第2章 简单的代数式（6大题型）（36道压轴题专练）-2024-2025学年六年级数学上册单元速记·巧练（沪教版2024）

第2章 简单的代数式（6大题型）（36道压轴题专练） 压轴题型一 用字母表示数压轴题型 1．粗心的小倩在放学回家后，发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是她跑步到学校取了练习册，再步行回家（取书时间忽略不计）．已知跑步速度为x，步行速度为y，则她往返一趟的平均速度是（　　） A．x B．y C． D． 【答案】D 【分析】设从学校到家路程为s，然后表示出从家到学校所用时间，再表示出从学校到家所用时间，然后利用总路程除以总时间可得平均速度． 【详解】设从学校到家路程为s， 平均速度是： ； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了列代数式，关键是掌握平均速度=路程÷时间． 2．在我国的民俗中常将十二生肖用于记年，顺序排列为子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、已蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪，今年（2018年）是“戌狗”年，2050年是“ ”年． 【答案】午马 【分析】根据题意列式计算即可． 【详解】解：（2050﹣2018）÷12＝2…8， ∴2050年是“午马”年， 故答案为午马． 【点睛】本题考查了列式计算，知道十二生肖是12年为一个周期是解题的关键． 3．某种窗户由上下两部分组成，其上部是用木条围成的半圆形，且半圆形内部由三根等长的木条分隔，下部是用木条围成的边长相等的四个小正方形，木条的宽度和厚度不计．已知下部每个小正方形的边长为a米． (1)用含a的代数式分别表示窗户的面积和所用木条的总长度； (2)若米，窗户上安装的是玻璃，玻璃25元/平方米，木条20元/米，求制作这个窗户需要的总钱数（值取3，计算结果精确到个位）． 【答案】(1)窗户的面积为（4a2πa2）米2，总长度（15+π）a（米） (2)498（元） 【分析】（1）窗户的面积包括一个正方形面积一个半圆面积，相加即可．材料总长度就是求图形中线段的总长度，将所有线段长度相加即可； （2）将a＝1代入25（4a2πa2）+20（15+π）a计算可得． 【详解】（1）S＝2a×2aπa2＝4a2πa2 即窗户的面积为（4a2πa2）米2． 15a+πa＝（15+π）a（米） 即制作这种窗户所需材料的总长度（15+π）a（米）． （2）a＝1时，25（4a2πa2）+20（15+π）a ≈25×（4×13×1）+20×（15+3）×1 ＝137.5+360 ＝497.5 ≈498（元），即制作这扇窗户需要498元． 【点睛】本题考查了根据实际情况列代数式，一方面要掌握面积和周长的计算公式，另一方面要做好计算准确，不遗漏． 4．定义：对于四位自然数m，若其千位数字与个位数字之和为7，百位数字与十位数字之和也等于7，则称这个四位自然数m为“七巧数”．例如：3254是“七巧数”，因为，所以3254是“七巧数”；1456不是“七巧数”，因为，所以1456不是“七巧数”． (1)若一个“七巧数”的千位数字为a，则其个位数字可以表示为_________；（用含a的代数式表示） (2)若“七巧数”m的千位数字加上十位数字的和，是百位数字减去个位数字的差的3倍，请写出一个满足条件的“七巧数”_________． 【答案】(1)7-a (2)6431，4523，2615（任意填一个，答案不唯一） 【分析】（1）根据“七巧数”的定义进行求解即可； （2）设m的千位数字为a，百位数字为b，则十位数字为（7-b），个位数字为（7-a），根据m的千位数字加上个位数字的和，是百位数字减去十位数字的差的3倍，依此可得3[b-（7-a）]=a+7-b，再根据整数的定义进行讨论即可求解． 【详解】（1）一个“七巧数”的其千位数字与个位数字之和为7 ∴若千位数字为a，则其个位数字可表示为7-a， 故答案为：7-a； （2）设m的千位数字为a，百位数字为b，则十位数字为（7-b），个位数字为（7-a），依题意得： 3[b-（7-a）]=a+7-b， 整理得：a+2b=14， ∴a=14-2b ∵1≤a≤7，0≤b≤7，且a，b为整数， ∴ 解得， ∴当b=4时，则a=6，m=6431， 当b=5时，则a=4，m=4523， 当b=6时，则a=2，m=2615， ∴满足条件的所有“七巧数”m为：6431，4523，2615． 故答案为：6431，4523，2615（任意填一个，答案不唯一） 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、新定义下的阅读理解，解决问题的关键是找到等量关系． 5．