3.2 第2课时 一元二次不等式的综合应用（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

第3章　不等式 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 目 录 课前案 01 课堂案 02 课后案 03 CONTENTS 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 课前案 必备知识·自主学习 01 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 课堂案 关键能力·互动探究 02 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 谢谢观看 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 3.2　基本不等式 eq \r(ab) ≤ eq \f(a＋b,2) (a，b≥0) 第2课时　基本不等式的综合应用 学业标准 素养目标 1．会用基本不等式求简单的最大(小)值问题． 2．会用基本不等式解决实际问题． 1．借助基本不等式求最值，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 2．通过基本不等式的实际应用，培养数学建模、数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学1　基本不等式求最值 　(1)已知x＞0，求函数y＝ eq \f(x2＋5x＋4,x) 的最小值； (2)已知0＜x＜ eq \f(1,3) ，求函数y＝x(1－3x)的最大值． 提示：(1)∵x＞0，∴y＝ eq \f(x2＋5x＋4,x) ＝x＋ eq \f(4,x) ＋5≥2 eq \r(4) ＋5＝9， 当且仅当x＝ eq \f(4,x) 即x＝2时等号成立． 故y＝ eq \f(x2＋5x＋4,x) (x＞0)的最小值为9. (2)∵0＜x＜ eq \f(1,3) ，∴1－3x＞0. ∴y＝x(1－3x)＝ eq \f(1,3) ·3x(1－3x) ≤ eq \f(1,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3x＋（1－3x）,2))) eq \s\up18(2) ＝ eq \f(1,12) . 当且仅当3x＝1－3x，即x＝ eq \f(1,6) 时，等号成立． ∴当x＝ eq \f(1,6) 时，函数取得最大值 eq \f(1,12) . ◎结论形成 已知a，b都是正数，则有： 和定积最大 若a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有_____________ 积定和最小 若ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b________________ 最大值 eq \f(1,4) S2 有最小值2 eq \r(P) 导学2　几个重要不等式 　当a，b＞0时，试比较 eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b)) ， eq \r(ab) ， eq \f(a＋b,2) ， eq \r(\f(a2＋b2,2)) 的大小关系． 提示：采用作差法可以比较这些代数式的大小． ◎结论形成 当a，b＞0时，有 eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b)) ≤ eq \r(ab) ≤ eq \f(a＋b,2) ≤ eq \r(\f(a2＋b2,2)) ，当且仅当a＝b时等号成立．其中 eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b)) ， eq \r(ab) ， eq \f(a＋b,2) ， eq \r(\f(a2＋b2,2)) 分别叫做正数a，b的调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥ eq \f(（a＋b）2,2) 均成立．(　　) (2)若x＞1，则x＋ eq \f(1,x－1) ≥1.(　　) (3)a，b异号时， eq \f(b,a) ＋ eq \f(a,b) ≤－2.(　　) (4)当x≥2时，x＋ eq \f(1,x) 的最小值为2.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取最大值时x的值为(　　) A． eq \f(1,2) 　　　　　　　　 B． eq \f(3,4) C． eq \f(2,3) D． eq \f(2,5) 解析　∵0＜x＜1，∴1－x＞0， 则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1－x,2))) eq \s\up18(2) ＝ eq \f(3,4) ， 当且仅当x＝1－x，即x＝ eq \f(1,2) 时取等号． 答案　A 3．已知x，y∈(0，＋∞)，且xy＝100，则x＋y的最小值为____________． 解析　x＋y≥2 eq \r(xy) ＝20，当且仅当x＝y＝10时取“＝”． 答案　20 4．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为__________． 解析　1＝x＋4y≥2 eq \r(4xy) ＝4 eq \r(xy) ， ∴xy≤ eq \f(1,16) ，当且仅当x＝4y＝ eq \f(1,2) 时等号成立． 答案　 eq \f(1,16) 题型一　利用基本不等式求最值 　(1)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　) A．16　　　　　　 B．25 C．9 D．36 (2)已知函数y＝2x＋ eq \f(a,x) (x＞0，a＞0)在x＝2时取得最小值，求a的值． (1)[解析]　解法一　因为x＞0，y＞0，且x＋y＝8， 所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy ＝9＋xy≤9＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2))) eq \s\up18(2) ＝9＋42＝25， 因此当且仅当x＝y＝4时，(1＋x)·(1＋y)取最大值25. 