第20讲 反比例函数的应用（2大考点6大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（北师大版）

第20讲 反比例函数的应用 课程标准 学习目标 反比例函数解决简单的实际问题． 1. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，并能结合图象加深对问题的理解． 2．根据条件求出函数解析式，运用学过的函数知识解决反比例函数的应用问题，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识． 知识点一：反比例函数在实际问题中的应用 （1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2）设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 知识点二：反比例函数的实际应用 常见函数关系： 当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； 当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； 在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； 电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 题型01 实际问题中反比例函数图象 1．在化学课上，老师教同学们配制食盐溶液，若有食盐，则溶液的浓度y与加水后溶液质量x之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象，根据题意求出y与x的函数解析式，即可判断其图象． 【详解】解∶根据题意，得，即． ∴函数图象为双曲线在第一象限的部分． 故答案：C． 2．密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积y（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度p与体积y是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是（    ） A．函数解析式为 B．容器内气体密度随着气体的体积v的增大而增大 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据题意确定反比例函数的解析式，难度不大．利用待定系数法确定反比例函数的解析式，再逐一判定即可． 【详解】解：设， 将代入得， 解得， ，故A选项错误，不符合题意； 容器内气体密度随着气体的体积v的增大而减小，故B选项说法错误，不符合题意； 将代入得，解得：， 当时，，故C选项正确，符合题意； 将代入得，解得，故D选项错误，不符合题意． 故选：C． 3．在一次物理实验中，小明同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值是定值）亮度的实验（如图1）．已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，图2是I关于R的函数图象，则下列说法中错误的是（　　） A．灯丝的阻值为 B．用含R的代数式表示I为 C．当滑动变阻器的电阻为时，串联电路电流为 D．要使通过灯泡的电流不低，则调节滑动变阻器电阻的范围为 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用．观察图象得：当时，，可得，再根据反比例函数的性质解答，即可求解． 【详解】解：观察图象得：当时，， ∴，解得：， 即灯丝的阻值为，故A选项正确，不符合题意； ∴用含R的代数式表示I为，故B选项正确，不符合题意； 当时，， 即当滑动变阻器的电阻为时，串联电路电流为，故C选项正确，不符合题意； ∵通过灯泡的电流不低， ∴，解得：， 即要使通过灯泡的电流不低，则调节滑动变阻器电阻的范围为，故D选项错误，符合题意； 故选：D 4．如图①所示的家用扫地机器人，其底部安装有滚刷，内置集尘器，机器人在除尘时先“脱灰”（滚刷将灰尘从地面上脱离附着），后“吸灰”（将脱附的灰尘转移进集尘器）．研究滚刷滚速对“脱灰”效果的影响，小静在保持扫地机器人“吸灰”效果一定的情况下，对除尘过程中滚刷的滚速与除尘能力（在地面撒灰后，清扫10次所减少的灰占所撒的灰总质量的比）进行了试验，得到如图②所示的关系图，规定除尘能力超过即为及格．则下列说法正确的是（    ）    A．除尘能力关于滚刷的滚速的图象是反比例函数图象的一部分 B．随着滚刷滚速的增加，除尘能力增加得越来越快 C．当滚速为1300转/分时，除尘能力为及格 D．除尘能力的数值越大，表示除尘能力越强 【答案】D 【分析】本题考查函数图象的应用，根据函数图象提供的信息及题干描述信息逐项判断即可得出答案． 【详解】解：由图象知，函数图象经过点，，由可知除尘能力关于滚刷的滚速的图象不是反比例函数图象的一部分，故A选项说法错误，不合题意； 由图象知，随着滚刷滚速的增加，除尘能力增加得越来越慢，故B选项说法错误，不合题意； 当滚速为1300转/分时，除尘能力值为，不及格，故C选项说法错误，不合题意； 由题意知，除尘能力的数值越大，表示除尘能力越强，故D选项说法正确，符合题意； 故选D． 题型02 反比例函数的实际应用问题 5．已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求该品牌电动车电池的电压； (2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键． （1）设，将点代入即可求解； （2）将和代入解析式，求得，即可得出结果． 【详解】（1）解：设，把代入， 得，解得， ∴该品牌电动车电池的电压为． （2）解：由(1)知， 当时，， 当时，， ∴电阻值的范围是． 6．世界的面食之根就在山西．山西面食是中华民族饮食文化中的重要组成部分．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度．是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点． (1)求与之间的函数关系式； (2)求的值，并解释它的实际意义． 【答案】(1) (2)，且其表示的实际意义为面条的总长度为时，其横截面积为 【分析】本题考查了反比例函数的应用：正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法求反比例函数，即可作答； （2）依题意，把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为：， 将代入可得：， 与之间的函数表达式为； （2）解：点在反比例函数上， ， 解得：， ， 且其表示的实际意义为面条的总长度为时，其横截面积为． 7．某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构筑成一条临时近道．每块木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求P于S的函数关系式； (2)求当时，物体所受的压强； (3)当时，求受力面积S的变化范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求把代入中求出P的值即可； （3）分别求出和时S的值即可得到答案． 【详解】（1）设， ∵点在这个函数的图象上， ∴． ∴． ∴P与S的函数关系式为． （2）解：当m2时，． （3）解：令，， 令，， ∵在中，， ∴P随S增大而减小， ∴当时，． 题型03 反比例函数图象与一次函数图象的综合问题 8．当时，函数与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A．   B．  C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键．因为的符号不确定，所以应根据的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答． 【详解】解：当时，反比例函数的图象在二，四象限，一次函数的图象过二、三、四象限，无符合选项； 当时，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象过一、二、三象限，选项D符合． 故选：D． 9．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数(k为常数，且)的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．由反比例函数的图象在二、四象限可知，，一次函数的图象应该经过二、三、四象限，故本选项不符合题意； B．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项符合题意； C．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意； D．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意； 故选：B． 10．