x＋2y的最大值为4 B．若x<，则函数y＝2x＋的最大值为－1 C．若x，y>0，x＋y＋xy＝3，则xy的最小值为1 D．已知x>1，则函数y＝2x＋≥2＋2 解析　当x，y>0，x＋y＝2，2x＋2y≥2＝2＝4，当且仅当x＝y＝1时取等号，故选项A不正确．当x<时，y＝2x＋＝2x－1＋＋1＝－＋1≤－2＋1＝－1， 当且仅当x＝0时等号成立，所以选项B正确． 当x，y>0，x＋y＋xy＝3，故x＋y＝3－xy≥2，即xy＋2－3≤0， 整理得(＋3)(－1)≤0， ∴0<≤1，当且仅当x＝y＝1时，取等号，所以选项C不正确． 当x>1时，y＝2x＋＝2(x－1)＋＋2≥2＋2＝2＋2， 当且仅当2(x－1)＝，即x＝1＋时等号成立，所以D正确．故选BD. 答案　BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数y＝x＋(x＜1)的最大值为________． 解析　y＝x＋(x＜1)， 可得函数y＝x－1＋＋1， 已知x＜1，∴y＝x－1＋＋1 ≤－2 ＋1＝－1， ∴函数y最大值在x＝0时取得， ∴函数y＝x＋ (x＜1)的最大值为－1. 答案　－1 13．命题“对任意x∈R，mx2＋(m＋1)x＋1≥0恒成立”是真命题，则实数m的取值集合是________． 解析　由命题“对任意x∈R，mx2＋(m＋1)x＋1≥0恒成立”是真命题， 则①m＝0时，不等式可变为x＋1≥0，显然不满足题意， ②m≠0时，由已知有 解得m＝1， 综合①②得，实数m的取值集合是{1}． 答案　{1} 14．已知正实数a，b满足a＋＝2，则＋2b的最小值为________． 解析　由题意，正实数a，b满足a＋＝2， 则＋2b＝×＝×≥×＝4，当且仅当＝2ab，即a＝b＝1时，取得最小值，其最小值为4. 答案　4 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0). (1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值． (2)若不等式的解集为R，求k的取值范围． 解析　(1)因为不等式kx2－2x＋6k<0的解集为{x|x<－3或x>－2}， 所以x1＝－3与x2＝－2是方程kx2－2x＋6k＝0(k≠0)的两根，所以－＝＝－3－2， 所以k＝－. (2)若不等式的解集为R，即x∈R，kx2－2x＋6k<0恒成立， 则满足所以k<－. 16．(15分)解关于x的不等式＜0(a∈R). 解析　原不等式等价于(x－a)(x－a2)＜0. 其对应方程的两根为x1＝a，x2＝a2. x2－x1＝a2－a＝a(a－1). 分情况讨论如下： ①若a＜0或a＞1，即a2＞a时，不等式的解集为{x|a＜x＜a2}． ②若a＝0或a＝1时，原不等式可化为x2＜0或(x－1)2＜0.此时，不等式的解集为∅. ③若0＜a＜1，即a2＜a时，不等式的解集为{x|a2＜x＜a}． 综上所述：当a＜0或a＞1时， 原不等式的解集为{x|a＜x＜a2}； 当a＝0或a＝1时，原不等式的解集为∅； 当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|a2＜x＜a}． 17．(15分)已知二次函数y＝x2－ax(a∈R). (1)若a＝2，求不等式x2－ax≥3的解集； (2)若x≥1时，x2－ax≥－x2－2恒成立，求a的取值范围． 解析　(1)若a＝2， 可得x2－2x－3≥0，即(x－3)(x＋1)≥0， 所以原不等式的解集为{x|x≤－1或x≥3}． (2)x2－ax≥－x2－2， 即a≤2，当x≥1时恒成立， 令y1＝2， 又y1＝2≥4＝4， 当且仅当x＝，即x＝1时等号成立， 所以a≤4， 故所求a的取值范围是{a|a≤4}． 18．(17分)某地计划建造一间背面靠墙的小屋，其地面面积为12 m2，墙面的高度为3 m，经测算，屋顶的造价为5800元，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元.设房屋正面地面长方形的边长为x m，y m，房屋背面和地面的费用不计． (1)用含x的表达式表示出房屋的总造价z； (2)怎样设计房屋能使总造价最低？最低造价是多少？ 解析　(1)设总造价为z元， 则由xy＝12，可得y＝， ∴z＝3y×1 200＋6x×800＋5 800 ＝＋4 800x＋5 800，(x＞0). (2)z＝＋4 800x＋5 800 ≥2 ＋5800＝34 600， 当且仅当＝4 800x时， 即x＝3时，z有最小值34 600，此时y＝4. ∴房屋正面地面长方形的边长为长4 m，宽3 m时，总造价最低，最低总造价为34 600元． 19．(17分)已知关于x的不等式ax2－9x＋8>0的解集为{x|x<1，或x>b}． (1)求a，b的值； (2)当x>0，y>0，且满足＋＝1时，有2x＋y≥k2－6k＋2恒成立，求k的取值范围． 解析　(1)因为不等式ax2－9x＋8>0的解集为{x|x<1或x>b}，所以1和b是方程ax2－9x＋8＝0的两个实数根且a>0，所以⇒. (2)由(1)知a＝1，b＝8，于是有＋＝1，故2x＋y＝(2x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝4x即x＝3，y＝12时，左式等号成立，依题意必有(2x＋y)最小≥k2－6k＋2，即18≥k2－6k＋2，得k2－6k－16≤0⇒－2≤k≤8，所以k的取值范围为－2≤k≤8. 学科网（北京）股份有限公司 $$