第1章 二次函数单元测试（能力提升卷）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（浙教版）

第1章二次函数单元测试（能力提升卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·浙江宁波·开学考试）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知二次函数的图象过点，对称轴为直线，则点P的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）若抛物线的顶点在x轴上，则c的值是（    ） A．4 B． C． D． 5．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）关于二次函数的图象，下列说法正确的是 （    ） A．对称轴是直线 B．当时， y随x的增大而减小 C．顶点坐标为 D．图象与x轴没有交点 6．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，若要想获得最大利润，则销售单价x为（    ） A．25元 B．20元 C．30元 D．40元 7．（2023·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线的图象如图所示，其对称轴为直线，则一次函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 8．（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了图中的表格，由于粗心，他算错了其中的一个y值，那么这个错误的数值是（   ） …… 1 2 …… …… …… A． B． C．0 D． 9．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（    ） A．或4 B．4或 C．或4 D．或 10．（2024·浙江·模拟预测）已知y关于x的二次函数，下列结论中正确的序号是（    ） ①当时，函数图象的顶点坐标为； ②当时，函数图象总过定点； ③当时，函数图象在x 轴上截得的线段的长度大于； ④当时，函数在时，y随x的增大而减小． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，它的顶点坐标为，则此抛物线的解析式 ． 12．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知二次函数的图象经过点和．若，则m的取值范围是 ． 13．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图为抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是 ． 14．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为 米． 15．（22-23九年级下·浙江湖州·阶段练习）在月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是 月． 16．（22-23九年级上·浙江衢州·阶段练习）如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知抛物线的 “特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，，时，． (1)求a，c的值． (2)当时，求函数y的值． 18．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2) 由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 19．（九年级上·浙江·单元测试）二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点． (1)求m的值 (2)求点B的坐标 (3)该二次函数图象上有一点（其中，，使，求点的坐标． 20．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A与原点重合，顶点B在x轴的正半轴上，点D在y轴的正半轴上，抛物线经过点． (1)求a的值与对称轴． (2)将抛物线向右平移m个单位使得新抛物线与，分别交于M，N，点M，N的纵坐标相等，求m的值和点M的坐标． 21．（2024·陕西西安·模拟预测）陕西八大怪之一的“房子半边盖”包含了节约土地、节约建材、邻里和睦相处的理念．当下雨时雨水流向自己的院子，不仅避免了邻里纠纷，而且可以将水收集起来缓解缺水的问题．如图为陕西某古建筑景点处一栋房屋的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶流下，呈抛物线型落到院中地面上点．以地面为轴，过点且垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系，雨水落下的图象可近似看作二次函数的部分图象．已知屋檐高为，雨水落点距屋檐的水平距离为． (1)求该二次函数的表达式； (2)若墙面与屋檐下端的水平距离为，现计划在院中安装一个高为的圆柱形洗手池，洗手池下面连接储水装置，为了使下雨时雨水正好可以落在洗手池的顶部中心点处，请按设计求出洗手池的顶部中心到墙面的水平距离． 22．（23-24九年级上·浙江温州·期中）根据以下线索，探索完成任务． 如何绿色环保的达到利润最大化？ 素材1 中国某大型工厂销售一种化工品，其每吨利润m万元与天数x天满足关系．经市场部调研后发现，这种化工品的销售情况如下： 时间x（天） 第1天 第2天 第5天 第7天 第10天 …… 日销售量y（吨） 3 3.2 3.8 4.2 4.8 …… 素材2 第20天时，厂长发现此化工品日销售量趋于稳定，为保证每天都能售完，将第21天起的日生产量控制在6.8千克． 