已知函数，y随x的增大而减小，另有函数，两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象与系数间的关系，解题的关键是熟练掌握函数的性质． 先由函数中y随x的增大而减小得到，且函数的图象经过第二、四象限，然后可知函数的反比例系数大于零，从而得知反比例函数图象经过第一、三象限，即可得到结果． 【详解】解：函数中y随x的增大而减小， ，且函数的图象经过第二、四象限， 函数的反比例系数大于零， 反比例函数图象经过第一、三象限， 故选：B． 11．在同一坐标系中，函数与函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及反比例函数的图象，分及两种情况寻找函数图象是解题的关键．分析当及时，两函数图象经过的象限，对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限； 当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限． 故选：C 12．函数与函数在同一坐标系中的图象大致是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．根据正比例函数与反比例函数图象的性质解答即可． 【详解】 解：正比例函数中，， 故其图象过一、三象限， 反比例函数中，， 故其图象在一、三象限， 选项A符合； 故选：A. 13．如图，直线 与双曲线 交于，两点，则不等式 的解为 （   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，找出一次函数图象位于反比例函数图象下方时的范围，根据交点的横坐标结合图象得出答案即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：直线关于原点对称的直线的解析式为即， ∵直线与双曲线交于，两点， ∴直线与双曲线交于点，两点， 观察图象可知， 当或时，直线在反比例函数图象的下方， ∴不等式的解为是或， 故选：． 题型04 反比例函数与一次函数综合问题 14．一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，当 时，（写出的取值范围） 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，不等式的解集等知识点，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 利用数形结合思想，观察函数图象即可发现，一次函数图象在反比例函数图象上方时的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：观察函数图象即可发现，在直线左侧以及轴和直线之间时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 当或时，， 故答案为：或． 15．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，过点作轴于点，点是一次函数的图象与轴的交点，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据题意，设，根据即可求解． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数交于点， ∴设， 如图所示，过点作轴，且轴，则， ∴， 故答案为： ． 16．函数的图象与直线没有交点，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，联立两函数解析式得到对应的一元二次方程，根据函数无交点即对应的一元二次方程无解进行求解即可． 【详解】解：联立得， ∵函数的图象与直线没有交点， ∴方程没有解， ∴， ∴， 故答案为：． 17．已知一次函数与反比例函在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当时，的取值范围是 【答案】−或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想．根据图象知，两个函数的图象的交点是，．由图象可以直接写出当时所对应的的取值范围． 【详解】解：根据图象知，一次函数与反比例函的交点是，， ∴当时，−或 故答案为：−或． 18．如图，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点C，过点C作轴于点B，，则k的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，确定点C坐标是解题的关键．先求出点坐标，进而求出点坐标，得到点坐标，即可得出结论． 【详解】∵直线与轴交于点，与反比例函数的图像交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴时，， 故， ∴， 故答案为：5． 19．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数第一象限的图像上，直线的解析式为，若点A的横坐标是2，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，先求出一次函数与反比例函数图象交点，再代入表达式求出即可． 【详解】解：∵直线的解析式为，点A的横坐标是2， ∴点A的纵坐标是， ∴， ∵点A在反比例函数第一象限的图象上， ∴， 故答案为：6． 20．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点，分别交反比例函数与一次函数的图象于点、． (1)求、的值； (2)当时，求线段的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征； （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意得出，再分别求得的坐标，据此即可求解． 【详解】（1）解：将分别代入与中， ， ，． （2）轴， 轴． ， 点、的纵坐标为1． ，． ． 21．如图，一次函数与反比例函数相交于点A和点． (1)求的值和反比例函数解析式； (2)求出点A的坐标； (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)3， ； (2) (3)或． 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题： （1）待定系数法进行求解即可； （2）联立解析式，求出点坐标即可； （3）图象法确定不等式的解集即可． 【详解】（1）解：将点的坐标代入两个函数表达式得： ，解得：， 则一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为：； （2）联立两个函数表达式得：， 解得：或， 当时，， ∴点； （3）观察函数图象知，当时，的取值范围为：或． 22．反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点A且与反比例函数图象的另一个交点为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式，并在图中画出该一次函数的图象． (2)结合图象，直接写出不等式组的解集． (3)把的图象向下平移4个单位长度，平移后的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，求三角形的面积 【答案】(1)，，图象见解析； (2)； (3)6． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可得到答案，然后作出图象即可； （2）不等式组的解集，数形结合，是指直线图象在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围； （3）根据函数图象平移，得到直线解析式，求出点C的坐标，再由平面直角坐标系中三角形面积求法求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴点， 把，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； 画出函数图象，如下图： （2）解：对于，当时，， 如图， 不等式组的解集为， （3）解：如图，设直线与x轴交于点M，则点M的坐标为， 把的图象向下平移4个单位长度，平移后的直线的解析式为， 联立得： 解得：或， ∴点C的坐标为， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、利用函数图象解不等式、平面直角坐标系中求三角形面积等，熟练掌握一次函数与反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 23．