为实现可持续发展，资源循环利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计算方案，具体如下表所示： 档次 月用电量（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 1档 0.49 2档 0.54 3档 0.79 例：若某住户8月的用电量为300千瓦时，则需缴电费（元）． (1)若圆圆家某月用电量为千瓦时，请用含的代数式表示，当时，应缴电费为__________元，当时，应缴电费为__________元； (2)若圆圆家9月共缴电费元，求该月圆圆家的用电量． (3)圆圆家10月用电的平均费用最高为0.50元/千瓦时，请根据题意列方程并求10月最大用电量． 【答案】(1)， (2)该月圆圆家的用电量为千瓦时 (3)10月最大用电量为250千瓦 【分析】（1）本题考查了代数式的列法，解题的关键是当时，应缴电费的计算； （2）本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确列出方程式； （3）本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出不等式并求解． 【详解】（1）根据题意，当时，应缴电费（元）； 当时，应缴电费（元）， 故答案为：，； （2）根据（1）的结论，当时，应缴电费（元）， 当时，应缴电费（元）， ∵， ∴圆圆家9月用电量的范围为， ∴， ∴， ∴该月圆圆家的用电量为千瓦时； （3）根据（2）的结论，当时，平均电价（元/千瓦时）， ∵， ∴圆圆家10月用电量的范围为， ∴，即， ∴， ∴10月最大用电量为250千瓦． 【点睛】本题考查了代数式、一元一次方程、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程、一元一次不等式的性质，从而完成求解． 6．已知一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7个单位长度到达点，再从点向右移动12个单位长度到达点．点是线段的中点． (1)点表示的数是_____； (2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点分别从点出发，分别以每秒1个单位长度、4个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动时间为秒． ①当时，求的值； ②试探索：的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． 【答案】(1) (2)①的值为0；②的值不随着时间的变化而改变．理由见解析 【分析】本题考查列代数式，数轴，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据题意可以求得点表示的数； （2）①根据题意可以用代数式表示点运动时间时表示的数；根据题意可以求得当秒时，的值；②先判断是否变化，然后求出的值即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得，A点表示的数为：，B点表示的数为：，, 由， 故点表示的数为：． 故答案为：； （2） 解：①由题意可得，点移动秒时表示的数为，点P移动t秒时表示的数为，点M移动t秒时表示的数为， 当时， ； ②的值不随着时间的变化而改变， ， 的值不随着时间的变化而改变，的值为0． 压轴题型二 代数式压轴题型 1．甲、乙两店卖豆浆，每杯售价均相同．已知甲店的促销方式是：每买2杯，第1杯原价，第2杯半价；乙店的促销方式是；每买3杯，第1、2杯原价，第3杯免费．若东东想买12杯豆浆，则下列所花的钱最少的方式是（    ） A．在甲店买12杯 B．在甲店买8杯，在乙店买4杯 C．在甲店买6杯，在乙店买6杯 D．在乙店买12杯 【答案】D 【分析】设每杯售价元，分别计算每个选项中的花费，再进行比较即可．本题考查了整式加减的应用，读懂题意并根据题意表示出所花费用是解题的关键． 【详解】解：设每杯售价x元， 在甲店购买12杯的费用为（元）； 在甲店买8杯，在乙店买4杯的费用为（元）； 在甲店买6杯，在乙店买6杯的费用为（元）； 在乙店购买12杯的费用为（元）； 在乙店买12杯花钱最少， 故选：D． 2．某城市青菜价格在六、七两个月中起伏较大．每日的平均菜价与前一日不是上涨，就是下降，且7月31日的平均菜价不低于6月1日的平均菜价，那么在这两个月中最少有 天的平均菜价高于前一日的平均菜价． 【答案】32 【分析】此题考查列代数式问题，6月1日至7月31日共61天，如果上涨日与下降日各30天，设7月31日的菜价是6月1菜价的，分几种情况进行解答即可．本题的关键是分几种情况解答． 【详解】解：6月1日至7月31日共61天，如果上涨日与下降日各30天，设7月31日的菜价是6月1菜价的， 可得：， 如果上涨日比下降日多2天，则为：， 如果上涨日比下降日多4天，则为： ， ， 答：至少有32天的平均菜价高于前一日的平均菜价． 故答案为：32． 3．如图，A是数轴上表示的点，B是数轴上表示10的点，C是数轴上表示18的点，点A，B，C在数轴上同时向数轴的正方向运动，点A运动的速度是6个单位长度/秒，点B和点C运动的速度是3个单位长度/秒．设三个点运动的时间为t秒． (1)直接写出t秒后，A，B，C三点在数轴上所表示的数； (2)当t为何值时，线段（单位长度）？ (3)当时，设线段的中点为P，线段的中点为M，线段的中点为N，且为常数，求k的值． 