专题1.8 勾股定理单元检测卷-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题分类必刷清单（北师大版）

第一章 勾股定理单元检测卷（北师大版） 考卷信息：本试卷共22题，单选10题，填空6题，解答6题，满分100分，现时60分钟 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．若直角三角形的两条直角边长分别是3和4，则斜边长为（　　） A．5 B． C．2.4 D．7 2．下列是勾股数的一组是（　　） A．4，5，6 B．1， C．5，12，13 D．1， 3．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝22，大正方形的面积为17，则小正方形的边长为（　　） A． B．2 C． D． 4．荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股定理知识测算公园里一架秋千立柱AB的高度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度DB为0.4米，将踏板往前推送，使秋千绳索AD到达AE的位置，测得推送的水平距离CE为3米，此时秋千踏板离地面的垂直高度EF为1.4米，则立柱AB的高度为（　　） A．3米 B．4米 C．4.4米 D．5.4米 5．某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，AB＝25m，BC＝9m，CD＝12m，DA＝20m，∠C＝90°，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（　　） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 6．如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD交于点O，若AD＝2，BC＝6，则AB2+CD2的值为（　　） A．40 B．38 C．36 D．32 7．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则BE的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，一个底面为正六边形的六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点A到顶点B镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为5cm，底面边长为2cm，则这圈金属丝的长度至少为（　　） A．8cm B．13cm C．12cm D．15cm 9．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2024次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（　　） A．2025 B．2024 C．22023 D．22021﹣1 10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，，分别以AB，AC，BC为边向△ABC外作正方形ABFG，正方形ACHM，正方形BCED．若直线ED、FG交于点N，过点M作KQ∥DE交FG于点K，过点H作PQ∥FG与DE、KQ分别交于点P、Q．则四边形KQPN的面积为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，一架梯子AB长10米，底端离墙的距离BC为6米，当梯子下滑到DE时，AD＝3米，则BE＝　 　米． 12．如图，四边形ABCD中，AB＝6cm，AC⊥BC于点C，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝60°，则BD的长为 　 　cm． 13．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于 　 　． 14．某小区楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为20元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要 　 　元． 15．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝　 　． 16．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝，D，E分别为射线BC与射线AC上的两动点，且BD＝AE，连接AD，BE，则AD+BE最小值为 　 　． 三．解答题（共6小题，第17~18题各6分，第19~22题各10分，共52分） 17．如图，折叠等腰三角形纸片ABC，使点C落在边AB上的点F处，折痕为DE．已知AB＝AC，FD⊥BC． （1）求证：∠AFE＝90°； （2）如果AF＝3，BF＝6，求AE的长． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC移动至点C，设运动时间为t秒． （1）求BC的长； （2）在点P的运动过程中，是否存在某个时刻t，使得点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 19．【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），由勾股定理：c2＝a2+b2，得b2＝c2﹣a2＝（c+a）（c﹣a），则，得到：． 