第13讲 平均数（3知识3题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（苏科版）

第13讲 平均数 课程标准 学习目标 1 理解平均数的意义和作用； 2 会计算一组数据的算术平均数； 3 能运用平均数解决简单的实际问题。 1. 理解平均数的概念和计算方法； 2. 掌握平均数在实际生活中的应用； 3. 提高数据分析和解决问题的能力。 知识点一、算术平均数 一般地，如果有n个数，那么叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，“”读作“拔”. 1.求算术平均数时，只需将所有数据加起来求出总和，再除以数据的总个数即可； 2.通常，平均数可以用来表示一组数据的“集中趋势”； 3.在实际问题中，算数平均数要带单位，与原数据单位一致； 4.算术平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系； 5.算术平均数的缺点是 受个别值的影响，有时并不能代表一组数据的平均水平； 6.一组数据的平均值只有一个，每个数据的变化都会引起平均值的变化（若添上或去掉的这个数据刚好与平均数相同，就不会引起平均值的变化）. 知识点二、平均数的简化公式 一般地，一组数据中的各个数值较大时，可以将各个数据减去一个适当的常数a（常数a通常取接近于这组数据的平均数较“整”的数），得到一组新数据：那么这组数据的平均数. 知识点三、加权平均数 1.权的概念 一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的数值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关，我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权. 2.加权平均数的计算公式 （1）一般地，设为k个数据，依次为k个数据的权数，则称为这组数据的加权平均数. （2）数据按的比计算平均数，则 （3）设数据所占的百分比分别为，且，则. 题型01 求一组数据的平均数 1．已知一组数据：2，4，3，2，4．则这组数据的平均数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据平均数的公式进行计算即可得出答案． 【解答】解：（2+4+3+2+4）＝3． 故选：B． 【点评】此题主要考查了平均数，熟练掌握平均数的计算公式是解决问题的关键． 2．在一次歌唱祖国演唱比赛中，评分办法采用7位评委现场打分，每位选手的最后得分为去掉最低分、最高分后的平均数．已知7位评委给某位选手的打分为：94，94，93，98，99，98，96，那么这位选手的最后得分是（　　） A．94 B．96 C．97 D．98 【分析】根据算术平均数的概念计算可得． 【解答】解：这位选手的最后得分是：（94+94+93+98+99+98+96）＝96（分）． 故选：B． 【点评】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的概念． 3．x1，x2，…，x10的平均数为a，x11，x12，…，x50的平均数为b，则x1，x2，…，x50的平均数为（　　） A．a+b B． C． D． 【分析】先求前10个数的和，再求后40个数的和，然后利用平均数的定义求出50个数的平均数． 【解答】解：前10个数的和为10a，后40个数的和为40b，50个数的平均数为． 故选：D． 【点评】正确理解算术平均数的概念是解题的关键． 4．杭州亚运会射箭比赛中，某运动员6箭的成绩（单位：环）依次是x1，x2，x3，x1+1，x2+2，x3+3．若前3箭的平均成绩为7环，则这6箭的平均成绩为 　　环． 【分析】根据前3箭的平均成绩为7环，可以得到前三箭的总环数，从而可以得到这六箭的总环数，从而可以得到平均成绩． 【解答】解：由题意可得， x1+x2+x3＝3×7＝21， ∴（x1+x2+x3+x1+1+x2+2+x3+3）÷6 ＝48÷6 ＝8（环）， 即这6箭的平均成绩为8环， 故答案为：8． 【点评】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的平均成绩． 题型02 已知平均数求未知数据的值 1．样本数据2、a、3、4的平均数是3，则a的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据平均数的公式计算出a的值即可． 【解答】解：∵数据2、a、3、4的平均数是3， ∴a＝3×4﹣（2+3+4） ＝12﹣9 ＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了算术平均数，对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数． 