2.4.2 圆的一般方程（6大题型）-2024-2025学年高二数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

2.4.2 圆的一般方程 知识点 1 圆的一般方程 1、圆的一般方程：当时，方程叫做圆的一般方程． 其中为圆心，为半径． 2、圆的一般方程的形式特点 （1）项的系数相同且不等于0（和的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）； （2）不含项； （3）． 3、一般方程与标准方程关系 对方程的左边配方，并将常数移项到右边，得，根据圆的标准方程可知： （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点 2 圆的一般方程判断点和圆的位置关系 已知点，和圆的一般方程（）则 位置关系 代数关系 点在圆A上 点在圆A内 点在圆A外 知识点 3 轨迹与轨迹方程 1、轨迹方程和轨迹的定义 已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式。轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）. 2、“轨迹”与“轨迹方程”有区别 （1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征； （2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围． 3、坐标法求轨迹方程的步骤 （1）建系：建立适当的平面直角坐标系； （2）设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标； （3）列式：列出关于的方程； （4）化简：把方程化为最简形式； （5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 【注意】求一动点的轨迹除了要求出轨迹方程，还要说明对应什么曲线． 1、方程表示圆的两种判断方法 （1）配方法：对形如的二元二次方程可以配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆． （2）定义法：判断是否大于零，确定它是否表示圆． 【注意】在利用来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意及的系数． 2、已知三点坐标求圆的标准方程的方法 （1）代数法（待定系数法）：若设圆的标准方程，根据已知条件，列出关于的方程组，解方程组得到的值，写出圆的标准方程；若设圆的一般方程，根据已知条件，列出关于的方程组，解方程组得到的值，写出圆的一般方程． （2）几何法（数形结合）：根据已知条件，确定圆的要素，分别求出圆心和半径，然后再写出圆的方程． 【注意】一般地，已知三点尽量用圆的一般方程；已知圆心和半径的关系，尽量用圆的标准方程． 题型一 圆的一般方程与标准方程互化 【例1】（23-24高二上·江苏·开学考试）已知圆C的方程为，则圆C的半径为（    ） A． B．2 C． D．8 【变式1-1】（23-24高二上·江西九江·月考）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二上·福建·期中）圆的圆心和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-3】（23-24高二上·河北石家庄·期中）方程所表示的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 题型二 二元二次方程表示圆 【例2】（23-24高二上·福建福州·期中）若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·浙江嘉兴·月考）若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 题型三 求圆的一般方程 【例3】（23-24高二上·山西大同·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆与两坐标轴都相切，则圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二上·重庆·月考）三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·贵州·期中）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二上·山东聊城·期中）与圆同圆心，且过点的圆的方程是： . 题型四 点与圆的位置关系 【例4】（22-23高二上·天津·月考）已知圆C：，则点在（    ） A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．以上情况均有可能 【变式4-1】（23-24高二上·江西·月考）若点在圆：的外部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二上·四川成都·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式4-3】若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不包括边界)，则a的取值范围是 ． 题型五 与圆有关的轨迹问题 【例5】（23-24高二上·天津·月考）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（22-23高二上·全国·月考）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二上·福建泉州·月考）当点在圆上运动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高二上·河南南阳·月考）已知圆O：，A，B是圆上两点，点且，则线段AB中点的轨迹方程是 . 题型六 圆过定点问题 【例6】（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（21-22高二上·浙江绍兴·月考）在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，（其中，），圆M为的外接圆． (1)当时，求圆M的方程； (2)当a变化时，圆M是否过某一定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由； 【变式6-2】（22-23高二上·北京·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三个点的圆记为． (1)当时，求三角形的面积； (2)求的方程； (3)问是否经过定点（其坐标与a，b的值无关）？请证明你的结论． 【变式6-3】在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C． (1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)求证：过A，B，C三点的圆过定点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4.2 圆的一般方程 知识点 1 圆的一般方程 1、圆的一般方程：当时，方程叫做圆的一般方程． 其中为圆心，为半径． 2、圆的一般方程的形式特点 （1）项的系数相同且不等于0（和的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）； （2）不含项； （3）． 3、一般方程与标准方程关系 对方程的左边配方，并将常数移项到右边，得，根据圆的标准方程可知： （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点 2 圆的一般方程判断点和圆的位置关系 已知点，和圆的一般方程（）则 位置关系 代数关系 点在圆A上 点在圆A内 点在圆A外 知识点 3 轨迹与轨迹方程 1、轨迹方程和轨迹的定义 已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式。轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）. 2、“轨迹”与“轨迹方程”有区别 （1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征； （2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围． 3、坐标法求轨迹方程的步骤 （1）建系：建立适当的平面直角坐标系； （2）设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标； （3）列式：列出关于的方程； （4）化简：把方程化为最简形式； （5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 【注意】求一动点的轨迹除了要求出轨迹方程，还要说明对应什么曲线． 1、方程表示圆的两种判断方法 （1）配方法：对形如的二元二次方程可以配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆． （2）定义法：判断是否大于零，确定它是否表示圆． 【注意】在利用来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意及的系数． 