专题1.5二次函数实际应用中的项目化设计方案5大压轴问题-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（浙教版）

专题1.5二次函数实际应用中的项目化设计方案问题 目录 类型一、二次函数实际应用的方案设计：面积问题 1 类型二、二次函数实际应用的方案设计：销售问题 3 类型三、二次函数实际应用的方案设计：拱桥问题 4 类型四、二次函数实际应用的方案设计：投球问题 5 类型五、二次函数实际应用的方案设计：喷水问题 6 压轴能力测评（精选浙江地区阶段考真题） 7 类型一、二次函数实际应用的方案设计：面积问题 【例1】（23-24九年级上·浙江温州·期中）根据素材回答问题： 素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路，，中间有一正方形水池，已知水池的边长为4米，，，且与的距离为10米，与的距离为8米．    素材2 现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计． 任务1 任务2 小明同学按如图2的设计，若米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）．      若按如图3、如图4设计方案，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．    项目反思 如果栅栏不一定与墙面垂直（或平行），你还能设计出比以上方案面积更大的花圃吗？某学习小组在探究的过程中，设计了方案如图5，你认为图5的最大面积与以上方案比较，哪个更大，请通过计算说明．    类型二、二次函数实际应用的方案设计：销售问题 【例2】（23-24·浙江温州·阶段练习）根据素材回答问题： 素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路，中间有一正方形水池，已知水池的边长为4米，，且与的距离为10米，与的距离为8米． 素材2 现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计．                              任务1 小明同学按如图2的设计，若米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）． 任务2 若按如图3设计方案，点C，D，H三点共线，点G在上，当花圃的面积（不包含水池的面积）为时，求的长． 任务3 学习小组在探究的过程中还发现按如图3设计方案，当的长是____________，围成的花圃（不包含水池）的最大面积是____________． 类型三、二次函数实际应用的方案设计：拱桥问题 【例3】（23-24·浙江宁波·期末）根据以下素材，探索完成任务． 设计彩虹桥中彩色灯带的悬挂方 素材一 图1是一座隐藏在漳州城市中的“彩虹桥”，也是近年来比较热门的网红打卡点，它由200多个铁架和2400多个灯笼组成． 如图2，每个铁架的横截面可以分为3段，其中是固定支架，分别与地面垂直，主体支架可近似看作一段抛物线，最高点离地面的距离是，，． 素材二 由于灯笼颜色比较单一，街道准备把灯笼替换成长度为的彩色灯带，沿抛物线（主体支架）安装（如图3），且相邻两条灯带安装点的水平间距为．为了安全起见，灯带底部与地面的距离不低于．灯带安装好后成轴对称分布． 问题解决 任务一 确定主体支架的形状 请在图2中以点A为原点建立平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式． 任务二 探究安装范围 在安全前提下，在任务一的坐标系中，确定灯带安装点的横坐标取值范围． 任务三 拟定设计方案 在同一个横截面下，最多能安装几条灯带？并求出此时最右边灯带安装点的坐标． 类型四、二次函数实际应用的方案设计：投球问题 【例4】（23-24九年级上·浙江·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务． 如何确定防守方案？ 素材1 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线．攻球员位于，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，已知，． 素材2 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为水平距离（水平距离=水平速度×时间）与离地高度的鹰眼数据如右表． 守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … 9 12 15 18 21 … … 5 … 问题解决 任务1 确定运动轨迹 求关于的函数表达式． 任务2 探究防守方案 若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． 任务3 拟定执行计划 求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度． 类型五、二次函数实际应用的方案设计：喷水问题 【例5】（23-24·浙江宁波·期末）根据以下素材， 探索完成任务． 喷泉中的数学问题 素材 1 某游乐场的圆形喷水池中心 有一喷水管 ， 米，从 点向四周喷水，喷出的水柱为 抛物线且形状相同． 如图，以水平方向为 轴， 点 为原点建立平面直角坐标系，点 在 轴 上，已知在与池中心 点水平距离为 2 米时， 水柱达到最高，此时高度为 1.5 米． 素材 2 现重新改建喷泉， 升高喷水管， 使落水点与喷水 管距离 5 米， 已知喷水管升高后， 喷水管喷出的 水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点 2 米处达到最高． 问题解决 任务 1 确定水柱形状 根据素材 1 ，求水柱所在的抛物线(第一象限部分)的函数表达式． 任务 2 探究喷水高度 改建前， 身高为 1.67 米的小明站在距离喷水管3米处， 他会被喷到吗？ 任务 3 确定设计方案 根据素材 2，喷水管 要升高多少？ 压轴能力测评（精选浙江地区阶段考真题） 1．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】如何设计纸盒？ 