2．一组数据6，8，10，x的平均数是9，则x的值为 　12　． 【分析】根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数列式计算即可． 【解答】解：∵一组数据6，8，10，x的平均数是9， ∴， 解得x＝12． 故答案为：12． 【点评】本题考查了算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的计算公式． 3．已知一组数据4，8，1，7，x的平均数是5，则x是 　5　． 【分析】根据算术平均数的定义列出关于x的方程，解之可得x的值． 【解答】解：根据题意知，5， 解得：x＝5， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数定义：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数． 题型03 加权平均数 1．小明参加演讲比赛的得分情况如表： 服装 普通话 主题 得分 90 80 88 评总分时，按服装占15%，普通话占35%，主题占50%，她的总得分是（　　） A．86 B．85.5 C．86.5 D．88 【分析】根据加权平均数的计算公式进行计算即可． 【解答】解：她的总得分是：90×15%+80×35%+88×50%＝85.5． 故选：B． 【点评】本题考查的是加权平均数，熟记加权平均数的计算公式是解决本题的关键． 2．某公司在对员工进行招聘时，主要对员工的专业知识、应变能力和工作能力三方面进行考核，并将这三项成绩分别按30%、20%和50%的比例计算总成绩．小王的各项成绩（单位：分）如下表，则小王的考核总成绩为（　　） 姓名 专业知识 应变能力 工作能力 小王 85 80 95 A．84 B．85 C．87 D．89 【分析】根据表格中的数据和加权平均数的计算方法解答即可． 【解答】解：小王的考核总成绩为：85×30%+80×20%+95×50%＝89（分）， 故选：D． 【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的加权平均数． 3．学校从德、智、体、美、劳五方面对学生进行评定，分别按2：3：2：2：1确定最终成绩．小明同学本学期五方面得分如图所示，则小明的最终得分为 　　． 【分析】根据加权平均数的计算方法即可解答本题． 【解答】解：由题意可得，9（分）， 故答案为：（9分）． 【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法． 4．某新闻机构正在招聘记者，为了全面评估应聘者的能力，设置了三项考核项目：A新闻写作能力、B采访能力、C新闻敏感度，每项考核满分100分．现有甲、乙、丙三位应聘者，他们的各项考核得分如表（单位：分）： 新闻写作能力 采访能力 新闻敏感度 甲 85 95 75 乙 90 85 85 丙 80 85 90 （1）从平均分的角度看，谁将被录取？ （2）如果A、B、C三项能力的成绩按2：5：3计算平均成绩，请说明谁将被录用． 【分析】（1）利用平均数的公式即可直接求解，即可判断； （2）利用加权平均数公式求解，即可判断． 【解答】解：（1）甲、乙、丙三人的平均分分别是85，，85． 因为85， 所以乙将被录取； （2）甲的加权平均分是：87（分）， 乙的加权平均分是：86（分）， 丙的加权平均分是：85.5（分）， 因为甲的加权平均分最高，所以甲将被录用． 【点评】本题考查了算术平均数和加权平均数的计算．平均数等于所有数据的和除以数据的个数． 1．某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分，80分，80分，若依次按照30%，45%，25%的百分比确定成绩，则该选手的成绩是（　　） A．86分 B．85分 C．84分 D．83分 【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【解答】解：根据题意得： 90×30%+80×45%+80×25%＝83（分）， 故选：D． 【点评】本题主要考查了加权平均数，解题的关键是熟记加权平均数的定义及计算方法． 2．某单位招聘一名员工，从专业知识、工作业绩、面试成绩三个方面进行考核（考核的满分均为100分），三个方面的权重比依次为2：4：4．小明经过考核后所得的分数依次为90，85，80分，那么小明考核的最后得分是（　　） A．80 B．84 C．87 D．90 【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可． 