2.1第1课时　不等关系与不等式-2024-2025学年高一上学期必修第一册数学同步学案（自主预习+题型研析+当堂温习+分层练习）（人教2019A版专用）

2.1第1课时　不等关系与不等式（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】用不等式(组)表示不等关系 2 【题型二】实数(式)的比较大小 4 【题型三】重要不等式a2＋b2≥2ab的应用 5 【当堂温习】 5 【分层练习】 6 考试要求： 1.通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景. 素养要求： 通过运用不等式(组)表示实际问题的不等关系及比较两个实数的大小提升数学抽象及数学运算素养. 自主预习 一、不等关系与不等式 (1)在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，常用不等式来研究含有不等关系的问题. (2)用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示不等关系.“a≠b”应包含“a>b”或“a<b”. 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号 语言 > < ≥ ≤ 二、两个实数的大小关系 两个实数大小的基本事实 依据 a>b⇔a－b>0 a＝b⇔a－b＝0 a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 三、不等式：∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 题型研析 【题型一】用不等式(组)表示不等关系 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为（   ） A．且 B．或 C．且 D．或 2．（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 二、多选题 3．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）若满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表 矩形 菱形 圆 总数 A 5 3 10 55 B 12 6 13 125 该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米． 6．（22-23高二下·辽宁铁岭·期末）李明经营一家水果店，为增加销量，李明制定了两种促销方案．方案一：一次购买水果的总价达到100元，顾客就少付x元．方案二：每笔订单按八折销售．在促销活动中，某顾客购买水果的总价为120元，该顾客通过计算发现选择方案二所付金额不高于选择方案一所付金额，则x的最大值为 元． 解题策略： 用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语. (2)适当的设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式(组). 【题型二】实数(式)的比较大小 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·天津和平·开学考试）已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 3．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽亳州·阶段练习）给定下列推导过程，错误的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高一上·全国·随堂练习）若，设，，则M，N的大小关系是 ． 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知a，，记，，则M与N的大小关系是 ． 解题策略： 1.作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤 第一步：作差并变形，通常将差化为完全平方和或多个因式积的形式. 第二步：判断差值与零的大小关系. 第三步：得出结论. 2.对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小. 【题型三】重要不等式＋≥2的应用 一、单选题 1．（24-25高三上·甘肃兰州·开学考试）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若,，则 2．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）已知实数m，n，p满足，且，则下列说法正确的是（） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·安徽·期末）已知，则下列结论成立的是（） A． B．若．则 C．若，则 D． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 5．（24-25高一上·上海·随堂练习），则 ． 6．（24-25高一上·上海·课后作业）设，，，则，，，的大小顺序是 ． 解题策略： 1.比较两数的大小或证明不等式，最基本的方法是作差比较法，其关键是作差变形，判断差的符号. 2.a2＋b2≥2ab对于任意实数a，b均成立，当且仅当a＝b时，取“＝”. 当堂温习 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为（    ） A． B． C． D． 2．（2018高二下·全国·专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 二、多选题 3．（23-24高一上·福建福州·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 4．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入（单位：元）不高于2000元可表示为“” B．小明的体重为kg，小华的体重为 kg，则小明比小华重表示为“” C．某变量至少为可表示为“” D．某变量不超过可表示为“” 三、填空题 5．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 6．（24-25高一上·上海·假期作业）（1） ;    （2） ; （3） ;      （4） ,; （5） 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·北京·开学考试）若且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江西赣州·期中）已知实数，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）如果，，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高三上·广东梅州·开学考试）若，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·浙江·期中）已知，下列选项中是“”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知，，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（2023·云南昆明·一模）人体的正常温度大约是36℃，当人体温度超过正常温度的时认定为高烧，则高烧温度℃应满足的不等关系式是 . 9．