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动． 请你尝试帮助他们解决相关问题． 素材1 利用一边长为的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒    素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．    【尝试解决问题】 任务1．初步探究：折一个底面积为无盖纸盒，求剪掉的小正方形的边长为多少？ 任务2．折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 2．（23-24·浙江温州·阶段练习） 草苺销售问题 素材1 草莓是一种具有丰富营养和独特风味的水果，被誉为“水果皇后”．近期，“富兴”草莓园的草苺已成熟，可以进行采摘销售．销售渠道除了直接销售到城区外，还可以让市民去草苺园区内采摘购买． 素材2 今年4月第三周，该草莓园在城区和园区内的销售价格分别是15元/千克和20元/千克，一共销售了1000千克，销售总收入为17000元． 素材3 为了促进销量，进而增加销售收入，该草苺园决定4月第四周将城区每千克售价降低 元，园区内每千克售价打9折，预计城区和园区内的销量将分别比第三周增加和． 问题解决 任务1 该草苺园今年4月第三周城区和园区内分别销售了多少千克草苺？ 任务2 若该草苺园今年4月第四周销售总额为元，请你用含的代数式表示． 任务3 若预计该草苺园今年4月第四周销售收入为20280元，求的值． 3．（23-24·浙江杭州·期中）根据以下素材，完成探索任务： 如何制定商店的销售定价方案 素材1 商品成本：100元/件，每天进货120件，并且全部卖出；商品有A，B两种包装，目前的售价和日销量如表：           A包装 B包装 售价（元/件） 112 108 日销售量（件） 40 80         素材2 为了增加盈利，该商店准备降低A包装商品的售价，同时提高B包装商品的售价．通过市场调研发现，在一定范围内，A包装商品售价每降低1元可多卖出2件，B包装商品售价每提高1元就少卖出2件．商店发现若按照当前的总销量销售A，B两种包装商品，最大总利润为1264元． 素材3 销售一段时间后，商店发现若减少A，B两种包装商品的总销量，A，B两种包装商品的销售总利润反而有所增长．为进一步增加盈利，商店决定将A，B两种包装商品的总销量减少10件． 任务1 探究商品销量：设每件A包装商品售价降低x元（x为整数），则A包装商品每日的总销售量为 件；设每件B包装商品售价提高y元（y为整数），则B包装商品每日的总销售量为 件． 任务2 探究商品售价：在每日A，B两种包装商品的总销量为120件的前提下，为使总利润达到最大，试求出此时A，B两种包装商品的售价． 任务3 确定定价方案：请设计一种A，B两种包装商品的定价方案，使一天的销售总利润超过1430元．（直接写出方案即可） 4．（23-24·浙江温州·期中）根据以下信息，探索完成任务． 如何制定销售方案？ 素材1 某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天其他成本费用为600元（水费、电费和人工费用等），为了便于结算，每份套餐的售价设为（元），且为整数，该店每天的利润设为（元）． 素材2 试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份． 素材3 经周边餐馆的考察，该快餐店决定套餐的最高价格不超过15元． 问题解决 任务1 分析数量关系 （1）若每份套餐售价不超过10元，直接写出与的函数关系式为________． （2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价定为多少元时，既能保证利润，又能吸引顾客：若不能，说明理由． 任务2 制定最优销售方案 （3）若要使每天利润达到最高，又能吸引顾客，则每份套餐的售价定为多少元，并求出最高利润． 5．（2024·广东深圳·模拟预测）请阅读信息，并解决问题： 问题 芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品 查询信息 深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米．    处理信息 如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图，，分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端，位于线段上，且．一根琴弦固定在拱的对称轴处，其余16根琴弦对称固定在两侧，每侧各8根．记离拱端最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，为第9根， 测量数据 测得上桥起点与拱端水平距离为20米，最靠近拱端的“琴弦” 高9米，与之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为米． 解决问题 任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 任务2：求琴弦与拱端的水平距离及的值． 任务3：若需要在琴弦与之间垂直安装一个如图所示高为的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？ 6．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）利用素材解决：《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽，称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 任务一 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆 的半径． 设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式． 任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两座桥梁． 