【解答】解：小明考核的最后得分为84（分）， 故选：B． 【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 3．设记号*表示求a、b算术平均数的运算，即，则下列等式中对于任意实数a、b、c都成立的是（　　） ①a+（b*c）＝（a+b）*（a+c）； ②a*（b+c）＝（a+b）*c； ③a*（b+c）＝（a*b）+（a*c）； ④． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④ 【分析】根据材料新定义运算的描述，把等式的两边进行变形比较即可． 【解答】解：①中a+（b*c）＝a，（a+b）*（a+c）a，所以①成立； ②中a*（b+c），（a+b）*c，所以②成立； ③中a*（b+c），（a*b）+（a*c），所以③不成立； ④中（a*b）+c，所以④成立． 故选：B． 【点评】本题考查了算术平均数、实数的运算，理解材料中算术平均数的定义是关键． 4．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为10，则另一组数据2x1﹣3，2x2﹣3，2x3﹣3，2x4﹣3，2x5﹣3的平均数为（　　） A．20 B．17 C．7 D．23 【分析】由题意知，x1+x2+x3+x4+x5＝50，再代入（2x1﹣3+2x2﹣3+2x3﹣3+2x4﹣3+2x5﹣3）[2（x1+x2+x3+x4+x5）﹣15]计算即可． 【解答】解：由题意知，x1+x2+x3+x4+x5＝50， 则新数据的平均数为（2x1﹣3+2x2﹣3+2x3﹣3+2x4﹣3+2x5﹣3） [2（x1+x2+x3+x4+x5）﹣15] （2×50﹣15） 85 ＝17， 故选：B． 【点评】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义． 5．学校广播站要招聘1名记者，小明、小亮和小丽报名参加了3项素质测试，成绩如下： 采访写作 计算机 创意设计 小明 70分 60分 86分 小亮 90分 75分 51分 小丽 60分 84分 72分 现在要计算3人的加权平均分，如果将采访写作、计算机和创意设计这三项的权重比由3：5：2变成5：3：2，成绩变化情况是（　　） A．小明增加最多 B．小亮增加最多 C．小丽增加最多 D．三人的成绩都增加 【分析】根据加权平均数的概念分别计算出3人的各自成绩．先求出采访写作、计算机和创意设计这三项的权重比3：5：2是各自的成绩，然后再求出这三项权重比5：3：2是各自的成绩，进行比较． 【解答】解：当采访写作、计算机和创意设计这三项的权重比为3：5：2时， 小明的成绩＝（70×3+60×5+86×2）÷10＝68.2； 小亮的成绩＝（90×3+75×5+51×2）÷10＝74.7； 小丽的成绩＝（60×3+84×5+72×2）÷10＝74.4； 当采访写作、计算机和创意设计这三项的权重比为5：3：2时， 小明的成绩＝（70×5+60×3+86×2）÷10＝70.2； 小亮的成绩＝（90×5+75×3+51×2）÷10＝77.7； 小丽的成绩＝（60×5+84×3+72×2）÷10＝69.6； ∴小明的成绩变化为70.2﹣68.2＝2； 小亮的成绩变化为77.7﹣74.7＝3； 小丽的成绩变化为69.6﹣74.4＝﹣4.8； ∴小亮增加最多． 故选：B． 【点评】本题考查了加权平均数的计算；也说明了不同的权重时，各人的成绩排名不同． 6．若x1，x2，x3的平均数是2020，则x1+3，x2+3，x3+3的平均数是 　2023　． 【分析】根据平均数的定义求解． 【解答】解：由题意（x1+x2+x3）＝2020， ∴x1+3，x2+3，x3+3的平均数（x1+3+x2+3+x3+3）（x1+x2+x3）+3＝2020+3＝2023． 故答案为：2023． 【点评】本题考查算术平均数，解题的关键是理解平均数的定义，属于中考常考题型． 7．某招聘考试分笔试和面试两部分．其中笔试成绩按80%、面试成绩按20%计算加权平均数作为总成绩．小明笔试成绩为80分，面试成绩为85分，那么小明的总成绩为 　81　分． 【分析】根据加权平均数的计算公式解答即可． 【解答】解：∵笔试成绩按80%、面试成绩按20%， ∴总成绩是80×80%+85×20%＝81（分）， 故答案为：81． 【点评】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 8．