【答案】(1)A，B，C分别表示的数为： ，，； (2)或； (3)或 【分析】（1）分别用A、B、C对应的数加上三点运动的距离，即可求解； （2）由（1）可得，即可求解； （3）根据题意可得秒后线段OA的中点为P所表示的数为，线段的中点为M所表示的数为， 线段的中点为N所表示的数为，再由为常数，然后分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： 秒后，A，B，C分别表示的数为： ，，； （2）解：根据题意得：， 解得：或； （3）解：∵秒后，A，B，C分别表示的数为： ，，， ∴ 秒后线段的中点为P所表示的数为，线段的中点为M所表示的数为， 线段的中点为N所表示的数为，   ∴， ∵为常数， ∴为常数， ① 当时，即时， ∴，解得； ②当，时，即时， ∴，解得； ③当时，即时， ∴，解得 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，绝对值方程，数轴上两点间的距离，动点问题，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 4．如图，已知在数轴上有三个点A，B，C，O是原点，其中A，B，C三点表示的数分别是 ，动点P从点O出发向右以每秒4个单位的速度匀速运动：同时，动点Q从点C出发，在数轴上向左匀速运动，速度为每秒a个单位 ；运动时间为t（单位：秒）． (1)求：点P从点O运动到点C时，运动时间t的值． (2)若Q的速度a为每秒6个单位，那么经过多长时间P，Q两点相距个单位？ (3)当时，请求出点Q的速度a的值（注：表示Q、B两点之间的距离）． 【答案】(1) （秒） (2)经过6秒或秒 P，Q两点相距 个单位 (3)点Q的运动速度为： 单位长度/秒或 单位长度/秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值等知识点，根据题意对问题进行正确地分类讨论是解决问题的关键． （1）根据路程、速度、时间的关系，即可求出时间t； （2）分相遇前相距个单位和相遇后，再相距个单位两种情况进行分类讨论，即可得出答案； （3）由得出 ，进而可知点P对应的数为 或 ，点Q对应的数为 或 ，再分 ① 点P对应的数为，点Q对应的数为 或， ② 点P对应的数为，点Q对应的数为 或，两种情况进行分类讨论，即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）由题意知： ， ∴当P运动到点C时， （秒）； （2）① 当点P、Q还没有相遇时， ， 解得： ； ② 当点P、Q相遇后， ， 解得：， 综上所述，经过6秒或 秒 P，Q两点相距 个单位； （3）∵ ， ∴ ， ∵在数轴上，点A对应的数为 ，点B对应的数为 ，点C对应的数为 ， ∴点P对应的数为 或 ，点Q对应的数为 或 ， ① 点P对应的数为时， （s）， 若点Q对应的数为时， ， ， 若点Q对应的数为时， ， （舍弃）， ② 点P对应的数为 时， （s）， 若点Q对应的数为 时， ， ， 若点Q对应的数为 时， ， （舍弃）， 综上所述，点Q的运动速度为： 单位长度/秒或 单位长度/秒． 5．如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为________个单位长度，的值为________； (2)当时，求点表示的数； (3)当机器人，之间的距离小于等于个单位长度时，机器人变成彩色，求机器人变成彩色的总时长； (4)当机器人，和点中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出的值． 【答案】(1)，； (2)点表示的数为； (3)秒； (4)或或或或． 【分析】（1）本题考查数轴上两点之间的距离，根据点，表示的数，即可算出的长，再利用是的中点，得到，即可解得的值． （2）本题根据线段的和差，得到点只能在点的右边，推出的长，即可解题； （3）分情况讨论，然后综合各种情况得到机器人变成彩色的总时长； （4）分情况进行讨论，然后综合各种情况得到的值； 此题考查了数轴的动点问题和一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意和分类讨论． 【详解】（1）解：∵数轴上点A，B表示的数分别为，， ∴， ∵ 是的中点， ∴， ∴表示的数分别为，即的值为， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴点只能在点的右边，位置如图所示： ∴，即，整理得，解得， ∴点表示的数为； （3）解：由（）可知，从运动到需秒， ∴，， ∴， 当追上时， ， 解得， 当追上之前， ∵， ∴ 解得， ∴， 当追上之后， ， ∵， ∴ 解得， ∴， 综上可知，， （秒） ∴机器人变成彩色的总时长为秒； （4）解：当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，设机器人的运动时间为秒，则机器人的运动时间为秒， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人到达点，此时点与点重合，即， 当机器人过点时，即， 解得或， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人到达点时，即， 当机器人超过机器人时，， 解得或（舍去）， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人未到达点时，即， 当机器人与机器人相遇时，即， 解得或， 综上可知，的值为或或或或． 