第一章 勾股定理（单元重点综合测试）　2024—2025学年北师大版数学八年级上册

第一章 勾股定理（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册（北师大版） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在中，，，则（    ） A． B． C． D．6 2．下列三个数中，能组成一组勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．12，15，9 D．，， 3．如图，点P是以A为圆心，AB为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点P表示的实数是（    ） A．－2 B． C． D． 4．如图，在△ABC中，三边a、b、c的大小关系是（　　） A．a<b<c B．c<a<b C．c<b<a D．b<a<c 5．如图所示，一矩形公园中有一圆形湖，湖心O恰在矩形的中心位置，若测得AB=600m，BC=800m，则湖心O到四个顶点的距离为（　　） A．300m B．400m C．500m D．600m 6．如图，一个底面圆周长为24m，高为5m的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A到点B所经过的最短路线长为（　　） A．12m B．15m C．13m D．9.13m 7．如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是（    ） A．20米 B．18米 C．16米 D．15米 8．如图，将一根长30cm的筷子，置于底面直径为10cm，高24cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，则h的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝125，S3＝46，则S2＝（　　） A．171 B．79 C．100 D．81 10．《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形ABCDE，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图，延长MN交①于点G． 用两种不同的方法表示五边形ABCDE的面积S： 方法一：将五边形ABCDE看成是由正方形AFDE与△ABF，△CDF拼成，则S＝②． 方法二：将五边形ABCDE看成是由③，正方形CDNG，△AME，△DEN拼成，根据面积相等可以得到④，进而通过化简验证得出勾股定理． 则下列说法错误的是（　　） A．①代表BC B．②代表c2+ab C．③代表正方形AFDE D．④代表c2+ab＝a2+b2+ab 二、填空题 11．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，则CD= ． 12．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的边长分别为5和12，则b的面积为 . 13．《九章算术》勾股卷有一题目：今有垣高六尺，依木于垣，上于垣齐．引木却行二尺，其木至地，问木长几何?意思是：如图，一道墙高6尺，一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平．若木棒下端向右滑，则木棒上端会随着往下滑，当木棒下端向右滑2尺到D处时，木棒上端恰好落到地上B处，则木棒长 尺．    14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为 　 　． 15．连接正方形四边中点所构成的正方形，我们称其原正方形的中点正方形，如图，已知正方形ABCD的中点正方形是A1B1C1D1，再作正方形A1B1C1D1的中点正方形A2B2C2D2，…这样不断地作下去，第n次所做的中点正方形AnBn∁nDn，若正方形ABCD的边长为1，则第10次所作的中点正方形边长为　 　，若设中点正方形AnBn∁nDn的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S10＝　 　． 三．解答题 16．（8分）（2024春•道县校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，求CE的长． 17．（8分）（2024春•瑶海区校级期中）（1）如图，在△ABC中，AD⊥BC，求证：AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2； （2）在△ABC中，AB＝8，AC＝5，BC边上的高AD＝4，求边BC的值． 18．（10分）（23-24八年级下·河北廊坊·期末）我们知道，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．通过观察常见勾股数“6，8，10”“8，15，17”……猜想一组正整数a，b，，当最小数a为偶数时，另两个正整数b和c满足，，则a，b，c是一组勾股数． （1）根据猜想，一组正整数中，最小数a为10，则另两个数分别是__________，__________； （2）请再举一例证明猜想成立． 19．（10分）（八年级上·江苏泰州·期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：． 证明：， 又S四边形， ． 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 20．（10分）（23-24八年级下·山东滨州·期末）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： （1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理． （2）如图2，在中，是边上的高，，求的长度； （3）如图1，若一个直角三角形的面积为54，，求中间小正方形的边长． 21.如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度向北偏东航行，乙船以海里时的速度航行。小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若、两船相距海里，问乙船沿哪个方向航行？ ‍ 22．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米． （1）求证：CD⊥AB； （2）求原来的路线AC的长； 学科网（北京）股份有限公司 $$