专题02 有理数的运算（考点串讲，4个常考点+4种重难点题型+6个易错+押题预测）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（人教版2024）

七年级新人教版（2024）数学上册期中考点大串讲 专题02 有理数的运算 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理+针对训练 四大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 六大易错易混经典例题 精选8道期中真题对应考点练 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点1有理数的运算 【例1】 【新视角·新定义题2024枣庄山亭区期末】用“※”定义一种新运算：对于任意有理数 a 和 b ，规定 a ※ b ＝ ab ＋ b2.如1※2＝1×2＋22＝6，则(－4)※2的值为(　A　) A. －4 B. 8 C. 4 D. －8 A 【变式1-1】 [2024岳阳云溪区期中]设 a 是最小的正整数， b 是最大的负整数， c 是绝对值最小的有理数， d 是倒数等于它本身的有理数，则 ad －( b ＋ c )2 024的值为 ⁠. －2或0　 【变式1-2】 计算： (1)－5÷(　－ )× ÷(－5)； 解： －1 (2)(　 － ＋ )×(－24)； 解： －26 (3)(　－13 )÷(－5)＋(　－6 )÷(－5)； 解： 4 (4)－14－(1－0.5)× ÷(－3)2. 解： － 考点2有理数的运算的应用 【例2】 【情境题·生活应用2024潮州潮安区期末】当温度每上升1 ℃时，一段长15 mm的某种金属丝伸长0.002 mm.若把这 段金属丝从15 ℃加热到60 ℃，那么这段金属丝在60 ℃时 的长度是 mm. 15.09　 【变式2-1】[2024衡水期末]气象部门可以通过高性能计算机模拟大气运动，从而预测天气情况.据预测，某地区7天后有集中性降水，因此水坝管理方根据预测的降水量决定在降水前进行安全泄洪，并连续泄洪7天.记设防水位(安全水位)为0 m，警戒水位为4.5 m，泄洪速度为0.5 m/天，目前水位为2.4 m. (1)求连续泄洪7天后的水位. 解： (1)泄洪速度为0.5 m/天， 则连续泄洪7天后的水位＝2.4－7×0.5＝－1.1(m). (2)根据预测，此次降水过程中，水坝水位会以1.2 m/ 天的速度上涨，若连续降水5天，水位是否会超过 警戒水位？ 解： (2)根据预测，此次降水过程中，水坝水位会以1.2 m/天的速度上涨，若连续降水5天，水位＝－1.1＋ 1.2×5＝4.9(m)＞4.5 m，故会超过警戒水位. 【变式2-2】某摩托车厂家计划本周每天生产250辆摩托车，由于工厂实行轮休，每天上班人数不一定相等，故实际每天生产的摩托车数量也不一样.实际每天生产与计划相比情况如下 表(超产为正，减产为负，单位：辆)： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 －5 ＋7 －3 ＋4 ＋10 －9 －25 (1)星期六生产了多少辆摩托车？ 解： (1)250－9＝241(辆). 答：星期六生产了241辆摩托车. (2)本周实际总产量与计划相比是增加了还是减少了？增 加了或减少了多少？产量最多的一天比产量最少的一 天多生产了多少辆？ 解： (2)－5＋7－3＋4＋10－9－25＝－21(辆)， 所以本周实际总产量与计划相比减少了，减少了21辆. 产量最多的一天为星期五，产量最少的一天为星期日， 产量最多的一天比产量最少的一天多生产了(＋10) －(－25)＝35(辆). 考点3科学记数法 【例3】 [2024邢台期末]下面是琳琳作业中的一道题目： 已知：60 ＝ a ×10 n ，求 a － n 的值. “ ”处都是0但发生了破损，琳琳查阅后发现本题答案 为1，则破损处“0”的个数为(　B　) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 B 【变式3-1】 [2024达州]大米是我国居民最重要的主食之一，与此同 时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳 定在2亿吨以上.将2亿用科学记数法表示为(　B　) A. 2×109 B. 2×108 C. 0.2×108 D. 2×107 B 【变式3-2】【2024武汉洪山区模拟立德树人低碳环保】为了 加快构建清洁低碳、安全高效的能源体系，国家发布《关于 促进新时代新能源高质量发展的实施方案》，到2030年我国 新型储能装机容量达到3 000万千瓦以上，其中数据3 000万 用科学记数法表示为 ⁠. 3×107　 考点4近似数 【例4】 [2024邯郸永年区期中]下列说法正确的是(　B　) A. 近似数3.0精确到了个位 B. 近似数5.1万精确到了千位 C. 近似数6.3与近似数6.30的精确度一样 D. 