如图所示，直线与双曲线 交 于A 、B两点，已知点A 坐标为，点B的纵坐标，直线与 y 轴交于点D． (1)求直线的解析式和反比例函数解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点P是反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）由点A 在反比例函数上，可求得，进而可得点B坐标为；设直线的解析式为：，根据A 、B即可求解；（2）找到一次函数图象在反比例函数图象下方的部分即可； （3）连接，根据求出，，即可求解； 【详解】（1）解：∵点A 在反比例函数上， ∴， 故：，； ∵点B的纵坐标，点B在反比例函数上， ∴ 故： ∴点B坐标为 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， （2）解：由图象可知：当或时， （3）解：连接，如图所示： 令中，得， 令中，得， ∴， 则， 设点， 则， 解得： ∴ ∴或， 解得：或 ∴或 题型05 实际背景下反比例函数与一次函数的综合问题 24．学校的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温与通电时间成反比例．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．水温从降至，所需时间为 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】∵开机加热时水温每分钟上升， ∴水温从加热到，需要，故A选项错误； ∴设反比例函数的解析式为，将点代入，可=得， ∴水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项错误； 将代入得， 解得 ∴ ∴水温从降至，所需时间为，故C选项错误； ∵开机加热时水温每分钟上升， ∴水温从加热到，需要， 将代入得， 解得 ∴水温不低于的时间为，故D选项正确． 故选：D． 25．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    【答案】12 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【详解】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 26．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列结论正确的是 ．（填写编号即可） ①4月份的利润为50万元 ②治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 ③治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元 ④9月份该厂利润达到200万元    【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案即可． 【详解】解：①、设反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴反比例函数的解析式为：， 当时，， ∴4月份的利润为50万元，故正确，符合题意； ②、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故正确，符合题意； ③、当时，则， 解得：， 则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，故错误，不符合题意． ④、设一次函数解析式为：， 则， 解得：， 故一次函数解析式为：， 故时，， 则9月份该厂利润达到200万元，故正确，符合题意． 故答案为：①②④． 27．紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．    (1)当时时，求与之间的关系式． (2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设关系为，将代入求； （2）将代入函数关系式求出的值． 【详解】（1）解：设． 过点， ． 当时，与的关系式为：； （2）将代入上式中得：，． 温度在时，电阻． 在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加， 当时， ， 把代入， 得； 把时代入， 得； 答：当时，电阻不超过． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 28．通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，， (2)陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的实际应用： （1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的坐标； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ； （2）解：陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下： 设当时，的解析式为，将、代入得： ， 解得， 的解析式为， 在中，当时，， 在中，当时，， 时，注意力指标都不低于32， ∵， 陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32． 29．已知某消毒药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（微克）与时间x（小时）成正比例，药物熄灭后，y（微克）与x（小时）成反比例，如图所示，现测得药物4小时燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6微克，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)分别求出药物燃烧时和药物熄灭后y关于x的函数关系式； (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3微克且持续时间不低于10小时时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 【答案】(1)药物燃烧时的函数解析式为；药物燃烧时的函数解析式为； (2)没有效，见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）利用时分别代入求出答案． 【详解】（1）解：设药物燃烧时的函数解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴药物燃烧时的函数解析式为； 设药物熄灭后y关于x的函数关系式是， 将点代入，得， 解得， ∴药物燃烧时的函数解析式为； （2）当时，，解得； 当时，，解得， ∵， ∴这次消毒没有效． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键． 题型06 反比例函数与几何图形的综合问题 30．如图，在以O为坐标原点的直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴的正半轴上，将反比例函数 的图像向下平移n个单位长度后，恰好同时经过矩形对角线交点和顶点A，且图像与边交于点 D，则 的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，则对角线交点的坐标为，，反比例函数的图象向下平移个单位长度后的表达式为，分别将，点的坐标代入上面解析式，即可求出，的代数式，再将的坐标代入即可求出点的横坐标，最后代入即可得出答案． 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是用字母表示出各个点的坐标． 【详解】解：设，， 则对角线交点的坐标为，， 反比例函数的图象向下平移个单位长度后的表达式为， 由已知得， ， 解得：， 反比例函数的图象向下平移个单位长度后的表达式为， 设， 则， ， ，， ． 故选：A 31．如图，正方形的顶点，在轴上，反比例函数的图象经过点和的中点.若，则的值是 ． 【答案】9 【分析】题目主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，根据题意设，则，进而得到，再把代入反比例函数解析式中进行求解即可． 【详解】解：∵正方形，， ∴设，则， ∵点是的中点， ∴， 把代入中得：， 解得， 故答案为：9． 32．在平面直角坐标系中，有反比例函数与的图象和正方形，原点O与对角线，的交点重叠，且如图所示的阴影部分面积为8，则 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，正方形的性质，将不规则图形的面积转化为正方形的面积的一半，再求出解即可． 【详解】由图象可知反比例函数与的图象和正方形具有中心对称性， 可知图中y轴左侧正方形内部非阴影等于右侧正方形内阴影部分的面积， 所以正方形的面积， 解得． 故答案为：4． 33．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，反比例函数（）的图象经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接，若E为的中点，的面积为1，则k的值为（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象与几何综合，用字母表示出的坐标是关键； 设，则，，，，结合的面积为1，，即可求解． 