2.3 第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．命题“∀x∈R，x2－x≥0”的否定是(　　) A．∀x∈R，x2－x＜0　 B．∀x∈R，x2－x≤0 C．∃x∈R，x2－x＜0 D．∃x∈R，x2－x≤0 解析　原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题． 答案　C 2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是(　　) A．∀x∈R，|x|＞0 B．∃x∈R，|x|＞0 C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x∈R，|x|≤0 解析　由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，而命题的否定只否定结论． 答案　C 3．命题“存在x∈R，2x≤0”的否定是(　　) A．不存在x∈R，2x＞0 B．存在x∈R，2x≥0 C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞0 解析　原命题为存在量词命题，其否定为全称量词命题． 答案　D 4．命题“∀x∈R，3x2－2x＋1＞0”的否定是____________． 答案　∃x∈R，3x2－2x＋1≤0 5．已知命题p：存在x∈R，x2＋2ax＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是____________． 解析　命题的否定：任意x∈R，x2＋2ax＋a＞0为真命题，∴Δ＝4a2－4a＜0，∴0＜a＜1. 答案　0＜a＜1 6．已知命题“存在x∈R，ax2－2ax－3＞0”是假命题，求实数a的取值范围． 解析　因为命题“存在x∈R，ax2－2ax－3＞0”的否定为“对于任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”， 由命题真，其否定假；命题假，其否定真可知该命题的否定是真命题． 事实上，当a＝0时，对任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立； 当a≠0时，借助二次函数的图象，数形结合，很容易知道不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的等价条件是a＜0且其判别式Δ＝4a2＋12a≤0， 即－3≤a＜0. 综上知，实数a的取值范围是[－3，0]. [关键能力·综合提升] 7．(多选)已知命题“∃x∈R，使4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围不正确的是(　　) A．a＜0 B．0≤a≤4 C．a≥4 D．0＜a＜4 解析　∵命题“∃x∈R，使4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使4x2＋(a－2)x＋＞0”是真命题，即判别式Δ＝(a－2)2－4×4×＜0，即Δ＝(a－2)2＜4，则－2＜a－2＜2，即0＜a＜4，故A、B、C均不正确． 答案　ABC 8．命题“∀x∈[－1，4]，|x|＋x2≥0”的否定是(　　) A．∀x∈[－1，4]，|x|＋x2＜0 B．∀x∈[－1，4]，|x|＋x2≤0 C．∃x∈[－1，4]，|x|＋x2＜0 D．∃x∉[－1，4]，|x|＋x2≥0 解析　∀x∈[－1，4]的否定是∃x∈[－1，4]，“|x|＋x2≥0”的否定是“|x|＋x2＜0”． 答案　C 9．命题p：∀x∈(3，＋∞)，x＞a，¬p是假命题，则a的取值范围为____________． 解析　由题意知当x＞3时，有x＞a恒成立，则a≤3. 答案　(－∞，3] 10．已知命题p：∃x∈R，x2－ax－2a≤0.若命题p是假命题，求实数a的取值范围． 解析　p为假，即“∀x∈R，x2－ax－2a＞0”为真， 所以Δ＝a2＋8a＜0，所以－8＜a＜0. ∴a∈(－8，0) [核心价值·探索创新] 11．若命题p：“任意x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1”是真命题，求实数a的取值范围． 解析　依题意，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，即(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立， 所以(1)当a＝－2时，4x－3≥0不恒成立，舍去； (2)当a≠－2时，令⇔⇔a≥2， 综上，实数a的取值范围是[2，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$