6．随着智能手机的普及，网购已经成为人们的一种生活方式，快递业也随之发展壮大。某快递公司每件普通物品的收费标准如下表： 寄往市内 寄往市外 首重 续重 首重 续重 元／千克 元／千克 元／千克 元／千克 说明：①每件快递按送达地（市内，市外）分别计算运费． ②运费计算方式：首重价格续重续重运费．首重均为千克，超过千克即要续重，续重以千克为计重单位（不足千克按千克计算） 例如：寄往市内一件千克的物品，运费总额为：元．寄往市外一件千克的物品，运费总额为：元． (1)小华同时寄往市内一件千克的物品和市外一件千克的物品，各需付运费多少元？ (2)小彤同时寄往市内和市外同一件千克的物品，已知超过，且的整数部分是，小数部分小于，请用含字母的代数式表示市外与市内这两笔运费的差． (3)某日小华和小彤同时在该快递公司寄物品，小华寄往市外，小彤寄往市内，小彤所寄物品的重量不是整数，小华的运费比小彤的运费多元，物品的重量比小彤多千克，则小华和小彤共需付运费多少元？ 【答案】(1)各需付运费元，元； (2)元； (3)小华和小彤共需付运费元． 【分析】（）根据运费首重价格续重续重运费，结合续重以千克为计重单位(不足千克按千克计算)，即可求解； （）根据运费首重价格续重续重运费，结合续重以千克为计重单位(不足千克按千克计算)，可用含的代数式表示出寄往市外及寄往市内所需运费，作差后即可求解； （）设小彤所寄物品的重量为(为正整数，为小数部分)千克，则小华所寄物品的重量为千克，分和两种情况列方程求解即可； 本题考查了一元一次方程的应用、列代数式，运用分类讨论并根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，寄往市内一件千克的物品需付运费(元)； 寄往市外一件千克的物品需付运费(元)； 答：各需付运费元，元； （2）解：根据题意得，寄往市内需付运费 元， 寄往市外需付运费 元， ∴元； （3）解：设小彤所寄物品的重量为(为正整数，为小数部分)千克，则小华所寄物品的重量为千克， 当时， 小彤的运费为元， 小华的运费为元， 根据题意得，， 解得(不符合题意，舍去)； 当时， 小彤的运费为元， 小华的运费为元， 根据题意得，， 解得， ∴(元)， 答：小华和小彤共需付运费元． 压轴题型三 用代数式表示数的规律 1．在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为，若，则（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】B 【分析】此题考查的是相交线，摸清数字的变化规律是解决此题的关键．根据直线相交得到交点个数的规律，再利用裂项法进行有理数的运算即可解题． 【详解】解：根据题意，得， 两条直线最多将平面分成4个区域，即， 三条直线最多将平面分成7个区域，即， 四条直线最多将平面分成11个区域，即，．．． 则， ， ．．． ∴， ∴ ＝ ， ∵， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解． 故选：B． 2．如图,某校园的学子餐厅把密码做成了数学题,小亮在餐厅就餐时,思索了一会,输入密码,顺利地连接到了学子餐厅的网络． (1)如果是2,那么他输入的密码是 ． (2)若他输入的密码是4235,最后两位被隐藏了,那么被隐藏的两位数是 ． 【答案】 77 【分析】（1）根据前三个等式找出运算规律即可得； （2）设等式左边三个数分别为，根据前面四位数字列出等式，从而可求出答案． 【详解】设等式左边三个数分别为，则左边等式为 由前三个已知等式可知，右边六位数可分成三部分：①最前两位数字等于；②中间两位数字等于；③最后两位数字等于 （1）当时 则最前两位数字等于；中间两位数字等于；最后两位数字等于 因此，这个六位数为 （2）由题意得： 则 即被隐藏的两位数是77 故答案为：；77． 【点睛】本题考查了列代数式的规律类问题，依据题意，归纳类推出运算规律是解题关键． 3．观察下面三行数： 、、、、、．……① 、、、、、．……② 、、、、、．……③ (1)按第①行数排列的规律，第7个数是______，第n个数是______（用含n的式子表示）． (2)观察第②行数与第①行数的关系，第②行第n个数是______（用含n的式子表示）；观察第③行数与第①行数的关系，第③行第n个数是______（用含n的式子表示）． (3)取每行数的第8个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)，； (2)；； (3)573． 【分析】（1）由所给的数可看出∶第几个数，其指数就是几，底数为”，据此作答即可； （2）不难看出第二行的数等于第一行相应位置的数减3；第三行的数等于第一行相应位置的数乘以，据此求解即可； （3）写出每行的第8个数，再相加即可． 