3.2 第1课时 二次函数和一元二次不等式（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

第3章　不等式 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 目 录 课前案 01 课堂案 02 课后案 03 CONTENTS 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 课前案 必备知识·自主学习 01 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 ≤ a＝b 不小于 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 课堂案 关键能力·互动探究 02 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 谢谢观看 返回目录 第3章　不等式 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 3.2　基本不等式 eq \r(ab) ≤ eq \f(a＋b,2) (a，b≥0) 第1课时　基本不等式 学业标准 素养目标 1．了解基本不等式的证明过程． 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 3．能利用基本不等式求简单函数的最值． 1．借助基本不等式的证明过程，培养直观想象、逻辑推理等核心素养． 2．通过求最值，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学1　基本不等式 　当a，b是实数时，代数式a2＋b2与2ab有大小关系吗？是不是恒成立的关系？ 提示：根据完全平方公式：(a－b)2≥0展开即可得到：a2＋b2≥2ab，而且对一切实数a，b都成立． 　如果a＞0，b＞0，用 eq \r(a) ， eq \r(b) 分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？ 提示：a＋b≥2 eq \r(ab) . 　不等式a2＋b2≥2ab与 eq \r(ab) ≤ eq \f(a＋b,2) 成立的条件相同吗？如果不同各是什么？ 提示：不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R； eq \r(ab) ≤ eq \f(a＋b,2) 成立的条件是a，b均为正实数． 　 eq \f(a＋b,2) ≥ eq \r(ab) 与 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2) ≥ab的等价的吗？ 提示：不等价，前者条件是a＞0，b＞0，后者a，b∈R. ◎结论形成 1．概念：如果a＞0，b＞0，那么 eq \r(ab) ______ eq \f(a＋b,2) ，当且仅当__________时，等号成立．这个不等式称为基本不等式，其中，______叫作正数a，b的算术平均数，__________叫作正数a，b的几何平均数． 2．文字叙述 两个正数的算术平均数__________它们的几何平均数，且当两个正数相等时，两者相等． eq \f(a＋b,2) eq \r(ab) 3．几何背景 AB是圆O的直径，设AC＝a，CB＝b，过点C作CD⊥AB交半圆于点D，连接AD，BD，易知△ACD∽△DCB，故 eq \f(CD,CB) ＝ eq \f(CA,CD) ，得CD＝ eq \r(ab) ，而OD＝ eq \f(a＋b,2) ，且CD≤OD，所以 eq \r(ab) ≤ eq \f(a＋b,2) . 导学2　基本不等式的证明 　除了导学1中的几何背景，你会用其他方法证明基本不等式 eq \r(ab) ≤ eq \f(a＋b,2) (a，b≥0)吗？ 提示：阅读课本P52，掌握用分析法、综合法证明基本不等式的方法． ◎结论形成 eq \r(ab) ≤ eq \f(a＋b,2) (a，b≥0)，ab≤ eq \f(a2＋b2,2) (a，b∈R)，ab≤( eq \f(a＋b,2) )2(a，b∈R)(三个不等式都是当且仅当a＝b时，等号成立)，这三个不等式都可以直接使用． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a＞0，b＞0且a≠b，则a＋b＞2 eq \r(ab) .(　　) (2)若a＞0，b＞0，则ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2) .(　　) (3)a，b同号时， eq \f(b,a) ＋ eq \f(a,b) ≥2.(　　) (4)函数y＝x＋ eq \f(1,x) 的最小值是2.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．不等式 eq \f(9,x－2) ＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　) A．x＝3　　　　　　 B．x＝－3 C．x＝5 D．x＝－5 解析　由基本不等式知等号成立的条件为 eq \f(9,x－2) ＝x－2， 即x＝5(x＝－1舍去). 答案　C 3．已知y＝x＋ eq \f(1,x) －2(x＜0)，则y有(　　) A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 解析　∵x＜0， ∴y＝－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－x）＋\f(1,（－x）))) －2≤－2－2＝－4. 