专题04 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（9基础题型+6提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（四川专用）

专题04 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性 利用定义判断函数的单调性 1．（23-24高一上·四川内江·期中）（多选）下列函数中，满足“，都有”的有（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·四川成都·期中）已知， (1)求的解析式； (2)若，试用定义证明在其定义域上是单调函数． 3．（23-24高一上·四川·期中）已知函数满足． (1)求的值； (2)试判断在上的单调性，并用定义证明． 4．（23-24高一上·四川泸州·期中）已知函数，且 (1)求解析式； (2)判断并证明函数在区间的单调性. 5．（23-24高一上·四川甘孜·期中）已知函数． (1)求的解析式； (2)试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明． 求函数的单调区间 1．（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的单调减区间为 A． B． C． D． 2．（23-24高一上·四川广安·期中）的单调增区间是 . 3．（23-24高一上·四川广安·期中）函数的单调递减区间是 . 4．（23-24高一上·四川泸州·期中）已知函数 （1）求函数的定义域； （2）画出函数的图象，并求的单调区间. 根据单调性求函数的值域 1．（23-24高一上·四川成都·期中）函数（）的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（23-24高一上·四川内江·期中）已知，设，则函数的最大值是（    ） A． B．1 C． D．0 3．（23-24高一上·四川成都·期中）（多选）下列函数中，值域为的是（    ） A．， B． C． D． 4．（23-24高一上·四川广安·期中）已知函数过点． (1)求b的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (3)求函数在上的最大值和最小值． 5．（23-24高一上·四川自贡·期中）已知函数. (1)证明：函数在 上单调递减； (2)求函数在上的最值． 函数奇偶性的判断 1．（23-24高一上·四川遂宁·期中）下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·四川达州·期中）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川自贡·期中）（多选）下列函数是奇函数且在区间上是单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 根据函数奇偶性求值 1．（23-24高一上·四川自贡·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A．5 B． C．0 D．2 2．（23-24高一上·四川泸州·期中）已知函数的定义域为R，当时，；当时，；当 时，，则=（    ） A． B． C．0 D．2 3．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 4．（23-24高一上·四川内江·期中）若函数是上的偶函数，且当时，，则 . 5．（23-24高一上·四川资阳·期中）已知定义在R上的函数分别是奇函数和偶函数，且，则 ． 6．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 根据函数奇偶性求参数 1．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数为偶函数，则实数的值为 ． 2．（23-24高一上·四川泸州·期中）若是偶函数，则 . 3．（23-24高一上·四川绵阳·期中）若函数为奇函数，则 . 利用函数性质比较大小 1．（23-24高一上·四川成都·期中）若偶函数f（x）在（-∞，-1]上是增函数，则（ ） A．f（-1.5）＜f（-1）＜f（2） B．f（-1）＜f（-1.5）＜f（2） C．f（2）＜f（-1）＜f（-1.5） D．f（2）＜f（-1.5）＜f（-1） 2．（23-24高一上·四川宜宾·期中）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川成都·期中）定义在上函数满足以下条件：①函数是偶函数；②对任意，，当时都有，则，，的大小关系为都有（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·四川成都·期中）定义在上函数满足以下条件：①函数是偶函数；②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 利用函数性质解不等式 1．（23-24高一上·四川泸州·期中）已知为上的增函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·四川眉山·期中）设，已知函数是定义在上的减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·四川泸州·期中）已知：定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·四川成都·期中）设是定义在上的奇函数，对任意，，且，都有，且，则不等式的解集为 ． 6．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数，，满足条件，且. (1)求的值； (2)用单调性定义证明：函数在区间上单调递增； (3)若，求实数的取值范围. 函数周期性与对称性应用 1．（23-24高一上·四川成都·期中）已知，若对一切实数，均有，则 . 2．