用四舍五入法对4.355取近似值，精确到百分位为4.35 B 【变式4-1】 [2024秦皇岛海港区月考]将一个三位小数四舍五入保留 两位小数后是4.00.则这个三位小数最小是(　B　) A. 4.004 B. 3.995 C. 3.994 D. 3.955 B 【变式4-2】 [2024烟台蓬莱区期末]用四舍五入法对数据35 953 760取近似数，要求精确到十万位，则这个近似数用科学记数 法可以表示为 ⁠. 3.60×107　 题型剖析 题型一：有理数的加减运算技巧 技巧1归类法 例5计算：23＋(－17)＋6＋(－22). 解： 原式＝(23＋6)＋(－17－22) ＝29＋(－39) ＝－10. 【变式5-1】 [2024上海黄浦区月考]计算： (－7.7)＋(　－6 )＋(－3.3)－(　－1 ). 解： 原式＝[(－7.7)＋(－3.3)]＋ ＝－11＋ ＝－16 . 【变式5-2】 [2024南阳阶段练习]计算： 15－(　＋5 )－(　＋3 )＋(　－2 )－(　＋6 ). 解： 原式＝15－ － ＝15－8－10 ＝－3. 技巧2凑整法 【例6】 计算：(－3.1)－(－4.5)＋(＋4.4)－(＋1.3)＋(－2.5). 解： 原式＝－3.1＋4.5＋4.4－1.3－2.5 ＝(4.4－3.1－1.3)＋(4.5－2.5)＝2. 【变式6-1】 计算： ＋ ＋ ＋(－ )＋(－ ). 解： 原式＝ － ＋ － － ＝ － ＋ ＝0－1＋ ＝－ . 技巧3组合法 【例7】计算：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋…＋2 023＋2 024－ 2 025－2 026. 解： 原式＝(1－3)＋(2－4)＋(5－7)＋…＋(2 023－2 025) ＋(2 024－2 026)＝－2×1 013＝－2 026. 技巧4分解法 【例8】 [2024沈阳期末]计算： ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ⁠. 　 技巧5类比法 【例9】 [2024郑州金水区模拟]阅读下面的解题过程，并解决 问题.计算：－1 ＋ ＋9 ＋ . 解：原式＝ ＋［(－2)＋(－ )］＋(9＋ )＋ ＝[(－1)＋(－2)＋9＋(－3)]＋ ＝3＋(－ )＝ . 请你利用上述方法计算： (－2 024 )＋(－2 023 )＋(－1 )＋(－ )＋4 047 . 解： 原式＝［(－2 024)＋ ］＋［(－2 023)＋ ］＋［(－1)＋ ］＋ ＋4 047＋ ＝(－2 024－2 023－1＋4 047)＋(　－ － － － ＋ ) ＝－1－ ＝－3 . 请你利用上述方法计算： (－2 024 )＋(－2 023 )＋(－1 )＋(－ )＋4 047 . 技巧1乘法交换律与结合律 例10计算：(－8)×9×(－1.25)×(　－ ). 解： (－8)×9×(－1.25)× ＝[(－8)×(－1.25)]× ＝10×(－1)＝－10. 题型二：有理数的四则混合运算技巧 【变式10-1】 计算：(　－ )×(　－ )×(　－2 )×(　－ ). 解： × × × ＝ × × × ＝ × ＝1× ＝ . 【变式10-2】 计算：(　 × )×(　 × )×(　 × )×…×(　 × )×(　 × ). 解： × × ×…× × ＝ × × × × × ×…× × × × ＝ × ＝ . 【变式10-3】 【新考法·阅读类比法】阅读材料，回答问题： × ＝ × ＝1； × × × ＝ × × × ＝ × ＝1×1＝1. 根据以上信息，求出下式的结果. × × ×…× × × × ×…× . 解： 原式＝ × × ×…× × × × ×…× ＝ × × ×…× ＝ 1×1×1×…×1＝1. 技巧2分配律 【例11】 计算： ÷ － . 解： ( ＋ － ＋ )÷(－ )－ ＝( ＋ － ＋ )×(－ )－ ＝ × ＋ × － × ＋ × － ＝－ － ＋ －2－ ＝－7. 【变式11-1】 计算：(－9)×31 －(－8)×(　－31 )－(－16)×31 解： 原式＝(－9)×31 －8×31 ＋16×31 ＝(－9－8＋16)×31 ＝－1×31 ＝－31 . 技巧3拆项法 例12计算： (1)－19 ×8； (2)99 ×(－36). 解： (1)－19 ×8＝19 ×(－8) ＝ ×(－8) ＝20×(－8)－ ×(－8) ＝－160＋ ＝－159 . (2)99 ×(－36)＝ ×(－36) ＝100×(－36)－ ×(－36) ＝－3 600＋ ＝－3 599 . 题型三：数形结合思想 【例13】 点 A ， B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数是 a 和 b ，下列判断中，正确的是(　B　) ① b ＋ a ＜0；②－ a － b ＜0；③｜－2｜＞｜ b ｜；④－ ＞0. A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ B 【变式13-1】 有理数 a ， b 在数轴上对应点的位置如图所示. (1)试确定 a ， b ， ab ， a ＋ b 的符号； 解： (1) a ＞0， b ＜0， ab ＜0， a ＋ b ＜0. (2)求 ＋ ＋ ＋ 的值. 