【详解】设， ∵矩形， ∴， ∵矩形，E为的中点， 则E也为的中点， ∵点B在x轴上， ∴E的纵坐标为， ∴， ∵E为的中点， ∴点， ∴点， ∵的面积为1，， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 34．如图，在矩形中，点A，B在y轴上，轴，对角线相交于点P，，若点B的纵坐标为m，解答下列问题． (1)点A的坐标是______，点C的坐标是______．（用含m的代数式表示） (2)若反比例函数经过P，C两点，求k的值． 【答案】(1)； (2)3 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数与几何综合，坐标与图形： （1）根据矩形的性质得到，再根据点B的纵坐标为m即可求出答案； （2）先由矩形的性质得到点P是对角线的中点，再根据中点坐标公式得到，最后根据反比例函数图象经过P、C两点进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点B的纵坐标为m， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）解：∵四边形是矩形， ∴点P是对角线的中点． 由（1）可知，， ∴． ∵反比例函数经过P，C两点， ∴， 解得， ∴． 35．如图，矩形的顶点A，B分别在轴，轴上，，将矩形绕点顺时针旋转，若点正好落在反比例函数的图象上，则 ．    【答案】30 【分析】作轴，垂足为，可证明，得到，代入数据求出，，据此得到点坐标，再根据旋转性质得到旋转后的点坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到值即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及旋转性质，熟练掌握旋转性质是关键． 【详解】解：如图，作轴，垂足为，   ， ，， ∴， ，即， ，， ， ， 根据性质性质，三角形绕点顺时针旋转后，点落在第一象限，且坐标为， 点在反比例函数图象上， ． 故答案为：30． 36．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，则不等式的解集是（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，利用图象法确定不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，的解集为：或； 故选C． 37．两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论其中一定正确的是（   ） ①与的面积相等；②四边形的面积不会发生变化；③与始终相等；④当点是的中点时，点一定是的中点． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数的图象等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 由点均在反比例函数的图象上，利用反比例函数系数的几何意义即可得出，即可判断①正确；利用分割图形求面积法即可得出四边形的面积为，即可判断②正确；设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，求出的长度，可得出与的关系无法确定，即可判断③错误；连接，由点是的中点可得，结合，可得，从而可得，即可判断④正确． 【详解】解：∵点均在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴，， ∴，结论①正确； ∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴， ∴， 即四边形的面积不会发生变化，结论②正确； 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ，， 与的关系无法确定，结论③错误； 如图，连接， 点是的中点， ， ，， ，即， ， ∴点一定是的中点，结论④正确； 综上，正确的结论有①②④， 故选：C． 38．如图，在直角坐标系内，正方形的顶点O与原点重合，点A在第二象限，点B，C在第一象限内，对角线的中点为D，且点D，C在反比例函数的图象上，若点B的纵坐标为4，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，反比例函数的图像和性质，构造全等三角形是解题的关键．作轴于点，过作轴于，设，证明，求出各点坐标，得到即可得到答案． 【详解】解：作轴于点，过作轴于， 设，则， 四边形是正方形， ， ， 轴， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是的中点， 也是中点， ， 点D，C在反比例函数的图象上， ， 即， 点B的纵坐标为4， ，即， 联立方程组， 解得或（舍去）， ， ． 故选C． 39．如图，正方形的顶点在反比例函数（）图象上，顶点在x轴的负半轴上，顶点在y轴的正半轴上，再在其左侧作正方形，顶点在反比例函数（）的图象上，顶点在x轴的负半轴上，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，作轴于点C，作轴于点D，作轴于点E，作轴于点F，证明，则同理可证，，则，得到，则， 得到，的坐标为，由得到，则的坐标为，设的坐标为，则，同上可证，，则，得到，则，解得，即可得到答案． 【详解】解：作轴于点C，作轴于点D，作轴于点E，作轴于点F， ∵是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ 同理可证， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为， ∴， 解得，（不合题意，舍去） ∴ ∴的坐标为， 设的坐标为，则 ∵四边形是正方形， 同上可证， ∴， ∴， ∴ 解得，（不合题意，舍去） ∴， ∴点的坐标为， 故答案为： 40．如图，在平面直角坐标系中，点在线段上，点A的横坐标为，且．若函数和的图象分别经过A，B两点，则 （1）点A的坐标为 ． （2）k的值为 ． 【答案】 【分析】分别过点A、B作轴于D，轴于E，则，根据反比例函数图像的性质即可求出点A的坐标，根据相似三角形的判定与性质以及坐标与图形求得和，求出点B坐标即可． 【详解】解：如图，分别过点A、B作轴于D，轴于E，则， ∴， ∴， ∵A点横坐标为，反比例函数经过A点， 将代入 ∴点A坐标为， 又∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴点B坐标为， ∵的图象经过B两点， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、坐标与图形，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． 41．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求该函数的表达式； (2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，应用反比例函数解决实际问题，理解气压和气球体积的关系是解题的关键． （1）设反比例函数关系式，再将点A的坐标代入即可得出答案； （2）将代入关系式，求出解，再判断即可． 【详解】（1）设， 将代入，得，解得， ∴所求函数的表达式为； （2）∵， ∴在第一象限内，p随V的增大而减小． 当时，． ∴为了安全起见，气体的体积应不小于． 42．如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计．） (1)求y关于x的函数表达式． (2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ (3)小明若想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，见解析 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，正确的根据反比例函数得出y与x之间的关系是解题的关键． （1）根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式； （2）将代入（1）中所求解析式，即可得出y的值； （3）根据以及（1）中所求解析式，可得出y的范围，进而与300进行比较即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， 则， 即y关于x的函数表达式为； （2）解：∵， ∴当时，代入得 故当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力； （3）解：他不能撬动这块石头，理由如下： ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴他不能撬动这块石头． 43．阅读与思考 下面是小明同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．今天是2024年3月28日（星期四），在下午数学活动课上，我们数学兴趣小组的同学参加了一次“探索压力一定时，压强p与受力面积S函数关系的数学活动”． 