从而得到了勾股定理的推论：已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），则 【问题解决】如图2，已知△ABC的三边长分别为，如何计算△ABC的面积？据记载，古人是这样计算的：作BC边上的高AH．以BH，CH的长为斜边和直角边作Rt△DEF（如图3），其中DE＝BH，EF＝CH． （1）用古人的方法计算DF2的值，完成下面的填空： DF2＝DE2﹣EF2 ＝BH2﹣CH2 ＝[（ 　 　）2﹣（ 　 　）2]﹣[（ 　 　）2﹣（ 　 　）2] ＝　 　． （2）试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成△ABC面积的计算过程； （3）你还有其他计算△ABC的面积的方法吗？写出解答过程． 20．如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向150km的B处有一台风中心正以20km/h的速度向BC方向移动，已知城市A到BC的距离AD＝90km，那么： （1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？ （2）如果在距台风中心30km的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为6km/h）最好选择什么方向？ 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F． （1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度； （2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2． 22．△ABC是等腰三角形，∠ACB＝90°，M是BC的中点，D为射线BC上一点（不与点B，C重合），连接AD并延长到点E，使得DE＝AD，连接BE．过点B作BE的垂线交直线AC于点F． （1）如图①，点D在线段BM上，线段CD，DB，CF之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明； （2）当点D在线段MC上时，如图②；当点D在MC的延长线上时，如图③，直接写出线段CD，DB，CF之间的数量关系，不需证明． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 勾股定理单元检测卷（北师大版） 考卷信息：本试卷共22题，单选10题，填空6题，解答6题，满分100分，现时60分钟 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．若直角三角形的两条直角边长分别是3和4，则斜边长为（　　） A．5 B． C．2.4 D．7 【解答】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是3和4， ∴斜边长为＝5， 故选：A． 2．下列是勾股数的一组是（　　） A．4，5，6 B．1， C．5，12，13 D．1， 【解答】解：A.42+52≠62，不是勾股数，不符合题意； B.，，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； C.122+52＝132，且5，12，13都是正整数，是勾股数，符合题意； D.，，不是正整数，不是勾股数，不符合题意． 故选：C． 3．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝22，大正方形的面积为17，则小正方形的边长为（　　） A． B．2 C． D． 【解答】解：如图所示，由题意，ED＝a，AE＝b， ∵大正方形的面积为17， ∴AD2＝17， ∵AD2＝AE2+ED2＝a2+b2， ∴a2+b2＝17， ∵（a+b）2＝22， ∴（a﹣b）2＝2（a2+b2）﹣（a+b）2＝2×17﹣22＝12， ∵EF＝ED﹣EF＝a﹣b， ∴小正方形的边长为EF＝2（负值舍去）， 故选：D． 4．荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股定理知识测算公园里一架秋千立柱AB的高度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度DB为0.4米，将踏板往前推送，使秋千绳索AD到达AE的位置，测得推送的水平距离CE为3米，此时秋千踏板离地面的垂直高度EF为1.4米，则立柱AB的高度为（　　） A．3米 B．4米 C．4.4米 D．5.4米 【解答】解：设绳索AD的长度为x m， 则AE＝x m，AB＝AD+BD＝（x+0.4）m， ∵CD＝BC﹣BD＝EF﹣BD＝1.4﹣0.4＝1（m）， ∴AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m， 由题意得：∠ACE＝90°， 在Rt△AED中，由勾股定理得：CE2+AC2＝AE2， 即32+（x﹣1）2＝x2， 解得：x＝5， ∴x+0.4＝5+0.4＝5.4， 即立柱AB的高度为5.4m， 故选：D． 5．