【详解】（1）解：第个数，， 第个数，， 第个数，， 第个数，， ， 据此，第几个数，其指数就是几，底数为， ∴第个数为∶，第个数为∶； 故答案为∶，； （2）解∶第个数，， 第个数，， 第个数，， ， 据此，第②行的数中，第个数比第①行的数中第个数小， ∴第②行第个数为∶； 第个数，， 第个数，， 第个数，， ， 据此，第③行的数中，第个数是第①行的数中第个数的， ∴第③行第个数为∶； 故答案为∶；； （3）解：第①行第个数为∶， 第②行第个数为∶， 第③行第个数为∶， ∴． 【点睛】本题主要考查规律型∶数字的变化类，解答的关键是由所给的数总结出每行所存在的规律． 4．请阅读下列材料，并解答相应的问题： 将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等（这个和叫幻和），则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”中国古代称“幻方”为“河图”、“洛书”等，例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的3×3方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等． (1)请你将下列九个数：，分别填入图1方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等； (2)在图2的三阶幻方中，x的值为______； (3)在图3的三阶幻方中，该幻方的幻和可用e表示为______；进而可得该幻方中9个数的和可用e表示为______；a，h，f之间的数量关系为______； (4)图4的三阶幻方中，y的值为______． 【答案】(1)图见解析 (2)1 (3) (4) 【分析】（1）根据给出的幻方，可知最中央数字为9个数的和的平均数，再利用9个数的和÷3得到每行，每列，每条对角线上的三个数之和，在这组数中先确定两组和为的数，然后再分别推出其他位置的数字，填图即可； （2）根据给出的幻方，可以推出最中央位置的数字为每行，每列，每条对角线其它两个数字的平均数，列式求解即可； （3）根据最中央位置的数字为每行，每列，每条对角线其它两个数字的平均数，即可用表示幻和，幻和×3即可得到9个数的和；利用幻和为，分别用幻和和表示出和，再利用等于幻和，列式求解即可； （4）根据每行，每列，每条对角线上的三个数的和相等，和最中央位置的数字为每行，每列，每条对角线其它两个数字的平均数，进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知： 最中央的数字为：， 每一行，每一列，每条对角线上的三个数字和为：， 填表如下： （2）解：由题可知：最中央位置的数字为每行，每列，每条对角线其它两个数字的平均数，设第一行的最后一个数字为：， 则：，解得：， 设第一列的中间数字为：， 则：， 解得：； 故答案为：1； （3）解：由题意得：该幻方的幻和可用e表示为：； 该幻方中9个数的和可用e表示为：； ∵ ∴， ∵， ∴，即：； 故答案为：； （4）解：由题意得： 设第一列的最后一个数字为：， 则：， ∴， ∴最中央的数字为：， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据题意推出幻和等于最中央数字的3倍，最中央的数字是每一行，每一列，每一条对角线上其它两个数字的平均数，是解题的关键． 5．观察下列等式： 第1个等式：a1＝＝×（﹣）； 第2个等式：a2＝＝×（﹣）； 第3个等式：a3＝＝×（）； 第4个等式：a4＝＝×（）； … 请解答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：a5＝　 　＝　 　；第n（n为正整数）个等式：an＝　 　＝　 　； （2）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值； （3）数学符号f（x）＝f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n），试求 的值． 【答案】（1），×（）；，×（）； （2）；（3） 【分析】（1）根据题干中的规律可得第5个等式，再总结规律可得的值等于和的差再乘以； （2）将a1+a2+a3+a4+…+a100用各自的算式替换，再根据（1）中归纳的等式进行拆项计算； （3）依据数学符号的概念，可得对应的算式，再利用前两问得到的拆项算法计算即可. 【详解】解：（1）按以上规律知第5个等式为a5＝＝×（）， 第n个等式an＝＝×（） （2）a1+a2+a3+a4+…+a100 ＝+ + +…+ ＝×（1﹣）+×（）+ ×（）+…+×（） ＝×（1﹣+ +…+） ＝×（1﹣） ＝× ＝； （3） ＝+ + +…+. ＝3×（+…+） ＝3×[×（1﹣ ）+ ×（）+×（）+…+×（）] ＝1﹣+ ﹣+ ﹣+ ﹣+ ﹣+ ﹣ + ﹣﹣ ++ ＝1+ + ﹣﹣﹣ ＝． 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，理解拆分数字的变化，利用变化的规律解决问题． 