4.1 第1课时 根式（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

4.1　指数 第1课时　根式 第4章　指数与对数 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 目 录 课前案 01 课堂案 02 课后案 03 CONTENTS 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 课前案 必备知识·自主学习 01 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 xn＝a 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 0 两 相反 算术 没有 一 正 负 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 n a a a |a| a － a 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 课堂案 关键能力·互动探究 02 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 谢谢观看 返回目录 第4章　指数与对数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 学业标准 素养目标 1．理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质． 2．能利用根式的性质进行根式的化简和运算． 1．通过根式的概念及性质的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过根式的化简与求值，提升数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学　n次方根、算术根、根式 　我们在初中学习了平方根、立方根，有没有四次方根、五次方根、……、n次方根呢？ 我们知道x2＝3，这样的x有几个？它们叫作3的什么？怎么表示x3＝8呢？ 提示：对于x2＝3，则x＝± eq \r(3) ；对于x3＝8，则x＝2. ◎结论形成 1．n次方根的定义 如果_________，(a>1，n∈N*)，那么称x为a的n次方根． eq \r(n,a) 2．n次方根的表示 (1)0的任意正整数次方根均为______，记为__________． (2)正数a的偶数次方根有______个，它们互为________数，其中正的方根称为a的n次________根，记为______，负的方根记为________；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当a＜0且n为偶数时， eq \r(n,a) ________意义． (3)任意实数的奇数次方根都有且只有______个，记为______．而且正数的奇数次方根是一个______数，负数的奇数次方根是一个______数． eq \r(n,0) ＝0 eq \r(n,a) － eq \r(n,a) 3．根式的定义和性质 (1)定义：式子 eq \r(n,a) 叫做根式，其中______叫做根指数，______叫做被开方数． (2)性质 对于n∈N*，n>1， ①( eq \r(n,a) )n＝______． ②当n为奇数时， eq \r(n,an) ＝______；当n为偶数时， eq \r(n,an) ＝__________ ＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(______，a≥0，,________，a<0.)) [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当n∈N*时，( eq \r(n,－3) )n有意义．(　　) (2) eq \r(81) ＝±9.(　　) (3) eq \r(（a－3）2) ＝a－3.(　　) (4) eq \r(3,（b－3）3) ＝b－3.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　) A． eq \r(4,m2) 　　　　　　　 B． eq \r(5,m) C． eq \r(6,m) D． eq \r(5,－m) 解析　当m<0时， eq \r(6,m) 没有意义，其余各式均有意义．故选C. 答案　C 3．(多选)下列说法正确的是(　　) A．16的4次方根是2 B． eq \r(4,16) 的运算结果是±2 C．当n为大于1的奇数时， eq \r(n,a) 对任意a∈R都有意义 D．当n为大于1的偶数时， eq \r(n,a) 只有当a≥0时才有意义 解析　A．16的4次方根应是±2；B. eq \r(4,16) ＝2，所以正确的应为C，D. 故选C，D. 答案　CD 4．计算 eq \r(3,（2－π）3) ＋ eq \r(（3－π）2) 的值为(　　) A．5 B．－1 C．2π－5 D．5－2π 解析　 eq \r(3,（2－π）3) ＋ eq \r(（3－π）2) ＝2－π＋π－3＝－1.故选B. 答案　B 题型一　n次方根的概念问题 　(1)27的立方根是____________；16的4次方根是____________． (2)已知x6＝2 024，则x＝____________． (3)若 eq \r(4,x＋3) 有意义，则实数x的取值范围为__________． [解析]　(1)27的立方根是3；16的4次方根是±2. (2)因为x6＝2 024，所以x＝± eq \r(6,2 024) . (3)要使 eq \r(4,x＋3) 意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3. 所以实数x的取值范围是[－3，＋∞). [答案]　(1)3　±2　(2)± eq \r(6,2 024) 　(3)[－3，＋∞) [规律方法]　n次方根的个数及符号的确定 (1)n的奇偶性决定了n次方根的个数； (2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号． [触类旁通]　 1．已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子： ① eq \r(6,（－3）2n) ；② eq \r(5,a2) ；③ eq \r(6,（－5）2n＋1) ；④ eq \r(9,－a2) ，其中无意义的有(　　) A．1个　　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．0个 解析　①中(－3)2n>0，所以 eq \r(6,（－3）2n) 有意义；②中根指数为5有意义；③中(－5)2n＋1<0，因此无意义；④中根指数为9，有意义．