7．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计击球线路的方案 素材1 数学兴趣小组运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，兴趣小组对击球线路进行探索，如图1，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上，且．    素材2 若选择点P扣球，如图2，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系．    素材3 若选择点P吊球，如图2，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系． 问题解决 任务1 确定关键数据 求a和b的值． 任务2 拟定设计方案 兴趣小组探索发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 8．（2023·浙江·中考真题）根据以下素材，探究完成任务． 如何把实心球掷得更远？ 素材1 小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．    素材2 根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．    问题解决 任务1 计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离． 任务2 探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量 任务3 提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议． 9．（2024·浙江宁波·二模）根据以下素材，探索完成任务． 校内小型植物园规划设计 素材1 学校拟在围墙边的一块空地上修建一个小型的矩形植物园，墙长18米，植物园一边靠墙，另三边用40米的栅栏围成．如图，矩形中，为米，矩形面积为平方米．    素材2 如图，拟在矩形植物园的中心位置（点为对角线交点）安装一个自动喷灌设备，喷出的水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，喷水口的高度可升降，升降前后喷出的水流抛物线形状不变，经测量喷水口的高度为米时，喷出的水流最高点离地面距离为1米，离喷水口的水平距离为4米．    问题解决 任务1 确定矩形植物园修建方案 （1）求与的函数关系式，并直接写出的取值范围； （2）若矩形植物园面积为192平方米，则与各为多长？ 任务2 确定自动喷灌设备调整方案 （3）在（2）的条件下，将喷水口的高度至少升高多少米，才能保证该矩形植物园的每个角落都能浇灌到？ 10．（2024·浙江嘉兴·一模）根据以下素材，探索完成任务． 素材 如图1，一个移动喷灌架射出的水流可以近似地看成抛物线． 图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是米． 当喷射出水流距离喷水头米时，达到最大高度米． 素材 现将喷灌架置于坡度为的坡地底部点处． 草坡的长度为米． 问题解决 任务 请在图中建立适当的平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式． 任务 当喷灌架底部位于点处时，请通过计算说明水流能否喷灌到草坡最远处． 任务 草坡上距离的水平距离为米处有一棵高度为米的树需要被喷灌，当喷灌架底部仍然在点处时，请通过计算说明树能否被灌溉到．现将喷灌架向正后方向移动米，若要使树被喷灌到，求的取值范围． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5二次函数实际应用中的项目化设计方案问题 目录 类型一、二次函数实际应用的方案设计：面积问题 1 类型二、二次函数实际应用的方案设计：销售问题 3 类型三、二次函数实际应用的方案设计：拱桥问题 5 类型四、二次函数实际应用的方案设计：投球问题 7 类型五、二次函数实际应用的方案设计：喷水问题 9 压轴能力测评（精选浙江地区阶段考真题） 11 类型一、二次函数实际应用的方案设计：面积问题 【例1】（23-24九年级上·浙江温州·期中）根据素材回答问题： 素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路，，中间有一正方形水池，已知水池的边长为4米，，，且与的距离为10米，与的距离为8米．    素材2 现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计． 任务1 任务2 小明同学按如图2的设计，若米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）．      若按如图3、如图4设计方案，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．    项目反思 如果栅栏不一定与墙面垂直（或平行），你还能设计出比以上方案面积更大的花圃吗？某学习小组在探究的过程中，设计了方案如图5，你认为图5的最大面积与以上方案比较，哪个更大，请通过计算说明．    【答案】任务1：花圃的面积为208；任务2：图4方案的最大面积更大，为273；项目反思：图5方案最大面积更大 【分析】任务1：根据矩形面积公式和正方形面积公式求解即可； 任务2：由图3，设，花圃面积为，则，由题意可得花圃面积，结合一次函数的性质计算该方案的最大面积；由图4，设，花圃面积为，则，由题意可得花圃面积，结二次函数的性质计算该方案的最大面积，即可获得答案； 项目反思：延长交于点，过点作于点，易得为矩形，进而可知，设，花圃面积为，则，，，由题意得列出函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：任务1：如图2， 由题意可知，则， 矩形面积为， ()， 答：花圃的面积为208； 任务2：由图3，设，花圃面积为，则， 由题意得：， 因为， ∴当时，有最大值，最大值为()； 由图4，设，花圃面积为， 则， 由题意得：， ∴当时，y有最大值为273， 所以，图4方案的最大面积更大，为273； 项目反思：如下图，    延长交于点，过点作于点， 易得为矩形， ∴， ∵， ， 设，花圃面积为， 则，，， 由题意得：， ∴当时，花圃面积有最大值， ∵， ∴图5方案最大面积更大． 