3.3 第2课时 元二次不等式的综合应用（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．不等式≥0的解集是(　　) A．{x|x≥2}　　　 　　　 B．{x|x≤1或x＞2} C．{x|x＜1} D．{x|x＜1或x≥2} 解析　原不等式可化为 ∴x≥2或x＜1， 故原不等式的解集为{x|x＜1或x≥2}． 答案　D 2．若x2－2ax＋2≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．－＜a≤ B．－＜a＜ C．－≤a＜ D．－≤a≤ 解析　Δ＝(－2a)2－4×1×2≤0，∴－≤a≤. 答案　D 3．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　　) A．100台 B．120台 C．150台 D．180台 解析　3 000＋20x－0.1x2≤25x⇔x2＋50x－30 000≥0，解得x≤－200(舍去)或x≥150. 答案　C 4．不等式≥1的解集为____________． 解析　因为≥1等价于≥0， 所以≤0，等价于 解得－4<x≤. 答案　 5．若不等式x2－4x＋3m<0的解集为空集，则实数m的取值范围是____________． 解析　由题意，知x2－4x＋3m≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m≤0，解得m≥. 答案　m≥ 6．某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售量减少10P万件，据此，问： (1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围； (2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值； (3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值． 解析　税率为P%时，销售量为(80－10P)万件， 即y＝80(80－10P)， 税金为80(80－10P)·P%， 其中0<P<8. (1)由解得2≤P≤6. 故P的范围为2≤P≤6. (2)∵y＝80(80－10P)(2≤P≤6)为减函数， ∴当P＝2时，厂家获得最大的销售金额， 此时y＝4800(万元). (3)∵0<P<8， y＝80(80－10P)·P%＝－8(P－4)2＋128， ∴当P＝4时，国家所得税金最高，为128万元． [关键能力·综合提升] 7．若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈{x|0<x≤1}恒成立，则m的最大值为(　　) A．1　　　　　　　　　 B．－1 C．－3 D．3 解析　由已知可得m≤x2－4x对一切x∈{x|0<x≤1}恒成立，又y＝x2－4x在{x|0<x≤1}上不断减小， ∴ymin＝－3，∴m≤－3. 答案　C 8．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是(　　) A．{x|15≤x≤30} B．{x|12≤x≤25} C．{x|10≤x≤30} D．{x|20≤x≤30} 解析　设矩形的另一边长为y m， 则由三角形相似知，＝， ∴y＝40－x，∵xy≥300，∴x(40－x)≥300， ∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30. 答案　C 9．(1)当1＜x＜2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是____________； (2)当1<m<2时，不等式x2＋mx－2＜0恒成立，则x的取值范围是____________． 解析　(1)解法一　利用二次函数的最值求解．设y＝x2＋mx＋4，要使1＜x＜2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，只要函数在(1，2)上的最大值小于0即可，而函数开口向上，最大值要么是在x＝1处，要么是在x＝2处，则有解得m≤－5. 解法二　利用变量分离法，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，由于1＜x＜2，则m<－，x∈(1，2)恒成立，m小于右式的最小值，函数y＝－，x∈(1，2)单调递增，y∈(－5，－4)且y取不到－5，所以m≤－5. (2)设y＝mx＋x2－2，m∈(1，2)是关于m的一次函数，由于y<0，∀m∈(1，2)恒成立，只要令 ⇒ ⇒－2<x<－1＋. 答案　(1)m≤－5　(2)－2<x<－1＋ 10．关于x的方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0. (1)m为何实数时，方程有两正实数根？ (2)m为何实数时，方程有一正实数根、一负实数根？ 解析　解法一　(1)由已知，得 解得－ ≤m＜－1或m>1， 即m的取值范围是－≤m＜－1或m>1. (2)由已知，得解得－1<m<1. 所以m的取值范围是－1<m<1. 解法二　(1)设y＝x2－2(m＋2)x＋m2－1， 因为方程有两正实数根，所以函数图象如图甲所示， 则应满足 解得m的取值范围是 (2)因为方程有一正实数根、一负实数根， 则函数图象如图乙，由题意知，满足f(0)<0⇒m的取值范围是{m|－1＜m＜1}． [核心价值·探索创新] 11．若不等式＜0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为____________． 解析　∵x2－8x＋20＝(x－4)2＋4＞0， ∴只需mx2－mx－1＜0恒成立． 故m＝0或 ∴－4＜m≤0. 答案　－4＜m≤0 学科网（北京）股份有限公司 $$