2.2有理数的乘除法【7大题型】-2024-2025学年七年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版2024）

2.2有理数的乘除法 【考点归纳】 · 考点一：倒数 · 考点二：两个有理数的乘法运算 · 考点三：多个有理数的乘法运算 · 考点四：有理数乘法运算律 · 考点五：有理数的除法运算 · 考点六：有理数的乘除法实际应用 · 考点七：有理数的乘除法的混合计算 【知识梳理】 知识点一：.有理数的乘法法则 法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三） 法则二：任何数同0相乘，都得0； 法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数，积是负数； 法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0. 知识点二.倒数 乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。 技巧归纳： ①0没有倒数； ②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置； ③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）； ④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。 知识点三.有理数的乘法运算律 ⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba ⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc). ⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a(b+c)=ab+ac 知识点四：有理数的除法法则 （1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。 （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0 知识点五：有理数的乘除混合运算 （1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 （2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。 【题型归纳】 题型一：倒数 1．（2024七年级上·全国）如果一个数的倒数等于它本身，那么这个数一定是（    ） A．0 B．1 C． D．1或 2．（2024·广东广州·三模）的倒数是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏扬州·二模）下列各组数中，互为倒数的是（   ） A．5和 B．和 C．和 D．100和 题型二：两个有理数的乘法运算 4．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列各组运算结果符号为负的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 题型三：多个有理数的乘法运算 7．（2024七年级上·广西·专题练习）下列式子中，积的符号为负的是（　　） A． B． C． D． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)；(2)；(3)． 9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 题型四：有理数乘法运算律 10．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）运用了（   ） A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律和结合律 11．（23-24七年级上·福建福州·期中）对式子进行简便计算，如图所示，运用到的运算律①是（   ）． A．乘法交换律 B．乘法分配率 C．乘法结合律 D．加法交换律 12．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）算式利用了（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法交换律 D．分配律 题型五：有理数的除法运算 13．（23-24七年级上·四川达州·期末）计算得（　　） A． B．8 C． D． 14．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）甲乙丙三位同学合乘一辆滴滴车去顺路的三个地点，事先约定三人根据路程分摊车费，甲在全程的四分之一处下车，甲下车时，乙离下车点还有一半的路程，丙坐完全程．已知乙支付了18元车费，则三人一共支付多少车费？（    ） A．36元 B．48元 C．63元 D．81元 15．（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 题型六：有理数的乘除法实际应用 16．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）我国是水资源比较贫乏的国家之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段来达到节约用水的目的，规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过20立方米时，水费按“基本价”收费；超过20平方米时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过部分按“调节价”收费．某户居民今年4、5月份的用水量和水费如表所示： 月份 用水量（立方米） 水费（元） 4 16 33.60 5 28 70.80 (1)请你算一算该市水费的“调节价”每立方米多少钱？ (2)若该户居民6月份用水量为32立方米，请你第一算，6月份的水费是多少元？ 题型七：有理数的乘除法的混合计算 19．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 20．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算下列各题，能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【高分演练】 一、单选题 22．（2024·山东菏泽·二模）实数的倒数是，的值是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级上·河南焦作·开学考试）运用了（    ）律进行计算． A．乘法交换 B．乘法结合 C．乘法分配 24．（2024·河北邢台·三模）计算：（    ） A． B． C． D． 25．（2024七年级上·全国·专题练习）将式子中的除法转化为乘法运算，正确的是（　　） A． B． C．D． 26．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列算式中，积为负数的是（　　） A． B． C． D． 27．（2024·江西吉安·模拟预测）在弹性范围内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比．若一根弹簧挂上物体时长，挂上物体时长，则挂上物体时长（    ） A． B． C． D． 28．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知两个有理数，，如果且，那么（    ） A．， B．， C．，同号 D．，异号，且正数的绝对值较大 二、填空题 29．