第1章 全等三角形——利用辅助线构造全等三角形 讲义 2024-2025学年苏科版数学八年级上册

编号： 2 学生姓名： 年 级： 八年级 辅导科目：数学 课题 利用辅助线构造全等三角形 教学内容 【题型预览】 题型1：截长补短构全等 题型2：构造一线三等角 题型3：角平分线构全等 题型4：倍长中线证全等 题型5：半角模型构全等 【重点题型讲解】 题型1：截长补短构全等 1.:如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABD＝∠CBD，CE⊥BD交BD的延长线于点E,求证:BD＝2CE. 本题主要考查利用“截长补短”构造全等问题，在遇到已知或求证中涉及线段的和（或差）等于一条线段或几条线段的和（或差）时，当学生发现图形中边角关系不能直接求证时，能想到利用“截长补短”作出辅助线，将线段和差问题转化为线段相等问题，然后再根据全等三角形的判定及性质进行求解，有助于提升学生的推理论证能力. 题型2：构造一线三等角 2.:如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是射线CB上一点，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到ED，连接CE. （1）若AB＝3，BD＝1，求CE的长; （2）当点D在CB的延长线上时，求线段AC，CD，CE之间的数量关系. 本题考查的是通过构造“一线三等角”模型下的全等证明问题，学生需要通过提取题干信息，使得一条线段上存在三个相等的角，并结合直角三角形的性质通过等角代换进而判定全等，要能够根据全等找出对应的边角关系进行求解，有助于锻炼学生的几何直观能力及推理能力. 题型3：角平分线构全等 3.如图，点D为△ABC外一动点，连接BD，E为BD的延长线上一点，连接CD交AB于点F.过点A作BC的垂线交BC于点O,已知OB＝OC,∠ABD＝∠ACD. （1）求证:DA为∠EDC的平分线; （2）若当点D运动时，点A会随之运动，且始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由;如果不变，请求出∠BAC的度数. 本题主要考查的是角平分线的判定和全等三角形的判定与性质，学生需要灵活应用角平分线和全等的相关知识，利用角平分线性质定理的逆定理去证明角平分线，同时能够根据题干条件推导出等量线段进而构造出全等三角形进行求解，有助于锻炼学生的几何直观能力. 题型4：倍长中线证全等 4.发现问题: 小王在一次学习过程中遇到了下面的问题: 如图① ，AD是△ABC的中线，若AB＝4，AC＝3，求AD的取值范围. 探究方法: 小王所在的学习小组通过探究发现:延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE.可证出△ADC≌ △EDB，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到△ABE中，进而求出AD的取值范围. 方法小结:从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做倍长中线法. （1）请你利用上面解答问题的思路方法，写出求AD的取值范围的过程; 问题解决: （2）如图② ，在△ABC中，D为BC边上一点，连接AD，AE是△ABD的中线.求证:AB+AD ＞2AE; 问题拓展: （3）如图③ ,在Rt△ABO和Rt△CDO中,OA＝OB,OC＝OD,连接AC,BD,已知E是BD的中点，求证: 本题考查利用“倍长中线”作辅助线构造全等解决问题，需要学生转换思维，首先在条件中出现“中点” “中线”字样时，意识到可以考虑倍长中线构造全等三角形，结合全等三角形的性质与判定进行等线段转换求解，且第三问拓展涉及到经典的“婆罗摩笼多模型”，有助于提升学生举一反三的能力. 题型5：半角模型构全等 5.问题提出:（1）如图① ,在四边形ABCD中,AD＝CD,AD⊥AB,CD⊥BC,∠ADC＝ 120°，过点D作∠EDF＝60°，且角的两边分别交AB，BC于点E，F，则线段AE，EF，CF之间满足的数量关系是:_____; 问题解决:（2）如图② ，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠A+∠C＝180°，过点D作∠EDF＝ ∠ADC，且角的两边分别交AB，BC于点E，F，试判断AE，EF，CF之间满足的数量关系，并证明你的结论; 真实情景:（3）如图③ ，在一次寻宝游戏中，以起点O为中心，甲在北偏西30°方向上的点A处，乙在南偏东70°方向上的点B处，且甲、乙两人到起点O的距离相等，甲、乙两人同时从当前位置出发，分别去寻找藏在点C，D处的宝藏，已知甲沿正东方向行走，且速度为90米/分钟，乙沿北偏东50°方向行走，且速度为80米/分钟，7分钟后两人同时分别到达点C，D处，若∠COD＝70°，求此时甲、乙两人之间的距离; 拓展延伸:（4）如图④ ，在等腰Rt△ABC中，AB⊥BC，且AB＝BC，点D，E在斜边AC上，连接BD,BE,若∠ABD+∠CBE＝45°,AD＝4,CE＝1,求DE的长. 本题主要为“半角”模型中的全等三角形证明问题，需要学生首先通过观察图形，找到“半角”模型特征（一个角包含该角的半角或角与角之间存在关系），然后通过旋转一定角度将另外两个角拼接在一起，构造的三角形与半角所在的三角形全等，利用全等三角形的性质得到对应边关系进而求解，有助于锻炼学生的识图能力、推理论证能力. 【综合强化练习】 1.如图，在平面直角坐标系中有一个等腰Rt△ABC，且∠ABC＝90°，AB＝BC，点M为线段OA上任意一点，连接BM，过点A作AE⊥BM交BM的延长线于点E，过点C作CD⊥BM于点D. （1）求证:AE＝BD; （2）若OB＝3，点N为x轴正半轴上一点，且N（3，0），连接CE，DN，求证:CE⊥DN; （3）若OB＝a，点M为线段OA的延长线上任意一点，点N为x轴正半轴上一点，连接CE，DN，且CE⊥DN，求点N的坐标（用含a的代数式表示）. 20 1 学科网（北京）股份有限公司 $$