任务1 确定销售模型 利用学过的函数知识，选择一种模型来确定y与x的函数关系式． 任务2 利润最大化 求本月（30天）的日利润W万元哪一天达到最大，最大值为多少？ 任务3 绿色生产 第2个月开始，该工厂引入新技术对化工污染进行处置，使得每吨成本增加a万元，但售价保持不变．假设日销售量和上月对应天数的日销售量相同，前20天的日销售额W万元随着时间x的增大而增大，求a的取值范围． 23．（22-23九年级下·浙江金华·开学考试）已知二次函数交x轴于点A，B（点A在点B左侧），，交轴于点，设抛物线的对称轴为直线，且． (1)用含m的代数式表示出点A、点B的坐标； (2)若抛物线上存在点P使得（点P与点C不重合），且这样的点P恰好存在两个，求此时抛物线的解析式； (3)我们将平面直角坐标系中横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点．当点A、点B都在x轴正半轴上，且内部存在2个整点（不包括边），请写出m的取值规律． 24．（2023·浙江杭州·模拟预测）在直角坐标系中，设函数是常数，． (1)已知点，，，若该函数图象只经过其中两点，求函数表达式； (2)写出一组，的值，使函数的图象与轴只有个交点，并说明理由； (3)已知，点，在函数图象上，且两点均在轴上方，若，求的取值范围． ( 7 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章二次函数单元测试（能力提升卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．利用二次函数的一般形式为：是常数，，进而判断得出即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故本选项不正确； B、是一次函数，不是二次函数，故本选项不正确； C、符合二次函数的定义，故本选项正确； D、的右边不是整式，因此不是二次函数，故本选项不正确． 故选：C． 2．（23-24九年级下·浙江宁波·开学考试）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据左加上加的平移原则计算即可． 本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握左加上加，左右平移，位于x上，上下平移，对于y实施是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得． 故选B． 3．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知二次函数的图象过点，对称轴为直线，则点P的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线的图象和性质，根据二次函数的对称轴求出点P关于对称轴的对称点的坐标，是解题关键．根据抛物线的对称轴即可以得到点P关于对称轴的对称点． 【详解】解：∵ 抛物线对称轴为直线，并且图象过点， ∴关于直线的对称点为， 故选：A． 4．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）若抛物线的顶点在x轴上，则c的值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标解题关键是找准对应的各项系数． 根据二次函数的顶点坐标公式及点在轴上的纵坐标为0的特征作答． 【详解】解：根据二次函数的顶点坐标公式， ∵抛物线的顶点在x轴上，即， ∴，即 ∴． 故答案为：B． 5．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）关于二次函数的图象，下列说法正确的是 （    ） A．对称轴是直线 B．当时， y随x的增大而减小 C．顶点坐标为 D．图象与x轴没有交点 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数的顶点式得到函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质，逐项进行分析即可． 【详解】A．二次函数的对称轴为直线，故此选项不符合题意； B．当时， y随x的增大而减小，当时， y随x的增大而增大，故此选项不符合题意； C．二次函数顶点坐标为，故此选项不符合题意； D．二次函数的开口向下，且顶点在x轴的下方，故图象与x轴没有交点，故此选项符合题意； 故选：D． 6．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，若要想获得最大利润，则销售单价x为（    ） A．25元 B．20元 C．30元 D．40元 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的最值问题是解题的关键，根据二次函数的性质可知，二次函数的最值是它的顶点的纵坐标，将写成顶点式的形式即可得到答案． 【详解】解：将写为顶点式的形式得：， ∴当时，取最大值， ∴要想获得最大利润，则销售单价为元， 故选：A． 7．（2023·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线的图象如图所示，其对称轴为直线，则一次函数的图象大致为（    ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的性质，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键． 先根据二次函数性质得出，进而得出，，判断出一次函数的图象过第一、三、四象限，再判断一次函数与轴交点在与0之间，一次函数与轴交点是1，即可得出答案． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， ， ， 根据二次函数图象得， 当时，则， 由图象得， ，， 一次函数的图象过第一、三、四象限， 当时，， ， 一次函数与轴交点在与0之间， 当时，， ， 一次函数与轴交点是1， 故选：C． 