3.4.3用向量法研究立体几何中的度量关系（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册)

3.4.3用向量法研究立体几何中的度量关系 题型一：向量法求异面直线夹角 1．如图，在正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，先利用向量法求，则得线线角. 【详解】连接交于，连接， 由四棱锥是正四棱锥，则平面，且. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由，不妨设，则， 在中，， 则，则， ， 则， 由异面直线与所成角为锐角，所求余弦值为. 故选：B. 2．如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：以基底，表示，代入向量夹角公式计算即可； 法二：分别以所在的直线为轴，通过向量的坐标运算计算即可； 法三：由，将直线和夹角即为直线和所成角或其补角，通过余弦定理即可求解. 【详解】化为空间向量问题，以作为基底，则 ， 设向量和的夹角为， 则直线和夹角的余弦值等于.进行向量运算 因为四面体为正四面体，所以且夹角均为， 所以 . 故选：C. 【法二】分别以所在的直线为轴 建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2， 得 得. 设向量和的夹角为， 则直线和夹角的余弦值等于. 进行向量运算得.. 故选：C 【法三】连接，易得， 则直线和夹角即为直线和所成角或其补角， 设正方体的棱长为2， 则中，， 由余弦定理得，. 故选：C 3．在空间直角坐标系中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】/0.2 【分析】求出，结合向量夹角余弦公式得到异面直线所成角的余弦值. 【详解】依题意可得， 则， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 4．如图，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，是底面圆周上一点，. (1)求的值； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理，即可求解； （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成的角. 【详解】（1）中，，，， 根据余弦定理，. （2）如图，以点为原点，为轴和轴，过点作为轴，建立空间直角坐标系， ，，，， ,， 设异面直线与所成角为， 则 所以异面直线与所成角的余弦值为. 题型二：向量法直线与平面夹角 1．正三棱锥的侧面都是直角三角形，分别是的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为正三棱锥的侧面都是直角三角形， 所以可以以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 设， 因为分别是的中点， 所以， ， 设平面的法向量为， 则有， 所以与平面所成角的正弦值为：， 故选：C    2．已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，则，即可得到方程组，解得、的值，即可得解. 【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为且， 所以，则，即， 所以，解得，所以. 故选：B 3．如图，AB是圆的直径，平面PAC面ACB，且APAC． (1)求证：平面； (2)若，求直线AC与面PBC所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合直径的性质、线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据（1）的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为平面PAC面ACB，且APAC.，平面PAC面ACB ，平面PAC， 所以PA面ACB，又因为平面PBC， 所以PA，又因为AB是圆的直径，所以， 因为平面， 所以平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以， 所以，则， 设平面PBC的法向量为，则， 而，设直线AC与面PBC所成角为， 则， 所以直线AC与面PBC所成角的正弦值为. 4．如图，四棱锥中，底面 是矩形，，，，M是的中点，. (1)证明：平面； (2)若点P是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，推导出平面，再利用线面垂直的性质定理结合勾股定理逆定理可证得结论成立； （2）以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，其中，求出平面的一个法向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得解. 【详解】（1）取的中点，连接，与交于Q点， 在底面矩形中，易知， 所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 易知，所以， 由题意可知, 所以，而相交，且平面， 所以平面； （2）由上可知，，， 以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 设平面的法向量为，则，， 则，取，则， 设，其中， 则， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 则， 解得，即. 题型三：向量法求平面与平面夹角 1．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 【答案】B 【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 2．（多选）直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则直线平面 B．若，则平面平面 C．若，则平面所成锐二面角的大小为 D．若，则直线与平面所成角的大小为 【答案】BCD 【分析】由，则直线平面或，可判断不正确；根据平面法向量的概念及空间角的求解方法，可判断正确. 【详解】由，则直线平面或，故错误； 由，则平面平面，故正确； 若，设平面和平面所成角为，且， 则， 所以平面所成锐二面角的大小为，故正确； 设直线与平面所成角为， 则，且， 所以直线与平面所成角的大小为，故正确. 