（23-24高一上·四川成都·期中）已知的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且当时，，则的值等于 ． 3．（23-24高一上·四川资阳·期中）（多选）已知函数的定义域均为，且,，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C．， D．若的值域为，则 4．（23-24高一上·四川宜宾·期中）（多选）已知函数的定义域为，为奇函数，且对，恒成立，则（    ） A．为奇函数 B． C． D．是以为周期的函数 5．（23-24高一上·四川凉山·期中）（多选）已知函数是定义域为的偶函数，满足，当时，，则（    ） A．的最小值是，最大值是 B．的周期为 C． D． 利用函数的单调性求参数 1．（23-24高一上·四川内江·期中）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·四川成都·期中）函数在区间上是减函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川成都·期中）（多选）已知函数在区间上不具有单调性，则a的值可以是（    ） A． B． C．9 D．4 4．（23-24高一上·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·四川内江·期中）函数，若对任意、（），都有成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·四川凉山·期中）若函数，且对任意的，满足条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 函数不等式恒成立与能成立问题 1．（23-24高一上·四川内江·期中）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数a的取值范围为 . 2．（23-24高一上·四川南充·期中）已知函数. (1)求函数在的最大值； (2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 3．（23-24高一上·四川泸州·期中）函数是定义在R上的奇函数，当时， (1)求函数在R上的解析式； (2)对于函数，，若不等式恒成立，求实数t的取值范围. 4．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数，且． (1)证明：在区间上单调递减； (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 5．（23-24高一上·四川宜宾·期中）已知函数，且满足. (1)判断在上的单调性，并用定义证明： (2)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 6．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数，（）． (1)当时，求不等式的解集； (2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； (3)若对任意，存在，使得，求的取值范围． 抽象函数的性质综合 1．（23-24高一上·四川内江·期中）（多选）已知的定义域为R且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且≠，都有，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B． C．的图象关于对称 D． 2．（23-24高一上·四川成都·期中）（多选）已知函数对任意的x，都有，且当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．在上有最大值 D．的解集为 3．（23-24高一上·四川成都·期中）（多选）已知定义在的函数满足以下条件： （1）对任意实数恒有； （2）当时，的值域是 （3） 则下列说法正确的是（    ） A．值域为 B．单调递增 C． D．的解集为 4．（23-24高一上·四川乐山·期中）（多选）定义域为的函数满足，，且时，，则（    ） A．为奇函数 B．在单调递增 C． D．不等式的解集为 5．（23-24高一上·四川眉山·期中）（多选）已知函数的定义域是，对，都有，且当时，，且，下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上单调递增 C． D．满足不等式的的取值范围为 6．（23-24高一上·四川成都·期中）已知定义在R上的函数同时满足下面两个条件： ①对任意x，，都有. ②当时，； (1)求； (2)判断在R上的单调性，并证明你的结论； (3)已知，若，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 构造函数解含参不等式 1．（23-24高一上·四川南充·期中）若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·四川遂宁·期中）已知为定义在上的偶函数，对于且，有，，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 含参二次函数的最值问题 1．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知二次函数． (1)当，求的最小值． (2)当时，求的最小值． 2．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数是二次函数，且满足． (1)求函数的解析式： (2)求函数在区间的最小值． 3．（23-24高一上·四川南充·期中）已知定义在上的函数满足，二次函数的最小值为，且． (1)分别求函数和的解析式； (2)设，，求的最小值． 4．（23-24高一上·四川泸州·期中）已知函数 (1)当时，求函数在区间上的值域； (2)函数在上具有单调性，求实数的取值范围； (3)求函数在上的最小值的解析式. 5．