解法二　因为x＞0，y＞0，且x＋y＝8， (1＋x)(1＋y)≤ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（1＋x）＋（1＋y）,2))) eq \s\up18(2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2＋x＋y,2))) eq \s\up18(2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2＋8,2))) eq \s\up18(2) ＝25， 因此当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时， (1＋x)·(1＋y)取最大值25. [答案]　B (2)[解析]　因为x＞0，a＞0， 所以y＝2x＋ eq \f(a,x) ≥2 eq \r(2x·\f(a,x)) ＝2 eq \r(2a) ， 当且仅当2x＝ eq \f(a,x) ，即2x2＝a时，y取得最小值． 又因为x＝2，所以a＝2×22＝8. [规律方法]　(1)应用基本不等式的条件：“一正、二定、三相等”，在求最值时必须同时具备，解答本题易漏掉等号成立的条件． (2)当多次使用均值不等式，或限定了某些量的取值范围时，会导致等号成立的条件不具备，不能直接使用基本不等式，这时应进一步转化，使其能利用基本不等式或其他方法求解． (3)此类题目在命题时常常把获得“定值”条件设计为一个难点，它需要一定的灵活性和技巧性．常用技巧有“拆项”“添项”“凑系数”“常值代换”等． [触类旁通]　 1．已知x＜ eq \f(5,4) ，求函数y＝4x－2＋ eq \f(1,4x－5) 的最大值． 解析　∵x＜ eq \f(5,4) ，∴5－4x＞0， ∴y＝4x－2＋ eq \f(1,4x－5) ＝4x－5＋ eq \f(1,4x－5) ＋3 ＝－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（5－4x）＋\f(1,5－4x))) ＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝ eq \f(1,5－4x) 即x＝1时等号成立． ∴当x＝1时，y最大＝1. 题型二　求有约束条件的最值 　(2024·扬州高一期末)已知m>0，n>0，且2m＋n＝1，则 eq \f(m＋1,mn) 的最小值为(　　) A．13 B．14 C．5＋2 eq \r(6) D．6＋4 eq \r(2) [解析]　∵m>0，n>0，2m＋n＝1，∴ eq \f(m＋1,mn) ＝ eq \f(m＋2m＋n,mn) ＝ eq \f(3m＋n,mn) ＝ eq \f(3,n) ＋ eq \f(1,m) ， ∴ eq \f(m＋1,mn) ＝ eq \f(3,n) ＋ eq \f(1,m) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,n)＋\f(1,m))) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2m＋n)) ＝ eq \f(6m,n) ＋3＋2＋ eq \f(n,m) ≥5＋2 eq \r(\f(6m,n)·\f(n,m)) ＝5＋2 eq \r(6) ， 当且仅当 eq \f(6m,n) ＝ eq \f(n,m) 时，即n2＝6m2，而2m＋n＝1，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2＋\r(6))，,n＝\f(\r(6),2＋\r(6))，)) 此时不等式可取等号．所以 eq \f(m＋1,mn) 的最小值为5＋2 eq \r(6) .故选C. [答案]　C [素养聚焦]　通过解决含有条件的基本不等式的最值问题，把逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中． [规律方法]　(1)本题在解答中要注意使 eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) 取最小值所对应a，b的值也要一并解出来． (2)解含有条件的最值问题，常结合要求最值的式子，采用“配”“凑”的方法，构造成基本不等式的形式，从而得出最值． [触类旁通]　 2．已知x>0，y>0，x＋2y＝2. (1)求xy的最大值； (2)求 eq \f(2,x) ＋ eq \f(1,y) 的最小值． 解析　(1)因为x>0，y>0，所以2＝x＋2y≥2 eq \r(x·2y) ⇒2xy≤1⇒xy≤ eq \f(1,2) (当且仅当x＝1，y＝ eq \f(1,2) 时取等号)，所以xy的最大值为 eq \f(1,2) . (2)因为x>0，y>0，所以 eq \f(1,2) ×2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y))) ＝ eq \f(1,2) (x＋2y) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y))) ＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(x,y)＋\f(4y,x))) ≥ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋2 \r(\f(x,y)·\f(4y,x)))) ＝4(当且仅当x＝1，y＝ eq \f(1,2) 时取等号)，所以 eq \f(2,x) ＋ eq \f(1,y) 的最小值为4. 题型三　基本不等式在实际问题中的应用 　如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成． (1)现有可围36 m长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ [解析]　(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m， 则由条件得4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18， 设每间虎笼面积为S，则S＝xy. 