某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，AB＝25m，BC＝9m，CD＝12m，DA＝20m，∠C＝90°，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（　　） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 【解答】解：连接BD， ∵BC＝9m，CD＝12m，∠C＝90°， ∴BD＝＝＝15（m）， ∵AB＝25m，AD＝20m， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴∠ADB＝90°， ∴四边形ABCD的面积＝＝204（平方米）， ∴204×200＝40800（元）， 答：铺满该区域需要的费用是40800元， 故选：A． 6．如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD交于点O，若AD＝2，BC＝6，则AB2+CD2的值为（　　） A．40 B．38 C．36 D．32 【解答】解：∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝90°， ∴AB2＝OA2+OB2，CD2＝OD2+OC2，AD2＝OA2+OD2＝22＝4，BC2＝OC2+OB2＝62＝36， ∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OD2+OC2＝AD2+BC2＝4+36＝40， 故选：A． 7．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则BE的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：根据翻折的性质得，AE＝CE， 设BE＝x， ∵长方形ABCD的长为8， ∴AE＝CE＝8﹣x， 在Rt△ABE中，根据勾股定理，AE2＝AB2+BE2， 即（8﹣x）2＝42+x2， 解得x＝3， 所以，BE的长为3． 故选：A． 8．如图，一个底面为正六边形的六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点A到顶点B镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为5cm，底面边长为2cm，则这圈金属丝的长度至少为（　　） A．8cm B．13cm C．12cm D．15cm 【解答】解：如图，六棱柱侧面展开后，这圈金属丝的长度最短为AB的长， 由勾股定理得，， 故选：B． 9．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2024次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（　　） A．2025 B．2024 C．22023 D．22021﹣1 【解答】解：如图， 由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积＝1， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025． 故选：A． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，，分别以AB，AC，BC为边向△ABC外作正方形ABFG，正方形ACHM，正方形BCED．若直线ED、FG交于点N，过点M作KQ∥DE交FG于点K，过点H作PQ∥FG与DE、KQ分别交于点P、Q．则四边形KQPN的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝， 由勾股定理得，AC＝＝， 四边形ABFG，ACHM，BCED 都是正方形，四边形 ABFG，ACHM，BCED 的四个角都是90°，四条对边平行且相等， ∴∠N＝∠EDB＝90°，ND∥FB，NF∥DB， ∴四边形NDBF为矩形， ∴KO∥DE，PO∥FG， ∴四边形KQPN是矩形， ∴FG＝FB＝AB＝1，BD＝BC＝DE＝，AC＝CH＝AM＝， ∴ND＝FB＝1，NF＝BD＝2， 延长BC交PQ于点O，延长BA交KQ于L， 则CO⊥PQ，BL⊥KQ，如图所示， ∵∠BAC+∠BCA＝90°， ∠BCA+∠HCO＝90°， ∴∠BAC＝∠HCO， 又AC＝CH，∠ABC＝∠COH＝90°， ∴△ABC≌△COH（AAS）． ∴CO＝AB＝1， 同理可证，△ABC≌△MLA． ∴AL＝BC＝， ∴PQ∥FG，已证四边形KQPN是矩形，且四边形ABFG，BCED为正方形， ∴PO∥EC，CO∥EP，∠P＝90°， ∴四边形EPOC为矩形， ∴EP＝CO＝AB＝1， 同理可证，四边形GALK为矩形， ∴GK＝AL＝BC＝， ∴NK＝NF+FG+GK＝+1+＝2+1， NP＝ND+DE+EP＝1++1＝2+， ∴四边形KQPN的面积为： S＝NK•NP＝（2+1）（2+）＝6+5． 故选：C． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，一架梯子AB长10米，底端离墙的距离BC为6米，当梯子下滑到DE时，AD＝3米，则BE＝　（5﹣6）　米． 【解答】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，可得：AC＝＝＝8（米）， ∴DC＝AC﹣AD＝8﹣3＝5（米）， 在Rt△DCE中，CE＝＝＝5（米）， ∴BE＝CE﹣BC＝（5﹣6）米， 故答案为：（5﹣6）． 12．如图，四边形ABCD中，AB＝6cm，AC⊥BC于点C，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝60°，则BD的长为 　　cm． 