故选：. 3．如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且分别为的中点.    (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）不妨设，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由，得到，即可得证； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）不妨设，则，如图建立空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，， 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 所以平面的一个法向量， 又，所以，因为平面，所以平面. （2）因为平面，所以是平面的一个法向量， 又因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 4．如图，在三棱柱中，平面ABC，四边形是边长为2的正方形，，．    (1)求AB的长； (2)若二面角的正切值为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明平面，则有，由，求得； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，向量法表示二面角的余弦值，可求出的值． 【详解】（1）三棱柱中，平面ABC，则平面ABC， 平面ABC，所以． 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 而，故，故． （2）由平面ABC，， 以为原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz， 因为，所以， 故，因为，故． 易知是平面的法向量． 因为． 设是平面的法向量、所以 即，取，得， 所以，    因为二面角的正切值为，故余弦值为， 则，解得. 题型四：向量法求点到直线的距离 1．已知，直线过原点且平行于，则到的距离为（    ）. A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意取，然后求出在方向上的投影，再结合勾股定理可求得结果. 【详解】由题意取，则， 所以到的距离为 . 故选：C 2．已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点到直线距离的向量表示可直接求得答案. 【详解】因为，所以，， 所以， 所以点C到直线AB的距离=， 故选：C． 3．在空间直角坐标系中，已知，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用空间向量法求出高，运用锥体体积公式进而求出体积 【详解】如图所示，正方体边长为1，建立坐标系， 则.则四面体为正三棱锥. 底面为等边，且边长为.则面积为. ，.设平面法向量为， 则，故. 则到平面的距离为． 则四面体的体积为. 故选：A 4．已知正方体的棱长为，在正方体内部且满足，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求向量，，，的坐标，利用向量方法求点到直线的距离. 【详解】如图，以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 又， 取，，则，， 所以点到直线的距离为. 故答案为：.    题型五：向量法求点到平面的距离 1．已知直线经过点，且向量所在直线与动直线垂直，则点到所在平面的距离为 ． 【答案】 【分析】由点到平面的距离公式计算得到答案. 【详解】， 由点到平面的距离公式. 故答案为：. 2．如图所示，已知四棱柱是底面边长为1的正四棱柱．若点到平面的距离为，则正四棱柱的高为 ．    【答案】2 【分析】设正四棱柱的高为，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解. 【详解】设正四棱柱的高为，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，取，得， 所以点到平面的距离为， 化简整理得，解得（负值舍去）． 故正四棱柱的高为2． 故答案为：2 3．如图1，在等腰直角三角形ABC中，，，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥，其中． (1)求证：； (2)求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理求得，结合已知条件得，从而，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论； （2）取中点，则．以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式求解即可． 【详解】（1）连接， 因为在等腰直角三角形中，， 在中，，同理得， 因为， 所以，所以 所以平面， 所以平面． （2）取中点，则， 以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为，， 所以，令，则，则， 又，， 所以点到平面的距离为． 4．如图，在平行六面体中，， (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）利用向量数量积证明线线垂直，可证线面垂直； （2）求平面的法向量，运用向量法求点到平面的距离. 【详解】（1）(法一) 以为坐标原点，方向为轴非负方向，方向为轴非负方向建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设，，， 由，得， 由，得， 由，得，即， 再由得， 则，则，故， 又，，平面， 则平面； (法二) ， 则， 又，，平面， 则平面； （2）设平面的法向量，由（1）得， 则，不妨取，则，即， 又，设点到到平面的距离为， 则，故到面的距离为. 题型六：向量法求平行平面的距离 1．正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解 【详解】由正方体的性质：∥,∥， ，， 且平面，平面， 平面，平面， 所以平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，所以，，， ，， 所以，， ，． 连接， 由，， 所以， 且， 可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离： ． 