解： (2)原式＝ ＋ ＋ ＋ ＝1＋(－1)＋(－1)＋(－1)＝－2. 【变式13-2】 [2024衡水期末]问题探索：将一根木棒放在数轴(单位长 度为1 cm)上，如图，木棒左端与数轴上的点 A 重合，右 端与数轴上的点 B 重合. (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到 点 B 时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木 棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点 A 时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这 根木棒的长为 cm. 8 (2)图中点 A 所表示的数是 ，点 B 所表示的数是 ⁠. 实际应用：由(1)(2)的启发，请借助“数轴”这个工具 解决下列问题： (3)一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦！”请问妙妙现在多少岁了？ 14　 22　 解： 当奶奶像妙妙这样大时，妙妙为“－35岁”， 所以奶奶与妙妙的年龄差为[115－(－35)]÷3＝50(岁)， 所以妙妙现在的年龄为115－50－50＝15(岁). 【例14】 若 ab ≠0，则 ＋ 的值不可能是 (　D　) A. 2 B. 0 C. －2 D. 1 D 点拨： ①当 a ， b 同号时， ＋ ＝1＋1＝2或 ＋ ＝(－1)＋(－1)＝－2.②当 a ， b 异号时， ＋ ＝(－1)＋1＝0或 ＋ ＝1＋(－1)＝0. 故 ＋ 的值不可能是1. 题型四：分类讨论思想 【变式14-1】已知｜ a ｜＝2，｜ b ｜＝5，若｜ a － b ｜＝ a － b ，则 ab ＝ ⁠. 点拨：因为｜ a ｜＝2，｜ b ｜＝5，所以 a ＝±2， b ＝±5. 因为｜ a － b ｜＝ a － b ，易知 a ≠ b ，所以 a － b ＞0， 所以 a ＞ b . 所以 a ＝±2， b ＝－5. 所以 ab ＝2×(－5)＝－10或 ab ＝－2×(－5)＝10. ±10　 【变式14-2】 【新视角·新定义题】有一种能得到数 a 符号的运算 sgn( a )，当 a ＞0时，sgn( a )＝1；当 a ＝0时，sgn( a )＝ 0；当 a ＜0时，sgn( a )＝－1. 例如，sgn(＋3)＝1，sgn(－5)＝－1. (1)计算：sgn(－3)＝ ⁠； －1　 (2)如图，数轴上点 A ， B 表示的数分别为－2，3，点 P 在数轴上移动，点 P 表示的数为 x ，求sgn( x ＋2)＋ sgn( x －3)的值. 根据题意，需要分情况讨论，当 x ＜－2时， x ＋2＜0， x －3＜0， 所以sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝(－1)＋(－1)＝－2； 当 x ＝－2时， x ＋2＝－2＋2＝0， x －3＝－2－3＝－5＜0， 所以sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝0＋(－1)＝－1； 当－2＜ x ＜3时， x ＋2＞0， x －3＜0， 所以sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝1＋(－1)＝0； 当 x ＝3时， x ＋2＝3＋2＝5＞0， x －3＝3－3＝0， 所以sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝1＋0＝1； 当 x ＞3时， x ＋2＞0， x －3＞0， 所以sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝1＋1＝2. 综上所述，当 x ＜－2时，sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝－2； 当 x ＝－2时，sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝－1； 当－2＜ x ＜3时，sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝0； 当 x ＝3时，sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝1； 当 x ＞3时，sgn( x ＋2)＋sgn( x －3)＝2. 易错点一 有理数的运算中常见的错误 类型 1 运算顺序不正确而出错 例 1.计算：(−𝟗)÷×𝟑−𝟑 错解剖析： 乘与除是同一级运算，在没有括号改变运算顺序时，必须按照从左到右的顺序计算. 