由于2x＋3y≥2 eq \r(2x·3y) ＝2 eq \r(6xy) ， ∴2 eq \r(6xy) ≤18，得xy≤ eq \f(27,2) ， 即S≤ eq \f(27,2) ，当且仅当2x＝3y时，等号成立， 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝18，,2x＝3y，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4.5，,y＝3.)) 故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大． (2)解法一　由条件知S＝xy＝24，设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y. ∵2x＋3y≥2 eq \r(2x·3y) ＝2 eq \r(6xy) ＝24， ∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立． 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＝3y，,xy＝24，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝4.)) 故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小． 解法二　由xy＝24，得x＝ eq \f(24,y) . ∴l＝4x＋6y＝ eq \f(96,y) ＋6y＝6 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,y)＋y)) ≥6×2 eq \r(\f(16,y)·y) ＝48， 当且仅当 eq \f(16,y) ＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6. 故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小． [规律方法]　基本不等式解决实际问题的思路方法 (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数． (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最大值或最小值． (4)回到实际问题中，结合实际意义写出正确的答案． [触类旁通]　 3．某市有关部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为y＝ eq \f(920v,v2＋3v＋1 600) (v＞0). (1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时) (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 解析　(1)由题意y＝ eq \f(920v,v2＋3v＋1 600) ＝ eq \f(920,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(v＋\f(1 600,v)))＋3) ≤ eq \f(920,2\r(v·\f(1 600,v))＋3) ＝ eq \f(920,83) ， 当且仅当v＝ eq \f(1 600,v) ，即v＝40时取等号． ∴ymax＝ eq \f(920,83) ≈11.1(千辆/小时)， ∴当车速v＝40千米/小时时， 车流量最大为11.1千辆/小时． (2)由题意： eq \f(920v,v2＋3v＋1 600) ＞10， 整理得v2－89v＋1 600＜0， 即(v－25)(v－64)＜0，解得25＜v＜64. ∴当车辆平均速度大于25千米/小时且小于64千米/小时时，车流量超过10千辆/小时． [缜密思维提能区]　规范答题 均值不等式的实际应用 【典例】　(13分)某市近郊有一块大约500米×500米的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如下图所示的一个总面积为3 000平方米矩形场地，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米． (1)分别用x表示y和S的函数关系式，并给出x的取值范围； (2)怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值． [规范解答]　(1)由已知xy＝3 000， 所以y＝ eq \f(3 000,x) ，其中x∈(6，500).(2分) S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a， 因为2a＋6＝y， 所以a＝ eq \f(y,2) －3＝ eq \f(1 500,x) －3，(4分) 所以S＝(2x－10)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1 500,x)－3)) ＝3 030－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15 000,x)＋6x)) ， 其定义域是(6，500).(6分) (2)S＝3 030－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15 000,x)＋6x)) ≤3 030－2 eq \r(6x·\f(15 000,x)) ＝3 030－2×300＝2 430，(10分) 当且仅当 eq \f(15 000,x) ＝6x，即x＝50∈(6，500)时， 上述不等式等号成立，此时，x＝50，y＝60， 最大值为2 430.(12分) 当设计x＝50米，y＝60米时，运动场地面积最大， 最大值为2 430平方米．(13分) 知识落实 技法强化 (1)基本不等式的简单应用． (2)基本不等式的实际应用． (1)常用方法：配凑法，整体代换法，构造法． (2)实际应用中应注意变量的取值范围． $$