第一步，如图，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，相应的记录桌面所受压强p（Pa）与受力面积S（m2）． 第二步，数据整理，收集记录的数据如下： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 受力面积 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 桌面所受的压强 600 400 300 250 200 150 第三步，数据分析，以S的数值为横坐标，p的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记． 任务： (1)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出p关于S的函数表达式． (2)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象． (3)结合图象，如果要求压强不超过，那么长方体A的受力面积至少为 ． 【答案】(1)第四组的压强250错了，p关于S的函数表达式为； (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）计算每组的压强判断出第四组错了； （2）将格点在坐标系中描点，再连线作图； （3）代入，即可求出，解答此题． 【详解】（1）解：通过数据发现：与p的积都是定值，第四组的压强错了， 设， 把代入得，， 故p关于S的函数表达式为； （2）解：根据数据描点，连线即可； （3）解：令代入关系中，， 长方体A的受力面积至少为． 44．如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)把表中、的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来； (2)观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出该函数表达式； (3)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (4)当托盘向左移动（不能移动到点）时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)猜测是关于的反比例函数， (3)当砝码质量为时，托盘与点的距离为 (4)应往托盘中添加砝码，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图象，正确得出反比例函数解析式是解此题的关键． （1）根据表格中的数据，描点，连线即可； （2）根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （3）当时，，求解即可； （4）利用反比例函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：画出图象如图所示： （2）解：根据图象，猜测是关于的反比例函数， 设， 将代入函数解析式得：， 解得：， ∴； 验证：当时； 当时，，故猜想成立； （3）解：当时，， 解得， ∴当砝码质量为时，托盘与点的距离为； （4）解：应往托盘中添加砝码， 理由如下：∵是关于的反比例函数， ∴当托盘向左移动（不能移动到点）时，相当于与点的距离在逐渐变小， ∴应往托盘中添加砝码． 45．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C， 与x轴交于点A，过点C作轴，垂足为B，连接．已知四边形是平行四边形，且其面积是12．    (1)求点A的坐标及m和k的值． (2)①求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标；②请结合图象，直接写出不等式 的解集． (3)若直线与四边形 有交点时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)，， (2)①；②或 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形的性质： （1）令，可得，再由平行四边形的面积是12，可得，进而得到，，即可； （2）①联立两函数解析式，即可求解；②直接观察图象，即可求解； （3）分别求出直线过点C，A时t的值，即可求解． 【详解】（1）解：令， 则， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵轴， ∴设， ∵平行四边形的面积是 12， ∴，即， ∴，，即， ∵点C在直线上， ∴， ； （2）解：①由（1） 知， ∴直线的解析式为 由（1） 知，， ∴反比例函数的解析式为 ， 联立得：，解得：或 ， ∴一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标为； ②由图可得， 当或时，反比例函数 的图象在一次函数的图象上方或两图象相交， ∴不等式 的解集为：或； （3）解：如图所示， 当直线经过点C时， t取最大值，当直线经过点A时，t取最小值，    将点代入， 得： ，解得； 将点代入， 得： ，解得， ∴若直线与四边形有交点时， t的取值范围为． 46．某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数关系如图所示． (1)求V与t的函数表达式； (2)若每小时排水量不超过，则排完水池中的水至少需要______h； (3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加，求原计划每小时的排水量是多少？ 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用、分式方程的应用， （1）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）把代入求得，再根据反比例函数的性质求解即可； （3）设原计划每小时的排水量是，则实际每小时的排水量为，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可得，蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间成反比例函数关系， 设V与t的函数表达式为， 把代入得，， ∴V与t的函数表达式为； （2）解：把代入得， ， ∵， ∴V随着t的增大而减小， ∴每小时排水量不超过，则排完水池中的水所用的时间满足的条件是， 故答案为：9； （3）解：设原计划每小时的排水量是，则实际每小时的排水量为， 由题意得，， 解得， 经检验得，是原方程的解， 答：原计划每小时的排水量是． 47．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图像与x轴、y轴交于、B两点，与反比例函数（）的图像交于点． (1)求和的值； (2)已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数（）的图像上．当的面积与的面积相等时，直接写出点P的坐标_________． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，关键是用待定系数法求和的值；分两种情况求的坐标． （1）把的坐标代入，即可求出，把代入，求出，把代入，求出； （2）分两种情况，由三角形面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象过， ， ， 在函数的图象上， ， 在函数图象上， ； （2）解：当时，， ， 四边形是正方形， ， 当在反比例函数的图象右半支上， 设的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 当在反比例函数的图象左半支上， 设的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 综上的坐标为或． 48．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)在第二象限内，根据图象直接写出的解集； (3)将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点，与轴交于点，且的面积为，求直线的解析式． 【答案】(1)y＝ (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数交点与一元一次不等式解集的关系，三角形的面积求法，以及一次函数与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）将点坐标代入直线中求出的值，确定出的坐标，将的坐标代入反比例解析式中求出的值，即可确定出反比例函数的解析式； （2）观查函数图象可知，当时，反比例函数的图象不在一次函数图象的上方，即可求解； （3）根据直线的平移规律设直线的解析式为：，由同底等高的两三角形面积相等可得与面积相等，根据的面积为，列出方程，解出的长，即的值，进而得出直线的解析式 【详解】（1）解：将点的坐标代入得：，解得， 所以点的坐标为． 