【点睛】本题主要考查了矩形面积公式、一次函数的应用、二次函数的应用等知识，正确的求出函数解析式是解题的关键． 类型二、二次函数实际应用的方案设计：销售问题 【例2】（23-24·浙江温州·阶段练习）根据素材回答问题： 素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路，中间有一正方形水池，已知水池的边长为4米，，且与的距离为10米，与的距离为8米． 素材2 现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计．                              任务1 小明同学按如图2的设计，若米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）． 任务2 若按如图3设计方案，点C，D，H三点共线，点G在上，当花圃的面积（不包含水池的面积）为时，求的长． 任务3 学习小组在探究的过程中还发现按如图3设计方案，当的长是____________，围成的花圃（不包含水池）的最大面积是____________． 【答案】任务1：花圃的面积为208；任务2：；任务3：当的长是，围成的花圃（不包含水池）的最大面积是 【分析】任务1：根据矩形面积公式和正方形面积公式求解即可； 任务2：由图3，设，则，由题意可得花圃面积，求解即可； 任务3：设花圃面积为y，由（2）得，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：任务1：如图2， 由题意可知，则， 矩形面积为， ()， 答：花圃的面积为208； 任务2：由图3，延长交于点， 设， ， 由题意可得花圃面积， 即， 解得：或（舍去，不符合题意）， ； 任务3：设花圃面积为y， 由（2）得，即， ， 当时，有最大值为273， 答：当的长是，围成的花圃（不包含水池）的最大面积是． 【点睛】本题主要考查了矩形面积公式、一元二次方程的实际应用、二次函数的应用等知识，正确的求出函数解析式是解题的关键． 类型三、二次函数实际应用的方案设计：拱桥问题 【例3】（23-24·浙江宁波·期末）根据以下素材，探索完成任务． 设计彩虹桥中彩色灯带的悬挂方 素材一 图1是一座隐藏在漳州城市中的“彩虹桥”，也是近年来比较热门的网红打卡点，它由200多个铁架和2400多个灯笼组成． 如图2，每个铁架的横截面可以分为3段，其中是固定支架，分别与地面垂直，主体支架可近似看作一段抛物线，最高点离地面的距离是，，． 素材二 由于灯笼颜色比较单一，街道准备把灯笼替换成长度为的彩色灯带，沿抛物线（主体支架）安装（如图3），且相邻两条灯带安装点的水平间距为．为了安全起见，灯带底部与地面的距离不低于．灯带安装好后成轴对称分布． 问题解决 任务一 确定主体支架的形状 请在图2中以点A为原点建立平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式． 任务二 探究安装范围 在安全前提下，在任务一的坐标系中，确定灯带安装点的横坐标取值范围． 任务三 拟定设计方案 在同一个横截面下，最多能安装几条灯带？并求出此时最右边灯带安装点的坐标． 【答案】任务一：；任务二：；任务三： 【分析】本题考查二次函数的应用．理解题意，用顶点式表示出抛物线的解析式是解决本题的关键．根据两个灯带之间的间隔判断出灯带的个数是解决本题的易错点；根据灯带之间的间隔和自变量的取值范围判断出最右边灯带的横坐标是解决本题的难点． （1）易得抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点A的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式； （2）根据支架的高度和灯带底部与地面距离的限定可得y应取0.25，求得相应的x的值，即可判断出灯带安装点的横坐标取值范围； （3）取（2）中抛物线的得到的横坐标的差即为能安装灯带的距离，除以，得到相应的间隔，加1，即为可安装灯带的个数；进而判断出安装灯带后剩余的距离，除以2，取减去得到的数值，即为最右边灯带的横坐标，代入抛物线解析式，可得纵坐标． 【详解】解：任务一：建立坐标系， 由已知可得顶点的横坐标为2，顶点的纵坐标为，点， 设地物的解析式为， ， ， 故抛物线的解析式为； 任务二：由于固定支架长为，因此要使灯带底部与地面的距离不低于，只需要让安装点到x轴的距离不小于． 令， 解得：或， 因此安装点的横坐标取值范围； 任务三：由于，因此最多可以安装条灯带， 由对称性可得最右边灯带的横坐标为， ， 故最右边灯带安装点的坐标为． 类型四、二次函数实际应用的方案设计：投球问题 【例4】（23-24九年级上·浙江·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务． 如何确定防守方案？ 素材1 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线．攻球员位于，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，已知，． 素材2 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为水平距离（水平距离=水平速度×时间）与离地高度的鹰眼数据如右表． 守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … 9 12 15 18 21 … … 5 … 问题解决 任务1 确定运动轨迹 求关于的函数表达式． 任务2 探究防守方案 若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． 任务3 拟定执行计划 求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度． 