6．幻方的历史很悠久，传说中最早出现在夏禹时代的“洛书”，用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，即将若干个数组成一个正方形数阵，任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等．观察下图： （1）若图1为“和幻方”，则 ， ， ； （2）若图2为“和幻方”，请通过观察上图的 三个幻方，试着用含、的代数式表示，并说明理由． （3）若图3为“和幻方”，且为整数，试求出所有满足条件的整数的值．     【答案】（1）-5，9，3；（2） ；（3）-3，-2，0，1． 【分析】（1）根据题意先求出a和b的值，再假设中间的数为x根据题干定义进行分析计算； （2）由题意假设中间数为x，同时根据题意表示某些数值进而分析计算得出结论； （3）由题意根据（2）的关系式得出，进而进行分析即可. 【详解】解：（1）由图分析可得：，解得， 假设中间的数为x，如下图： 根据图可得：解得， 所以. 故答案为：-5，9，3. （2），理由如下： 假设中间数为x，如图： 由图可知：，化简后得. （3）根据（2）中关系式可知： 当时，， ∵为整数， ∴为整数， 又∵， ∴， ∴， 又∵为整数， ∴均满足条件， ∴所有满足条件的整数的值为：-3，-2，0，1． 【点睛】本题考查代数式的新定义运算，根据题干新定义进行分析求解是解答此题的关键. 压轴题型四 用代数式表示图形的规律 1．我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图有1颗弹珠；图有3颗弹珠；图有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；如图中画出了最上面的四层．若用表示图的弹珠数，其中，2，3，…，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可找出规律：，从而可将化为，对其进行裂项运算，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， … 第个图：； ； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了图形规律问题，根据题意找出规律，并会利用规律对代数式进行裂项计算是解题的关键． 2．国庆节，广场上要设计一排灯笼增强气氛，其中有一个设计由如图所示图案逐步演变而成，其中圆圈代表灯笼，n代表第n次演变过程，s代表第n次演变后的灯笼的个数．仔细观察下列演变过程，当时，s= ． 【答案】94 【分析】根据图形的变化规律，结合数字规律列出式子求解即可． 【详解】解：∵， ， ， ， …， ∴当时，， 故答案为：94． 【点睛】本题考查了图形和数字规律，解题的关键是找到合适的规律列出代数式． 3．【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）； 【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 【答案】[观察发现]6，；[实践应用]120场 【分析】[观察发现]根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=n(n−1)个交点；[实践应用] 把每个班作为一个点,进行一场比赛就是用线把两个点连接,用此方法即可. 【详解】[观察发现]解：①两条直线相交最多有1个交点：1=； ②三条直线相交最多有3个交点：3=； ③四条直线相交最多有6个交点：6=；… n条直线相交最多有个交点． 故答案为：6，． [实践应用]该类问题符合上述规律，所以可将n＝16代入． ∴这一轮共要进行120场比赛． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解决本题的关键是要找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 4．探究一，模型再现：m条直线最多可以把平面分割成多少个部分？ 如图1，很明显，平面中画出1条直线时，会得到1＋1＝2个部分；所以，1条直线最多可以把平面分割成2个部分； 如图2，平面中画出第2条直线时，新增的一条直线与已知的1条直线最多有1个交点，这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1＋1＋2＝4个部分，所以，2条直线最多可以把平面分割成4个部分； 如图3，平面中画出第3条直线时，新增的一条直线与已知的2条直线最多有2个交点，这2个交点会把新增的这条直线分成3部分，从而多出3个部分，即总共会得到1＋1＋2＋3＝7个部分，所以，3条直线最多可以把平面分割成7个部分； 平面中画出第4条直线时，新增的一条直线与已知的3条直线最多有3个交点，这3个交点会把新增的这条直线分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1＋1＋2＋3＋4＝11个部分，所以，4条直线最多可以把平面分割成11个部分；…… 探究二，类比迁移：n个圆最多可以把平面分割成多少个部分？ 