当且仅当－x＝ eq \f(1,－x) ，即x＝－1时取等号． 答案　C 4．若x2＋y2＝4，则xy的最大值为____________． 解析　xy≤ eq \f(x2＋y2,2) ＝2，当且仅当x＝y时取“＝”． 答案　2 题型一　对基本不等式的理解 　给出下面四个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴ eq \f(b,a) ＋ eq \f(a,b) ≥2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b)) ＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴ eq \f(4,a) ＋a≥2 eq \r(\f(4,a)·a) ＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0，∴ eq \f(x,y) ＋ eq \f(y,x) ＝－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x))))) ≤－2 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x)))) ＝－2. 其中正确的推导为(　　) A．①②　 　　 B．①③ C．②③ D．①②③ [解析]　①∵a，b为正实数，∴ eq \f(b,a) ， eq \f(a,b) 为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确． ②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件， ∴ eq \f(4,a) ＋a≥2 eq \r(\f(4,a)·a) ＝4是错误的． ③由xy＜0，得 eq \f(x,y) ， eq \f(y,x) 均为负数，但在推导过程中将整体 eq \f(x,y) ， eq \f(y,x) 提出负号后， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y))) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x))) 均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确． [答案]　B [规律方法]　(1)基本不等式 eq \f(a＋b,2) ≥ eq \r(ab) (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系． (2)对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面 ①定理成立的条件是a，b都是正数． ②“当且仅当”的含义：当a＝b时， eq \f(a＋b,2) ≥ eq \r(ab) 的等号成立，即a＝b⇒ eq \f(a＋b,2) ＝ eq \r(ab) ；仅当a＝b时， eq \f(a＋b,2) ≥ eq \r(ab) 的等号成立，即 eq \f(a＋b,2) ＝ eq \r(ab) ⇒a＝b. [触类旁通]　 1．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是(　　) A．a＞b＞ eq \f(a＋b,2) ＞ eq \r(ab) 　 B．a＞ eq \f(a＋b,2) ＞ eq \r(ab) ＞b C．a＞ eq \f(a＋b,2) ＞b＞ eq \r(ab) D．a＞ eq \r(ab) ＞ eq \f(a＋b,2) ＞b 解析　a＝ eq \f(a＋a,2) ＞ eq \f(a＋b,2) ＞ eq \r(ab) ＞ eq \r(b·b) ＝b， 因此只有B项正确． 答案　B 题型二　利用基本不等式比较大小 　已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是(　　) A．a＋b≥2 eq \r(ab) B． eq \f(b,a) ＋ eq \f(a,b) ≥2 C． eq \f(a2＋b2,\r(ab)) ≥2 eq \r(ab) D． eq \f(2ab,a＋b) ≥ eq \r(ab) [解析]　由 eq \f(a＋b,2) ≥ eq \r(ab) 得a＋b≥2 eq \r(ab) ， ∴A成立； ∵ eq \f(b,a) ＋ eq \f(a,b) ≥2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b)) ＝2，∴B成立； ∵ eq \f(a2＋b2,\r(ab)) ≥ eq \f(2ab,\r(ab)) ＝2 eq \r(ab) ，∴C成立； ∵ eq \f(2ab,a＋b) ≤ eq \f(2ab,2\r(ab)) ＝ eq \r(ab) ，∴D不一定成立． [答案]　D [规律方法]　(1)在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件． (2)运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2 eq \r(ab) 成立的条件是a＞0，b＞0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. [触类旁通]　 2．(多选)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　) A．a2＋b2≥ eq \f(1,2) B．