8．（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了图中的表格，由于粗心，他算错了其中的一个y值，那么这个错误的数值是（   ） …… 1 2 …… …… …… A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，求是二次函数的解析式解题关键．假设三点，，在函数图象上，利用待定系数法求得解析式，然后判断其他两点可得答案． 【详解】解：设二次函数解析式为， 假设三点，，在函数图象上， 把，，代入函数解析式得：， 解得， 函数解析式为， 当时，， 当时，， 故选：D． 9．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（    ） A．或4 B．4或 C．或4 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键． 分两种情况讨论：当时，，解得；当时，在，，解得． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， ∵y的最小值为， ∴， ∴； 当时，在，当时，函数有最小值， ∴， 解得； 综上所述：a的值为4或， 故选：B． 10．（2024·浙江·模拟预测）已知y关于x的二次函数，下列结论中正确的序号是（    ） ①当时，函数图象的顶点坐标为； ②当时，函数图象总过定点； ③当时，函数图象在x 轴上截得的线段的长度大于； ④当时，函数在时，y随x的增大而减小． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】①把代入，再化为顶点式即可；②求得与轴的交点，进而求得的值，即可判断；③由，可知当时，的值与无关，然后求出，的对应值即可；依据题意，由抛物线与轴交点为，，结合对称轴是直线，又，故，抛物线开口向下，进而可得当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，从而可以判断④．本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查二次函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 【详解】解：①当时，， 顶点坐标为， 故①正确； ②当时，， 当时，的值与无关， 此时，， 当，；当时，， 函数图象总经过两个定点，， 故②正确； ③当时，由得： ， ， ，， ， 函数图象截轴所得的线段长度大于， 故③正确； 由题意，抛物线与轴交点为，， 对称轴是直线． ， ，抛物线开口向下． 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 当，时，随的增大而减小，这个说法不正确，故④错误． 故选：A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，它的顶点坐标为，则此抛物线的解析式 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题目给定的条件，直接利用顶点式可得函数解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，抛物线的形状、开口方向与抛物线相同， ∴所求抛物线的解析式为． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知二次函数的图象经过点和．若，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先判断函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性，则可求得m的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵二次函数的图象经过点和，且， ∴或． 13．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图为抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了根据二次函数图象求不等式的解集，先根据对称轴和点B的坐标求出抛物线与x轴的另外一个交点，根据函数图象，求出不等式的解集即可． 【详解】解：对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点与关于直线对轴， ， 不等式， 即， 抛物线的图形在轴上方， ． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为 米． 【答案】11 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度． 根据题意可知，此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度，故令求出相应的x的值，即可得到此运动员将铅球推出的距离． 【详解】解：∵， ∴当，时，， 即， 解得，（舍去）， ∴运动员小铭将铅球推出的距离为11米． 15．（22-23九年级下·浙江湖州·阶段练习）在月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是 月． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，要注意需先根据图中得出两个函数解析式，然后再表示出收益与月份的函数式，再求解．先根据图中的信息用待定系数法表示出每千克售价的一次函数以及每千克成本的二次函数，然后每千克收益每千克售价每千克成本，得出关于收益和月份的函数关系式，根据函数的性质得出收益的最值以及相应的月份． 