如图4，很明显，平面中画出1个圆时，会得到1＋1＝2个部分；所以，1个圆最多可以把平面分割成2个部分； 如图5，平面中画出第2个圆时，新增的一个圆与已知的1个圆最多有2个交点，这2个交点会把新增的这个圆分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1＋1＋2＝4个部分，所以，2个圆最多可以把平面分割成4个部分； 如图6，平面中画出第3个圆时，新增的一个圆与已知的2个圆最多有4个交点，这4个交点会把新增的这个圆分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1＋1＋2＋4＝8个部分，…… 平面中画出第4个圆时，新增的一个圆与已知的3个圆最多有6个交点，这6个交点会把新增的这个圆分成6部分，从而多出6个部分，即总共会得到1＋1＋2＋4＋6＝14个部分，…… (1)5条直线最多可以把平面分割成______个部分； (2)m条直线最多可以把平面分割成______个部分（用m的代数式表示）； (3)5个圆最多可以把平面分割成______个部分； (4)n个圆最多可以把平面分割成______个部分（用n的代数式表示）； (5)如果n个圆最多可以把平面分割成508个部分，求n的值（要求写出解答过程）； (6)5条直线和1个圆最多可以把平面分割成______个部分； (7)m条直线和n个圆最多可以把平面分割成______个部分（用m、n的代数式表示）． 【答案】(1)16 (2) (3)22 (4)(n2-n+2) (5)23 (6)26 (7) 【分析】（1）画出第5条直线时，新增的一条直线与已知的4条直线最多有4个交点，这4个交点会把新增的这条直线分成5部分，从而多出5个部分，据此解答； （2）寻找出规律得出结论，最后求和即可解答； （3）平面中画出第5个圆时，新增的一个圆与已知的4个圆最多有8个交点，这8个交点会把新增的这个圆分成8部分，从而多出8个部分，据此解答； （4）寻找出规律得出结论，最后求和即可解答； （5）根据问题（4）中结论列方程求解； （6）1条直线和1个圆最多将平面分成2+2×1=4个部分，两条直线和一个圆最多将平面分成4+2×2=8部分，…，据此规律解答； （7）当m=0时，m条直线和n个圆最多可以把平面分割成(n2-n+2)个部分，当时，m条直线和n个圆最多可以把平面分割成个部分，据此解答． 【详解】（1）解：根据规律得，平面中，画出第5条直线时，新增的一条直线与已知的4条直线最多有4个交点，这4个交点会把新增的这条直线分成5部分，从而多出5个部分， 即共会得到1+1+2+3+4+5=16个部分 所以，5条直线最多可以把平面分割成16个部分， 故答案为：16； （2）根据规律，m条直线最多可以把平面分割成1+1+2+3+4+…+m= 故答案为：； （3）平面中画出第5个圆时，新增的一个圆与已知的4个圆最多有8个交点，这8个交点会把新增的这个圆分成8部分，从而多出8个部分， 即共会得到1+1+2+4+6+8=22个部分， 故答案为：22； （4）解：根据规律得，n个圆最多可以把平面分割成1+1+2+4+…+2（n-1）=(n2-n+2)个部分 故答案为：(n2-n+2)； （5）根据问题（4）结论可得，n2-n+2=508 解得n=23，或n=-22（舍去） （6）1条直线和1个圆最多将平面分成2+2×1=4个部分，两条直线和一个圆最多将平面分成4+2×2=8部分，…，5条直线和一个圆最多将平面分成16+2×5=26个部分， 故答案为：26； （7）当m=0时，m条直线和n个圆最多可以把平面分割成(n2-n+2)个部分， 当时，m条直线和n个圆最多可以把平面分割成个部分， 故答案为： 【点睛】本题考查逻辑推理能力，涉及列代数式表示图形规律，根据已有规律进行归纳推理论证是解题关键． 5．现有长度相同的小木棒 n 根，若按如图 1 摆放，正好摆成 a 个小正方形，若按如图 2 摆 摆放， 则可以摆成 b 个小正六边形还剩下 2 根．若 按如图 3 摆放，则可以摆成 c 个小正八边形还剩下 4 根． (1)分别用含 a ，b，c 的代数式表示 n； (2)当 b=41 时，求 a，c 的值． (3)试求n 的最小值． 【答案】(1)n=3a+1；n=5b+3；n=7c+5 (2)a=69；c=29 (3)n 的最小值为103 【分析】（1）根据图1、图2、图3中的规律，分别得出a，b，c与n的关系即可； （2）根据b的值得出n的值，然后把n分别代入解析（1）中的关系式，得出a、c的值即可； （3）根据火柴棒的总数相同得出n＝3a＋1＝5b＋3＝7c＋5，求出最小正整数解，从而得到n的最小值． 【详解】（1）∵按图1摆放，正好摆成a个小正方形， ∴； ∵按图2摆放，则可以摆成b个小正六边形还剩下2根， ∴， ∵按图3摆放，则可以摆成c个小正八边形还剩下4根， ∴； （2）把代入得： ， 把分别代入和得： ，解得：， ，解得：； （3）∵火柴棒的总数相同， ∴n＝3a＋1＝5b＋3＝7c＋5， ∴， ∵a，b，c为正整数， ∴，，时，n的值最小，n＝3×34＋1＝5×20＋3＝7×14＋5=103． 