某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示： 项目 应聘者 综合知识 工作经验 语言表达 甲 75 80 80 乙 85 80 70 丙 70 78 70 如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5：2：3的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是 　乙　． 【分析】根据表格中的数据和加权平均数的计算方法，可以分别求出甲、乙、丙的成绩，然后比较大小即可． 【解答】解：由题意可得， 甲的成绩为：77.5， 乙的成绩为：79.5， 丙的成绩为：71.6， ∵79.5＞77.5＞71.6， ∴乙将被录取， 故答案为：乙． 【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的加权平均数． 9．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力和态度三个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如右表： 项目 应聘者 甲 乙 丙 学历 9 8 8 能力 7 6 8 态度 5 8 5 公司将学历、能力、态度按20%、m%、n%（n＞20）的比例确定每个人的最终得分，并以此为依据最终丙被录取，则m的取值范围是 　48＜m＜60　． 【分析】根据加权平均数的定义列式计算得出三人的平均成绩，再得出不等式组，即可得出答案． 【解答】解：∵n＝80﹣m， ∴甲最终得分为[9×20%+7×m%+5×（80﹣m）%]＝0.02m+5.8， 乙最终得分为[8×20%+6×m%+8×（80﹣m）%]＝8﹣0.02m， 丙最终得分为[8×20%+8×m%+5×（80﹣m）%]＝0.03m+5.6， ∵最终丙被录取， ∴， 解得：48＜m＜60． 故答案为：48＜m＜60． 【点评】本题主要考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法进行求解是解决本题的关键． 10．某班举行一次阅江楼文化知识竞赛，共甲，乙，丙三题，每题或者得满分或者得0分，其中题甲满分20分，题乙、题丙满分25分．竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题甲的人数与答对题乙的人数之和为29人；答对题甲的人数与答对题丙的人数之和为25人；答对题乙的人数与答对题丙的人数之和为20人．则这个班级的平均成绩是 　42　分． 【分析】设答对题的有x人，答对乙题的有y人，答对丙题的有z人，根据“答对题甲的人数与答对题乙的人数之和为29，答对题甲的人数与答对题c的人数之和为25，答对题乙的人数与答对题丙的人数之和为20”，即可得出关于x、y、z的三元一次方程组，解之即可得出x、y、z的值，由x、y、z的值结合甲、乙、丙三题的分值可求出全班总得分，由x、y、z的值结合答对两题及答对三题的人数可求出全班总人数，再利用平均分＝总分÷人数，即可求出结论． 【解答】解：设答对甲题的有x人，答对乙题的有y人，答对丙题的有z人， 根据题意得：， 解得， 全班总得分为17×20+（12+8）×25＝840（分）， 全班总人数为17+12+8﹣1×15﹣1﹣1＝20（人）， 全班的平均成绩为840÷20＝42（分）． 故答案为：42． 【点评】本题考查了算术平均数以及三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 11．小明骑车从家出发，去离家4千米的图书馆，借了书后因自行车坏了，乘公共汽车回家．如图表示在这段时间里小明离家路程的变化情况． （1）小明从家去图书馆平均每分钟行多少千米？ （2）小明从图书馆回家平均每分钟行多少千米？ 【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”计算即可； （2）根据“速度＝路程÷时间”计算即可． 【解答】解：（1）4÷15（千米/分钟）， 答：小明从家去图书馆平均每分钟行千米； （2）4÷（40﹣30）＝0.4（千米/分钟）， 答：小明从图书馆回家平均每分钟行0.4千米． 【点评】本题考查了函数的图象，路程＝速度×时间之间的关系的运用，借助图象是解题关键． 12．“强国”自习室规定，每人每天学习需一次性支付10元场地费．随机抽取自习室一周的学习人数如下表（单位：人）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 54 68 76 64 96 220 178 756 （1）求该自习室本周的日平均营业额． （2）如果用该自习室本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额，你认为是否合理？