ab≥ eq \f(1,4) C． eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ≥4 D． eq \r(a) ＋ eq \r(b) ≤ eq \r(2) 解析　由已知a>0，b>0，且a＋b＝1， 则a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，当且仅当a＝b时取等号， 即a2＋b2≥ eq \f(（a＋b）2,2) ＝ eq \f(1,2) ，当且仅当a＝b＝ eq \f(1,2) 时取等号，A正确； 由于a>0，b>0，且a＋b＝1，则a＋b≥2 eq \r(ab) ， ∴ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up18(2) ＝ eq \f(1,4) ， 当且仅当a＝b＝ eq \f(1,2) 时取等号，B错误； 由以上分析可得 eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＝ eq \f(a＋b,ab) ≥ eq \f(2\r(ab),ab) ＝ eq \f(2,\r(ab)) ≥ eq \f(2,\r(\f(1,4))) ＝4， 当且仅当a＝b＝ eq \f(1,2) 时取等号，故 eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ≥4成立，C正确； 由A的分析可得( eq \r(a) ＋ eq \r(b) )2≤2(a＋b)＝2， ∴ eq \r(a) ＋ eq \r(b) ≤ eq \r(2) ， 当且仅当a＝b＝ eq \f(1,2) 时取等号，D正确．故选ACD. 答案　ACD 题型三　利用基本不等式证明不等式 　设a，b，c都是正数，试证明不等式： eq \f(b＋c,a) ＋ eq \f(c＋a,b) ＋ eq \f(a＋b,c) ≥6. [解析]　因为a＞0，b＞0，c＞0，所以 eq \f(b,a) ＋ eq \f(a,b) ≥2， eq \f(c,a) ＋ eq \f(a,c) ≥2， eq \f(b,c) ＋ eq \f(c,b) ≥2，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b))) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c))) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)＋\f(c,b))) ≥6，当且仅当 eq \f(b,a) ＝ eq \f(a,b) ， eq \f(c,a) ＝ eq \f(a,c) ， eq \f(c,b) ＝ eq \f(b,c) ，即a＝b＝c时，等号成立．所以 eq \f(b＋c,a) ＋ eq \f(c＋a,b) ＋ eq \f(a＋b,c) ≥6. [规律方法]　 利用均值不等式证明不等式时应注意的问题 (1)多次使用a＋b≥2 eq \r(ab) 时，要注意等号能否成立，累加是不等式性质的应用，也是证明不等式常使用的方法． (2)对不能直接使用基本不等式的证明，要重新组合，构造运用基本不等式的条件，若条件中有一个多选式的和为“1”，要注意“1”的代换． [触类旁通]　 3．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 证明　由基本不等式可得a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2， 同理，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2， ∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2， 从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. [缜密思维提能区]　易错案例 利用基本不等式求简单函数的最值 【典例】　求函数y＝x＋ eq \f(4,x＋2) ，x∈(－2，＋∞)的最小值． [失分案例]　y＝x＋ eq \f(4,x＋2) ≥2 eq \r(x·\f(4,x＋2)) ， 令x＝ eq \f(4,x＋2) ，得x＝ eq \r(5) －1， (另一解x＝－ eq \r(5) －1舍去)代回， y的最小值是 eq \r(5) －1＋ eq \f(4,\r(5)－1＋2) ＝2 eq \r(5) －2. [纠错心得]　产生错误的原因，是对基本不等式满足条件的不理解．应该首先保证参与基本不等式的两个代数式全是正实数，然后求和的最小值时，应该是先有乘积为定值，然后令两个代数式相等，求出对应的自变量x.同样的，求乘积的最大值时，应该先有和为定值，然后运用基本不等式的变形式ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up18(2) 求出最大值，最后令两个代数式相等，求出对应的自变量x. [解析]　因为x∈(－2，＋∞)，所以x＋2＞0， 由基本不等式，得： x＋ eq \f(4,x＋2) ＝x＋2＋ eq \f(4,x＋2) －2≥ 2 eq \r(（x＋2）·\f(4,x＋2)) －2＝2， 当且仅当x＋2＝ eq \f(4,x＋2) ，即 x＝0时，等号成立．因此， 当x＝0时，函数有最小值2. 知识落实 技法强化 (1)基本不等式的推导与证明． (2)基本不等式的简单应用． (1)基本不等式解题时，应验证“一正二定三相等”． (2)两次运用基本不等式时，等号成立的两个方程应该有解． $$