第一讲集合与常用逻辑用语、复数讲义-2025届高三数学一轮复习

第一讲 集合与常用逻辑用语、复数 MRC2024-2025 知识点1（集合与常用逻辑用语） 1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2.集合的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)． (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集． 3.集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 4.常用结论 (1)若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集． (2)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 5.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 6.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． 7.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 8.常用结论 （1）充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． ①若p是q的充分条件，则A⊆B； ②若p是q的充分不必要条件，则AB； ③若p是q的必要不充分条件，则BA； ④若p是q的充要条件，则A＝B. （2）含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. （3）命题p与p的否定的真假性相反． 知识点2（复数） 1.复数的有关概念 (1)复数的定义：形如a＋bi(a，b)的数叫做复数，其中a是复数z的实部，b是复数z的虚部，i为虚数单位，. (2)复数的分类 复数z＝a＋bi(a，b) (3)复数相等： a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d)． (4)共轭复数： a＋bi与a－bi互为共轭复数（实部相同，虚部互为相反数）． (5)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b)． 2.复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b)一一对应复平面内的点Z(a，b)． (2)复数z＝a＋bi(a，b)一一对应平面向量. 3.复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：． (2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－. 4.复数z的方程在复平面上表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆. 5.复数的三角形式及其运算 (1)复数对应点的坐标为，对应模长，，称做复数对应的辐角，内的辐角称作辐角的主值.复数亦可表示为. (2)两复数相乘等于模相乘，辐角相加；两复数相除等于模相除，辐角相减；复数的次幂等于模的次幂，辐角的倍. 6.常用结论 （1）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i()． （2）i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0()． 一、过关练习 1.已知集合，，则A B.（用相应数学符号填空） 2.已知则满足条件的有 个. 3.且,则实数的取值范围是 . 4.是的 条件.（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要） 5.已知区间若，则 ；若则 . 6.若求的值. 7.在复数范围内求方程的解集. 8.若是关于的实系数方程的一个根，求的值. 9.已知求实数的值. 10.已知分别求与的最大值与最小值. 二、模拟试题 1.(多选)已知集合，，若.则（ ） A. B. C. D. 2.已知集合，，且，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 3.(多选)设是关于的方程的两根，其中.若（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 4.已知复数均不0，则（ ） A. B. C. D. 5.已知集合，若，则的最小值为 ． 三、高考真题 2023年 1.(2023年全国新高考Ⅱ卷1)在复平面内，对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(2023年全国新高考Ⅱ卷2)设集合，，若，则（ ） A.2 B.1 C. D. 3.（2023年高考Ⅰ卷1）已知集合，,则 （　 　） A. B. C. D.{2} 4.(2023年高考Ⅰ卷2)已知z，则z（ 　　） A. B. C.0 D.1 5.（2023年天津卷1）已知集合，则=（ ） A. B. C. D. 6.(2023年天津卷2) “”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 7.(2023年全国甲卷1)设集合， U为整数集，=（ ） A. B. C. D. 8.(2023年全国甲卷2)若复数，则（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 9.(2023年全国乙卷1)设，则( ) A. B. C. D. 10.(2023年全国乙卷2)设集合，集合，，则（　 　） A. B. C. D. 11.（2023年北京卷1）已知集合，则=（ ） A. B. C. D. 12.（2023年北京卷2）在复平面内，复数对应点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 13.(2023年天津卷10)已知是虚数单位，化简结果为 ． 2024年 1.（2024年北京卷1）已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2.(2024年北京卷2)已知，则（ ） A. B. C. D.1 3.(2024年新课标2卷1)已知，则（ ） A.0 B.1 C. D.2 4.(2024年新课标2卷2)已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B.和q都是真命题 C.p和都是真命题 D.和都是真命题 5.(2024年新课标I卷1)已知集合，则（ ） A. B. C. D. 6.(2024年新课标I卷2)若，则（ ） A. B. C. D. 7.(2024年天津卷1)集合，，则（ ） A. B. C. D. 8.(2024年天津卷2)设，则“”是“”（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.(2024年全国甲卷理科1)若，则（ ） A. B. C. D. 10.(2024年全国甲卷理科2)已知集合，则=（ ） A. B. C. D. 11.(2024年天津卷10)已知是虚数单位，复数 ． 选做：(2020·浙江卷，10)设集合S，T，S⊆N*，T⊆N*，S，T中至少有2个元素，且S，T满足： ①对于任意的x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②对于任意的x，y∈T，若x<y，则∈S. 下列命题正确的是(　 　) A.若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B.若S有4个元素，则S∪T有6个元素 C.若S有3个元素，则S∪T有5个元素 D.若S有3个元素，则S∪T有4个元素 答 案 一、过关练习 1.AB. 2.4. 3.. 4.充要. 5.3 ；. 6.或. 7.. 8. 9. 10.. 二、模拟试题 1.ABC. 2.D. 3.BCD. 4.BCD. 5. 5 ． 三、高考真题 2023年 1.A. 2.B. 3.C. 4.A. 5.A. 6.B 7.A. 8.C. 9.B. 10.A. 11.A. 12.D. 13.. 2024年 1.A. 2.C. 3.C. 4.B. 5.A. 6.C. 7.B. 8.C. 9.A. 10.D. 11.．选做:A. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$