（24-25七年级上·河南信阳·开学考试）直接写出得数． （1）      （2）      （3） （4） （5）      （6）      （7）      （8） 30．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（盈亏问题）买来一批苹果，分给幼儿园大班的小朋友．如果每人分5个苹果，那么还剩余32个；如果每人分8个苹果，那么还有5个小朋友分不到苹果，这批苹果共有 个． 31．（24-25七年级上·全国·假期作业） ． 32．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图1，A，B，C是数轴上从左到右排列的三点，在数轴上对应的数分别为，b，3，某同学将刻度尺按图2方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度尺1.5处，点C对齐刻度尺3.5处． （1）数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ． （2）有一质点P从点C处向点B方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此跳动下去，则第四次跳动后，数轴上点所表示数为 ． 三、解答题 33．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 34．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) (3) 35．（2024七年级上·全国·专题练习）计算下面各题，要写出主要计算过程，能用简便方法的要用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) (5) 36．（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）计算下面各题，能简算的要写出简算的过程． (1)； (2)； (3)； (4)． 37．（24-25七年级上·海南三亚·开学考试）一辆国产新能源汽车的标价是22万元．今年“618”商家搞促销活动：购车立减2万元，在此基础上一次性付款再打九八折． (1)湛湛家一次性付款购得这辆汽车，实际支付购车款多少万元？ (2)《中华人民共和国车辆购置税法》规定：在中华人民共和国境内购置汽车应当缴纳车辆购置税（购置税购车款）．为支持新能源车的发展，国家对购置日期在2024年1月1日至2025年12月31日期间的新能源汽车免征车辆购置税．请你算一算，湛湛家又可以节省多少万元？（得数保留两位小数） 38．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）小艾同学的父亲是一名交警，假期某天早上，小艾随父亲乘交通巡逻车从恒隆出发，在红旗路上巡视，中午到达学校门口，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶记录如下．单位：． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)巡逻车在巡逻过程中，第 次离恒隆最远． (2)学校在恒隆哪个方向，与恒隆相距多少千米？ (3)若每千米耗油升，每升汽油需元，问这半天交通巡逻车所需汽油费多少元？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2有理数的乘除法 【考点归纳】 · 考点一：倒数 · 考点二：两个有理数的乘法运算 · 考点三：多个有理数的乘法运算 · 考点四：有理数乘法运算律 · 考点五：有理数的除法运算 · 考点六：有理数的乘除法实际应用 · 考点七：有理数的乘除法的混合计算 【知识梳理】 知识点一：.有理数的乘法法则 法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三） 法则二：任何数同0相乘，都得0； 法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数，积是负数； 法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0. 知识点二.倒数 乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。 技巧归纳： ①0没有倒数； ②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置； ③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）； ④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。 知识点三.有理数的乘法运算律 ⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba ⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc). ⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a(b+c)=ab+ac 知识点四：有理数的除法法则 （1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。 （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0 知识点五：有理数的乘除混合运算 （1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 （2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。 【题型归纳】 题型一：倒数 1．（2024七年级上·全国）如果一个数的倒数等于它本身，那么这个数一定是（    ） A．0 B．1 C． D．1或 【答案】D 【分析】此题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解本题的关键． 根据乘积是1的两个数互为倒数，找出倒数等于本身的数即可． 【详解】解：如果一个数的倒数等于它本身，那么这个数一定是． 故选：D． 2．（2024·广东广州·三模）的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数定义，根据题意利用倒数定义（互为倒数的两个数乘积为1）即可得出本题答案． 【详解】解： ∴的倒数为， 故选：C． 3．（2024·江苏扬州·二模）下列各组数中，互为倒数的是（   ） A．5和 B．和 C．和 D．100和 【答案】C 【分析】本题主要考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解：，，， 由倒数的定义可知，只有C选项中的两个数互为倒数， 故选：C． 题型二：两个有理数的乘法运算 4．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据选项所给式子，逐个求解得到结果判定即可得到答案，熟练掌握有理数的乘法运算是解决问题的关键． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，错误，不符合题意； 故选：A． 5．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列各组运算结果符号为负的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的运算，根据有理数加法和忒覅覅毛将焉附他还不买各式的结果后再进行判断即可． 【详解】解：，是负数； ，既不是正数，也不是负数； ，是负数； ，是正数； 所以，结果为负数的有2个， 故选：B． 6．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3)7 (4) 【分析】本题考查了有理数的乘法．