（23-24高一上·四川成都·期中）已知定义在R上的函数，满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为6，求实数t的值． 函数新定义问题 1．（23-24高一上·四川成都·期中）（多选）符号[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[－1.6]=－2．定义函数：，则下列命题正确的是（    ） A． B．当时， C．函数的定义域为，值域为 D．函数是增函数 2．（23-24高一上·四川泸州·期中）（多选）设对于定义域为D的函数，若存在区间，使得同时满足： ①在上单调 ②当的定义域为时，的值域也为，则区间为该函数的一个“和谐区间”． 下列说法正确的是（    ） A．区间是的一个“和谐区间” B．函数的所有“和谐区间为，， C．若函数存在“和谐区间”，则实数k的取值范围是 D．函数存在“和谐区间” 3．（23-24高一上·四川乐山·期中）若函数在区间上同时满足：①在区间上是单调函数，②当，函数的值域为，则称区间为函数的“保值”区间，若函数存在“保值”区间，求实数的取值范围 ． 4．（23-24高一上·四川成都·期中）设函数的定义域为D，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“严格增函数”，对于“严格增函数”，有以下四个结论： ①“严格增函数”一定在D上严格增； ②“严格增函数”一定是“严格增函数”（其中，且） ③函数是“严格增函数”（其中表示不大于x的最大整数） ④函数不是“严格增函数”（其中表示不大于x的最大整数） 其中，所有正确的结论序号是 . 5．（23-24高一上·四川成都·期中）若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间D上的“m阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间D上的“m阶自伴函数”． (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由； (2)若函数区间上的“1阶自伴函数”，求b的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数a的取值范围． 6．（23-24高一上·四川成都·期中）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称函数为“依赖函数”. （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域且上为“依赖函数”，求的值； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性 利用定义判断函数的单调性 1．（23-24高一上·四川内江·期中）（多选）下列函数中，满足“，都有”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】，都有， 知是在上单调递减的函数， 对于A，在R上是增函数，不合题意； 对于B，在R上是减函数，符合题意； 对于C，为二次函数，其开口向下且对称轴为， 所以在上单调递减，符合题意； 对于D，由反比例函数的单调性可得是上的增函数，不合题意.故选：BC 2．（23-24高一上·四川成都·期中）已知， (1)求的解析式； (2)若，试用定义证明在其定义域上是单调函数． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）令，则，， 因为，所以， 所以. （2）由题意知，定义域为 任取，则， 因为，所以， 所以，则，即， 所以在定义域上是单调递减函数. 3．（23-24高一上·四川·期中）已知函数满足． (1)求的值； (2)试判断在上的单调性，并用定义证明． 【答案】(1)2；(2)在上单调递减，证明见解析. 【解析】（1）函数，由，得，解得， 因此，则， 所以. （2）函数在上单调递减． 任取，且，则 ， 由，得，，，，， 因此，即， 函数在上单调递减． 4．（23-24高一上·四川泸州·期中）已知函数，且 (1)求解析式； (2)判断并证明函数在区间的单调性. 【答案】(1)；(2)单调递增，证明见解析. 【解析】（1）且，解得. 所以函数的解析式为. （2） ∵. ∵， ，所以， 所以，所以函数在单调递增. 5．（23-24高一上·四川甘孜·期中）已知函数． (1)求的解析式； (2)试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明． 【答案】(1)；(2)单调递增，证明详见解析 【解析】（1）， 所以. （2）， 在上单调递增，证明如下： 设， ， 其中，所以， 所以，所以在上单调递增. 求函数的单调区间 1．（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的单调减区间为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，求得，故函数的定义域为， 本题即求在内的减区间． 利用二次函数的性质可得在内的减区间为， 即函数的单调减区间为，故选B． 2．（23-24高一上·四川广安·期中）的单调增区间是 . 【答案】 【解析】由题知, 由解得或, 故函数的定义域为或, 因为对称轴为,开口向上, 故在单调递减,在单调递增, 因为在定义域内单调递增, 根据复合函数单调性的求法可知,的单调增区间为:. 3．（23-24高一上·四川广安·期中）函数的单调递减区间是 . 【答案】和 【解析】当或时，，对称轴为， 当时，，对称轴为， 作出的图象如图所示， 由图可知单调递减区间为， 故答案为：和 4．（23-24高一上·四川泸州·期中）已知函数 （1）求函数的定义域； （2）画出函数的图象，并求的单调区间. 【答案】（1） ；（2） 增区间为和，减区间为和.图象见解析. 【解析】（1）函数的定义域为； （2）的图象如下所示： 由图象得增区间为和，减区间为和. 根据单调性求函数的值域 1．（23-24高一上·四川成都·期中）函数（）的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数在上单调递增， 所以根据单调性的性质知：函数在上单调递减， 所以当时，函数取到最大值为.