（21-22高一·全国·课后作业）比较两个实数大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有： ； ； 另外，若，则有；；. 10．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知，则 .（填“”，“”，或“”） 四、解答题 11．（23-24高一·全国·课堂例题）在日常生活中，我们经常看到下列标志： (1)你知道各图中的标志有何作用？其含义是什么吗？ (2)你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？ 12．（24-25高一上·上海·单元测试）已知且，比较与的大小． 【能力篇】 一、单选题 1．（23-24高一上·福建泉州·期中）体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 二、多选题 2．（21-22高一上·江苏镇江·期末）对于实数，，，正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 三、填空题 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）比较大小： ． 四、解答题 4．（23-24高一·上海·课堂例题）已知是实数， (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)求证：如果，那么. 【培优篇】 一、单选题 1．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 二、多选题 2．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．对任意实数， B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 3．（23-24高一上·广东广州·期末）两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1第1课时　不等关系与不等式（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】用不等式(组)表示不等关系 2 【题型二】实数(式)的比较大小 6 【题型三】重要不等式a2＋b2≥2ab的应用 8 【当堂温习】 11 【分层练习】 14 考试要求： 1.通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景. 素养要求： 通过运用不等式(组)表示实际问题的不等关系及比较两个实数的大小提升数学抽象及数学运算素养. 自主预习 一、不等关系与不等式 (1)在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，常用不等式来研究含有不等关系的问题. (2)用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示不等关系.“a≠b”应包含“a>b”或“a<b”. 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号 语言 > < ≥ ≤ 二、两个实数的大小关系 两个实数大小的基本事实 依据 a>b⇔a－b>0 a＝b⇔a－b＝0 a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 三、不等式：∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 题型研析 【题型一】用不等式(组)表示不等关系 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为（   ） A．且 B．或 C．且 D．或 2．（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 二、多选题 3．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）若满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表 矩形 菱形 圆 总数 A 5 3 10 55 B 12 6 13 125 该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米． 6．（22-23高二下·辽宁铁岭·期末）李明经营一家水果店，为增加销量，李明制定了两种促销方案．方案一：一次购买水果的总价达到100元，顾客就少付x元．方案二：每笔订单按八折销售．在促销活动中，某顾客购买水果的总价为120元，该顾客通过计算发现选择方案二所付金额不高于选择方案一所付金额，则x的最大值为 元． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A C ABD BC 1．A 【分析】直接根据速度与车距的限制列不等式即可. 【详解】由速度v的最大值为120km/h，故， 由车间距d不得小于10m，故， 即有且. 故选：A. 2．C 【分析】利用不等式表示不等关系逐个选项判断即可. 【详解】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错. 故选：C 3．ABD 【分析】令，代入已知条件，再由判别式可求得的范围，从而可判断A,B选项，将已知条件变形为，再由均值不等式可得的范围，再利用代入法并化简即可判断C,D选项. 【详解】令，即，代入可得： . 所以, 解得 , 所以 A 正确. B 正确； 由 可变形为 , 因为 , 将代入上式可得： , 解得 , 所以不正确, D正确. 故选：. 4．BC 【分析】根据题意直接列不等式即可求解. 【详解】因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模板需要3张A薄板，每个圆模板需要10张A薄板，且共有55张A薄板， 所以， 因为每个矩形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄板， 所以. 故选：BC. 5． 【分析】根据已知条件列不等式，从而求得正确答案. 【详解】设改造前的窗户面积为，窗户增加的面积为，， 依题意，即， 所以改造前的窗户面积最大为平方米. 故答案为： 6．24 【分析】根据条件比较两种方案所付的金额，即可求解. 【详解】由题意可得％，解得． 所以的最大值为元. 故答案为： 解题策略： 用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语. (2)适当的设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式(组). 【题型二】实数(式)的比较大小 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·天津和平·开学考试）已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 3．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽亳州·阶段练习）给定下列推导过程，错误的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高一上·全国·随堂练习）若，设，，则M，N的大小关系是 ． 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知a，，记，，则M与N的大小关系是 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C A ACD ACD 1．