第1章全等三角形——全等三角形的性质与判定 讲义 2024—2025学年苏科版数学八年级上册

编号： 1 学生姓名： 年 级： 八年级 辅导科目：数学 课题 全等三角形的性质与判定 教学内容 【题型预览】 题型1：对称模型证全等 题型2：平移模型证全等 题型3：手拉手模型全等 题型4： 一线三等角全等 题型5：对角互补型全等 【重点题型讲解】 题型1：对称模型证全等 1.如图，在△ABC中，∠A＝90°，点P为BC上一点，过点P作PQ⊥BC交AC于点O，以PQ为折痕，将四边形ABPO翻折得到四边形DEPQ，延长DQ交BC于点F. （1）求证:△PQF≌△POC; （2）若∠B＝50°，求∠DQC的度数. 本题结合折叠考查“对称型”全等三角形的判定与性质，学生需要根据折叠找到对称的两个三角形，再利用折叠或对称的性质（对应边相等、对应角相等）找到满足两三角形全等的条件进行求证，有助于提升学生识图能力及逻辑推理能力. 题型2：平移模型证全等 2.如图，在△ABC和Rt△ACD中，∠ACD＝90°，AD与BC交于点P，已知AP＝CP，∠B＝ ∠D. （1）求证:△ABC≌△CDA; （2）如图② ，将△ABC沿BC方向平移得到△A′B′C′，A′B′交AC于点M，交AD于点N，请判断MN，MB′与CD之间的数量关系，并说明理由; （3）在（2）的基础上，将△ABC继续沿BC方向平移至图③ 位置时，MN＝2MB′＝4，求AB的长. 本题考查了平移型全等三角形的判定及性质，学生需要在熟知全等三角形判定的基础上，识别出平移模型，明白平移模型中的等角关系和平行关系，利用平行的相关知识进行求解，有助于提升学生逻辑思维能力. 题型3：手拉手模型全等 3.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，，将△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，连接BD，EC并延长交于点F. 问题发现: （1）如图① ，当α＝60°时，线段BF与EF之间的数量关系是 ，∠BFE＝ ; 类比探究: （2）当△ABC旋转到如图② 所示的位置时，请判断线段BF与EF之间的数量关系及∠BFE的度数，并说明理由; 问题解决: （3）当点E在直线AB的右侧，且AE∥BC时，请直接写出BF的长. 本题主要以“手拉手”模型为载体考查全等三角形的判定与性质，学生需要掌握旋转的性质（旋转前后角度不变），利用等量转换得到新角度相等，同时结合等腰三角形的性质，找到符合三角形全等的判定条件，再利用全等的性质求解，有助于提升学生识图能力、逻辑推理能力及化归与转化思想. 题型4： 一线三等角全等 4.问题发现: （1）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC. ① 如图① ，若AB⊥AC，线段BD，CE与DE的关系为_____; ② 如图② ，判断并证明线段BD，CE与DE的数量关系; 问题解决: （2）如图③ ，已知∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，DE＝9cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以x cm/s由点E向点F运动，它们运动的时间为 t（s）.是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的x，t的值;若不存在，请说明理由. 本题主要考查“一线三等角型”中全等三角形的证明问题，学生需要熟知一线三等角模型的核心是利用等角代换求证全等，再熟练利用全等的性质解题，有助于锻炼学生的识图能力、逻辑思维能力及模型建构思维. 题型5：对角互补型全等 5.如图① ，在等边△ABC中，点D是AB的中点，直线CB上有一点E，连接DE，线段CA延长线上有一点F，连接DF，∠EDF＝120°. （1）如图② ，当点E与点C重合时，求证:DC＝DF; （2）如图③ ，当点E在线段BC上，点F在线段AC上时，求线段CE，CF，AB之间的数量关系; （3）当时，求∠ADF的度数. : 本题主要以“对角互补型”模型为载体考查全等三角形证明问题，学生需要知道在遇到“对角互补”问题时，考虑作辅助线（平行、垂直）构造全等三角形，再利用全等的性质求解，有助于提升学生模型建构能力及化归与转化思想. 【综合强化练习】 1.如图，在等腰△ACB中，CA＝CB，射线AP绕点A逆时针旋转，交射线BC于点D， ∠PAB＝α，若点E为射线AP上一点，且∠ACB＝∠AEB，连接CE. （1）如图① ，若∠CAB＝45°，0°＜α＜45°，请直接写出线段BE，CE，AE之间的数量关系; （2）如图② ，若∠CAB＝30°，0°＜α＜30°，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由; （3）若∠CAB＝30°，，点C到射线AP的距离为1，求线段BE的长. 2.在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流. 原问题:如图① ，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，分别以AB，BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，连接DE交AB于点F.探究线段DF与EF的数量关系. 小慧同学的思路是:过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解. 小东同学说:我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°. 小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况. 请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题: （1）写出原问题中DF与EF的数量关系; （2）如图② ，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明; （3）如图③ ，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明. 20 1 学科网（北京）股份有限公司 $$