故选：B 2．（23-24高一上·四川内江·期中）已知，设，则函数的最大值是（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】D 【解析】当即时，； 当即或时，； 所以， 当时，单调递增，所以； 当时，单调递增，所以； 当时，单调递减，所以； 综上，当时，函数有最大值是0.故选：D 3．（23-24高一上·四川成都·期中）（多选）下列函数中，值域为的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A：函数，在上单调递增，又，， 所以，的值域为，故A正确； 对于B：函数在上单调递减，又，， 所以，故B正确； 对于C：函数，令，解得， 即函数的定义域为，则，则，， 所以，故C正确； 对于D：因为，则， 当且仅当，即时取等号，所以，故D错误；故选：ABC 4．（23-24高一上·四川广安·期中）已知函数过点． (1)求b的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (3)求函数在上的最大值和最小值． 【答案】(1)；(2)函数在区间上单调递增，证明见解析；(3)最大值为，最小值为． 【解析】（1）由函数过点，有，解得； （2）函数在区间上单调递增，证明如下： 由（1）知，函数的解析式为：， 取，且，有， 由，得，则， 即，所以在区间上单调递增. （3）由在区间上是增函数，所以在上单调递增， 所以的最大值为，最小值为. 5．（23-24高一上·四川自贡·期中）已知函数. (1)证明：函数在 上单调递减； (2)求函数在上的最值． 【答案】(1)证明见解析；(2)无最值. 【解析】（1）任取，且， ， ，，即. 故函数在 上单调递减. （2）令，由得出，则. 函数的图像如下图所示： 由图可知，函数无最值，即函数在上无最值.    函数奇偶性的判断 1．（23-24高一上·四川遂宁·期中）下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A项，设，定义域为R， 且，所以为奇函数. 当时，在上单调递增，且； 当时，在上单调递增，且. 所以，在定义域上为增函数.故A项正确； 对于B项，设，定义域为R， 且，所以，不是奇函数.故B项错误； 对于C项，设，定义域为R， 且，所以，为偶函数，不是奇函数.故C项错误； 对于D项，设，定义域为， 且，所以为奇函数. 又在上单调递减，上单调递减，故D项错误.故选：A. 2．（23-24高一上·四川达州·期中）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，为偶函数，不符合题意； 对于B，为偶函数，不符合题意； 对于C，设，定义域为R，且， 即为奇函数，且在R上单调递增，故C正确； 对于D，由于在上单调递减，在上单调递增， 则在定义域上不具有单调性，D不符合题意，故选：C 3．（23-24高一上·四川自贡·期中）（多选）下列函数是奇函数且在区间上是单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于A：令，函数的定义域为， 且，则为奇函数， 根据反比例函数的性质，则函数在上单调递增，故A正确； 对于B：令，则函数的定义域为， 且，则为奇函数， 根据幂函数的单调性知，函数在上为增函数，故B正确； 对于C：由函数的定义域为，则函数为非奇非偶函数，故C错误； 对于D，令，函数的定义域为， ，则函数为非奇非偶函数，故D错误．故选：AB． 根据函数奇偶性求值 1．（23-24高一上·四川自贡·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A．5 B． C．0 D．2 【答案】B 【解析】因为当时，，所以， 又为定义在上的奇函数，所以.故选：B. 2．（23-24高一上·四川泸州·期中）已知函数的定义域为R，当时，；当时，；当 时，，则=（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【解析】因为当 时，， 所以有故选：D 3．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】B 【解析】由①得， 因为为奇函数，为偶函数，所以，， 所以②， ①-②得：，所以，则.故选：B. 4．（23-24高一上·四川内江·期中）若函数是上的偶函数，且当时，，则 . 【答案】 【解析】因为函数是上的偶函数，则， 由当时，，则，所以. 5．（23-24高一上·四川资阳·期中）已知定义在R上的函数分别是奇函数和偶函数，且，则 ． 【答案】 【解析】∵， ∴. 由是奇函数，是偶函数，可有，， 代入上式，， 则有，； 则. 6．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】 【解析】设函数，则的最大值为，最小值为， 易知是奇函数，所以，所以， 根据函数奇偶性求参数 1．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数为偶函数，则实数的值为 ． 【答案】-1 【解析】因为函数定义域为， 令，则， 故，知为奇函数， 由于为偶函数， 则函数为奇函数， 即，解得．故选：． 2．（23-24高一上·四川泸州·期中）若是偶函数，则 . 【答案】 【解析】因为是偶函数， 所以在实数集上恒成立， 即， 化简，得，所以有. 3．（23-24高一上·四川绵阳·期中）若函数为奇函数，则 . 【答案】 【解析】显然函数的定义域为R， 由是奇函数，得， 即，即， 而不恒为0，则，解得，所以. 利用函数性质比较大小 1．（23-24高一上·四川成都·期中）若偶函数f（x）在（-∞，-1]上是增函数，则（ ） A．f（-1.5）＜f（-1）＜f（2） B．f（-1）＜f（-1.5）＜f（2） C．f（2）＜f（-1）＜f（-1.5） D．f（2）＜f（-1.5）＜f（-1） 【答案】D 【解析】是偶函数， 又在（-∞，-1]上是增函数， ，即.故选：D 2．