【解答】解：如图，取AB的中点E，连接CE，而AC⊥BC， ∴AE＝BE＝CE＝3cm， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵∠ABC＝60°， ∴△BCE是等边三角形， ∴∠BEC＝60°， ∵∠BEC＝∠EAC+∠ECA＝60°， ∴∠EAC＝∠ECA＝30°， ∴（cm）， ∵∠ACB＝90°， ∴AC2＝AB2﹣BC2＝27， ∵∠ACD＝∠ADC＝60°， ∴△ADC是等边三角形， ∴AD＝AC，∠CAD＝60°， ∴∠BAD＝90°， ∴， 故答案为：． 13．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于 　8π　． 【解答】解：S1＝π（）2＝πAC2，S2＝πBC2， 所以S1+S2＝π（AC2+BC2）＝πAB2＝8π． 故答案为：8π． 14．某小区楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为20元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要 　280　元． 【解答】解：已知直角三角形的一条直角边是3m，斜边是5m， 根据勾股定理得到：水平的直角边是4m，地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长， 则购买这种地毯的长是3m+4m＝7m，则面积是14m2， 价格是14×20＝280（元）． 15．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝　4　． 【解答】 解：观察发现， ∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°， ∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°， ∴∠BAC＝∠EBD， ∴△ABC≌△BDE（AAS）， ∴BC＝ED， ∵AB2＝AC2+BC2， ∴AB2＝AC2+ED2＝S1+S2， 即S1+S2＝1， 同理S3+S4＝3． 则S1+S2+S3+S4＝1+3＝4． 故答案为：4． 16．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝，D，E分别为射线BC与射线AC上的两动点，且BD＝AE，连接AD，BE，则AD+BE最小值为 　　． 【解答】解：如图，过点B作FG⊥BC，使得BF＝AB＝5，过点A作AG⊥GF于点G，连接DF， 在△ABE和△BFD中， ， ∴△ABE≌△BFD（SAS）， ∴DF＝BE， ∴AD+BE＝AD+DF≥AF， 则当D在线段AF上时，AD+BE取的最小值，最小值为AF的长， ∵∠BAC＝90°，AB＝5，， ∴ ∵， ∴， 在Rt△ABG中，， ∴FG＝GB+BG＝4+5＝9， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共6小题，第17~18题各6分，第19~22题各10分，共52分） 17．如图，折叠等腰三角形纸片ABC，使点C落在边AB上的点F处，折痕为DE．已知AB＝AC，FD⊥BC． （1）求证：∠AFE＝90°； （2）如果AF＝3，BF＝6，求AE的长． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵折叠等腰三角形纸片ABC，使点C落在边AB上的点F处， ∴∠EFD＝∠C， ∴∠B＝∠EFD， ∴180°﹣∠B＝180°﹣∠EFD，即∠BDF+∠BFD＝∠AFE+∠BFD， ∴∠BDF＝∠AFE， ∵FD⊥BC， ∴∠BDF＝90°， ∴∠AFE＝90°； （2）∵AF＝3，BF＝6， ∴AB＝AF+BF＝9＝AC， 设AE＝x，则CE＝9﹣x， ∵折叠等腰三角形纸片ABC，使点C落在边AB上的点F处， ∴EF＝CE＝9﹣x， 在Rt△AFE中，AF2+EF2＝AE2， ∴32+（9﹣x）2＝x2， 解得x＝5， ∴AE＝5． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC移动至点C，设运动时间为t秒． （1）求BC的长； （2）在点P的运动过程中，是否存在某个时刻t，使得点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝8（cm）； （2）存在，理由如下： 如图，当点P恰好运动到∠BAC平分线上时，点P到直线AB的距离与点P到点C的距离相等， 由已知可得：BP＝2t cm，PC＝BC﹣BP＝（8﹣2t）cm， 连接AP，过点P作PE⊥AB于E，如图所示： 则PE＝PC＝（8﹣2t）cm， 在△AEP与△ACP中， ， ∴△AEP≌△ACP（AAS）， ∴AE＝AC＝6cm， ∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4（cm）， 在Rt△BEP中，由勾股定理得：BP2＝BE2+PE2， 即（2t）2＝42+（8﹣2t）2， 解得：t＝， 即当t的值为时，点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等． 19．【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），由勾股定理：c2＝a2+b2，得b2＝c2﹣a2＝（c+a）（c﹣a），则，得到：． 从而得到了勾股定理的推论：已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），则 【问题解决】如图2，已知△ABC的三边长分别为，如何计算△ABC的面积？