如果合理，请说明理由；如果不合理，请设计一个方案，并估计该自习室当月（按30天计算）的营业总额． 【分析】（1）根据平均数的定义计算可得； （2）从极端值对平均数的影响作出判断，可用该自习室本周一到周日的日均营业额估计当月营业额． 【解答】解：（1）该店本周的日平均营业额为756×10÷7＝1080（元）， 所以该自习室本周的日平均营业额为1080元； （2）因为在周一至周日的营业额中周六、日的营业额明显高于其他五天的营业额， 所以去掉周六、日的营业额对平均数的影响较大， 故用该自习室本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额不合理， 方案：用该自习室本周一到周日的日均营业额估计当月营业额， 当月的营业额为30×1080＝32400（元）． 【点评】本题主要考查算术平均数及样本估计总体，解题的关键是掌握算术平均数的定义与样本估计总体思想的运用． 13．商场将单价不同的甲、乙两种糖果混合成什锦糖售卖．若该商场采用以下两种不同方式混合： 方式1：将质量相等都为x千克的甲、乙糖果进行混合； 方式2：将总价相等都为y元的甲、乙糖果进行混合． （1）甲、乙糖果的单价分别为a元/千克、b元/千克（a≠b），用含a、b的代数式分别表示两种混合方式的什锦糖的单价； （2）哪种混合方式的什锦糖的单价更低？请说明理由． 【分析】（1）根据加权平均数的计算公式和两种糖果的单价和克数，列出算式进行计算即可； （2）利用作差法比较大小，可得答案． 【解答】解：（1）设按方式1混合后单价为m元/千克，按方式2混合后单价为n元/千克， 则m（元/千克），n（元/千克）， 答：两种混合方式的什锦糖的单价分别为元/千克，元/千克； （2）方式2什锦糖的单价更低，理由为： m﹣n， ∵a≠b， ∴（a﹣b）2＞0， 又∵2（a+b）＞0， ∴0， 即m﹣n＞0， ∴m＞n， ∴方式2什锦糖的单价更低． 【点评】本题主要考查了加权平均数和列代数式的知识，解题的关键是掌握加权平均数的公式，此题难度不大． 14．某单位对应聘者甲、乙、丙进行面试，并从专业知识、工作经验、仪表形象三方面给应聘者打分，每一方面满分20分，最后的打分情况如下表所示． 甲 乙 丙 专业知识 14 18 16 工作经验 17 15 15 仪表形象 12 11 14 （1）如果专业知识、工作经验、仪表形象三个方面的重要性之比为10：7：3，那么作为人事主管，你应该录用哪一位应聘者？为什么？ （2）在（1）的条件下，你对落聘者有何建议？ 【分析】先按10：7：3的比例算出甲、乙、丙的得分，然后再对数据进行分析来确定录用谁和如何提建议． 【解答】解：（1）甲得分：141712； 乙得分：181511； 丙得分：161514． ∴应录用乙． （2）建议例如：对甲而言，应加强专业知识的学习，同时要注意自己的仪表形象． 对丙而言，三方面都要努力，重点在专业知识和工作经验． 【点评】本题考查了加权平均数的求法和对图表数据的分析能力． 15．某班为了从甲、乙两位同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评，A、B、C、D、E五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50位同学参与了民主测评．结果如表所示： 表1 演讲答辩得分表（单位：分） A B C D E 甲 90 92 94 95 88 乙 89 86 87 94 91 表2　 民主测评票数统计表（单位：张） “好”票数 “较好”票数 “一般”票数 甲 40 7 3 乙 42 4 4 规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；民主测评得分＝“好”票数×2分+“较好”票数×1分+“一般”票数×0分；综合得分＝演讲答辩得分×（1﹣a）+民主测评得分×a（0.5≤a≤0.8）； （1）当a＝0.6时，甲的综合得分是多少？ （2）如果以综合得分来确定班长，试问：甲、乙两位同学哪一位当选为班长？并说明理由． 【分析】（1）由题意可知：分别计算出甲的演讲答辩得分以及甲的民主测评得分，再将a＝0.6代入公式计算可以求得甲的综合得分； （2）同（1）一样先计算出乙的演讲答辩得分以及乙的民主测评得分，得出乙的综合得分，再与甲的综合得分比较，即可得出两位同学哪一位当选为班长． 