（23-24高一上·四川宜宾·期中）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知f(x)在[0，＋∞)单调递增，由f(x)是偶函数知其在(－∞，0)单调递减， 则距离y轴越近，函数值越小，即自变量绝对值越小，函数值越小﹒ ∵||＜|－2|＜|23|，∴＜＜﹒故选：A﹒ 3．（23-24高一上·四川成都·期中）定义在上函数满足以下条件：①函数是偶函数；②对任意，，当时都有，则，，的大小关系为都有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为对任意，， 当时都有, 所以在上递减， 又因为是偶函数， 所以, 所以,所以，故选:B． 4．（23-24高一上·四川成都·期中）定义在上函数满足以下条件：①函数是偶函数；②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数是偶函数，所以函数图象关于直线对称， 又对任意，当时都有， 所以函数在上单调递增， 又，，所以， 所以.故选：A 利用函数性质解不等式 1．（23-24高一上·四川泸州·期中）已知为上的增函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为上的增函数， 所以由，得：， 即，即，解得：， 所以实数的取值范围为，故选：C. 2．（23-24高一上·四川眉山·期中）设，已知函数是定义在上的减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵函数是定义在上的减函数，且， ∴，解得.故选：C 3．（23-24高一上·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为对于任意不等实数，不等式恒成立， 所以在上单调递减，又函数是定义在上的奇函数， 所以在上单调递减，所以，解得.故选：B. 4．（23-24高一上·四川泸州·期中）已知：定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为定义在R上的偶函数在上单调递增，且， 所以在上递减，且， 所以当或时，，当或时，， 由，得或， 所以或， 所以不等式的解集为，故选：A 5．（23-24高一上·四川成都·期中）设是定义在上的奇函数，对任意，，且，都有，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】依题意，奇函数在上单调递增，， 则在上单调递增，， 因为， 当时，不等式可化为，解得： 当时，不等式可化为，解得：； 所以原不等式的解集为. 6．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数，，满足条件，且. (1)求的值； (2)用单调性定义证明：函数在区间上单调递增； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）因为，，， 所以，解得， 所以. （2）由（1）得， ，且， 有， 由于，即， 所以函数在区间上单调递增. （3）由得 又函数在区间上单调递增， 所以，解得，故， 所以实数的取值范围是. 函数周期性与对称性应用 1．（23-24高一上·四川成都·期中）已知，若对一切实数，均有，则 . 【答案】 【解析】由，可得或，则， 对一切实数，均有，则函数的图象关于直线对称， 所以，，， 所以，，解得， 所以，， 则，合乎题意， 因此，. 2．（23-24高一上·四川成都·期中）已知的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且当时，，则的值等于 ． 【答案】－1. 【解析】因为为奇函数，所以， 所以， 所以， 因为为偶函数， 所以，即， 所以， 所以，所以的周期为4， 因为当时，， 所以. 3．（23-24高一上·四川资阳·期中）（多选）已知函数的定义域均为，且,，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C．， D．若的值域为，则 【答案】BCD 【解析】，， ，， 关于对称，， ，，， ，故C正确； 关于对称，，，为偶函数， ，，， ，，为偶函数，故A错误； ，图象关于点中心对称， 存在一对最小值点与最大值点也关于对称 ， ，故D正确； 由得，又，所以， 由得，所以，故B正确；故选：BCD 4．（23-24高一上·四川宜宾·期中）（多选）已知函数的定义域为，为奇函数，且对，恒成立，则（    ） A．为奇函数 B． C． D．是以为周期的函数 【答案】BCD 【解析】因为为奇函数，所以，故， 又，所以，故， 所以，为偶函数，A错误； 为奇函数，所以，， 所以，B正确； ，又的图象关于点对称，所以， 所以，C正确； 又，则， 所以是以为周期的函数，D对．故选：BCD． 5．（23-24高一上·四川凉山·期中）（多选）已知函数是定义域为的偶函数，满足，当时，，则（    ） A．的最小值是，最大值是 B．的周期为 C． D． 【答案】ABD 【解析】由于，所以图象关于直线对称， 由于是定义在上的偶函数，所以图象关于轴对称， 所以是周期为的周期函数，B选项正确. 当时，， 当时，，所以， 当时，的开口向上，对称轴为， 所以， 根据的周期性、对称性可知的最小值是，最大值是，A选项正确. ，C选项错误. ， ， 所以，D选项正确.故选：ABD 利用函数的单调性求参数 1．（23-24高一上·四川内江·期中）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：在上恒成立， 整理得在上恒成立， 因为在上单调递减，则在上单调递减， 且，可得， 又因为在定义域内单调递增，且函数在上单调递减， 可得在上单调递减，则，可得， 综上所述：a的取值范围是.故选：C. 2．（23-24高一上·四川成都·期中）函数在区间上是减函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数在区间上是减函数， 可知当时，函数取最小值为，故选：B. 3．