3.2 第2课时 基本不等式的综合应用（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．若x＞0，则y＝有(　　) A．最小值　　　　　 B．最大值 C．最小值4 D．最大值4 解析　因为x＞0，所以y＝≤＝，当且仅当x＝即x＝2时等号成立． 答案　B 2．设x＞0，则y＝3－3x－的最大值是(　　) A．3 B．－3 C．3－2 D．－1 解析　∵x＞0， ∴y＝3－≤3－2＝3－2. 当且仅当3x＝，且x＞0，即x＝时，等号成立． 答案　C 3．若x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 解析　x＋y＝(x＋y)· ＝1＋＋＋4＝5＋＋≥5＋2 ＝5＋4＝9. 当且仅当，即时等号成立， 故x＋y的最小值为9. 答案　C 4．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为____________． 答案　1 5．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是____________dm2. 解析　设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.由题意，得y＝(x＋4)·－72＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2) 当且仅当x＝，即x＝12 dm时等号成立． 答案　56 6．当x＜时，求函数y＝x＋的最大值． 解析　y＝(2x－3)＋＋ ＝－＋， ∵当x＜时，3－2x＞0， ∴＋≥2＝4， 当且仅当＝，即x＝－时取等号． 于是y≤－4＋＝－，故函数有最大值－. [关键能力·综合提升] 7．(多选)(2024·苏州高一统考期末)若a，b均为正数，且满足2a＋b＝4，则(　　) A．ab的最大值为2 B．的最小值为4 C．＋的最小值是6 D．a2＋b2的最小值为 解析　A选项，ab＝·2a·b≤·2＝2， 当且仅当2a＝b＝2时等号成立，A选项正确． B选项，＝ab＋＋＋ ≥2＋2＝4， 但由ab＝且＝， 解得a＝b＝1，不满足2a＋b＝4， 所以等号不成立，所以B选项错误． C选项，＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立，所以C选项错误． D选项，a2＋b2＝a2＋2＝5a2－16a＋16， 所以当a＝－＝，b＝4－2a＝4－＝时， a2＋b2取得最小值5×－16×＋16＝，D选项正确．故选AD. 答案　AD 8．设a，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为____________，此时a＝____________，b＝____________． 解析　因为a，b＞0，a＋b＝5，所以(a＋1)＋(b＋3)＝9. 由不等式≤ 可知， ≤ ＝， 所以＋的最大值为3， 当且仅当a＝，b＝时取等号． 答案　3　　 9．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是____________． 解析　因为x＞0，所以x＋≥2.当且仅当x＝1时取等号，所以有 ＝≤＝， 即的最大值为，故a≥. 答案　a≥ 10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金一追加投入费用) 解析　设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得y＝2x－ ＝118－ ＝118－ ＝130－ ≤130－2 ＝130－112＝18(千元)， 当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号． 所以提前11天，能使公司获得最大附加效益． [核心价值·探索创新] 11．已知实数a＞0，b＞0，且2a＋b＝2ab，则a＋2b的最小值为____________． 解析　∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝2ab， ∴a＝＞0，解得b＞1. 则a＋2b＝＋2b＝＋＋2b＝＋＋2(b－1) ≥＋2＝， 当且仅当b＝，a＝时取等号．其最小值为. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$