解题的关键是掌握有理数的乘法法则，特别要注意积的符号． （1）零乘以任何数都等于零，由此即可求解； （2）根据有理数的乘法运算法则即可求解； （3）根据有理数的乘法运算法则即可求解； （4）根据有理数的乘法运算法则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： （4）解：． 题型三：多个有理数的乘法运算 7．（2024七年级上·广西·专题练习）下列式子中，积的符号为负的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几个有理数的乘法．熟练掌握几个有理数的乘法的符号法则，是解决问题的关键．几个不为零的数相乘，积的符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正；几个数相乘，有一个因数为零，积为零． 根据几个有理数的乘法的符号法则逐一判断，即可以得到答案． 【详解】A、有两个负因数，积为正，故A不符合题意． B、有三个负因数，积为负，故B符合题意． C、有一个因数0，积为0，故C不符合题意． D、有四个负因数，积为正，故D不符合题意． 故选：B． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)700 【分析】本题考查了有理数乘法，解题的关键是掌握有理数乘法的运算法则． （1）将带分数化为假分数，根据有理数乘法的运算法则求解即可； （2）根据有理数乘法的运算法则，先确定符号，再进行乘法计算； （3）根据有理数乘法的运算法则，先确定符号，再进行乘法计算． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)35 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，解题关键是熟记有理数的乘法法则：几个有理数相乘，其中有个因数为0，其积为0；几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，并把绝对值相乘．根据有理数乘法法则进行计算便可． （1）结合几个有理数相乘，其中有个因数为0，其积为0，即可作答． （2）先把小数化为分数，再相乘，即可作答． （3）积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，确定得数的符号，然后把带分数化为假分数，再进行计算，即可作答． （4）积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，确定得数的符号，再相乘，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型四：有理数乘法运算律 10．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）运用了（   ） A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律和结合律 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是熟记有理数的乘法分配律，根据有理数的乘法分配律进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴上式子运用了乘法分配律， 故选：C 11．（23-24七年级上·福建福州·期中）对式子进行简便计算，如图所示，运用到的运算律①是（   ）． A．乘法交换律 B．乘法分配率 C．乘法结合律 D．加法交换律 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，根据计算过程结合有理数的乘法运算律进行判断即可得出答案，熟练掌握有理数的乘法运算律是解此题的关键． 【详解】解：，上面的计算中运用到的运算律是乘法结合律， 故选：C． 12．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）算式利用了（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法交换律 D．分配律 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘法分配律，乘法分配律的概念为：两个数的和乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数相乘，再把两个积相加，得数不变，用字母表示：，据此可得答案，熟知有理数乘法分配律的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，算式运用了乘法分配律， 故选：． 题型五：有理数的除法运算 13．（23-24七年级上·四川达州·期末）计算得（　　） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘除法，根据有理数的乘除法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 14．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）甲乙丙三位同学合乘一辆滴滴车去顺路的三个地点，事先约定三人根据路程分摊车费，甲在全程的四分之一处下车，甲下车时，乙离下车点还有一半的路程，丙坐完全程．已知乙支付了18元车费，则三人一共支付多少车费？（    ） A．36元 B．48元 C．63元 D．81元 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法的实际应用，根据题意得到甲乙丙的路程比，即可求得总车费． 【详解】解：由题意得甲乙丙三人的路程比为， 三人一共支付车费（元）， 故选：C． 15．（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，第一天织布尺，第天织布尺， ∴一共织布（尺）， 故选：． 题型六：有理数的乘除法实际应用 16．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5) 【分析】本题考查有理数的除法，有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，特别注意有多个数相除时，一般先将除法转化为乘法再进行运算．理解和掌握有理数除法、乘法法则是解题的关键． （1）（2）（3）根据有理数的除法运算法则计算即可； （4）（5）几个数相除，先把除法化为乘法，再按乘法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （2）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （3）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （4）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）我国是水资源比较贫乏的国家之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段来达到节约用水的目的，规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过20立方米时，水费按“基本价”收费；超过20平方米时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过部分按“调节价”收费．某户居民今年4、5月份的用水量和水费如表所示： 月份 用水量（立方米） 水费（元） 4 16 33.60 5 28 70.80 (1)请你算一算该市水费的“调节价”每立方米多少钱？ (2)若该户居民6月份用水量为32立方米，请你第一算，6月份的水费是多少元？ 【答案】(1)3.6元； (2)元． 