将点坐标代入反比例函数解析式得，， 所以反比例函数的解析式为． （2）解：由函数图象可知， 当时，反比例函数的图象不在一次函数图象的上方，即， 所以不等式的解集为：． （3）连接， 由平移可知，， 所以， 所以， 解得， 所以点的坐标为， 令直线的解析式为， 将点C坐标代入得，， 所以直线的函数解析式为． 49．如图，的直角边在轴上，，边交轴于点，点在反比例函数第一象限的图象上，所在直线的解析式为，其中点，． (1)求反比例函数和所在直线的解析式； (2)将的边直角边沿着轴正方向平移个单位长度得到线段，线段与反比例函数的图象交于点，问当为何值时，四边形是平行四边形？ 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、图形的平移、平行四边形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）先求出所在直线的解析式为，再求出点，由点在反比例函数第一象限的图象上即可得到反比例函数的解析式； （2）求出，由平移的性质得到，，得到当时，四边形是平行四边形，求得点的纵坐标为，则利用求出的值即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴所在直线的解析式为， ∵，， ∴点C的横坐标是1，当时，， ∴， ∵点在反比例函数第一象限的图象上， ∴； ∴反比例函数的解析式为. （2）当时，，   ∴， 由平移的性质得到，， 由题意得， ∴当时，四边形是平行四边形， 由（1）知反比例函数的解析式为， 点在反比例函数第一象限的图象上，点的横坐标为， 点的纵坐标为， ， 解得， 即当为2时，四边形是平行四边形． 50．如图1，正方形中，，．过点作轴于点，过点作轴的垂线交过点的反比例函数的图象于点，交轴于点． (1)求证：； (2)求反比例函数的表达式及点的坐标； (3)如图2，过点作直线，点是直线上的一点，在平面内是否存在点，使得以点四个点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点的横坐标为或3或或 【分析】此题属于反比例函数的综合题．考查了反比例函数图象上点的坐标特征、直角三角形的性质、正方形的性质、三角形全等的判定与性质、菱形的性质等． （1）由正方形性质可得，，利用同角的余角相等得出，再利用即可证得结论； （2）先求得，代入，求得，可得，当时，，即可求得答案； （3）利用待定系数法可得直线的解析式为，进而可得直线的解析式为，设，，分三种情况：当、为对角线时，当、为对角线时，当、为对角线时，分别列方程组求解即可求得答案． 【详解】（1）如图1，四边形是正方形， ，， ， 轴， ， ， ， 在和中， ， ； （2），， ，， ， ，， ， ∴ 同理可证， ∴， ∴， ∴点E的横坐标为， 设反比例函数的表达式为， 把代入，得， ， 当时，， 点的坐标为； （3）在平面内存在点，使得点、、、四个点依次连接构成的四边形是菱形．理由如下： 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得：， 直线的解析式为， 直线， 设直线的解析式为，把代入得， 解得：， 直线的解析式为， 点是直线上的一点，点是平面内一点， 设，， 又，， 当、为对角线时， ， 解得：， ，； 当、为对角线时， ， 解得：或（舍去）， ； 当、为对角线时， ， 解得：或， ，或，； 综上所述，在平面内存在点，使得点、、、四个点依次连接构成的四边形是菱形，点的横坐标为或3或或． 51．在平面直角坐标系中，点，的位置和函数、的图象如图所示．以为边在x轴上方作正方形，边与函数的图象相交于点E，边与函数、的图象分别相交于点G、H，一次函数的图象经过点E、G，与y轴相交于点P，连接． (1)若，， ①求函数的表达式及的面积； ②直接写出使成立的x的范围； (2)当a、m在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由； 【答案】(1)①，；②， (2)当a、m在满足的条件下任意变化时，的面积不变化，理由见解析 【分析】（1）①先确定、两个点的坐标，再利用待定系数法求出函数的表达式，进而求出点的坐标，结合点求的面积； ②结合图象，可求解； （2）按（1）的思路求解； 【详解】（1）解：①，， 点，，，， ∴ 点，，， 一次函数的图象经过点、， 设，则 ， ， 函数的表达式为， ， ， ； ②当时，则，即， 当或时，； （2）解：的面积不变化．理由如下： 点，，，， 点，，， 设，则 ， ， ， ， ． 当、在满足的条件下任意变化时，的面积不变化． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的性质和一次函数的性质，利用参数表示点的坐标是解题的关键． 52．如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，B两点，一次函数与x轴交于点C，若． (1)求一次函数的解析式． (2)将一次函数的图象沿x轴负方向平移个单位长度得到新图象，求这个新图象与函数的图象只有一个交点M时，求a的值及交点M的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，根据题意，，得到，结合，得到，继而得到，利用待定系数法求一次函数的解析式即可． （2）根据将一次函数的图象沿x轴负方向平移个单位长度得到新图象，其解析式为，联立，整理得到一元二次方程，令判别式等于零，计算解答即可． 【详解】（1）解：过点A作轴于点D，过点B作轴于点E， 根据题意，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，B两点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴． （2）解：∵一次函数的图象沿x轴负方向平移个单位长度得到新图象， ∴解析式为， 根据题意，得， 整理得， ∵新图象与函数的图象只有一个交点M， ∴， 解得， ∵交点在第一象限内， ∴舍去， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，反比例函数，待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程根的判别式，熟练掌握平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，根的判别式是解题的关键． 53．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，连接． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)将直线向下平移个单位长度得到直线l：，设直线l与反比例函数的图象交于点P，与x轴交于点D． ①连接，，若，求m的值； ②连接，，当是等腰三角形时，请直接写出点D到直线的距离． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，点B的坐标为 (2)①；②当是等腰三角形时，点D到直线AB的距离为或 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的图像和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）求出，代入反比例函数即可求出答案； （2）①过点P作轴交直线于点Q，设点，将各线段分别表示出来，根据等量关系列出方程求解即可． ②分类讨论，当时，如图2，过点D作于点E，过点E作轴于点M，过点A作，交的延长线于点N；当时，由于直线l是由直线向下平移个单位长度得到．分别进行求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ．解得． ． 将代入，得．解得． 反比例函数的表达式为． 对于一次函数，令，则． 解得． 点B的坐标为． （2）解：①如图1，过点P作轴交直线于点Q，设点， 则点． ． ． 一次函数的图象与y轴交于点C， ． ． ， ．整理，得． 解得，（舍去）． ． 将代入，得． 解得． ②或． ，，， ，，． （ⅰ）当时，如图2，过点D作于点E，过点E作轴于点M，过点A作，交的延长线于点N． ，， ． ，， E是中点， ． ，． ，，． ， ，即． 解得． （ⅱ）当时，由于直线l是由直线向下平移个单位长度得到， ∴此时点D在x轴正半轴．如图3，过点D作于点F，过点D作轴交直线于点G． ． ． ． ．将代入，得．解得． 轴， ． ． ． 由平移可知，． ， 解得． 综上所述，当是等腰三角形时，点D到直线AB的距离为或． 试卷第2页，共71页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20讲 反比例函数的应用 课程标准 学习目标 反比例函数解决简单的实际问题． 1. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，并能结合图象加深对问题的理解． 2．根据条件求出函数解析式，运用学过的函数知识解决反比例函数的应用问题，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识． 