故选：D. 2．两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量求解 【详解】∵两平行平面分别经过坐标原点O和点， 且两平面的一个法向量， ∴两平面间的距离． 故选：A 3．正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B 4．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，计算平面AMN的一个法向量，然后使用等价转化的思想，面面距转为点面距，最后计算即可. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz， 则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)， F(2，4，4)，N(4，2，4). ∴=(2，2，0)，=(2，2，0)，=(2，0，4)，=(2，0，4)， ∴， ∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF=F，MN∩AM=M. ∴平面AMN∥平面EFBD. 设=(x，y，z)是平面AMN的一个法向量， 则解得 取z=1，则x=2，y=-2，得=(2，2，1). 平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面EFBD的距离. ∵=(0，4，0)，∴平面AMN与平面EFBD间的距离d=. 故答案为： 【点睛】本题考查面面距，使用数形结合，形象直观，并采用向量的方法，将几何问题代数化，便于计算，属基础题. 题型七：向量法求直线到平面的距离 1．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则BD到平面EFD1B1的距离为 . 【答案】 【分析】以D为原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，易求平面EFD1B1的法向量，再利用公式求解. 【详解】以D为原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设平面平面EFD1B1的一个法向量为 所以，令，则 易求平面EFD1B1的法向量，又＝，∴所求距离为＝. 故答案为 【点睛】本题主要考查点到平面的距离的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力. 2．如图所示，正方体的棱长为1，O是底面的中心，则O到平面的距离为 ，直线到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离即可.，因为平面，将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，再利用空间向量求点到平面的距离即可. 【详解】以D为原点，DA，DC，为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易得，，，，， 设平面的法向量为，， 令，则，， ∴O到平面的距离， 又因为平面，所以直线到平面的距离就是点到平面的距离， 易知平面，所以点到平面的距离，就是点到直线的距离，在正方形中，点到直线的距离为， 所以直线到平面的距离为， 故答案为：，． 3．在底面是直角梯形的四棱锥P­ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________. 【答案】 【分析】由已知AB，AD，AP两两垂直, 以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量的方法求AD到平面PBC的距离. 【详解】由已知AB，AD，AP两两垂直． ∴以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，＝(2,0，－2)，＝(0,2,0)． 设平面PBC的一个法向量为＝(a，b，c)，则令a＝1，则＝(1,0,1)．又＝(2,0,0)，∴d＝＝ 故答案为： 【点睛】本题主要考查线面距的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力. 4．如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是AB，BC的中点．    (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及点到面的距离公式代入计算，即可求解； （2）结合直线到平面的距离公式，代入计算，即可求解. 【详解】（1）   ，，． 又，，平面， 面ABCD， 故建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，， ，，， 设为面PEF的法向量，， 令，则，，，， 设点D到平面PEF的距离为d，则． （2）因为，平面，平面， 所以平面，所以直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离， 设点A到平面PEF的距离为，，则． 题型八：向量法求异面直线的距离 1．如图，正四棱柱中，，点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得间最小距离即为异面直线与间的距离，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果. 【详解】 因为点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离即为 异面直线与间的距离， 建立如图所示空间直角坐标系，则， 则，， 设与异面直线与都垂直的向量， 则，解得，取，则， 所以，则异面直线间的距离为. 即间最小距离为. 故选：C 2．如图，在正四棱锥中，PA＝AB＝1，点Q，R分别在棱AB，PC上运动，当QR取得最小值时，三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出，，利用公垂线列出方程，得到，按照比例关系求出，从而求出体积. 【详解】连接BD，与AC相交于点O，连接PO，则AC⊥BD， 因为四棱锥为正四棱锥，所以OP⊥底面ABCD， 以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 正方形ABCD的边长为1，则， 因为PA＝1，所以， ，，， 当为直线的公垂线时，取得最小值， 即， 故， 所以，解得：， 此时，三棱锥的高即为， 所以. 故选：A 3．