【分析】（1）先求出基本价，然后再求出调节价即可； （2）根据基本价和调节价列式计算即可． 本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出相应的算式，准确计算． 【详解】（1）解： “基本价”： （元； “调节价”： （元 答：该市水费的“调节价”每立方米3.6元； （2）解：依题意 （元； 答：6月份的水费是元． 题型七：有理数的乘除法的混合计算 19．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)8 (2)5 (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算∶ （1）根据有理数的乘法、除法法则处理； （2）运用乘法分配律处理； （3）反用乘法分配律处理； （4）带分数拆项，化为减法，运用乘法分配律运算处理． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： ． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3)1 (4) 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，有理数四则混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据0除以任何一个不等于0的数，都得0可得答案； （2）首先确定结果的符号，再统一化成乘法，先约分，再相乘即可； （3）首先确定结果的符号，再统一化成乘法，先约分，再相乘即可； （4）先化成乘法，再利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 21．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算下列各题，能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2)40 (3)2023 (4)15 (5)1 (6)13 【分析】本题考查了有理数的乘法公式运算，有理数加减混合运算，有理数乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）化为分数是，把除法改写成乘法形式，再根据乘法分配律可进行简算； （2）根据除法的性质，把算式改写成连除形式可进行简算； （3）根据积不变的规律统一将其中一个因数转换为，再根据乘法分配律进行简算． （4），先根据带符号搬家，将算式变为，然后把化为，根据减法的性质和括号的应用，将算式变为进行简算即可； （5）仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分子中可变形为，同时发现，这样就可以把原式转化成分子与分母相同，从而简化运算； （6）在本题中，被除数提取公因数65，除数提取公因数5，再把和的和作为一个数来参与运算，会使计算简便很多． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【高分演练】 一、单选题 22．（2024·山东菏泽·二模）实数的倒数是，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解题的关键． 根据乘积是1的两个数互为倒数求出a即可． 【详解】解：∵的倒数是， ∴， 解得：， 故选：C． 23．（24-25七年级上·河南焦作·开学考试）运用了（    ）律进行计算． A．乘法交换 B．乘法结合 C．乘法分配 【答案】C 【分析】本题考查了乘法运算律的认识，熟练掌握乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律是解题的关键．利用乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律的定义判断即可． 【详解】解：， 运用了乘法分配律进行计算， 故选：C． 24．（2024·河北邢台·三模）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算法则成为解题的关键． 根据有理数的乘除法法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 25．（2024七年级上·全国·专题练习）将式子中的除法转化为乘法运算，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了把有理数乘除混合运算统一为乘法运算，根据有理数的乘除法法则求解即可． 【详解】解：把统一为加法运算为， 故选：B． 26．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列算式中，积为负数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据多个有理数相乘的法则：““几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正”，进行计算即可解答． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．中有4个负数，因此积是正数，故本选项不符合题意； C．中有3个负数，因此积是负数，故本选项符合题意； D．中有2个负数，因此积是正数，故本选项不符合题意． 故选：C． 27．（2024·江西吉安·模拟预测）在弹性范围内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比．若一根弹簧挂上物体时长，挂上物体时长，则挂上物体时长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，先计算出物体增重，弹簧长度增加多少，再根据题意列式计算即可． 【详解】解：由题意得：物体增重，弹簧长度增加， 挂上物体时长， 故选：B． 28．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知两个有理数，，如果且，那么（    ） A．， B．， C．，同号 D．，异号，且正数的绝对值较大 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法、加法，熟练掌握和灵活应用有理数的加法法则和乘法法则是解题的关键．由有理数的乘法法则，判断出，异号，再用有理数加法法则即可得出结论． 【详解】解：， ，异号， ， 正数的绝对值较大， 故选：D． 二、填空题 29．（24-25七年级上·河南信阳·开学考试）直接写出得数． （1）      （2）      （3） （4） （5）      （6）      （7）      （8） 【答案】 /0.75 10 10 9900 61 【分析】本题考查有理数的混合运算， （1）运用分数的加法解题即可； （2）利用分数的除法解题； （3）运用百分数的乘法解题； （4）先运算除法，然后运算减法解题； （5）先运算除法，然后运算减法解题； （6）利用乘法分配律的逆运算解题； （7）利用乘法分配律解题； （8）从左到右依次运算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 故答案为：，10，10，，，9900，61，． 30．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（盈亏问题）买来一批苹果，分给幼儿园大班的小朋友．如果每人分5个苹果，那么还剩余32个；如果每人分8个苹果，那么还有5个小朋友分不到苹果，这批苹果共有 个． 【答案】152 【分析】本题考查了盈亏问题，盈亏问题的解答思路是：通过比较已知条件，找出两个相关的差数，一是总差额，二是每份的差额，将这两个差相除，就可求出总份数，然后再求物品数；基本关系式为：总差额÷每份的差额=总份数．总差额是个，每份的差额是，将这两个差相除，就可求出总人数，然后再求苹果的个数即可． 