【答案】任务一：；任务二：若守门员选择原地接球，不能防守成功，理由见解析；任务三： 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解表格中的数据求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）计算出当时h的值即可得到答案； （3）当守门员刚好接到球时，则，求出此高度下s的值，进而求出球运动的时间，进而求出守门员运动的最小路程，即可求出最小速度． 【详解】解：任务1：由表格中的数据可知当和当时，h的值相同， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴h关于s的函数表达式为； 任务2：若守门员选择原地接球，不能防守成功，理由如下： 在中，当时，， ∵， ∴若守门员选择原地接球，不能防守成功； 任务3：当守门员刚好接到球时，则， 把代入中得：， 解得， ∴此时球的飞行时间为， ∴守门员选择面对足球后退，能够防守成功，那么运动员在内肯定要到达能够刚好接球的位置，即守门员在内的路程要大于等于， ∴守门员的速度要大于等于， ∴守门员的最小速度为． 类型五、二次函数实际应用的方案设计：喷水问题 【例5】（23-24·浙江宁波·期末）根据以下素材， 探索完成任务． 喷泉中的数学问题 素材 1 某游乐场的圆形喷水池中心 有一喷水管 ， 米，从 点向四周喷水，喷出的水柱为 抛物线且形状相同． 如图，以水平方向为 轴， 点 为原点建立平面直角坐标系，点 在 轴 上，已知在与池中心 点水平距离为 2 米时， 水柱达到最高，此时高度为 1.5 米． 素材 2 现重新改建喷泉， 升高喷水管， 使落水点与喷水 管距离 5 米， 已知喷水管升高后， 喷水管喷出的 水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点 2 米处达到最高． 问题解决 任务 1 确定水柱形状 根据素材 1 ，求水柱所在的抛物线(第一象限部分)的函数表达式． 任务 2 探究喷水高度 改建前， 身高为 1.67 米的小明站在距离喷水管3米处， 他会被喷到吗？ 任务 3 确定设计方案 根据素材 2，喷水管 要升高多少？ 【答案】任务 1∶ ； 任务2∶小明会被喷到，任务三：米 【分析】本题考查二次函数实际应用及求抛物线解析式，理解题意，利用数形结合思想解题是关键． 任务 1∶根据图像设抛物线解析式为，根据题意将点代入即可得到答案； 任务2∶计算当时y的值，与比较即可得到答案； 任务3∶根据题意中形状不变得到a不变，设喷水管升高后水柱所在抛物线解析式为 及过点代入顶点式即可得到，再把代入得出的值，进一步即可得出答案． 【详解】解∶任务 1∶ 米， 在与池中心点水平距离为2米时，水柱达到最高，此时高度为1.5米 设水柱所在的抛物线(第一象限部分)的函数表达式为 把 代入上式，解得 水柱所在的抛物线(第一象限部分)的函数表达式为 任务2∶当时， 小明会被喷到 任务3：根据题意，落水点坐标为 设喷水管升高后水柱所在抛物线解析式为 ， 代入得 ， 解得： 令，则 即升高后点坐标为 喷水管要升高： (米) 压轴能力测评（精选浙江地区阶段考真题） 一、解答题 1．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】如何设计纸盒？ 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动． 请你尝试帮助他们解决相关问题． 素材1 利用一边长为的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒    素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．    【尝试解决问题】 任务1．初步探究：折一个底面积为无盖纸盒，求剪掉的小正方形的边长为多少？ 任务2．折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 【答案】任务1 ，剪掉的正方形的边长为；任务2，当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的定义，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程，根据各数量之间的关系得出关于函数关系式，是解此题的关键． 任务1：设剪掉的小正方形的边长为，则折成的无盖纸盒的底面边长为的正方形，根据“折一个底面积为无盖纸盒”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； 任务2：设剪掉的小正方形的边长为，折成的无盖纸盒的侧面积为，根据题意得出关于函数关系式，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：任务1：设剪掉的小正方形的边长为，则折成的无盖纸盒的底面边长为的正方形， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 剪掉的正方形的边长为； 任务2：折成的无盖纸盒的侧面积有最大值， 设剪掉的小正方形的边长为，折成的无盖纸盒的侧面积为， 由题意得：，即， ， 当时，取得最大值，最大值为， 当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为． 2．（23-24·浙江温州·阶段练习） 草苺销售问题 素材1 草莓是一种具有丰富营养和独特风味的水果，被誉为“水果皇后”．近期，“富兴”草莓园的草苺已成熟，可以进行采摘销售．销售渠道除了直接销售到城区外，还可以让市民去草苺园区内采摘购买． 素材2 今年4月第三周，该草莓园在城区和园区内的销售价格分别是15元/千克和20元/千克，一共销售了1000千克，销售总收入为17000元． 素材3 为了促进销量，进而增加销售收入，该草苺园决定4月第四周将城区每千克售价降低 元，园区内每千克售价打9折，预计城区和园区内的销量将分别比第三周增加和． 问题解决 任务1 该草苺园今年4月第三周城区和园区内分别销售了多少千克草苺？ 任务2 若该草苺园今年4月第四周销售总额为元，请你用含的代数式表示． 任务3 若预计该草苺园今年4月第四周销售收入为20280元，求的值． 