【解答】解：（1）甲的演讲答辩得分92（分）， 甲的民主测评得分＝40×2+7×1+3×0＝87（分）， 当a＝0.6时，甲的综合得分＝92×（1﹣0.6）+87×0.6＝36.8+52.2＝89（分）； 答：当a＝0.6时，甲的综合得分是89分； （2）∵乙的演讲答辩得分89（分）， 乙的民主测评得分＝42×2+4×1+4×0＝88（分）， ∴乙的综合得分为：89（1﹣a）+88a，甲的综合得分为：92（1﹣a）+87a， 当92（1﹣a）+87a＞89（1﹣a）+88a时，即有a， 又0.5≤a≤0.8， ∴0.5≤a＜0.75时，甲的综合得分高，甲应当选为班长； 当92（1﹣a）+87a＜89（1﹣a）+88a时，即有a， 又0.5≤a≤0.8， ∴0.75＜a≤0.8时，乙的综合得分高，乙应当选为班长． 【点评】本题考查的是加权平均数的求法．同时还考查了解不等式，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键． 16．定义：对于两个正数a和b，a，b的算术平均数，a，b的调和平均数． 【观察归纳】（用“＜”、“＝”或“＞”填空） ①若a＝2，b＝4，则A 　＞　H；②若，，则A 　＞　H； ③若a＝6，b＝6，则A 　＝　H； 【猜想验证】 ①猜想：对于两个正数a和b，则A 　≥　H；（用“＜”、“＝”、“＞”、“≥”或“≤”填空） ②请验证你的猜想． 【拓展应用】 甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距skm，若一艘游轮顺流航行的速度为mkm/h，逆流航行速度为nkm/h（m＞n＞0），比较该游轮在静水中的速度和往返两港口的平均速度的大小． 【分析】观察归纳：①根据新定义进行计算比较即可； ②根据新定义进行计算比较即可； ③根据新定义进行计算比较即可； 猜想验证：①根据新定义和①②进行猜想比较即可； ②运用作差法进行比较即可； 扩展应用：先表示出游轮在静水中的速度和往返两港口的平均速度，然后再运用猜想验证中的结论进行解答即可． 【解答】解：观察归纳：①a＝2，b＝4，则A3， H， ∴A＞H； 故答案为：＞； ②若，，则A， H， ∴A＞H； 故答案为：＞； ③若a＝6，b＝6，则A6， H6， ∴A＝H， 故答案为：＝； 猜想验证：①根据观察归纳可猜想：A≥H， 故答案为：≥； ②证明：A﹣H ， ∵两个正数a和b， ∴（a﹣b）2≥0，2（a+b）＞0， ∴0， ∴A≥H． 扩展应用： 静水中的速度为：（km/h）； 往返两港口的平均速度：（km/h）； ∵m＞n＞0， ∴由猜想验证的结论可得：， ∴该游轮在静水中的速度大于等于往返两港口的平均速度． 【点评】本题主要考查的是算术平均数，理解新定义是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 平均数 课程标准 学习目标 1 理解平均数的意义和作用； 2 会计算一组数据的算术平均数； 3 能运用平均数解决简单的实际问题。 1. 理解平均数的概念和计算方法； 2. 掌握平均数在实际生活中的应用； 3. 提高数据分析和解决问题的能力。 知识点一、算术平均数 一般地，如果有n个数，那么叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，“”读作“拔”. 1.求算术平均数时，只需将所有数据加起来求出总和，再除以数据的总个数即可； 2.通常，平均数可以用来表示一组数据的“集中趋势”； 3.在实际问题中，算数平均数要带单位，与原数据单位一致； 4.算术平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系； 5.算术平均数的缺点是 受个别值的影响，有时并不能代表一组数据的平均水平； 6.一组数据的平均值只有一个，每个数据的变化都会引起平均值的变化（若添上或去掉的这个数据刚好与平均数相同，就不会引起平均值的变化）. 知识点二、平均数的简化公式 一般地，一组数据中的各个数值较大时，可以将各个数据减去一个适当的常数a（常数a通常取接近于这组数据的平均数较“整”的数），得到一组新数据：那么这组数据的平均数. 知识点三、加权平均数 1.权的概念 一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的数值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关，我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权. 2.加权平均数的计算公式 （1）一般地，设为k个数据，依次为k个数据的权数，则称为这组数据的加权平均数. （2）数据按的比计算平均数，则 （3）设数据所占的百分比分别为，且，则. 题型01 求一组数据的平均数 1．已知一组数据：2，4，3，2，4．则这组数据的平均数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．在一次歌唱祖国演唱比赛中，评分办法采用7位评委现场打分，每位选手的最后得分为去掉最低分、最高分后的平均数．