（23-24高一上·四川成都·期中）（多选）已知函数在区间上不具有单调性，则a的值可以是（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】BD 【解析】的对称轴为， 由于在区间上不具有单调性， 故，解得， 所以AC错误，BD正确.故选：BD 4．（23-24高一上·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，解得，故选：A． 5．（23-24高一上·四川内江·期中）函数，若对任意、（），都有成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由对任意、（），都有成立，可知在上单调递减， 所以，解得， 即实数a的取值范围为.故选：C. 6．（23-24高一上·四川凉山·期中）若函数，且对任意的，满足条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为对任意的，都有， 当，有，当，有， 所以为定义在上的单调递增函数， 又因为， 则要满足，解得：.故选：B. 函数不等式恒成立与能成立问题 1．（23-24高一上·四川内江·期中）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为对任意的，总存在与使得成立，所以， ，对称轴为， 因为，所以当时，， 当时，函数在上单调递增，所以， 所以，解得； 当时，函数在上为常数函数，满足； 当时，函数在上单调递减，所以， 所以，解得； 综上，，即实数a的取值范围为. 2．（23-24高一上·四川南充·期中）已知函数. (1)求函数在的最大值； (2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)或或 【解析】（1）开口向上，对称轴为， ， 当时，，故， 当时，，此时， 故 （2）因为，，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，，故， 要使对任意，，不等式恒成立， 只需， 所以，即. 记，因为， 所以只需，即，解得或或. 故的取值范围为或或. 3．（23-24高一上·四川泸州·期中）函数是定义在R上的奇函数，当时， (1)求函数在R上的解析式； (2)对于函数，，若不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时，， 由函数是定义在上的奇函数， ∴ ∴； （2）由函数，，不等式恒成立， 可得，恒成立， 由（1）可作出的图像可知在上是减函数， 故，即 ∵， 当时，不等式可化为，即，显然恒成立 当时，则，故， 令，则，， ∵恒成立， ∵，当且仅当即时，等号成立， ∴，即t的取值范围为 4．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数，且． (1)证明：在区间上单调递减； (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）因为，，所以，解得，所以， 任取实数，且，则， 又，所以，， 所以，即，所以在区间上单调递减； （2）由（1）知，在上单调递减，所以， 因为对恒成立，所以， 即，化简得，解得， 即实数t的取值范围是． 5．（23-24高一上·四川宜宾·期中）已知函数，且满足. (1)判断在上的单调性，并用定义证明： (2)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增，证明见解析；(2) 【解析】（1）由函数满足， 可得，解之得，则， 在上单调递增，证明如下： 设任意，且，则 ， 由，可得， 又，， 则，则， 则在上单调递增. （2）对任意的，由在上单调递增， 可得，即， 则在上的值域为 对称轴， 当时，在上为增函数， 值域为， 由题意可得，则，解之得； 当时，在上为减函数， 值域为， 由题意可得，则，解之得， 综上，实数的取值范围为. 6．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数，（）． (1)当时，求不等式的解集； (2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； (3)若对任意，存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1)或；(2)；(3) 【解析】（1）当时，由得， 即，解得或． 所以不等式的解集为或． （2）由得， 即不等式的解集是． 所以，解得． 所以的取值范围是． （3）当时，． 又． ①当，即时， 对任意，． 所以，此时不等式组无解， ②当，即时， 对任意，． 所以解得， ③当，即时， 对任意，． 所以此时不等式组无解， ④当，即时， 对任意，． 所以此时不等式组无解． 综上，实数的取值范围是． 抽象函数的性质综合 1．（23-24高一上·四川内江·期中）（多选）已知的定义域为R且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且≠，都有，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B． C．的图象关于对称 D． 【答案】ABC 【解析】为奇函数，为偶函数， 所以的图象关于点对称且关于直线对称， 所以，，， ，所以是周期函数，4是它的一个周期． ， ，B正确； ，是偶函数，A正确； 因此的图象也关于点对称，C正确； 对任意的，且，都有，即时，， 所以在是单调递增， ，，， ，∴，故D错．故选：ABC． 2．（23-24高一上·四川成都·期中）（多选）已知函数对任意的x，都有，且当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．在上有最大值 D．的解集为 【答案】AC 【解析】令，则，解得：，故A正确； 令，则，所以为奇函数，故B错误； ，，，， 所以，所以， 所以在上单调递增，所以在上有最大值，故C正确； 由，为奇函数， 可得，又因为在上单调递增， 所以，即，解得：或,故D错误.故选：AC. 3．（23-24高一上·四川成都·期中）（多选）已知定义在的函数满足以下条件： （1）对任意实数恒有； （2）当时，的值域是 （3） 则下列说法正确的是（    ） A．