【答案】任务1：城区销售600千克，园区内销售400千克；任务2：；任务3： 【分析】本题考查了求函数关系式、一元一次方程的应用和一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． （1）设今年四月份第三周城区销售千克，园区内销售千克，根据等量关系：一共销售了1000千克，销售总收入为17000元，列出方程求解即可； （2）根据销售总额城区销售收入园区销售收入，可得函数关系式； （3）根据（2）求得的函数表达式列出方程求解即可． 【详解】任务1：设今年四月份第三周城区销售千克，园区内销售千克，根据题意得： ， 解得， 答：今年四月份第三周城区销售600千克，园区内销售400千克； 任务2：， ； 任务3：， ， ，． 3．（23-24·浙江杭州·期中）根据以下素材，完成探索任务： 如何制定商店的销售定价方案 素材1 商品成本：100元/件，每天进货120件，并且全部卖出；商品有A，B两种包装，目前的售价和日销量如表：           A包装 B包装 售价（元/件） 112 108 日销售量（件） 40 80         素材2 为了增加盈利，该商店准备降低A包装商品的售价，同时提高B包装商品的售价．通过市场调研发现，在一定范围内，A包装商品售价每降低1元可多卖出2件，B包装商品售价每提高1元就少卖出2件．商店发现若按照当前的总销量销售A，B两种包装商品，最大总利润为1264元． 素材3 销售一段时间后，商店发现若减少A，B两种包装商品的总销量，A，B两种包装商品的销售总利润反而有所增长．为进一步增加盈利，商店决定将A，B两种包装商品的总销量减少10件． 任务1 探究商品销量：设每件A包装商品售价降低x元（x为整数），则A包装商品每日的总销售量为 件；设每件B包装商品售价提高y元（y为整数），则B包装商品每日的总销售量为 件． 任务2 探究商品售价：在每日A，B两种包装商品的总销量为120件的前提下，为使总利润达到最大，试求出此时A，B两种包装商品的售价． 任务3 确定定价方案：请设计一种A，B两种包装商品的定价方案，使一天的销售总利润超过1430元．（直接写出方案即可） 【答案】任务1：，；任务2：A包装的售价是106元，B包装的售价是114元；任务3：A包装的售价为108元，B包装的售价为117元 【分析】本题考查二次函数的应用． 任务1.根据A包装商品售价每降低1元可多卖出2件，B包装商品售价每提高1元就少卖出2件．可得A、B两种商品在原来销售量的基础上得到的新的销售量； 任务2.总利润＝A包装商品的利润＋B包装商品的利润，设总利润为w，A包装商品降价x元，得到相关的二次函数，求得最大利润即可； 任务3.设设总利润为w，A包装商品降价x元，根据总销售量为110件得到B包装商品的销售量，结合任务1可得B包装商品需提价多少，根据函数值超过1430可得x的取值范围，写出一种方案即可． 【详解】解：任务1. ∵A包装商品售价每降低1元可多卖出2件，原来的销售量是40件， ∴每件A包装商品售价降低x元（x为整数），A包装商品每日的总销售量为件； ∵B包装商品售价每提高1元就少卖出2件，原来的销售量是80件， ∴每件B包装商品售价提高y元（y为整数），则B包装商品每日的总销售量为件． 故答案为：，； 任务2. 设总利润为w元，A包装商品卖出件，则B包装商品卖出件． ∴每件A包装商品售价降低x元，每件B包装商品售价提价x元． ∴ ； ∴时，利润最大． ∴（元），（元）． 答：A包装的售价是106元，B包装的售价是114元； 任务3.由素材3可得销售量减少10件． 设总利润为w元，A包装商品卖出件，则B包装商品卖出件． ∵每件B包装商品售价提高y元（y为整数），则B包装商品每日的总销售量为件． ∴． ∴． ∴每件A包装商品售价降低x元，每件B包装商品售价提价元． ∴ ∴ 整理得： 解得： ∴当时，销售总利润超过1430元． ∴A包装的售价为元，B包装的售价为元，一天的销售总利润超过1430元． 4．（23-24·浙江温州·期中）根据以下信息，探索完成任务． 如何制定销售方案？ 素材1 某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天其他成本费用为600元（水费、电费和人工费用等），为了便于结算，每份套餐的售价设为（元），且为整数，该店每天的利润设为（元）． 素材2 试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份． 素材3 经周边餐馆的考察，该快餐店决定套餐的最高价格不超过15元． 问题解决 任务1 分析数量关系 （1）若每份套餐售价不超过10元，直接写出与的函数关系式为________． （2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价定为多少元时，既能保证利润，又能吸引顾客：若不能，说明理由． 任务2 制定最优销售方案 （3）若要使每天利润达到最高，又能吸引顾客，则每份套餐的售价定为多少元，并求出最高利润． 【答案】任务1：（1）；（2）能，该套餐售价应定为11元；任务2：（3）每份套餐的售价定为12元，最高利润为1640元 【分析】任务1：（1）由题意得y与x的函数关系式为； （2）由题意知当每份套餐售价提高到10元以上时，，将代入，求出符合要求的解即可． 任务2：（3）根据函数解析式，结合x的取值，求出函数的最大值即可． 【详解】任务1：（1）解：由题意得y与x的函数关系式为： ． （2）由题意知当每份套餐售价提高到10元以上时， ， 将代入得：， 解得：，， 为了保证净收入又能吸引顾客，应取， ∴把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的纯收入能达到1560元，该套餐售价应定为11元． 任务2：（3）每份套餐售价不超过10元时，获得利润为： （元）， 每份套餐售价提高到10元以上时，获得的利润为： ， ∵，且x为整数， ∴当或时，获得利润最大， ∴为了吸引顾客，售价应该定为12元，且最大利润为： （元）． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意列出函数解析式． 5．（2024·广东深圳·模拟预测）请阅读信息，并解决问题： 问题 芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品 查询信息 深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米．    