已知7位评委给某位选手的打分为：94，94，93，98，99，98，96，那么这位选手的最后得分是（　　） A．94 B．96 C．97 D．98 3．x1，x2，…，x10的平均数为a，x11，x12，…，x50的平均数为b，则x1，x2，…，x50的平均数为（　　） A．a+b B． C． D． 4．杭州亚运会射箭比赛中，某运动员6箭的成绩（单位：环）依次是x1，x2，x3，x1+1，x2+2，x3+3．若前3箭的平均成绩为7环，则这6箭的平均成绩为 　　环． 题型02 已知平均数求未知数据的值 1．样本数据2、a、3、4的平均数是3，则a的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．一组数据6，8，10，x的平均数是9，则x的值为 　 　． 3．已知一组数据4，8，1，7，x的平均数是5，则x是 　 　． 题型03 加权平均数 1．小明参加演讲比赛的得分情况如表： 服装 普通话 主题 得分 90 80 88 评总分时，按服装占15%，普通话占35%，主题占50%，她的总得分是（　　） A．86 B．85.5 C．86.5 D．88 2．某公司在对员工进行招聘时，主要对员工的专业知识、应变能力和工作能力三方面进行考核，并将这三项成绩分别按30%、20%和50%的比例计算总成绩．小王的各项成绩（单位：分）如下表，则小王的考核总成绩为（　　） 姓名 专业知识 应变能力 工作能力 小王 85 80 95 A．84 B．85 C．87 D．89 3．学校从德、智、体、美、劳五方面对学生进行评定，分别按2：3：2：2：1确定最终成绩．小明同学本学期五方面得分如图所示，则小明的最终得分为 　　． 4．某新闻机构正在招聘记者，为了全面评估应聘者的能力，设置了三项考核项目：A新闻写作能力、B采访能力、C新闻敏感度，每项考核满分100分．现有甲、乙、丙三位应聘者，他们的各项考核得分如表（单位：分）： 新闻写作能力 采访能力 新闻敏感度 甲 85 95 75 乙 90 85 85 丙 80 85 90 （1）从平均分的角度看，谁将被录取？ （2）如果A、B、C三项能力的成绩按2：5：3计算平均成绩，请说明谁将被录用． 1．某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分，80分，80分，若依次按照30%，45%，25%的百分比确定成绩，则该选手的成绩是（　　） A．86分 B．85分 C．84分 D．83分 2．某单位招聘一名员工，从专业知识、工作业绩、面试成绩三个方面进行考核（考核的满分均为100分），三个方面的权重比依次为2：4：4．小明经过考核后所得的分数依次为90，85，80分，那么小明考核的最后得分是（　　） A．80 B．84 C．87 D．90 3．设记号*表示求a、b算术平均数的运算，即，则下列等式中对于任意实数a、b、c都成立的是（　　） ①a+（b*c）＝（a+b）*（a+c）； ②a*（b+c）＝（a+b）*c； ③a*（b+c）＝（a*b）+（a*c）； ④． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④ 4．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为10，则另一组数据2x1﹣3，2x2﹣3，2x3﹣3，2x4﹣3，2x5﹣3的平均数为（　　） A．20 B．17 C．7 D．23 5．学校广播站要招聘1名记者，小明、小亮和小丽报名参加了3项素质测试，成绩如下： 采访写作 计算机 创意设计 小明 70分 60分 86分 小亮 90分 75分 51分 小丽 60分 84分 72分 现在要计算3人的加权平均分，如果将采访写作、计算机和创意设计这三项的权重比由3：5：2变成5：3：2，成绩变化情况是（　　） A．小明增加最多 B．小亮增加最多 C．小丽增加最多 D．三人的成绩都增加 6．若x1，x2，x3的平均数是2020，则x1+3，x2+3，x3+3的平均数是 　 　． 7．某招聘考试分笔试和面试两部分．其中笔试成绩按80%、面试成绩按20%计算加权平均数作为总成绩．小明笔试成绩为80分，面试成绩为85分，那么小明的总成绩为 　 　分． 8．某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示： 项目 应聘者 综合知识 工作经验 语言表达 甲 75 80 80 乙 85 80 70 丙 70 78 70 如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5：2：3的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是 　 　． 