【详解】解：（人）， （个）． 故答案为：152． 31．（24-25七年级上·全国·假期作业） ． 【答案】/ 【分析】本题考查了运算与技巧，先将公因数提出来，然后将分母进行裂项即可求解，根据式子的特点进行运算是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 32．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图1，A，B，C是数轴上从左到右排列的三点，在数轴上对应的数分别为，b，3，某同学将刻度尺按图2方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度尺1.5处，点C对齐刻度尺3.5处． （1）数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ． （2）有一质点P从点C处向点B方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此跳动下去，则第四次跳动后，数轴上点所表示数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上的动点问题是解题的关键． （1）根据点、是数轴上从左到右排列的点，进而根据数轴上两点距离可进行求解； （2）根据线段的长度及刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现你点对齐刻度尺，点对齐刻度尺处，即可通过比例关系求出的值，然后分别先求出线段的长度，既可以根据线段中点的概念进行求解． 【详解】解：（1），是数轴上从左到右排列的点，在数轴上对应的数分别为，3， ； ， 数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的， 故答案为：； （2）刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度尺处，点对齐刻度尺处，， ， 数轴上点对应的数为， ， 一质点从点处向点方向跳动，第一次跳动到的中点处， 点表示的数为， 第二次从点跳动到的中点处， 点表示的数为， 第三次从点跳动到的中点处， 点表示的数为， 第四次从点跳动到的中点处， 点表示的数为． 故答案为：． 三、解答题 33．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4) (5)5 (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】本题考查了有理数的除法运算，1、除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数；2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除（0除以任何一个非0的数，都得0）． （1）利用除法法则计算即可； （2）利用除法法则计算即可； （3）利用除法法则计算即可； （4）利用除法法则计算即可； （5）利用除法法则计算即可； （6）利用除法法则计算即可； （7）利用除法法则计算即可； （8）利用除法法则计算即可； （9）利用除法法则计算即可； （10）利用除法法则计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ； （9）解： ； （10）解： ． 34．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) (3) 【答案】(1) (2)1 (3)30 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数的运算律 （1）直接利用乘法的分配律进行简便运算即可； （2）先把除法化为乘法，再计算即可； （3）逆用乘法的分配律，进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 35．（2024七年级上·全国·专题练习）计算下面各题，要写出主要计算过程，能用简便方法的要用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查有理数四则混合运算．熟练掌握人理数四则混合运算法则与顺序是银题的关键． （1）按照乘法分配律计算； （2）先算除法，再算减法； （3）先算除法和乘法，再按照减法的性质计算； （4）先算小括号里面的除法，再算小括号里面的加法，最后算括号外面的乘法； （5）按照减法的性质计算中括号里面的减法，然后再算中括号外面的乘法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 36．（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）计算下面各题，能简算的要写出简算的过程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)13 (2)9 (3)4 (4)1 【分析】该题主要考查了有理数的四则运算，解题的关键是掌握对应的运算法则． （1）先算括号，再算除法即可求解； （2）小数变分数，根据乘法分配律逆运用计算即可； （3）除法变乘法，再根据乘法分配律计算乘法，最后计算加减法即可； （4）小数变分数，根据乘法分配律逆运用计算括号，最后算除法即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 37．（24-25七年级上·海南三亚·开学考试）一辆国产新能源汽车的标价是22万元．今年“618”商家搞促销活动：购车立减2万元，在此基础上一次性付款再打九八折． (1)湛湛家一次性付款购得这辆汽车，实际支付购车款多少万元？ (2)《中华人民共和国车辆购置税法》规定：在中华人民共和国境内购置汽车应当缴纳车辆购置税（购置税购车款）．为支持新能源车的发展，国家对购置日期在2024年1月1日至2025年12月31日期间的新能源汽车免征车辆购置税．请你算一算，湛湛家又可以节省多少万元？（得数保留两位小数） 【答案】(1)万元 (2)万元 【分析】本题主要考查了有理数乘除法的实际应用： （1）根据所给优惠方案列式计算即可； （2）根据购置税计算公式列式计算即可． 【详解】（1）解：万元， 答：湛湛家一次性付款购得这辆汽车，实际支付购车款万元； （2）解：万元， 答：湛湛家又可以节省万元． 38．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）小艾同学的父亲是一名交警，假期某天早上，小艾随父亲乘交通巡逻车从恒隆出发，在红旗路上巡视，中午到达学校门口，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶记录如下．单位：． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)巡逻车在巡逻过程中，第 次离恒隆最远． (2)学校在恒隆哪个方向，与恒隆相距多少千米？ (3)若每千米耗油升，每升汽油需元，问这半天交通巡逻车所需汽油费多少元？ 【答案】(1)六； (2)学校在恒隆东面，与恒隆相距千米； (3)交通巡逻车所需汽油费为元． 【分析】（）求出每次记录时恒隆的距离，数值最大的为最远的距离： （）把次记录相加，根据和的情况判断学校与恒隆的关系即可； （）求出所有记录的绝对值的和，再乘以计算即可得解； 本题考查了正负数的意义，有理数的加法和乘法的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：，，，，，，， ∵最大， ∴第六次离恒隆最远， 故答案为：六； （2）解：∵， ∴学校在恒隆东面，与恒隆相距千米； （3）解：小艾和父亲巡逻所走路程： 千米， 巡逻车所需汽油费：元， 答：交通巡逻车所需汽油费为元． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$