据记载，古人是这样计算的：作BC边上的高AH．以BH，CH的长为斜边和直角边作Rt△DEF（如图3），其中DE＝BH，EF＝CH． （1）用古人的方法计算DF2的值，完成下面的填空： DF2＝DE2﹣EF2 ＝BH2﹣CH2 ＝[（ 　AB　）2﹣（ 　AH　）2]﹣[（ 　AC　）2﹣（ 　AH　）2] ＝　16　． （2）试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成△ABC面积的计算过程； （3）你还有其他计算△ABC的面积的方法吗？写出解答过程． 【解答】解：（1）DF2＝DE2﹣EF2 ＝BH2﹣CH2 ＝（AB﹣AH）2﹣（AC﹣AH）2 ＝16， 故答案为：AB，AH，AC，AH，16； （2）在Rt△DEF中， 由勾股定理的推论，可知：． ∵DE+EF＝BH+CH＝BC＝8，DF2＝16， ∴， ∴CH＝3， 在Rt△ACH中，AH2＝AC2﹣CH2＝52﹣32＝16， ∴AH＝4， ∴； （3）如图2，设CH＝x，BH＝8﹣x， 由勾股定理，得AH2＝AB2﹣BH2＝AC2﹣CH2， ， 解得x＝3， ∴CH＝3， ∴， ∴． 20．如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向150km的B处有一台风中心正以20km/h的速度向BC方向移动，已知城市A到BC的距离AD＝90km，那么： （1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？ （2）如果在距台风中心30km的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为6km/h）最好选择什么方向？ 【解答】解：（1）在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得BD＝＝120.120÷20＝6时； （2）根据题意，得游人最好选择沿AD所在的方向撤离．撤离的时间＝30÷6＝5． 又台风到点D的时间是6小时． 即游人必须在接到台风警报后的1小时内撤离，撤离的方向最好是沿AD所在的方向． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F． （1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度； （2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2． 【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∵BC＝10， ∴BD＝5， Rt△ABD中，∵AB＝13， ∴AD＝＝＝12， Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∴DF＝BD＝5， ∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7； （2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH 在△CHB和△AEF中， ∵， ∴△CHB≌△AEF（SAS）， ∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC， ∴∠CEF＝∠CHE， ∴CE＝CH， ∵BD＝CD，FD⊥BC， ∴CF＝BF， ∴∠CFD＝∠BFD＝45°， ∴∠CFB＝90°， ∴EF＝FH， Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2， ∴BF2+EF2＝AE2． 22．△ABC是等腰三角形，∠ACB＝90°，M是BC的中点，D为射线BC上一点（不与点B，C重合），连接AD并延长到点E，使得DE＝AD，连接BE．过点B作BE的垂线交直线AC于点F． （1）如图①，点D在线段BM上，线段CD，DB，CF之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明； （2）当点D在线段MC上时，如图②；当点D在MC的延长线上时，如图③，直接写出线段CD，DB，CF之间的数量关系，不需证明． 【解答】解：（1）猜想：CD＝DB+CF，证明如下： 过点E作EG⊥CB交CB的延长线于G，如图①所示： ∵∠ACB＝90°， ∴∠G＝∠ACD＝90°， 在△EGD和△ACD中， ， ∵△EGD≌△ACD（AAS）， ∴DG＝CD＝DB+BG，EG＝AC， ∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝90°， ∴AC＝BC， ∴EG＝BC， ∵BF⊥BE，EG⊥CB， ∴∠EBG+∠FBC＝90°，∠EBG+∠BEG＝90°， ∴∠BEG＝∠FBC， 在△BEG和△FBC中， ， ∴△BEG≌△FBC（ASA）， ∴BG＝CF， ∴CD＝DB+BG＝DB+CF； （2）当点D在线段MC上时，DB＝CD+CF，证明如下： 过点E作EH⊥BC于H，如图②所示： 同理：△EHD≌△ACD（AAS），△EBH≌△BFC（ASA）， ∴DH＝CD，BH＝CF， ∴DB＝DH+BH＝CD+CF； 当点D在MC的延长线上时，CF＝CD+DB，证明如下： 过点E作ET⊥BD交BD的延长线于T，如图③所示： 同理：△ETD≌△△ACD（AAS），△EBT≌△BFC（ASA）， ∴CD＝TD，BT＝CF， ∴CF＝BT＝BD+TD＝BD+CD ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$