易错易混 易错点一 有理数的运算中常见的错误 类型2 运算律使用错误而出错 例 2.计算： 错解剖析： 有理数的除法没有运算律，只有将除法转换成乘法才能运用乘法的运算律.若不能转化为乘法，则按常规运算顺序和法则计算. 易错点一 有理数的运算中常见的错误 类型3 不理解乘方中底数的括号的意义而出错 例 3.计算： 错解剖析： 在幂的表示中，若底数是负数，则必须用括号括起来；若没有带括号，则负号不属于底数，而属于幂. 易错点二 本章常见漏解情况 类型1 数的正负性不确定而漏解 例 4. 已知|a|=12，|b|=7，则a+b= . 正解：因为|a|=12，所以a=12或a=-12. 因为|b|=7，所以b=7或b=-7. 当a=12，b=7时，a+b=19； 当a=-12，b=-7时，a+b=-19； 当a=12，b=-7时，a+b=5； 当 a=-12，b=7 时，a+b=-5. 故答案为19，-19，5或-5. 错解剖析： 由于a，b两个数的正负性不确定，所以已知a，b的绝对值确定a，b时，要分别就a，b是正数或负数进行讨论. 易错点二 本章常见漏解情况 类型2 数轴上点的位置不确定而漏解 例 5.在数轴上与表示-3的点相距10个单位长度的点表示的数是 . 正解： 当与-3相距10个单位长度的点在-3的右侧时， -3+10=7； 当与-3相距10个单位长度的点在-3的左侧时， -3-10=-13. 故答案为7 或-13. 错解剖析： 在数轴上与-3相距10个单位长度的点有可能在-3的右侧也有可能在-3的左侧.由于点的位置不确定，所以应分两种情况考虑. 易错点三 建立有理数运算模型解决实际问题时列式错误 类型2 数轴上点的位置不确定而漏解 例 6.某出租车上午从停车场出发，沿东西方向的大街行驶，到下午6时，行驶记录如下（规定向东记为正，向西记为负，单位：km）：+10，-3，+4，+2，+8，+5，-2，-8，+12，-5，-7. 若汽车每千米耗油0.06L，则从停车场出发开始到下午6时，出租车共耗油多少升？ 正解： （2）|+10|+ |-3|+ |+4|+|+2|++8|+|+5|+|-2|+|-8|+12|+|-5|+|-7| =10+3+4+2+8+5+2+8+12+5+7 = 66（km）， 66×0.06 =3.96（L） 即从停车场出发开始到下午6时，出租车共耗油 3.96 L. 错解剖析: 出租车的总里程与运动的方向无关，而记录的数据中"+”和"-”就表示运动的方向 押题预测 1.（2023秋•定州市期中）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为( ____ ) A.2.15×107 B.0.215×108 C.2.15×106 D.21.5×106 A 【解析】解：将21500000用科学记数法表示为：2.15×107．故选：A． 2.（2023秋•铜官区校级期中）计算 (1)( )×(-36)； (2)-14-(1-0.5)× |1-(-5)2|． 解：(1)( )×(-36) =- ×(-36)+ ×(-36)- ×(-36) =28+(-30)+27 =25； (2)-14-(1-0.5)× |1-(-5)2| =-1- ×|1-25| =-1- ×24 =-1-4 =-5． 3.（2023秋•宁津县期中）知a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示，若a,b互为相反数 __________ (1)在数轴上标出c相反数的对应点的位置； (2)判断下列各式与0的大小：①b+c ____ 0；②a-b ____ 0；③bc ____ 0； (3)化简式子：|b|-|a+b|+|c-b|． 【解析】解：(1)在数轴上c的相反数所在的位置如图所示； (2)由a,b,c在数轴上对应点的位置可知， ＜ ＞ ＞ c＜b＜0＜a,且a+b=0， ∴①b+c＜0，②a-b＞0，③bc＞0， 故答案为：＜、＞、＞； (3)原式=-b-0+b-c=-c. 54 4.（2023秋•南川区期中）小明家买了一辆轿车，他连续10天记录了他家轿车每天行驶的路程，以20km为标准，超过或不足部分分别用正数、负数表示，得到的数据分别如下(单位：km)： +3，+1，-2，+9，-8，+2，-4，+5，-3，+2． (1)请计算小明家这10天轿车行驶的路程； (2)若该轿车每行驶100km耗用汽油7L，且汽油的价格为每升8元，请估计小明家一个月(按30天算)的汽油费用． 【解析】解：(1)3+1-2+9-8+2-4+5-3+2=5(km) 20×10+5=205(km)， 答：小明家这10天轿车行驶的路程为205km. (2)205×3÷100×7×8=344.4(元)， 答：估计小明家一个月(按30天算)的汽油费用为344.4元． 55 5.（2023秋•天河区校级期中）如图，数轴上三点A、B、C表示的数分别为-10、5、15，点P为数轴上一动点，其对应的数为x. ________________________ (1)点A到点C的距离为 ____ ； (2)数轴上是否存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为25个单位长度？