值域为 B．单调递增 C． D．的解集为 【答案】BCD 【解析】对选项A：令可得，故， 令可得，， ，当时，，则， 综上所述：，错误； 对选项B：任取且，，， 则， 所以函数在上单调递增，正确； 对选项C：取得到； 取得到； 取得到，正确； 对选项D：，， 即， 即， 函数单调递增，且，故，正确；故选：BCD 4．（23-24高一上·四川乐山·期中）（多选）定义域为的函数满足，，且时，，则（    ） A．为奇函数 B．在单调递增 C． D．不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】对于A，由题，，于是，令，则， 即，所以为奇函数，A正确； 对于B，设，则有，即， 即有，所以在上单调递增， 由于，为奇函数，可知在上单调递增，B正确； 对于C，由，得， 又为奇函数，则，C错误； 对于D，由题意得，， 则等价于， 则有，即，D正确．故选：ABD 5．（23-24高一上·四川眉山·期中）（多选）已知函数的定义域是，对，都有，且当时，，且，下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上单调递增 C． D．满足不等式的的取值范围为 【答案】ABD 【解析】对于A：令，得，所以，故选项A正确； 对于B：令，得，所以， 任取，，且，则， 因为，所以，所以，所以在上单调递增，故选项B正确； 对于C： ，故选项C不正确； 对于D：因为，由可得，所以， 所以不等式等价于即， 因为在上单调递增，所以 解得：， 所以原不等式的解集为，故选项D正确；故选：ABD． 6．（23-24高一上·四川成都·期中）已知定义在R上的函数同时满足下面两个条件： ①对任意x，，都有. ②当时，； (1)求； (2)判断在R上的单调性，并证明你的结论； (3)已知，若，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)2023；(2)单调递减，证明见解析；(3) 【解析】（1）令，，则， 所以. （2）在上为减函数，证明如下： 设，则， 则， 又，则， 所以，即， 故在上为减函数. （3）由可得，， 即， 由在上为减函数可得对恒成立， 即，恒成立， 令，则，对称轴方程为， 所以当时，，故，解得. 构造函数解含参不等式 1．（23-24高一上·四川南充·期中）若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，，不妨设， 都有，所以有， 所以函数是上的减函数， 又因为为奇函数，即有，有 所以有，所以为偶函数， 所以在上单调递增. ①当，即时，有，由， 得，所以，解得，此时无解； ②当，即时，由，得， 所以，解得或. 综上所述：不等式的解集为.故选：B 2．（23-24高一上·四川遂宁·期中）已知为定义在上的偶函数，对于且，有，，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，因为，所以， 即，令，则有时，， 所以在上为增函数， 由题知为定义在上的偶函数， 易知为奇函数且在上为增函数， 因为，，所以， 所以 当时，，不等式不成立， 当时，等价于，即，则， 当时，等价于，即，则 综上所述：等式的解集为，故选：C. 3．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，在上递减，又上有， 所以，即为偶函数， 根据偶函数的对称性知：在上递增， 由，即，则上，上， 由，则或，可得.故选：C 含参二次函数的最值问题 1．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知二次函数． (1)当，求的最小值． (2)当时，求的最小值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时，，故最小值为. （2），对称轴为. 当时，在上单调递增，最小值为； 当时，最小值为； 当时，在上单调递减，最小值为. 综上， 2．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数是二次函数，且满足． (1)求函数的解析式： (2)求函数在区间的最小值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意设， 则 ， ， ∴由得， ∴，即. 故函数的解析式为. （2）由（1）知函数的对称轴为直线，开口向上， ①当，即时，在区间上单调递减， 此时； ②当，即时在区间上先减后增， 此时； ③当时，在区间上单调递增， 此时. 综上所述，. 3．（23-24高一上·四川南充·期中）已知定义在上的函数满足，二次函数的最小值为，且． (1)分别求函数和的解析式； (2)设，，求的最小值． 【答案】(1)，；(2)． 【解析】（1）定义在上的函数满足①， 可得②， 由①②可得； 设二次函数， 因为的最小值为，且， 所以，解得， 可得； （2）， 当时，在上单调递增， 所以， 当时，在上单调递减， 所以， 当时，所以， 所以． 4．（23-24高一上·四川泸州·期中）已知函数 (1)当时，求函数在区间上的值域； (2)函数在上具有单调性，求实数的取值范围； (3)求函数在上的最小值的解析式. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）当时，， 该二次函数的对称轴为， 当时，， 因为， 所以，因此函数在区间上的值域为； （2）， 该二次函数的对称轴为， 因为函数在上具有单调性， 所以有，或，解得，或， 因此实数的取值范围为； （3）， 该二次函数的对称轴为， 当时，即时，此时该函数单调递减，所以； 当时，即时，此时； 当时，即时，此时函数单调递增，所以， 综上所述：. 5．（23-24高一上·四川成都·期中）已知定义在R上的函数，满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为6，求实数t的值． 【答案】(1)；(2)或. 【解析】（1）不妨令，则， 即， 故； （2）若函数在区间上的最小值为， (i)当时，即，此时函数在区间上单调递减， 则或（舍）； (ii)当时，即此时函数在区间上单调递增， 则或（舍）； (iii)当，即，此时函数. 