7.1 第2课时 弧度制（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

7.1　角与弧度 第2课时　弧度制 第7章　三角函数 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 目 录 课前案 01 课堂案 02 课后案 03 CONTENTS 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 课前案 必备知识·自主学习 01 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 半径长 弧度 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 弧长 半径 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 2π 360° π 180° 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 45° 90° 135° 270° 0 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 |α|r 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 课堂案 关键能力·互动探究 02 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 谢谢观看 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 学业标准 素养目标 1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换． 2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系． 3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式． 1．通过弧度制概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过弧度制与角度制的互化，扇形弧长公式和面积公式的应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． [教材梳理] 导学1　角度制与弧度制 　在初中学过的角度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少度？ 提示：1度． 　长度等于半径长的弧所对的圆心角有多大？是否有其他单位制来度量该角？ 提示：若长度等于半径长的弧所对的圆心角为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π))) °，用弧度制度量该角为1弧度． 　半径为2的圆中1弧度的角比半径为1的圆中1弧度的角大，这句话正确吗？ 提示：错误．“1弧度的角”的大小与所在圆的半径大小无关，其大小是一个定值． ◎结论形成 1．角度制与弧度制 (1)角度制 ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的 eq \f(1,360) 作为一个单位． (2)弧度制 ①1弧度的角：长度等于__________的弧所对的圆心角． ②弧度制：用________作为角的单位来度量角的单位制． 2．任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 3．角的弧度数的计算 对于任意一角α，其弧度数的绝对值等于α所对应的________与________的比即|α|＝ eq \f(l,r) . 导学2　角度制与弧度制的换算 　角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？ 提示：利用1°＝ eq \f(π,180) rad和1 rad＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π))) °进行弧度与角度的换算． ◎结论形成 1．角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝________ rad 2π rad＝____________ 180°＝______ rad π rad＝____________ 1°＝_____________≈0.017 45 rad 1 rad＝________≈57.30° eq \f(π,180) rad eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π))) ° 2．一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 1° 30° _____ 60° _____ 120° _____ 150° 180° _____ 360° 弧度 ______ eq \f(π,180) eq \f(π,6) eq \f(π,4) eq \f(π,3) eq \f(π,2) eq \f(2π,3) eq \f(3π,4) eq \f(5π,6) π eq \f(3π,2) 2π 导学3　扇形的弧长及面积公式 　从扇形的形状来看，扇形的弧长和面积与哪些量有关系？ 提示：与扇形的半径r和圆心角α有关系． ◎结论形成 设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l＝ eq \f(παr,180) l＝_________ 扇形的面积 S＝ eq \f(παr2,360) S＝ eq \f(1,2) lr＝ eq \f(1,2) |α|r2 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1 rad的角比1°的角要大．(　　) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．(　　) (3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．(　　) (4)1°的角是周角的 eq \f(1,360) ，1 rad的角是周角的 eq \f(1,2π) . 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．－240°化为弧度是(　　) A．－ eq \f(4,3) π　　　　　　 B．－ eq \f(5,3) π C．－ eq \f(7,4) π D．－ eq \f(7,6) π 解析　－240°＝－240× eq \f(π,180) ＝－ eq \f(4,3) π. 答案　A 3．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　) A．1 B．4 C．1或4 D．2或4 解析　设扇形半径为r，圆心角弧度数为α， 则由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2r＋αr＝6，,\f(1,2)αr2＝2，)) ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝1，,α＝4)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝2，,α＝1.)) 答案　C 4．已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为____________． 解析　设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α＋β＝1，,α－β＝\f(π,180)，)) 解得α＝ eq \f(1,2) ＋ eq \f(π,360) ，β＝ eq \f(1,2) － eq \f(π,360) . 