知识点一：反比例函数在实际问题中的应用 （1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2）设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 知识点二：反比例函数的实际应用 常见函数关系：当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； 当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； 在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； 电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 题型01 实际问题中反比例函数图象 1．在化学课上，老师教同学们配制食盐溶液，若有食盐，则溶液的浓度y与加水后溶液质量x之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积y（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度p与体积y是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是（    ） A．函数解析式为 B．容器内气体密度随着气体的体积v的增大而增大 C．当时， D．当时， 3．在一次物理实验中，小明同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值是定值）亮度的实验（如图1）．已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，图2是I关于R的函数图象，则下列说法中错误的是（　　） A．灯丝的阻值为 B．用含R的代数式表示I为 C．当滑动变阻器的电阻为时，串联电路电流为 D．要使通过灯泡的电流不低，则调节滑动变阻器电阻的范围为 4．如图①所示的家用扫地机器人，其底部安装有滚刷，内置集尘器，机器人在除尘时先“脱灰”（滚刷将灰尘从地面上脱离附着），后“吸灰”（将脱附的灰尘转移进集尘器）．研究滚刷滚速对“脱灰”效果的影响，小静在保持扫地机器人“吸灰”效果一定的情况下，对除尘过程中滚刷的滚速与除尘能力（在地面撒灰后，清扫10次所减少的灰占所撒的灰总质量的比）进行了试验，得到如图②所示的关系图，规定除尘能力超过即为及格．则下列说法正确的是（    ）    A．除尘能力关于滚刷的滚速的图象是反比例函数图象的一部分 B．随着滚刷滚速的增加，除尘能力增加得越来越快 C．当滚速为1300转/分时，除尘能力为及格 D．除尘能力的数值越大，表示除尘能力越强 题型02 反比例函数的实际应用问题 5．已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求该品牌电动车电池的电压； (2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围． 6．世界的面食之根就在山西．山西面食是中华民族饮食文化中的重要组成部分．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度．是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点． (1)求与之间的函数关系式； (2)求的值，并解释它的实际意义． 7．某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构筑成一条临时近道．每块木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求P于S的函数关系式； (2)求当时，物体所受的压强； (3)当时，求受力面积S的变化范围． 题型03 反比例函数图象与一次函数图象的综合问题 8．当时，函数与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A．   B．  C．   D．   9．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数(k为常数，且)的图象大致是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，y随x的增大而减小，另有函数，两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 11．在同一坐标系中，函数与函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 12．函数与函数在同一坐标系中的图象大致是（  ） A． B． C． D． 解：正比例函数中，， 13．如图，直线 与双曲线 交于，两点，则不等式 的解为 （   ） A． B． C．或 D．或 题型04 反比例函数与一次函数综合问题 14．一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，当 时，（写出的取值范围） 15．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，过点作轴于点，点是一次函数的图象与轴的交点，则的面积是 ． 16．函数的图象与直线没有交点，那么的取值范围是 ． 17．已知一次函数与反比例函在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当时，的取值范围是 18．如图，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点C，过点C作轴于点B，，则k的值为 ． 19．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数第一象限的图像上，直线的解析式为，若点A的横坐标是2，则 ． 20．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点，分别交反比例函数与一次函数的图象于点、． (1)求、的值； (2)当时，求线段的长． 21．如图，一次函数与反比例函数相交于点A和点． (1)求的值和反比例函数解析式； (2)求出点A的坐标； (3)当时，直接写出的取值范围． 22．反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点A且与反比例函数图象的另一个交点为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式，并在图中画出该一次函数的图象． (2)结合图象，直接写出不等式组的解集． (3)把的图象向下平移4个单位长度，平移后的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，求三角形的面积 23．如图所示，直线与双曲线 交 于A 、B两点，已知点A 坐标为，点B的纵坐标，直线与 y 轴交于点D． (1)求直线的解析式和反比例函数解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点P是反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 题型05 实际背景下反比例函数与一次函数的综合问题 24．学校的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温与通电时间成反比例．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．水温从降至，所需时间为 D．水温不低于的时间为 25．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    26．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列结论正确的是 ．（填写编号即可） ①4月份的利润为50万元 ②治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 ③治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元 ④9月份该厂利润达到200万元    27．紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．    (1)当时时，求与之间的关系式． (2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过． 28．通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 29．已知某消毒药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（微克）与时间x（小时）成正比例，药物熄灭后，y（微克）与x（小时）成反比例，如图所示，现测得药物4小时燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6微克，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)分别求出药物燃烧时和药物熄灭后y关于x的函数关系式； (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3微克且持续时间不低于10小时时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 题型06 反比例函数与几何图形的综合问题 30．