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由； (3)设点P到A、B、C三点的距离之和为S．在动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C这一运动过程中，求出S的最大值与最小值． 【解析】解：(1)AC=15-(-10)=25， ∴点A到点C的距离为25，故答案为：25； 25 56 (2)存在，设点P表示的数为x, 当P点在A点的左侧(含A点)时：-10-x+5-x=25，解得：x=-15， 当P点在A点和B点的之间(含B点)时：x-(-10)+5-x=25，解得：无解； 当P点在B点的右侧时：x-(-10)+x-5=25，解得：x=10， ∴数轴上存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为25个单位长度，当x=-15或10，使得点P到点A、点B的距离之和为25单位长度； (3)由题意得点P到A、B、C的距离和等于PA+PB+PC，∵点P在点A、C之间， ∴PA+PB+PC=AC+PB=25+PB， 当点P与点A重合时，PB最大，此时PB=5-(-10)=15， ∴PA+PB+PC的最大值为25+15=40， 当点P与点B重合时，PB最小，此时PB=0， ∴PA+PB+PC的最小值为25， ∴S的最大值为40，最小值为25． 57 6.（2023秋•泌阳县期中）数学老师布置了一道思考题“计算”：( ) 小华的解法：( ) = + ． 大白的解法：原式的倒数为 ……………………第一步， = …………………第二步， =-4+10……………………………第三步， =6…………………………………第四步． 所以( ) 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中， _____ 同学的解答正确； (2)大白解法中，第二步到第三步的运算依据是 _____________ ． (3)用一种你喜欢的方法计算：( ) ． 大白 乘法分配律 58 【解析】解：(1)由题目中的解答过程可知： 两位同学的解法中，大白同学的解答正确，故答案为：大白； (2)大白解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； (3)因为原式的倒数为： = = (-36)- (-36)+ (-36) =-18+12-27 =-33，所以 =- ． 59 7.（2023秋•礼县期中）规定一种新运算“※”，两数a,b通过“※”运算得(a+2)×2-b,即a※b=(a+2)×2-b,例如：3※5=(3+2)×2-5=10-5=5，根据上面规定解答下题： (1)求7※(-3)的值； (2)7※(-3)与(-3)※7的值相等吗？ 【解析】解：(1)7※(-3)=(7+2)×2-(-3)=9×2+3=21 (2)不相等．理由是： ∵7※(-3)=(7+2)×2-(-3)=9×2+3=21，(-3)※7=(-3+2)×2-7=-2-7=-9， 即：21≠-9 ∴7※(-3)与(-3)※7的值不相等． 60 8.（2023秋•太康县期中）同学们都知道，|5-(-2)|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)|5-(-2)|= ____ ． (2)同理|x+5|+|x-2|表示数轴上有理数x所对应的点到-5和2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x,使得|x+5|+|x-2|=7，这样的整数是 ______________________________ ． (3)由以上探索猜想对于任何有理数x,|x+6|+|x-3|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【解析】解：(1)|5-(-2)|=7．故答案为：7； 7 -5、-4、-3、-2、-1、0、1、2 61 (2)令x+5=0或x-2=0时，则x=-5或x=2， 当x＜-5时，∴-(x+5)-(x-2)=7，-x-5-x+2=7，x=-5(范围内不成立)， 当-5＜x＜2时，∴(x+5)-(x-2)=7，x+5-x+2=7，7=7， ∴x=-4，-3，-2，-1，0，1， 当x＞2时，∴(x+5)+(x-2)=7，x+5+x-2=7，2x=4，x=2，x=2(范围内不成立)． 显然当x=-5及x=2时符合题意， ∴综上所述，符合条件的整数x有：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2． 故答案为：-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2； (3)有最小值． 当有理数x所对应的点在-6，3之间的线段上的点时，最小值为9． 62 $$