答案　 eq \f(1,2) ＋ eq \f(π,360) ； eq \f(1,2) － eq \f(π,360) 题型一　角度与弧度的互化 　将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)2；(4)－ eq \f(11π,5) . [解析]　(1)20°＝ eq \f(20π,180) ＝ eq \f(π,9) . (2)－15°＝－ eq \f(15π,180) ＝－ eq \f(π,12) . (3)2＝2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π))) °＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(360,π))) °. (4)－ eq \f(11π,5) ＝－ eq \f(11,5) ×180°＝－396°. [素养聚焦]　通过弧度制与角度制的互化，把数学运算等核心素养体现在解题过程中． [规律方法]　角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数× eq \f(π,180) ＝弧度数，弧度数× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π))) °＝度数． [触类旁通]　 1．(1)把112°30′化成弧度； (2)把－ eq \f(5π,12) 化成度． 解析　(1)112°30′＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(225,2))) °＝ eq \f(225,2) × eq \f(π,180) ＝ eq \f(5π,8) . (2)－ eq \f(5π,12) ＝－ eq \f(5π,12) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π))) °＝－75°. 题型二　用弧度制表示角的集合 　用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图). [解析]　(1)以OA为终边的角为 eq \f(π,6) ＋2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为－ eq \f(2π,3) ＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为 (2)终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是 [规律方法]　 根据已知图形写出区域角的集合的步骤 (1)仔细观察图形． (2)写出区域边界作为终边时角的表示． (3)用不等式表示区域范围内的角． [触类旁通]　 2．(1)下列与 eq \f(9π,4) 的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋ eq \f(9π,4) (k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋ eq \f(5π,4) (k∈Z) (2)用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合． (1)解析　 eq \f(9,4) π＝2π＋ eq \f(π,4) ，所以 eq \f(9,4) π与 eq \f(π,4) 终边相同． －315°＝－360°＋45°， 所以－315°也与45°终边相同．故选C. 答案　C (2)解析　30°＝ eq \f(π,6) rad，150°＝ eq \f(5π,6) rad. 终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋kπ<β<\f(5π,6)＋kπ，k∈Z)))) . 题型三　扇形的弧长公式及面积公式的应用 一题多变 　已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值． [解析]　设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S. 由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r. ∴S＝ eq \f(1,2) l·r＝ eq \f(1,2) (a－2r)·r＝－r2＋ eq \f(a,2) r＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－\f(a,4))) eq \s\up18(2) ＋ eq \f(a2,16) . ∵r>0，l＝a－2r>0，∴0<r< eq \f(a,2) ，∴当r＝ eq \f(a,4) 时，Smax＝ eq \f(a2,16) . 此时，l＝a－2· eq \f(a,4) ＝ eq \f(a,2) ，∴α＝ eq \f(l,r) ＝2. 故当扇形的圆心角为2 rad时，扇形的面积最大，最大值为 eq \f(a2,16) . [母题变式]　 (变条件、变结论)在例3中，若扇形的面积为定值S，则扇形的周长是否有最小值，若有，求出这个最小值，若没有，说明理由． 解析　设扇形的周长为C，半径为r， 因为S＝ eq \f(1,2) lr，所以l＝ eq \f(2S,r) ， 则C＝2r＋l＝2r＋ eq \f(2S,r) ≥2 eq \r(2r×\f(2S,r)) ＝4 eq \r(S) ， 当且仅当r＝ eq \r(S) 时等号成立， 所以扇形的周长存在最小值4 eq \r(S) . [规律方法]　扇形弧长、面积问题的解决方法 (1)联系半径、弧长和圆心角的关系有两个公式： 一是S＝ eq \f(1,2) lr＝ eq \f(1,2) |α|r2，二是l＝|α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个． (2)解决此类题目要首先分析已知哪些量，要求哪些量，然后灵活运用公式求解． [易错警示]　当扇形周长一定时，求扇形面积的最大值，需把面积S转化为关于r的二次函数，但要注意r的取值范围，特别注意一个扇形的弧长必须满足0<l<2πr. [触类旁通] 3．(多选)小夏同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘(图1)产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形OAB中，∠AOB＝ eq \f(π,3) ，OB＝OA＝2，则(　　) A．∠AOB＝30° B．弧长 eq \o\ac(AB,\s\up18(︵)) ＝ eq \f(2π,3) C．扇形OAB的周长为 eq \f(2π,3) ＋4 D．扇形OAB的面积为 eq \f(4π,3) 解析　∠AOB＝ eq \f(π,3) ＝60°，所以A错误；弧长 eq \o\ac(AB,\s\up18(︵)) ＝αr＝ eq \f(π,3) ×2＝ eq \f(2π,3) ，所以B正确； 扇形OAB的周长为 eq \f(2π,3) ＋4，所以C正确；S＝ eq \f(1,2) lr＝ eq \f(1,2) × eq \f(2π,3) ×2＝ eq \f(2π,3) ，所以D错误；故选BC. 答案　BC [缜密思维提能区]　易错案例 扇形和弓形面积 【典例】　已知扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为10，求扇形的弧长及扇形中该弧所在的弓形面积. [解析]　设弧长为l，弓形面积为S弓， 则α＝60°＝ eq \f(π,3) ，r＝10 所以l＝αr＝ eq \f(10π,3) ， 所以S弓＝S扇－S△＝ eq \f(1,2) lr－ eq \f(1,2) r2sin α＝50 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(3),2))) . [答案]　50 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(3),2))) [纠错心得]　仔细审题，了解弓形和扇形的区别与联系． 知识落实 技法强化 (1)弧度制的概念． (2)弧度制与角度制的相互转化． (3)掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系． (4)扇形的弧长与面积的计算． (1)常用方法：由特殊到一般、数学运算． (2)易错点：弧度与角度混用． $$