处理信息 如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图，，分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端，位于线段上，且．一根琴弦固定在拱的对称轴处，其余16根琴弦对称固定在两侧，每侧各8根．记离拱端最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，为第9根， 测量数据 测得上桥起点与拱端水平距离为20米，最靠近拱端的“琴弦” 高9米，与之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为米． 解决问题 任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 任务2：求琴弦与拱端的水平距离及的值． 任务3：若需要在琴弦与之间垂直安装一个如图所示高为的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？ 【答案】任务1：；任务2：琴弦与拱端的水平距离为8米，的值为4米；任务3：该艺术品顶部应该安装在第5根和第6根琴弦之间 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的表达式及性质是解题的关键． 任务1：以桥所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则点为原点，令抛物线的解析式为，将点代入中即可得出答案； 任务2：将代入即可得出的长度，再根据线段的和差即可得出的长度，进而求出的值； 任务3：将代入出的值，再进行判断该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间． 【详解】解：任务 如图，以桥所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系， 则点为原点， 由题意得，，， 则点的坐标为， 令抛物线的解析式为， 将点代入中得， ， 解得：， 则抛物线的解析式为．      任务（米）， 将代入得， ，（舍）， （米， （米），（米）， 琴弦与拱端的水平距离为8米，的值为4米． 任务3：将代入得， ，（舍）， ， 该艺术品顶部应该安装在第5根和第6根琴弦之间． 6．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）利用素材解决：《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽，称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 任务一 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆 的半径． 设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式． 任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两座桥梁． 【答案】任务一：方案一，米；方案二， 任务二：方案一，能通过；方案二，不能通过 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，勾股定理的应用，掌握建模的数学思想是解题关键．任务一：方案一，设圆的半径为米，根据即可求解；方案二，设桥拱的函数解析式为，将代入即可求解；任务二：方案一，根据即可判断；方案二，当H点的横坐标时，计算其纵坐标即可判断． 【详解】解：任务一 方案一，设圆的半径为米， 在中，， （米） 方案二，∵顶点C坐标为， 设桥拱的函数解析式为 代入得，． 函数解析式为． 任务二 方案一，如图，由上得， 在中， ． 能通过 方案二，如图建立直角坐标系， 当H点的横坐标时，， 不能通过． 7．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计击球线路的方案 素材1 数学兴趣小组运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，兴趣小组对击球线路进行探索，如图1，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上，且．    素材2 若选择点P扣球，如图2，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系．    素材3 若选择点P吊球，如图2，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系． 问题解决 任务1 确定关键数据 求a和b的值． 任务2 拟定设计方案 兴趣小组探索发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 【答案】任务一：的值是；b的值是2.8 任务二：选择吊球方式，球的落地点到点的距离更近 【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出一次函数和二次函数解析式，掌握函数图象上点坐标的特征． 任务一：先求出点的坐标，再分别 代入一次函数与二次函数解析式计算即可求解； 任务二：在中，令得，在中，令可得（舍去）或，由，即可得到答案． 【详解】解：任务一：∵， ∴， 把代入得：， 解得：， 的值是； 把代入得， ∴b的值是2.8． 任务二：，， ， ， 在中，令得， 在中，令得（舍去）或， ， 选择吊球方式，球的落地点到点的距离更近． 8．（2023·浙江·中考真题）根据以下素材，探究完成任务． 如何把实心球掷得更远？ 素材1 小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．    素材2 根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．    问题解决 任务1 计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离． 