C 【分析】对ABD举反例即可判断，对C利用作差法即可判断. 【详解】对A，当时，不等式不成立，所以A不正确； 对B，当时，满足，但，所以B不正确； 对C，因为，因为，且，可得，所以，所以C正确； 对D，举例，则，则，所以D不正确. 故选：C. 2．A 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，， 故，即成立，则成立； 当时，，但推不出成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 3．ACD 【分析】作差比较大小可以判断AD；作商比较大小可以判断BC. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，，所以，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 4．ACD 【分析】根据不等式的性质逐项判断. 【详解】对于A：只有当时，才成立，故A错误； 显然，B正确； 对于：只有当且时，才成立，故C错误； 对于D：当时，，故D错误. 故选：ACD. 5． 【分析】根据题意结合作差法分析判断. 【详解】因为，， 则， 且，则， 可得，即. 故答案为：. 6． 【分析】直接由作差法即可比较大小. 【详解】因为，且a，， 所以． 故答案为：. 解题策略： 1.作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤 第一步：作差并变形，通常将差化为完全平方和或多个因式积的形式. 第二步：判断差值与零的大小关系. 第三步：得出结论. 2.对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小. 【题型三】重要不等式＋≥2的应用 一、单选题 1．（24-25高三上·甘肃兰州·开学考试）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若,，则 2．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）已知实数m，n，p满足，且，则下列说法正确的是（） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·安徽·期末）已知，则下列结论成立的是（） A． B．若．则 C．若，则 D． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 5．（24-25高一上·上海·随堂练习），则 ． 6．（24-25高一上·上海·课后作业）设，，，则，，，的大小顺序是 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 D B AC ABC 1．D 【分析】通过举反例排除A,B两项；利用作差法判断C项，结论错误；运用不等式的性质可推理得到D项结论. 【详解】对于A，若，当时，则，故A错误； 对于B，若，满足，但，故B错误； 对于C，因，，由，可得，故C错误； 对于D，由，得，因，则，故D正确． 故选：D． 2．B 【分析】根据题意,将所给等式变形,得到,推导出,然后利用作差法比较大小,结合二次函数的性质证出,从而得出正确结论. 【详解】因为, 移项得, 所以, 可得, 由,得, 可得, 可得. 综上所述,不等式成立, 故选:B. 3．AC 【分析】对于A,用作差法比较大小即可；对于B,举特殊情况即可判断；对于C,用作差法比较即可；对于D,用作差法比较即可. 【详解】对于,因为,所以, 即,，即故，故正确; 对于,若则,故错误; 对于,即,故正确; 对于,,故错误. 故选:. 4．ABC 【分析】由不等式的性质直接判断A，由作差法判断BC，举反例判断D. 【详解】对于A，若，则，否则，矛盾，所以，所以，故A正确； 对于B，若，则，即，故B正确； 对于C，若，则， 因为当且仅当，所以显然不可能（因为）， 所以，所以，即，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：ABC. 5． 【分析】通过作差法即可判断. 【详解】由作差法得， 所以. 故答案为：. 6． 【分析】方法一：利用特殊值法，方法二：作差法，两两作差比较大小. 【详解】方法一：特殊值法  取，，，， 则，，，，则． 方法二：作差法 因为，，，所以， 所以， 所以． 因为，，， 所以，， 所以，，所以． 或，所以． ，所以． 所以． 故答案为： 解题策略： 1.比较两数的大小或证明不等式，最基本的方法是作差比较法，其关键是作差变形，判断差的符号. 2.a2＋b2≥2ab对于任意实数a，b均成立，当且仅当a＝b时，取“＝”. 当堂温习 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为（    ） A． B． C． D． 2．（2018高二下·全国·专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 二、多选题 3．（23-24高一上·福建福州·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 4．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入（单位：元）不高于2000元可表示为“” B．小明的体重为kg，小华的体重为 kg，则小明比小华重表示为“” C．某变量至少为可表示为“” D．某变量不超过可表示为“” 三、填空题 5．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 6．（24-25高一上·上海·假期作业）（1） ;    （2） ; （3） ;      （4） ,; （5） 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C C BCD BCD 1．C 【分析】根据非正数含义即可得到答案. 【详解】因为非正数小于等于0，则能表示“a与b的和是非正数”的不等式为. 故选：C. 2．C 【分析】应用作商法比较的大小关系即可. 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 3．BCD 【分析】利用不等式的性质一一判定选项即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，可知，不等式两侧同乘以，有，故B正确； 对于C，利用作差法知， 由，，知， 即，故C正确； 对于D，由，知，由不等式同向可加性的性质知D正确. 故选：BCD 4．BCD 【分析】根据实际问题中的不等关系的不等式表达判断可得. 【详解】某人月收入（单位：元）不高于2000元可表示为“”，故A错误； 小明的体重为kg，小华的体重为 kg，则小明比小华重表示为“”，故B正确； 某变量至少为可表示为“”，故C正确； 某变量不超过可表示为“”，故D正确. 故选：BCD 5． 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 6． < < < > > 【分析】利用作差法和分母有理化的方法即可比较大小. 【详解】（1）因为, 所以; （2）因为, 所以; （3）因为, 所以; （4）, 因为,所以, 则; （5）, 因为,所以, 则. 故答案为:（1）;（2）;（3）;（4）;（5）. 