【详解】解：设月份出售时，每千克售价为元，每千克成本为元， 根据图像，设， ， ， ， 根据图像，设， ， ， ， ， ， ， ， 故当时，有最大值， 故答案为： 16．（22-23九年级上·浙江衢州·阶段练习）如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知抛物线的 “特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点问题、等腰直角三角形的性质、坐标与图形，根据等腰直角三角形的性质可得该抛物线的顶点的横纵坐标相等或互为相反数，进而得到关于b的方程，然后解方程求解即可． 【详解】解：由得顶点坐标为， 令，由得，， ∴该抛物线与x轴的两个交点坐标为，， ∵抛物线的“特征三角形”是等腰直角三角形， ∴或，且， 解得或， 即的值为2或， 故答案为：2或． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，，时，． (1)求a，c的值． (2)当时，求函数y的值． 【答案】(1) (2)21 【分析】本题考查求二次函数解析式，求函数值； （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）将代入解析式，求出函数y的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，解得：， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∴当时，． 18．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2) 由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)向下；y轴；；减小； (3) 【分析】本题考查二次函数的基础知识点， （1）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可； （2）观察函数图象求解即可； （3）观察函数图象求解即可； 解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解． 【详解】（1）解：如下表所示： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 0 … 函数图象如图所示： （2）根据函数图象得：抛物线开口方向为向下；对称轴为y轴；顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小； 故答案为：向下；y轴；；减小； （3）有函数图象可得：当时，y的取值范围是， 故答案为：． 19．（九年级上·浙江·单元测试）二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点． (1)求m的值 (2)求点B的坐标 (3)该二次函数图象上有一点（其中，，使，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点D的坐标为 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式和抛物线与两坐标轴的交点，待定系数法就是将已知的点代入解析式中列方程或方程组求解，对于抛物线与轴的交点，令代入即可，抛物线与轴的交点，令代入即可． （1）直接将点的坐标代入到二次函数的解析式即可求出的值，写出二次函数的解析式； （2）分别计算当和时的值，写出、两点的坐标； （3）因为，则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要高与的长相等即可，因此要计算时对应的点即可． 【详解】（1）解：把代入二次函数得： ， 解得：； （2）解：由（1）可知，二次函数的解析式为：； 当时，， ， 当时，， ， ， 或3， ； （3）解：如图， ， ∴， 而 ∴， 当时，， ， ， ， 或2， 只有符合题意． 综上所述，点的坐标为． 20．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A与原点重合，顶点B在x轴的正半轴上，点D在y轴的正半轴上，抛物线经过点． (1)求a的值与对称轴． (2)将抛物线向右平移m个单位使得新抛物线与，分别交于M，N，点M，N的纵坐标相等，求m的值和点M的坐标． 【答案】(1)，直线； (2)， 【分析】（1）由抛物线经过点，再建立方程求解，再进一步求解即可； （2）先求解新抛物线的解析式，再结合矩形的性质与点M，N的纵坐标相等，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点． ∴， 解得：， ∴抛物线为； ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵抛物线； ∴抛物线向右平移m个单位为， ∵抛物线为， 当，则，则， ∵矩形的顶点A与原点重合，顶点B在x轴的正半轴上，， ∴，， ∵新抛物线与，分别交于M，N，点M，N的纵坐标相等， ∴当与时，新抛物线的函数值相等， ∴， 解得：， ∴新抛物线为：， 当时，， ∴； 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数关系式，抛物线的平移，矩形的性质，抛物线的性质等相关知识，熟练掌握待定系数法求二次函数关系式是解决本题的关键． 21．（2024·陕西西安·模拟预测）陕西八大怪之一的“房子半边盖”包含了节约土地、节约建材、邻里和睦相处的理念．当下雨时雨水流向自己的院子，不仅避免了邻里纠纷，而且可以将水收集起来缓解缺水的问题．如图为陕西某古建筑景点处一栋房屋的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶流下，呈抛物线型落到院中地面上点．以地面为轴，过点且垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系，雨水落下的图象可近似看作二次函数的部分图象．