正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用坐标法，利用异面直线距离的向量公式即求. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则 ，，，，． ，． 令向量，且，则， ，， ，． 异面直线和之间的距离为： ． 故选：C. 4．如图，正方体的棱长为分别为的中点，求异面直线与的距离． 【答案】 【分析】根据异面直线距离的向量法即可求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则, 则, 设，的公垂线所在向量为， 则且， 取，则，又， 故与的距离为． 1．已知点，则点A到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求与同方向的单位向量和的坐标，代入点到直线的距离的向量公式即得. 【详解】由题意，, 则与同方向的单位向量为，又, 于是，点A到直线的距离是：. 故选：B. 2．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则两平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用向量的夹角公式求两个向量夹角的余弦值，再利用二面角的余弦值与两法向量夹角余弦值的关系即可得. 【详解】设两平面的夹角为，又平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以． 故选：D． 3．已知M，N分别是正四面体中棱AD，BC的中点，若点E是棱CD的中点.则MN与AE所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将选为空间一组基底，将用基底表示后计算向量夹角余弦值，再得到线线所成角余弦值即可. 【详解】    由于两两夹角，可以作为空间基底.设正四面体的棱长为2. 则，同理. ， . 因此,． . 故.则MN与AE所成角的余弦值为. 故选：D. 4．在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 设平面的法向量为， 则，令，得，所以， 故， 设直线与平面所成角为，则. 故选：B 5．如图，在下列四个正方体中，是顶点，是棱的中点，则三棱锥体积最大的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出点设点到平面的距离和三角形的面积，再利用体积公式即可求解AC,利用等体积法求解CD. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的边长为2.    对于A, 所以 设平面的一个法向量为，则 令则，所以 设点到平面的距离为，则 易知为等边三角形，边长为，所以， 所以. 对于B，易求得,点B到平面的距离为1， 所以； 对于C， 所以 设平面的一个法向量为，则， 令则，所以 设点到平面的距离为，则, 易求得所以； 对于D，易求得,点A到平面的距离为1， 所以; 所以A选项的体积最大. 故选：A. 6．在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系式）为：".用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果为分别和，则这两平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由定义得出两直线的法向量，数量积公式求出法向量的夹角余弦值. 【详解】平面的法向量为，平面的法向量为，则，则两平面所成角的余弦值为， 故选：B. 7．如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．三棱锥的体积为 D．直线BC与平面所成的角为 【答案】B 【分析】A选项根据正方体的性质判断；对于B，D利用空间向量判断，对于C，利用体积公式求解即可. 【详解】A选项：为正方体，所以，直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直，故A错误； 如图建立空间直角坐标系，则， 对于B，设平面的法向量为，则， 令，则， 因为，所以，所以， 因为在平面外，所以直线与平面平行，所以B正确， 对于C， ，所以三棱锥的体积为，所以C错误， 对于D，，直线BC与平面所成的角为，，所以D错误， 故选：B. 8．在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式计算即可． 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以点到平面的距离为， 故选：D． 9．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（    ）    A．三棱锥的体积是定值 B．存在点P，使得与所成的角为 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D．若，则P的轨迹的长度为 【答案】ACD 【分析】利用等体积转换即可求得体积为定值判断A；建立空间直角坐标系，设，得，，利用向量夹角公式求解判断B；求平面的法向量，利用向量夹角公式求解判断C；由，可得，即可求解判断D. 【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 是定值，A正确； 以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，设，则 对于B，，使得与所成的角满足： ， 因为，故，故， 而，B错误； 对于C，平面的法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为：， 因为，故 故， 而，， 故即的取值范围为，C正确； 对于D，，由， 可得，化简可得， 在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为 ，D正确； 故选：ACD. 10．下列给出的命题中正确的有（      ） A．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B．点P为平面ABC上的一点，且，则 C．已知，若共面，则实数 D．已知点，一直线过点，且一个方向向量为（，则点P到该直线的距离为 【答案】BCD 【分析】对于A，利用共面向量基本定理即可判断；对于B，利用共面向量基本定理即可推得；对于C，利用共面向量基本定理的坐标式列出方程组求解即得；对于D，先算出直线的一个单位方向向量，利用点到直线的距离的向量公式计算即得. 