9．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力和态度三个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如右表： 项目 应聘者 甲 乙 丙 学历 9 8 8 能力 7 6 8 态度 5 8 5 公司将学历、能力、态度按20%、m%、n%（n＞20）的比例确定每个人的最终得分，并以此为依据最终丙被录取，则m的取值范围是 　 　． 10．某班举行一次阅江楼文化知识竞赛，共甲，乙，丙三题，每题或者得满分或者得0分，其中题甲满分20分，题乙、题丙满分25分．竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题甲的人数与答对题乙的人数之和为29人；答对题甲的人数与答对题丙的人数之和为25人；答对题乙的人数与答对题丙的人数之和为20人．则这个班级的平均成绩是 　 　分． 11．小明骑车从家出发，去离家4千米的图书馆，借了书后因自行车坏了，乘公共汽车回家．如图表示在这段时间里小明离家路程的变化情况． （1）小明从家去图书馆平均每分钟行多少千米？ （2）小明从图书馆回家平均每分钟行多少千米？ 12．“强国”自习室规定，每人每天学习需一次性支付10元场地费．随机抽取自习室一周的学习人数如下表（单位：人）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 54 68 76 64 96 220 178 756 （1）求该自习室本周的日平均营业额． （2）如果用该自习室本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额，你认为是否合理？如果合理，请说明理由；如果不合理，请设计一个方案，并估计该自习室当月（按30天计算）的营业总额． 13．商场将单价不同的甲、乙两种糖果混合成什锦糖售卖．若该商场采用以下两种不同方式混合： 方式1：将质量相等都为x千克的甲、乙糖果进行混合； 方式2：将总价相等都为y元的甲、乙糖果进行混合． （1）甲、乙糖果的单价分别为a元/千克、b元/千克（a≠b），用含a、b的代数式分别表示两种混合方式的什锦糖的单价； （2）哪种混合方式的什锦糖的单价更低？请说明理由． 14．某单位对应聘者甲、乙、丙进行面试，并从专业知识、工作经验、仪表形象三方面给应聘者打分，每一方面满分20分，最后的打分情况如下表所示． 甲 乙 丙 专业知识 14 18 16 工作经验 17 15 15 仪表形象 12 11 14 （1）如果专业知识、工作经验、仪表形象三个方面的重要性之比为10：7：3，那么作为人事主管，你应该录用哪一位应聘者？为什么？ （2）在（1）的条件下，你对落聘者有何建议？ 15．某班为了从甲、乙两位同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评，A、B、C、D、E五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50位同学参与了民主测评．结果如表所示： 表1 演讲答辩得分表（单位：分） A B C D E 甲 90 92 94 95 88 乙 89 86 87 94 91 表2　 民主测评票数统计表（单位：张） “好”票数 “较好”票数 “一般”票数 甲 40 7 3 乙 42 4 4 规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；民主测评得分＝“好”票数×2分+“较好”票数×1分+“一般”票数×0分；综合得分＝演讲答辩得分×（1﹣a）+民主测评得分×a（0.5≤a≤0.8）； （1）当a＝0.6时，甲的综合得分是多少？ （2）如果以综合得分来确定班长，试问：甲、乙两位同学哪一位当选为班长？并说明理由． 16．定义：对于两个正数a和b，a，b的算术平均数，a，b的调和平均数． 【观察归纳】（用“＜”、“＝”或“＞”填空） ①若a＝2，b＝4，则A 　 　H；②若，，则A 　 　H； ③若a＝6，b＝6，则A 　 　H； 【猜想验证】 ①猜想：对于两个正数a和b，则A 　 　H；（用“＜”、“＝”、“＞”、“≥”或“≤”填空） ②请验证你的猜想． 【拓展应用】 甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距skm，若一艘游轮顺流航行的速度为mkm/h，逆流航行速度为nkm/h（m＞n＞0），比较该游轮在静水中的速度和往返两港口的平均速度的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$