已知屋檐高为，雨水落点距屋檐的水平距离为． (1)求该二次函数的表达式； (2)若墙面与屋檐下端的水平距离为，现计划在院中安装一个高为的圆柱形洗手池，洗手池下面连接储水装置，为了使下雨时雨水正好可以落在洗手池的顶部中心点处，请按设计求出洗手池的顶部中心到墙面的水平距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意知，抛物线过点，，用待定系数法即可求解； （2）将代入所求函数解析式中，求得x的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线过点，， 将，分别代入， 得， 解得， 该二次函数的表达式为； （2）解：由题意，将代入， 得， 解得（舍去）， ， 洗手池的顶部中心到墙面的水平距离为． 22．（23-24九年级上·浙江温州·期中）根据以下线索，探索完成任务． 如何绿色环保的达到利润最大化？ 素材1 中国某大型工厂销售一种化工品，其每吨利润m万元与天数x天满足关系．经市场部调研后发现，这种化工品的销售情况如下： 时间x（天） 第1天 第2天 第5天 第7天 第10天 …… 日销售量y（吨） 3 3.2 3.8 4.2 4.8 …… 素材2 第20天时，厂长发现此化工品日销售量趋于稳定，为保证每天都能售完，将第21天起的日生产量控制在6.8千克． 任务1 确定销售模型 利用学过的函数知识，选择一种模型来确定y与x的函数关系式． 任务2 利润最大化 求本月（30天）的日利润W万元哪一天达到最大，最大值为多少？ 任务3 绿色生产 第2个月开始，该工厂引入新技术对化工污染进行处置，使得每吨成本增加a万元，但售价保持不变．假设日销售量和上月对应天数的日销售量相同，前20天的日销售额W万元随着时间x的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】任务1：； 任务2：本月（30天）的日利润W万元第20天达到最大，最大值万元； 任务3： 【分析】此题考查了二次函数和一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键． 任务1：利用猜想y与x之间是一次函数关系，设，利用待定系数法求出函数解析式，并验证即可； 任务2：分和两种情况分别进行求解即可； 任务3：根据任务2得到二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：任务1：由表格中的数据可知y与x之间是一次函数关系，设， 当时，；当时，，则 ， 解得 ∴y与x之间的关系式是， 当时，； 当时，， 当时，， 即一次函数模型成立， ∴y与x的函数关系式为． 任务2：由题意得，当时，， 令，得 ∴对称轴 ∵ ∴当时，随着x的增大增大， ∴当时，此时， 取得最大值为：（万元） 即本月前20天的日利润W万元第20天达到最大，最大值为万元； 当时，， ∵ ∴当时，随着x的增大而减小， 综上可知，本月（30天）的日利润W万元第20天达到最大，最大值万元； 任务3：由题意可得， 令，得 ∴对称轴 ∵前20天的日销售额W'万元随着时间x的增大而增大 ∴，且， 解得， 即a的取值范围为． 23．（22-23九年级下·浙江金华·开学考试）已知二次函数交x轴于点A，B（点A在点B左侧），，交轴于点，设抛物线的对称轴为直线，且． (1)用含m的代数式表示出点A、点B的坐标； (2)若抛物线上存在点P使得（点P与点C不重合），且这样的点P恰好存在两个，求此时抛物线的解析式； (3)我们将平面直角坐标系中横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点．当点A、点B都在x轴正半轴上，且内部存在2个整点（不包括边），请写出m的取值规律． 【答案】(1)， (2)或 (3)（n为正整数） 【分析】（1）由抛物线对称轴为直线及求解． （2）分类讨抛物线开口向上，向下两种情况．设抛物线顶点式求解． （3）设直线与直线交点为D，E，由可得长度为定值，令两整数点在线段上，列不等式求解． 【详解】（1）解：∵点A，B关于对称轴直线对称，且点A在点B左侧， ∴， （2）解：①时，由题意得抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴抛物线解析式为， 把代入得， 解得 把代入得， 解得或（舍）， ∴； ②当时，抛物线开口向下，顶点为， ∴， 将代入得， 解得， ∴， 综上，或； （3）解：如图，直线与直线交点为D，E， 则为的中位线， ∴，点D坐标为，点E坐标为， 由题意得D，E两点之间含有2个整点，设两个整点坐标为，， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，掌握三角形中位线的性质． 24．（2023·浙江杭州·模拟预测）在直角坐标系中，设函数是常数，． (1)已知点，，，若该函数图象只经过其中两点，求函数表达式； (2)写出一组，的值，使函数的图象与轴只有个交点，并说明理由； (3)已知，点，在函数图象上，且两点均在轴上方，若，求的取值范围． 【答案】(1)函数表达式为 (2)，答案不唯一，理由见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． （1）由二次函数解析式可得抛物线经过，再通过待定系数法求解． （2）由抛物线与x轴只有一个交点可得方程的判别式． （3）将代入函数解析式，由可得，用含的代数式表示，进而求解． 【详解】（1）， 抛物线经过， 抛物线不经过， 将，代入得， 解得， 函数表达式为． （2），，理由如下： 令， 当抛物线与轴只有一个交点时，， ， 当，时符合题意答案不唯一． （3）当时，， ∵点，两点均在轴上方， ∴，， 即， ∴，即，， ， ， ∴， 解得： ∵ ， ∵， 开口向下， ∴当时，有最大值，其最大值为， ∵， ∴当或时，， ∴当时，， ∴的取值范围是：． ( 21 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$