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·北京·开学考试）若且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江西赣州·期中）已知实数，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）如果，，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高三上·广东梅州·开学考试）若，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·浙江·期中）已知，下列选项中是“”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知，，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（2023·云南昆明·一模）人体的正常温度大约是36℃，当人体温度超过正常温度的时认定为高烧，则高烧温度℃应满足的不等关系式是 . 9．（21-22高一·全国·课后作业）比较两个实数大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有： ； ； 另外，若，则有；；. 10．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知，则 .（填“”，“”，或“”） 四、解答题 11．（23-24高一·全国·课堂例题）在日常生活中，我们经常看到下列标志： (1)你知道各图中的标志有何作用？其含义是什么吗？ (2)你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？ 12．（24-25高一上·上海·单元测试）已知且，比较与的大小． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B C B C AB ABC BD 1．B 【分析】根据已知列出不等式，化简即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以有. 故选：B. 2．C 【分析】根据作差法判断C；结合不等式的基本性质举例说明即可判断ABD. 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，，不成立，故B错误； C：， 因为，所以，得，即，故C正确； D：当时，满足，，不成立，故D错误. 故选：C 3．B 【分析】通过作差比较法可得排除A，通过举反例排除C,D两项即得. 【详解】对于A，B，由可得， 则由可得，即A错误，B正确； 对于C, D,不妨取，满足，但，故 C, D均错误. 故选：B． 4．C 【分析】由不等式的性质逐一判断即可求解. 【详解】如果，， 对于A，，，故A错误； 对于B，，即，故B错误； 对于C，，即，故C正确； 对于D，，即，故D错误. 故选：C. 5．AB 【分析】采用作差法可知AB正确；通过反例可说明CD错误. 【详解】对于A，， ，，， ，即，A正确； 对于B，， ，，， ，即，B正确； 对于C，当，，，时，，C错误； 对于D，当，，，时，，D错误. 故选：AB. 6．ABC 【分析】由不等式的性质判断AD，由作差法判断BC即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A符合题意； 对于B，因为，所以，所以，即，故B符合题意； 对于C，因为，所以，即，故C符合题意； 对于D，取，但有，故D不符合题意. 故选：ABC. 7．BD 【分析】举例说明判断AC；利用不等式性质推理判断BD. 【详解】对于A，取，满足，取，有，A错误； 对于B，由，得，而，因此，B正确； 对于C，取，，C错误； 对于D，由，得，因此，D正确. 故选：BD 8． 【分析】根据题目所给已知条件列出不等关系式. 【详解】依题意，. 故答案为： 9． 【详解】略 10． 【分析】借助作差法计算即可得. 【详解】，故. 故答案为：. 11．(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）①最低限速：限制行驶速度不得低于50 km/h； ②限制质量：装载总质量G不得超过10 t； ③限制高度：装载高度h不得超过3.5 m； ④限制宽度：装载宽度a不得超过3 m； ⑤时间范围：． （2）能，表示如下：①；②；③；④；⑤. 12．答案见解析 【分析】利用作差法比较大小，在定号时，需要进行分类讨论. 【详解】∵， ∴当时，，，则，即； 当时，，，则，即． 综上，时，；时，． 【能力篇】 一、单选题 1．（23-24高一上·福建泉州·期中）体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 二、多选题 2．（21-22高一上·江苏镇江·期末）对于实数，，，正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 三、填空题 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）比较大小： ． 四、解答题 4．（23-24高一·上海·课堂例题）已知是实数， (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)求证：如果，那么. 参考答案： 题号 1 2 答案 D ABD 1．D 【分析】根据题意列出不等式组，解出符合题意的组合即可. 【详解】设购买的篮球个数为，足球个数为，且， 根据题意可得， 解得符合题意的有序实数对可以是， 共5种不同的购买方式. 故选：D 2．ABD 【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可. 【详解】对选项A，因为，所以，， 所以，故A正确； 对选项B，，，所以， 因为，所以，即，故B正确； 对选项C，令，，满足，不满足，. 对选项D，因为，， 所以，故D正确. 故选：ABD 3．＞ 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：>. 4．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用配方法即可得证； （2）利用作差法，结合（1）中结论即可得证. 【详解】（1）因为， 当且仅当，即时，等号成立； （2）因为，则，又（等号不成立）， 所以，故. 【培优篇】 一、单选题 1．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 二、多选题 2．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．对任意实数， B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 3．（23-24高一上·广东广州·期末）两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”） 参考答案： 题号 1 2 答案 C BC 1．C 【分析】设A、B货箱分别有x，y节，则，结合已知判断各选项是否能够装运所有货物即可． 【详解】设A、B货箱分别有x，y节，则， A：共50节且，，满足； B：共50节且，，满足； C：共50节且，，不满足； D：共50节且，，满足； 故选：C. 2．BC 【分析】取特例判断A，根据不等式的性质判断BC，利用作差法判断D. 【详解】对A，当时，不成立，故A错误； 对B，由可得，又，所以可得， 故B正确； 对C，因为，，可得，所以，故C正确； 对D，，又因为，， 所以的符号不确定，故符号不确定，故D错误. 故选：BC 3．乙 【分析】由题意依次将两种策略两次购买物品的平均价格表示出来，用作差法比较大小即可. 【详解】设甲策略每次买件物品，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数为元， 则甲策略两次购买物品的平均价格为，乙策略两次购买物品的平均价格为， 所以，即， 所以乙种购物策略比较经济. 故答案为：乙. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$