2、已知三点坐标求圆的标准方程的方法 （1）代数法（待定系数法）：若设圆的标准方程，根据已知条件，列出关于的方程组，解方程组得到的值，写出圆的标准方程；若设圆的一般方程，根据已知条件，列出关于的方程组，解方程组得到的值，写出圆的一般方程． （2）几何法（数形结合）：根据已知条件，确定圆的要素，分别求出圆心和半径，然后再写出圆的方程． 【注意】一般地，已知三点尽量用圆的一般方程；已知圆心和半径的关系，尽量用圆的标准方程． 题型一 圆的一般方程与标准方程互化 【例1】（23-24高二上·江苏·开学考试）已知圆C的方程为，则圆C的半径为（    ） A． B．2 C． D．8 【答案】C 【解析】由圆C的半径得，所以圆C的半径为，故选：C 【变式1-1】（23-24高二上·江西九江·月考）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知圆的标准方程为，圆心是，半径是．故选：A． 【变式1-2】（23-24高二上·福建·期中）圆的圆心和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】先化为标准方程可得，故圆心为，半径为.故选：D. 【变式1-3】（23-24高二上·河北石家庄·期中）方程所表示的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方程化为：， 所以方程所表示的圆的圆心坐标为.故选：B 题型二 二元二次方程表示圆 【例2】（23-24高二上·福建福州·期中）若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方程表示一个圆， 即，，解得，故选：B. 【变式2-1】（23-24高二上·浙江嘉兴·月考）若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方程可变形为， 因为方程表示圆，则，所以.故选：D. 【变式2-2】（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 得，即,解得故选： 【变式2-3】（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或.故选：D. 题型三 求圆的一般方程 【例3】（23-24高二上·山西大同·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆与两坐标轴都相切，则圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可设圆心坐标为，则半径， 所以圆的方程为， 显然A错误，C正确； 易知选项B可化为，可知B错误； 选项D可化为，可知D错误；故选：C 【变式3-1】（23-24高二上·重庆·月考）三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设所求圆方程为, 因为，，三点都在圆上， 所以，解得， 即所求圆方程为：.故选：C. 【变式3-2】（23-24高二上·贵州·期中）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆的一般方程为，圆心坐标为， 因为圆经过两点，，且圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆的方程为.故选：C. 【变式3-3】（23-24高二上·山东聊城·期中）与圆同圆心，且过点的圆的方程是： . 【答案】 【解析】设所求圆的一般式方程为， 代入点，可得，解得， 所以，所求圆的方程为. 题型四 点与圆的位置关系 【例4】（22-23高二上·天津·月考）已知圆C：，则点在（    ） A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．以上情况均有可能 【答案】A 【解析】根据题意，圆C：，点， 则有，故点P在圆外.故选：A 【变式4-1】（23-24高二上·江西·月考）若点在圆：的外部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】一方面：将圆：化为标准方程可得， 首先有圆心，其次圆的半径满足，解得， 另一方面：又因为点在圆：的外部， 所以，即，解得； 综上所述：的取值范围为.故选：A. 【变式4-2】（23-24高二上·四川成都·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【解析】因为点在圆外， 所以，解得：. ， 圆要表示圆，则即或， 所以或故选：C. 【变式4-3】若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不包括边界)，则a的取值范围是 ． 【答案】(－∞，1) 【解析】因为点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部且不包括边界， 所以把点(a＋1，a－1)的坐标代入方程左边的代数式后，该代数式的值应小于0， 即(a＋1)2＋(a－1)2－2a(a－1)－4<0，解得a<1． 故答案为：(－∞，1). 题型五 与圆有关的轨迹问题 【例5】（23-24高二上·天津·月考）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，即 设，则，整理得故选：B． 【变式5-1】（22-23高二上·全国·月考）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，由，得，所以， 又因为点在圆上， 所以，即.故选：C. 【变式5-2】（23-24高二上·福建泉州·月考）当点在圆上运动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点，的中点的坐标为， ，由中点坐标公式可得，可得， 又点在圆，则，即. 因此，线段的中点的轨迹方程为.故选：C. 【变式5-3】（23-24高二上·河南南阳·月考）已知圆O：，A，B是圆上两点，点且，则线段AB中点的轨迹方程是 . 【答案】 【解析】如图所示，是线段的中点，则， 因为，于是， 在中，，，， 由勾股定理得， 整理得的轨迹是. 题型六 圆过定点问题 【例6】（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点．故选：D． 【变式6-1】（21-22高二上·浙江绍兴·月考）在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，（其中，），圆M为的外接圆． (1)当时，求圆M的方程； (2)当a变化时，圆M是否过某一定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由； 【答案】(1);(2)过定点，理由见解析 【解析】（1）设圆M的方程为：. ∵，，在圆M上， ∴，解得，，， 圆M的方程为： 当时，圆M的方程为：. （2）由（1）圆M的方程可化为：， 要使圆M过某一定点，∴，解得，， ∴圆M过定点. 【变式6-2】（22-23高二上·北京·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三个点的圆记为． (1)当时，求三角形的面积； (2)求的方程； (3)问是否经过定点（其坐标与a，b的值无关）？请证明你的结论． 【答案】(1);(2)的方程为;(3)过定点，证明见解析. 【解析】（1）当时，，令，得， 不妨设，则， 令，得，所以三角形的面积为. （2）设所求圆的一般方程为， 由题意得的图象 与两坐标轴的三个交点即为圆和坐标轴的交点， 令得，， 由题意可得，这与是同一个方程，故，． 令得，， 由题意可得，此方程有一个根为，代入此方程得出， ∴的方程为． （3）把的方程改写为， 令，解得，故过定点. 【变式6-3】在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C． (1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)求证：过A，B，C三点的圆过定点． 【答案】(1)存在；;(2)证明见解析 【解析】（1）由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0． 设A(x1，0)，B(x2，0)，可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞8．x1＋x2＝m，x1x2＝2m． 令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)． 若存在以AB为直径的圆过点C，则，, 得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0(舍去)或． 此时C(0，－1)，AB的中点即圆心，半径r＝|CM|＝， 故所求圆的方程为． （2）设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0， 将点C(0，2m)代入可得E＝－1－2m， 所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0． 整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0． 令可得或 故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$