如图，在以O为坐标原点的直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴的正半轴上，将反比例函数 的图像向下平移n个单位长度后，恰好同时经过矩形对角线交点和顶点A，且图像与边交于点 D，则 的值是（     ） A． B． C． D． 31．如图，正方形的顶点，在轴上，反比例函数的图象经过点和的中点.若，则的值是 ． 32．在平面直角坐标系中，有反比例函数与的图象和正方形，原点O与对角线，的交点重叠，且如图所示的阴影部分面积为8，则 33．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，反比例函数（）的图象经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接，若E为的中点，的面积为1，则k的值为（　　） A． B． C．2 D．3 34．如图，在矩形中，点A，B在y轴上，轴，对角线相交于点P，，若点B的纵坐标为m，解答下列问题． (1)点A的坐标是______，点C的坐标是______．（用含m的代数式表示） (2)若反比例函数经过P，C两点，求k的值． 35．如图，矩形的顶点A，B分别在轴，轴上，，将矩形绕点顺时针旋转，若点正好落在反比例函数的图象上，则 ．    36．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，则不等式的解集是（　　） A． B．或 C．或 D． 37．两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论其中一定正确的是（   ） ①与的面积相等；②四边形的面积不会发生变化；③与始终相等；④当点是的中点时，点一定是的中点． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 38．如图，在直角坐标系内，正方形的顶点O与原点重合，点A在第二象限，点B，C在第一象限内，对角线的中点为D，且点D，C在反比例函数的图象上，若点B的纵坐标为4，则k的值为（    ） A． B． C． D． 39．如图，正方形的顶点在反比例函数（）图象上，顶点在x轴的负半轴上，顶点在y轴的正半轴上，再在其左侧作正方形，顶点在反比例函数（）的图象上，顶点在x轴的负半轴上，则点的坐标是 ． 40．如图，在平面直角坐标系中，点在线段上，点A的横坐标为，且．若函数和的图象分别经过A，B两点，则 （1）点A的坐标为 ． （2）k的值为 ． 41．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求该函数的表达式； (2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 42．如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计．） (1)求y关于x的函数表达式． (2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ (3)小明若想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 43．阅读与思考 下面是小明同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．今天是2024年3月28日（星期四），在下午数学活动课上，我们数学兴趣小组的同学参加了一次“探索压力一定时，压强p与受力面积S函数关系的数学活动”． 第一步，如图，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，相应的记录桌面所受压强p（Pa）与受力面积S（m2）． 第二步，数据整理，收集记录的数据如下： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 受力面积 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 桌面所受的压强 600 400 300 250 200 150 第三步，数据分析，以S的数值为横坐标，p的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记． 任务： (1)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出p关于S的函数表达式． (2)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象． (3)结合图象，如果要求压强不超过，那么长方体A的受力面积至少为 ． 44．如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)把表中、的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来； (2)观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出该函数表达式； (3)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (4)当托盘向左移动（不能移动到点）时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？为什么？ 45．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C， 与x轴交于点A，过点C作轴，垂足为B，连接．已知四边形是平行四边形，且其面积是12．    (1)求点A的坐标及m和k的值． (2)①求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标；②请结合图象，直接写出不等式 的解集． (3)若直线与四边形 有交点时，直接写出t的取值范围．    46．某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数关系如图所示． (1)求V与t的函数表达式； (2)若每小时排水量不超过，则排完水池中的水至少需要______h； (3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加，求原计划每小时的排水量是多少？ 47．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图像与x轴、y轴交于、B两点，与反比例函数（）的图像交于点． (1)求和的值； (2)已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数（）的图像上．当的面积与的面积相等时，直接写出点P的坐标_________． 48．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)在第二象限内，根据图象直接写出的解集； (3)将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点，与轴交于点，且的面积为，求直线的解析式． 49．如图，的直角边在轴上，，边交轴于点，点在反比例函数第一象限的图象上，所在直线的解析式为，其中点，． (1)求反比例函数和所在直线的解析式； (2)将的边直角边沿着轴正方向平移个单位长度得到线段，线段与反比例函数的图象交于点，问当为何值时，四边形是平行四边形？ 50．如图1，正方形中，，．过点作轴于点，过点作轴的垂线交过点的反比例函数的图象于点，交轴于点． (1)求证：； (2)求反比例函数的表达式及点的坐标； (3)如图2，过点作直线，点是直线上的一点，在平面内是否存在点，使得以点四个点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 51．在平面直角坐标系中，点，的位置和函数、的图象如图所示．以为边在x轴上方作正方形，边与函数的图象相交于点E，边与函数、的图象分别相交于点G、H，一次函数的图象经过点E、G，与y轴相交于点P，连接． (1)若，， ①求函数的表达式及的面积； ②直接写出使成立的x的范围； (2)当a、m在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由； 52．如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，B两点，一次函数与x轴交于点C，若． (1)求一次函数的解析式． (2)将一次函数的图象沿x轴负方向平移个单位长度得到新图象，求这个新图象与函数的图象只有一个交点M时，求a的值及交点M的坐标． 53．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，连接． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)将直线向下平移个单位长度得到直线l：，设直线l与反比例函数的图象交于点P，与x轴交于点D． ①连接，，若，求m的值； ②连接，，当是等腰三角形时，请直接写出点D到直线的距离． 试卷第2页，共71页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$