11.1与三角形有关的线段[知识讲解+专题练习+巩固练习 2024-2025学年人教版数学八年级上册

与三角形有关的线段 一、知识框架 二、考点分析 考点一：三边关系 1.三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 要求：①三条线段不共线；②三条线段首尾相连。 2. 如图，线段AB、BC、CA是三角形的边，点A、B、C是三角形的顶点， ∠A、∠B、∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 3.三角形的三边关系： 三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 例题1：一个三角形的两边长分别为5cm和3cm，第三边也是整数，且周长是偶数，则第三边长是（ ） A. 2cm或4cm B. 4cm或6cm C. 4cm D. 2cm或6cm 例题2：（1）在下列各题中给出的三条线段不一定能组成三角形的是（  ）      A. ，，  B. ，，      C. 三条线段的比是：： D. ，，（） （2）若线段4、4、m能构成三角形，且m是整数，则m的最大值为（ ） A．10 B．8 C．7 D．4 （3）三角形的两边长分别是4和11，第三边长为，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 例题:3：已知a、b、c为△ABC的三边，则化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|=　　　　　　． [拓展提升] 1.如图，已知P是△ABC内任一点， AB＝12，BC＝10，AC＝6，则 PA+PB+PC的值一定大于（ ） A．14 B．15 C．16 D．28 2.如图，P是△ABC内一点，连接BP，PC，延长BP交AC于D． （1）图中有几个三角形；（2）求证：AB+AC＞PB+PC． 总结提升： 1. 判断三条线段能否构成三角形，最简捷的方法是：用两条较短的线段的长度之和与最长线段的长度进行比较，若两条较短线段的长度之和大于最长线段的长度，则这三条线段可以组成三角形；否则不能组成三角形。 2. 已知两边长求第三边长的取值范围的方法：已知三角形两边长为a，b，则第三边长x的取值范围是<x<a+b。 【变形拓展】 1.在下列长度的四组线段中，能组成三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 6，8，15 C. 7，5，12 D. 3，7，13 2.如果三角形的两边长分别为3和5，则周长L的取值范围是（ ） A. 6<L<15 B. 6<L<16 C. 11<L<13 D. 10<L<16 3.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则下图中以BC为公共边的“共边三角形”有（ ）. A．2对； B．3对； C．4对； D．6对； 4.已知三角形三边长分别为m，n，k，且m、n满足，则这个三角形最长边k的取值范围是________． 5.已知a，b，c是△ABC的三边长，化简：∣a-b-c∣+∣b-c+a∣+∣c-a-b∣ 6.已知，△ABC的三边长为，，． （1）求△ABC的周长的取值范围； （2）当△ABC的周长为偶数时，求． 考点二：三角形分类 1. 2.等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形 3.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．在等腰三角形中，相等的边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 例题1：已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，它的周长是（ ） A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 13 例题2：用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？ 例题3：已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b-2）2+│c-3│=0， 且a为方程│x-4│=2的解，求△ABC的周长，判断△ABC的形状． 例题4：若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程组，若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长． 【变形拓展】 1.已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是_____． 2.已知在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶5，则△ABC是 ___________ 三角形． 3.如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B岛的北偏西55度方向，则A，B，C三岛组成一个（ ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 4.下列关于三角形的分类，正确的是（ ） A． B． C． D． 考点三：三角形的高、中线、角平分线 1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高. （1）三角形的三条高线相交于一点； （2）锐角三角形的三条高线相交于三角形的内部；（如图1） （3）钝角三角形的三条高线相交于三角形的外部；（如图3） （4）直角三角形的三条高线相交于三角形的直角顶点.（如图2） 总结提升：三角形的高是线段，不是直线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点在这个顶点的对边或对边所在的直线上． 2． 在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。 因为CF是AB边上的中线，所以AF＝BF(或AF＝AB，BF＝AB)． （1） 三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点在三角形的内部，叫做三角形的重心. （2） 中线把三角形分成面积相等的两个三角形。 总结提升：三角形的中线也是线段，它是一个顶点和对边中点的连线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点的对边中点． 3．在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间线段三角形角平分线. 注意：三角形的三条角平分线相交于一点，三角形的三条角平分线相交 于三角形的内部 书写表达：∵AD是△ABC的角平分线 ∴∠1=∠2(或∠1=∠2=∠BAC，或∠BAC=2∠1=2∠2)． 