任务2 探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量 任务3 提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议． 【答案】任务一：4m；任务二：；任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角 【分析】任务一：建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到； 任务二：建立直角坐标系，求出任务二的抛物线解析式，得到顶点纵坐标，与任务一的纵坐标相减即可； 任务三：根据题意给出合理的建议即可． 【详解】任务一：建立如图所示的直角坐标系，      由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 得（舍去）， ∴素材1中的投掷距离为4m； （2）建立直角坐标系，如图，    设素材2中抛物线的解析式为， 由题意得，过点， ∴， 解得， ∴ ∴顶点纵坐标为， （m）， ∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为； 任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，求函数解析式，求抛物线与坐标轴的距离，正确理解题意建立恰当的直角坐标系是解题的关键． 9．（2024·浙江宁波·二模）根据以下素材，探索完成任务． 校内小型植物园规划设计 素材1 学校拟在围墙边的一块空地上修建一个小型的矩形植物园，墙长18米，植物园一边靠墙，另三边用40米的栅栏围成．如图，矩形中，为米，矩形面积为平方米．    素材2 如图，拟在矩形植物园的中心位置（点为对角线交点）安装一个自动喷灌设备，喷出的水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，喷水口的高度可升降，升降前后喷出的水流抛物线形状不变，经测量喷水口的高度为米时，喷出的水流最高点离地面距离为1米，离喷水口的水平距离为4米．    问题解决 任务1 确定矩形植物园修建方案 （1）求与的函数关系式，并直接写出的取值范围； （2）若矩形植物园面积为192平方米，则与各为多长？ 任务2 确定自动喷灌设备调整方案 （3）在（2）的条件下，将喷水口的高度至少升高多少米，才能保证该矩形植物园的每个角落都能浇灌到？ 【答案】（1），；（2）米，米；（3）至少升高米 【分析】该题主要考查了二次函数应用以及矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解题意． （1）由题意得，为米，则为米，再根据矩形面积公式即可求解； （2）根据面积为192平方米，令，解答即可； （3）根据勾股定理得求出，再根据矩形性质求出则．如图建立平面直角坐标系，由题意设，将代入，即可求出解析式，设将喷水口的高度至少升高米，才能保证该矩形植物园的每个角落都能浇灌到，则抛物线过点，求出即可解答； 【详解】解：（1）由题意得，为米，则为米， 矩形面积， 即． 墙长18米，则． （2）面积为192平方米，则， 解得：， 由，则取，此时米，米． （3）矩形中，， 由勾股定理得，． 点为对角线交点，则． 如图建立平面直角坐标系， 由题意设， 将代入，得， 则． 设将喷水口的高度至少升高米，才能保证该矩形植物园的每个角落都能浇灌到， 则抛物线过点，得， 答：将喷水口的高度至少升高米，才能保证该矩形植物园的每个角落都能浇灌到． 10．（2024·浙江嘉兴·一模）根据以下素材，探索完成任务． 素材 如图1，一个移动喷灌架射出的水流可以近似地看成抛物线． 图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是米． 当喷射出水流距离喷水头米时，达到最大高度米． 素材 现将喷灌架置于坡度为的坡地底部点处． 草坡的长度为米． 问题解决 任务 请在图中建立适当的平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式． 任务 当喷灌架底部位于点处时，请通过计算说明水流能否喷灌到草坡最远处． 任务 草坡上距离的水平距离为米处有一棵高度为米的树需要被喷灌，当喷灌架底部仍然在点处时，请通过计算说明树能否被灌溉到．现将喷灌架向正后方向移动米，若要使树被喷灌到，求的取值范围． 【答案】任务1：见解析，；任务2：水流无法喷灌到草坡最远处,理由见解析；任务3：树可以被灌溉到，理由见解析；的取值范围． 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，解直角三角形的应用，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 任务1：根据题意建立适当的平面直角坐标系，设抛物线的函数表达式为，将点、代入求出、的值，即可得到抛物线的函数表达式； 任务2：设草坡最远处为点，过点作轴于点，结合坡度解直角三角形，求出，，得到，再求出当时，的值，比较即可得到答案； 任务3：延长交轴于点，结合坡度解直角三角形，得到，再求出当时，的值，比较即可得到答案．由题意可知，移动后的解析式为，求出，将点代入解析式求出的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：任务1： 如图建立平面直角坐标系， 设抛物线的函数表达式为， 由图象可知，抛物线过点、， 则，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； 任务2： 水流无法喷灌到草坡最远处,理由如下： 如图，设草坡最远处为点，过点作轴于点， 由题意可知，喷灌架置于坡度为的坡地底部点处． 草坡的长度为米， ∴，， 设，， 由题意得：， ∴， ∴，， ∴， 在抛物线中，当时，， ∵， ∴水流无法喷灌到草坡最远处； 任务3： 树能否被灌溉到，理由如下： 由题意可知，延长交轴于点， 由题意可知，，， ∵坡度为， ∴， ∴， ∴，， 在抛物线中，当时，， ∵， ∴树可以被灌溉到， 由题意可知，将喷灌架向正后方向移动米，则移动后的解析式为， 当时，， 若要使树被喷灌到，则， 解得：，（舍）， ∴． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$