综上所述，或. 函数新定义问题 1．（23-24高一上·四川成都·期中）（多选）符号[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[－1.6]=－2．定义函数：，则下列命题正确的是（    ） A． B．当时， C．函数的定义域为，值域为 D．函数是增函数 【答案】AB 【解析】对于A项，，则A正确； 对于B项，当时，，得出，则B正确； 对于C项，函数的定义域为，因为表示不超过的最大整数， 所以，则C错误； 对于D项，， ， 函数不是增函数，则D错误；故选：AB. 2．（23-24高一上·四川泸州·期中）（多选）设对于定义域为D的函数，若存在区间，使得同时满足： ①在上单调 ②当的定义域为时，的值域也为，则区间为该函数的一个“和谐区间”． 下列说法正确的是（    ） A．区间是的一个“和谐区间” B．函数的所有“和谐区间为，， C．若函数存在“和谐区间”，则实数k的取值范围是 D．函数存在“和谐区间” 【答案】BCD 【解析】对于A项，因为在上单调递减， 值域为，不符合题意，故A项错误； 对于B项，在上单调递增，则， 所以，是的两个不等的实根， 又，，， 所以的所有“和谐区间”为、、，故B项正确； 对于C项，因为存在“和谐区间”，在上单调递增， 所以， 所以，是的两个不等的实根， 令，（），则在上有两个不等的实根， 令，对称轴为， 则，解得，故C项正确； 对于D项，因为在，上单调递增，则， 所以，是的两个不等的实根， 又或， 所以，， 又， 所以存在“和谐区间”为，故D项正确.故选：BCD. 3．（23-24高一上·四川乐山·期中）若函数在区间上同时满足：①在区间上是单调函数，②当，函数的值域为，则称区间为函数的“保值”区间，若函数存在“保值”区间，求实数的取值范围 ． 【答案】 【解析】函数在上单调递减，在上单调递增， 若，则， 由，即函数在有两个不等的实数根； 设， 所以，解得． 若，则， 由， 两式相减可得，所以， 从而，即， 同理可得， 设， 所以，解得． 综上可得，实数的取值范围为． 4．（23-24高一上·四川成都·期中）设函数的定义域为D，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“严格增函数”，对于“严格增函数”，有以下四个结论： ①“严格增函数”一定在D上严格增； ②“严格增函数”一定是“严格增函数”（其中，且） ③函数是“严格增函数”（其中表示不大于x的最大整数） ④函数不是“严格增函数”（其中表示不大于x的最大整数） 其中，所有正确的结论序号是 . 【答案】②③④ 【解析】①，函数，定义域为， 存在，对于任意，都有， 但在上不单调递增，所以①错误. ②，是“严格增函数”，则存在，使得对任意，都有， 因为，所以， 故，即存在实数，使得对任意，都有， 所以是“严格增函数”， ②正确. ③，，定义域为，当时，对任意的， 都有，即， 所以函数是“严格增函数”. ④，对于函数， ，所以是周期为的周期函数， ，若，则，不符合题意. 当且时，若， 则，即（*）， 其中，若，则总存在，使得， 当时，若是正整数，则，（*）不成立， 若不是正整数，不恒成立， 所以函数不是“严格增函数”. 故答案为：②③④ 5．（23-24高一上·四川成都·期中）若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间D上的“m阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间D上的“m阶自伴函数”． (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由； (2)若函数区间上的“1阶自伴函数”，求b的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数a的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析；(2)；(3) 【解析】（1）假定函数是区间上的“2阶自伴函数”， 则对任意的，总存在唯一的，使成立， 取，，由，得，则， 则，进而可得显然此方程无实数解， 所以函数不是区间上的“2阶自伴函数”， （2）函数为区间上的“1阶自伴函数”， 则对任意，总存在唯一的，使得， 即，进而，得， 显然函数在上单调递减， 且当时，，当时，， 因此对内的每一个，在内有唯一值与之对应， 而，所以， 所以，解得，即， 所以的值是1． （3）由于分别为定义域内单调递增和单调递减函数， 所以函数在上单调递增，且得函数的值域为， 由函数是在区间上的“2阶伴随函数”可知， 对任意的,，总存在唯一的,时，使得成立， 于是，则在区间上的值域是区间的子集， 而函数图象开口向上，对称轴为， 显然， ，， 当时，在,上单调递增，则， 即，无解； 当时，在,上单调递减，则， 即，无解； 当时，在,上单调递减，在,上单调递增， 则，即，解得； 综上，的取值范围是． 6．（23-24高一上·四川成都·期中）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称函数为“依赖函数”. （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域且上为“依赖函数”，求的值； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）是，理由见解析；（2）5；（3）. 【解析】（1）对于函数的定义域R内任意的，取，则， 且由是R上的严格增函数，可知的取值唯一， 故是“依赖函数” （2）因为，在是严格增函数， 故，即， 由，得， 又，所以，解得   故 （3）因，故在上单调递增， 从而，即，进而， 解得或舍， 从而，存在，使得对任意的，有不等式都成立， 故，即， 整理，得对任意的恒成立. 由，得，即实数s的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 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