2.2 充分条件、必要条件、充要条件（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是(　　) A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac<bc”是“a<b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 解析　若a＝b，则ac＝bc；若ac＝bc，则a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件． 答案　B 2．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　当x＝1时，x3＝x成立．若x3＝x，x(x2－1)＝0，得x＝－1，0，1；不一定得到x＝1. 答案　A 3．设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　x>1且y>1⇒x＋y>2， x＋y>2x>1且y>1， 如x＝，y＝2. 答案　A 4．(多选)设x∈R，则“x＞”的一个必要不充分条件是(　　) A．x>－1 B．x>0 C．x>1 D．x>2 解析　要找的是“x>”的一个必要不充分条件，设为条件p，即条件p是x>的一个必要不充分条件，则x>⇒p，但px>，也就是说要写出一个比x>还要大的范围，四个选项中只有x>－1和x>0满足． 答案　AB 5．已知集合A＝{1，3，2－m}，集合B＝{3, m2}，则“B⊆A”的充要条件是实数m＝____________． 解析　∵B⊆A，∴m2＝1或m2＝2－m， 若m2＝1，则m＝1或m＝－1， 若m＝1，则2－m＝1与集合元素的互异性矛盾，故舍． 若m＝－1，则2－m＝3，也矛盾，故舍． ∴m2＝2－m，即m2＋m－2＝0，∴m＝－2或m＝1， 经验证，满足题意，∴m＝－2. 答案　－2 6．已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件． (1)求实数a的取值范围； (2)若p∩q≠∅，求实数a的取值范围． 解析　 p：3a＜x＜a，即集合A＝{x|3a＜x＜a}． q：－2≤x≤3：即集合B＝{x|－2≤x≤3}． (1)因为p⇒q，所以A⊆B， 所以⇒－≤a＜0， 所以a的取值范围是 (2)因为p∩q≠∅，所以A∩B≠∅， 所以a＞－2，又a＜0， 所以a的取值范围是{a|－2＜a＜0}． [关键能力·综合提升] 7．(多选)下列说法不正确的是(　　) A．x2≠1是x≠1的必要条件 B．x＞5是x＞4的充分不必要条件 C．xy＝0是x＝0且y＝0的充分条件 D．x2＜4是x＜2的充分不必要条件 解析　若“x2≠1，则x≠1”的意思是“若x＝1，则x2＝1”，易知x＝1是x2＝1的充分不必要条件，故A不正确；C中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则C不正确；BD正确． 答案　AC 8．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若φ(a，b)＝－a－b＝0， 则＝a＋b， 两边平方解得ab＝0，故a，b至少有一个为0， 不妨令a＝0则可得|b|－b＝0， 故b≥0，即a与b互补； 若a与b互补时，易得ab＝0，故a，b至少有一个为0， 若a＝0，b≥0，此时－a－b＝－b＝0， 同理若b＝0，a≥0，此时 －a－b＝－a＝0，即φ(a，b)＝0， 故φ(a，b)＝0是a与b互补的充要条件． 故选C. 答案　C 9．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由题意得，A⇐B⇔C⇐D， 但是AB且CD， 所以D⇒A，AD， 所以A是D的必要不充分条件． 答案　A 10．已知p：－1＜x＜3，若|x|＜a(a＞0)是p的一个必要不充分条件，求a的取值范围． 解析　设q：－a＜x＜a， ∵q是p的一个必要不充分条件， ∴p⇒q但qp， {x|－1＜x＜3}{x|－a＜x＜a}，∴a≥3，且－a≤－1⇒a≥3(等号不同时成立，故真子集关系成立)，故a的取值范围为[3，＋∞). [核心价值·探索创新] 11．证明：方程mx2－2x＋3＝0有两个不相等的同号实根的充要条件是0＜m＜. 证明　先证充分性． 当0＜m＜时，方程mx2－2x＋3＝0为一元二次方程，其判别式Δ＝(－2)2－4m×3＝4(1－3m)＞0. 故方程有两个不相等的实根，设为x1和x2， 则x1x2＝＞0，故x1和x2同号． 即方程mx2－2x＋3＝0有两个不相等的同号实根． 再证必要性． 若方程mx2－2x＋3＝0有两个不相等的同号实根， 则解得0＜m＜. 综上所述，方程mx2－2x＋3＝0有两个不相等的同号实根的充要条件是0＜m＜. 学科网（北京）股份有限公司 $$