【详解】对于A，因是空间的一组基底，则不共面， 而，即三个向量为共面向量，故A错误； 对于B，因点P为平面ABC上的一点，且， 由共面向量基本定理可得，，即，故B正确； 对于C，由共面可知，存在，使得， 即，则有，解得，故C正确； 对于D，由该直线的一个方向向量为，则与之同方向的单位向量为， 直线过点，则 于是点到该直线的距离为，故D正确. 故选：BCD. 11．如图，球与棱长为2的正方体的六个面都相切，分别为棱的中点，为正方形的中心，则（    ） A．球与该正方体的体积之比为 B．球与该正方体的表面积之比为 C．直线被球截得的线段的长度为 D．过三点的正方体的截面与球的球面的交线长为 【答案】BC 【分析】根据正方体和球的表面积和体积公式，可判定A错误；B正确；连接，取中点，得到，求得到的距离，结合圆的弦长公式，可判定C正确；以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，求得和平面的法向量，结合距离公式，得到过三点的正方体的截面恰好过球的球心，可判定D错误. 【详解】因为球与棱长为2的正方体的六个面都相切， 对于A中，可得正方体的体积为， 球的半径为，体积为， 球与该正方体的体积之比为，所以A不正确； 对于B中，正方体的表面积为，球的表面积为， 所以球与该正方体的表面积之比为，所以B正确； 对于C中，连接，可得， 再连接，在直角中，可得， 取中点，连接，则，可得， 即点到的距离为， 所以直线被球截得的线段的长度为， 所以C正确； 对于D中，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得， 则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 所以点到平面的距离为， 可得过三点的正方体的截面恰好过球的球心， 所以截面交线的周长为，所以D错误. 故选：BC. 12．如图，在一个60°的二面角的棱上有，两点，线段、分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，若，，则的长为 【答案】 【分析】由，两边平方后展开整理，即可求得，进而得到答案. 【详解】因为,所以， 由题意，，则， 所以， 因为线段，分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，且二面角大小为60°，所以， 而，，于是, 所以. 故答案为：. 13．在空间直角坐标系 中，向量 分别为异面直线 的方向向量，若所成角的余弦值为 则 【答案】 【分析】由向量夹角的余弦公式运算即可. 【详解】设，所成角为， 则， 解得. 故答案为：. 14．已知梯形如图1所示，其中，A为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面⊥平面，得到如图2所示的几何体．已知当点F满足时，平面平面，则λ的值为 ．           图1                         图2 【答案】/ 【分析】应用空间向量法计算已知面面垂直即法向量垂直即可求参. 【详解】如图，以A为坐标原点， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， ∴ 则， 若是平面的一个法向量， 则 可得， 若是平面的一个法向量， 则可得 由平面平面，得， 即， 解得． 故答案为：. 15．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】（1）结合已知易证四边形为平行四边形，可证，进而得证； （2）作交于，连接，易证三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解. 【详解】（1）因为为的中点，所以， 四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面，所以平面； （2）如图所示，作交于，连接， 因为四边形为等腰梯形，，所以， 结合（1）为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，为中点，所以， 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以， 四边形为平行四边形，， 所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，， 因为，所以，所以互相垂直， 以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， ，，， ，设平面的法向量为， 平面的法向量为， 则，即，令，得，即， 则，即，令，得， 即，，则， 故二面角的正弦值为. 16．在四棱锥中，底面． (1)证明：； (2)求PD与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案. 【详解】（1）证明：在四边形中，作于，于， 因为， 所以四边形为等腰梯形， 所以， 故，， 所以， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ， 则， 则， 设平面的法向量， 则有，可取， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4.3用向量法研究立体几何中的度量关系 题型一：向量法求异面直线夹角 1．如图，在正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 4．如图，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，是底面圆周上一点，. (1)求的值； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 题型二：向量法直线与平面夹角 1．正三棱锥的侧面都是直角三角形，分别是的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，AB是圆的直径，平面PAC面ACB，且APAC． (1)求证：平面； (2)若，求直线AC与面PBC所成角的正弦值. 4．如图，四棱锥中，底面 是矩形，，，，M是的中点，. (1)证明：平面； (2)若点P是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 题型三：向量法求平面与平面夹角 1．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 2．（多选）直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则直线平面 B．