选A. 答案　A 题型二　根式的化简与求值 　化简下列各式： (1) eq \r(5,（x－π）5) ＝____________； (2)( eq \r(a－2) )2＋ eq \r(3,（2－a）3) ＝____________． [解析]　(1) eq \r(5,（x－π）5) ＝x－π. (2)由题意，首先a－2≥0，即a≥2. 从而( eq \r(a－2) )2＝a－2， eq \r(3,（2－a）3) ＝2－a 所以原式＝a－2＋2－a＝0. [答案]　(1)x－π　(2)0 [规律方法]　(1)化简 eq \r(n,an) 时，首先明确根指数n是奇数还是偶数，然后依据根式的性质进行化简；化简( eq \r(n,a) )n时，关键是明确 eq \r(n,a) 是否有意义，只要 eq \r(n,a) 有意义，则( eq \r(n,a) )n＝a. (2)在对根式进行化简时，若被开方数中含有字母参数，则要注意字母参数的取值范围，即确定 eq \r(n,an) 中a的正负，再结合n的奇偶性给出正确结果． [触类旁通]　 2．(1)若 eq \r(4a2－4a＋1) ＝ eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2a))3) ，则实数a的取值范围为____________． (2)若 eq \r(x－1) ＋ eq \r(4,x＋y) ＝0，则x2 024＋y2 025＝__________． 解析　(1)由题设得 eq \r(4a2－4a＋1) ＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－1))2) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2a－1)) ， eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2a))3) ＝1－2a，所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2a－1)) ＝1－2a， 所以1－2a≥0，a≤ eq \f(1,2) .故答案为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) . (2)∵ eq \r(x－1) ≥0， eq \r(4,x＋y) ≥0， 且 eq \r(x－1) ＋ eq \r(4,x＋y) ＝0， ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝0，,x＋y＝0，)) ⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1，)) ∴x2 024＋y2 015＝1-1＝0. 答案　(1) eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) 　(2)0 题型三　有限制条件的根式的运算 一题多变 　(1)若x<0，则x＋|x|＋ eq \f(\r(x2),x) ＝____________． (2)若－3<x<3，求 eq \r(x2－2x＋1) － eq \r(x2＋6x＋9) 的值． (1)[解析]　∵x<0，∴|x|＝－x， eq \r(x2) ＝|x|＝－x， ∴x＋|x|＋ eq \f(\r(x2),x) ＝x－x－1＝－1. [答案]　－1 (2)[解析]　 eq \r(x2－2x＋1) － eq \r(x2＋6x＋9) ＝ eq \r(（x－1）2) － eq \r(（x＋3）2) ＝|x－1|－|x＋3|， 当－3<x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2. 当1<x<3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4. 因此，原式＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x－2，－3<x≤1，,－4，1<x<3.)) [母题变式]　 1．(变条件)将本例(2)的条件“－3<x<3”改为“x≤－3”，则结果又是什么？ 解析　 因为x≤－3，所以x－1<0，x＋3≤0， 所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4. 2．(变结论)在本例(1)条件不变的情况下，求 eq \r(3,x3) ＋ eq \f(\r(x2),|x|) . 解析　 eq \r(3,x3) ＋ eq \f(\r(x2),|x|) ＝x＋ eq \f(|x|,|x|) ＝x＋1. [素养聚焦]　通过配方，巧妙变形，提高运算求解能力，进而提升数学运算等核心素养． [方法技巧]　带条件根式的化简 (1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简． (2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负． [触类旁通] 3．已知实数a，b满足(a＋ eq \r(a2＋1) )(b＋ eq \r(b2＋1) )＝1，则a＋b＝(　　) A．－1　　　　　　　 B．1 C．±1 D．0 解析　设m＝a＋ eq \r(a2＋1) ，n＝b＋ eq \r(b2＋1) ， ∴ eq \f(1,m) ＝ eq \f(1,a＋\r(a2＋1)) ＝ eq \r(a2＋1) －a， eq \f(1,n) ＝ eq \f(1,b＋\r(b2＋1)) ＝ eq \r(b2＋1) －b， ∴m－ eq \f(1,m) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋1))) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a2＋1)－a)) ＝2a， n－ eq \f(1,n) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\r(b2＋1))) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(b2＋1)－b)) ＝2b. ∴a＝ eq \f(m－\f(1,m),2) ，b＝ eq \f(n－\f(1,n),2) . 又∵m·n＝1，∴n＝ eq \f(1,m) ，m＝ eq \f(1,n) ， ∴a＝ eq \f(m－n,2) ，b＝ eq \f(n－m,2) ，∴a＋b＝ eq \f(m－n,2) ＋ eq \f(n－m,2) ＝0. 故选D. 答案　D 知识落实 技法强化 (1)n次方根及根式的概念． (2)根式的化简、求值及运算． (1)正确区分 eq \r(n,an) 与( eq \r(n,an) )n的意义． (2)含参数的根式、注意分类讨论思想的应用． $$