例题1：按要求画出图形(作图工具不限)：(只需画出图形即可，标上字母) (1)画出△ABC的中线AD．(2)画出△ABC的角平分线CE.(3)画出△ABC的高线BF. 例题2：如图，在△ABC中，AE是BC边上的高． （1）若AD是边BC上的中线，AE=5cm，S△ABC=30cm²，求DC的长； （2）若AD是∠BAC的平分线，∠B=30°，∠C=60°，求∠DAE的度数． 例题3：如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形面积等 于4平方厘米，则△ABC的面积为（ ）平方厘米 A．8 B．12 C．16 D．18 例题4：如图所示，在中，，，是的 中线，则与 的周长之差为（　　）     A. B. C. D. 【变形拓展】 1.下列四个图形是四位同学画钝角△ABC的高AD的示意图，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 2.如图，在中，点D是边上的中点．连接，点E是的中点，连接，点F是的中点．若，则等于（ ） A．16 B．14 C．12 D．10 3.下列说法正确的个数有（ ） ①三角形的高、中线、角平分线都是线段； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点； ③三角形的三条高都在三角形内部； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.等腰三角形的底边长为5cm，一腰上的中线把原三角形的周长分成两部分，其差为3cm，腰长（ ） A. 2cm B. 8cm C. 2cm或8cm D. 3cm 5.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD：DC=2：1，△ACD 的面积为4，则△ABC的面积为______。 6. 如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，点F在BE上， 且 EF＝2BF，若S△BCF＝2cm2，则S△ABC为______。 7.如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C＝26°，则∠DAE的度数为_____． 考点四：三角形的稳定性 1.三角形具有稳定性 2.三角形的稳定性在实际生活中的应用： (1) 窗框在未安装好之前斜钉一根木条,分成两个三角形. (2) 钢架桥的钢架做成三角形 (3) 起重机的力臂做成三角形 (4) 房顶钢架做成三角形 【变形拓展】 1. 如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋， 来加固电线杆，这是利用了三角形的（　　）   A. 全等性  B. 对称性 C. 灵活性 D. 稳定性 2.如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形， 这样做的根据是（　　）     A. 两点之间的线段最短 B. 长方形的四个角都是直角    C. 长方形是轴对称图形 D. 三角形有稳定性 【巩固练习】 一、单选题 1．已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ） A．1 B．2 C．8 D．11 2．在三角形ABC中，AB=7，BC=2，并且AC的长为奇数，则AC=( ) A．3 B．5 C．7 D．9 3．如图，AD是△ABC的中线，△ABD比△ACD的周长大6 cm，则AB与AC差(　 　) A．2 cm B．3 cm C．6 cm D．12 cm 4．若实数m、n满足等式|m﹣2|+=0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是( ) A．6 B．8 C．8或10 D．10 5.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是(　　) A．AC是△ABC的高 B．DE是△BCD的高 C．DE是△ABE的高 D．AD是△ACD的高 6.三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 7.三角形的下列线段中将三角形的面积分成相等两部分的是(　　) A．中线 B．角平分线 C．高 D．以上都对 8.如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A． B．C． D． 9.长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 10.如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于，交 于，下列说法正确的是（ ） ①②③④ A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 11．在△ABC中，AB=10，BC=12，BC边上的中线AD=8，则△ABC边AB上的高为（　　） A．8 B．9.6 C．10 D．12 12．如图所示，为△ABC的中线，于点，于点，，则等于        A． B． C． D． 13.已知实数x、y满足|x－4|+ ＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形周长是（ ） A．20或16 B．20 C．16 D．18 14.已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2-2ab+b2-c2的值（ ） A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不能确定 二、填空题 1.如图，中，G为重心，，那么=______________； 2.如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，，则的值是_______． 3.如图，△ABC的三边的中线，，的公共点为，且．若，则图中阴影部分的面积是________． 4.如图，在△ABC中E是BC上的一点，BC=3BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF﹣S△BEF=____． 5.如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C＝26°，则∠DAE的度数为_____． 三、解答题 1.如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．求： （1）AD的长； （2）△ABE的面积； （3）△ACE和△ABE的周长的差． 2.在中，平分，，垂足为，过作，交于，若，求线段的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$