若，则平面平面 C．若，则平面所成锐二面角的大小为 D．若，则直线与平面所成角的大小为 3．如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且分别为的中点.    (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 4．如图，在三棱柱中，平面ABC，四边形是边长为2的正方形，，．    (1)求AB的长； (2)若二面角的正切值为，求的值． 题型四：向量法求点到直线的距离 1．已知，直线过原点且平行于，则到的距离为（    ）. A． B．1 C． D． 2．已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，已知，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 4．已知正方体的棱长为，在正方体内部且满足，则点到直线的距离为 ． 题型五：向量法求点到平面的距离 1．已知直线经过点，且向量所在直线与动直线垂直，则点到所在平面的距离为 ． 2．如图所示，已知四棱柱是底面边长为1的正四棱柱．若点到平面的距离为，则正四棱柱的高为 ．    3．如图1，在等腰直角三角形ABC中，，，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥，其中． (1)求证：；(2)求点B到平面的距离． 4．如图，在平行六面体中，， (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 题型六：向量法求平行平面的距离 1．正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 3．正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 4．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为 . 题型七：向量法求直线到平面的距离 1．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则BD到平面EFD1B1的距离为 . 2．如图所示，正方体的棱长为1，O是底面的中心，则O到平面的距离为 ，直线到平面的距离为 ． 3．在底面是直角梯形的四棱锥P­ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________. 4．如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是AB，BC的中点．    (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 题型八：向量法求异面直线的距离 1．如图，正四棱柱中，，点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离为（    ） A． B．1 C． D． 2．如图，在正四棱锥中，PA＝AB＝1，点Q，R分别在棱AB，PC上运动，当QR取得最小值时，三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 3．正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离 A． B． C． D． 4．如图，正方体的棱长为分别为的中点，求异面直线与的距离． 1．已知点，则点A到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 2．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则两平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．已知M，N分别是正四面体中棱AD，BC的中点，若点E是棱CD的中点.则MN与AE所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 5．如图，在下列四个正方体中，是顶点，是棱的中点，则三棱锥体积最大的是（    ） A．   B．   C．   D．   6．在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系式）为：".用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果为分别和，则这两平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．三棱锥的体积为 D．直线BC与平面所成的角为 8．在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（    ）    A．三棱锥的体积是定值 B．存在点P，使得与所成的角为 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D．若，则P的轨迹的长度为 10．下列给出的命题中正确的有（      ） A．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B．点P为平面ABC上的一点，且，则 C．已知，若共面，则实数 D．已知点，一直线过点，且一个方向向量为（，则点P到该直线的距离为 11．如图，球与棱长为2的正方体的六个面都相切，分别为棱的中点，为正方形的中心，则（    ） A．球与该正方体的体积之比为 B．球与该正方体的表面积之比为 C．直线被球截得的线段的长度为 D．过三点的正方体的截面与球的球面的交线长为 12．如图，在一个60°的二面角的棱上有，两点，线段、分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，若，，则的长为 13．在空间直角坐标系 中，向量 分别为异面直线 的方向向量，若所成角的余弦值为 则 14．已知梯形如图1所示，其中，A为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面⊥平面，得到如图2所示的几何体．已知当点F满足时，平面平面，则λ的值为 ．           图1                         图2 15．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 16．在四棱锥中，底面． (1)证明：； (2)求PD与平面所成的角的正弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$