【点睛】本题考查了列代数式，规律型：图形的变化，解题的关键是得出用含a，b，c的代数式分别表示n的式子，本题有一定的难度． 6．下列图形是按照一定的规律摆成的，用两种不同的方法计算图形中“·”的个数可以得到对应的等式. 直接相加法           ________ ________ （1）请根据图形与对应等式的关系填空； （2）根据（1）中结论，计算第n个图形中“。”的个数，用含有n的代数式填空：________________. 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）根据题意，找出图形中的规律，然后列出代数式，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，代入计算即可得到答案. 【详解】解：（1）第3个图中，是由个点构成的图形，其中对角线上“。”的个数为4个， 故“●”的个数可以表示为：； 第n个图中，是由个点构成的图形，其中对角线上“。”的个数为个， 故“●”的个数可以表示为：. 故答案为：，；   （2）第n个图形中“。”的个数“●”的个数， “。”的个数“●”的个数 . 故答案为：，. 【点睛】本题考查了图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题．解题的关键是找出题目的规律，正确列出代数式进行求解. 压轴题型五 根据式子的值求代数式压轴题 1．当时，多项式.那么当时，它的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据时，多项式，找到a、b之间的关系，再代入求值即可. 【详解】当时， 当时，原式= 故选A. 【点睛】本题考查代数式求值问题，难度较大，解题关键是找到a、b之间的关系. 2．一个四位数（其中，，，，且均为整数），若，且为整数，则称为“型数”．例如：，因为，则为“型数”；，因为，则为“型数”．若四位数是“型数”，是“型数”，将的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数，也是“型数”，则满足条件的最小四位数的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意列出代数式和等式，对与的大小关系进行分类讨论，用消元法求出的最小值即可． 【详解】解：∵为“3型数”， ∴①， ∵为“3型数”， ∴②， 由①②得， ∵是“型数”， （1）若，则不产生错位， ∴， ∴③， 联立①③得， ， ∴，即 ∵都是整数， ∴不符题意，舍去， （2）若，则产生错位， ∴是“型数”， ∴， 即④， 联立①④得， ∴， 将， 代入， ∴， 又∵， ∴, ∵， ∴当最大时，最小，此时，， ∴最小． 故答案为：． 【点睛】本题考查学生列出代数式和等式进行计算的能力，根据与的大小关系进行分类讨论是本题难点． 3．如图，数轴上点分别表示数，其中，． (1)当时，线段的中点表示的数是_______； (2)若数轴上另有一点表示数3． ①若点在线段上，且，求式子的值； ②点为线段上一动点，点为线段上一动点，当时，线段的最大长度为5，求的值． 【答案】(1)2 (2)①2033；②或 【分析】（1）利用数轴知识和线段中点的定义计算即可； （2）①点表示数3，点在线段上，且，得出，再计算代数式的值即可；②根据，得出，说明点B在点M的左侧或在点M处时，的最小值为6，不符合题意，说明点B必须在点M的右侧，然后分两种情况求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵，， 线段的长度为 ∴线段的中点C表示的数； 故答案为：2． （2）①∵点表示数3，点在线段上，且， ∴， 整理得：， ∴； ②∵， ∴， 当点B在点M的左侧或在点M处时，，当点P在点A处，点Q在点M处时，最大， ∵， ∴此时的最大值大于5， ∵的最大值为5， ∴点B不可能在点M的左侧或M处； 当点B在点M的右侧，点P在点A处，点Q在点M处时，最大，则此时， 解得：； 当点B在点M的右侧，点P在点B处，点Q在点O处时，最大，则此时， 解得：， ∴， ∴， 综上分析可知：或． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，线段中点的有关计算用数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． 4．整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）如果，求的值； （2）当时，代数式的值为，当时，求代数式的值；（用含的代数式表示） 【拓展应用】 （3）周末爸爸妈妈带着小明和妹妹在小区的休闲区运动．爸爸和小明在休闲区的环形跑道上跑步，两人相距20米，同时反向运动，小明的速度是，爸爸的速度是，经过两人第一次相遇．妈妈带着妹妹做追逐游戏，妹妹在妈妈前面，两人同时同向起跑，妹妹的速度是，妈妈的速度也是，经过，妈妈追上妹妹． ①休闲区的环形跑道周长是_____________m；（用含的代数式表示） ②起跑时，妹妹站在妈妈前面_____________m；（用含的代数式表示） ③若休闲区的环形跑道周长是，起跑时妹妹站在妈妈前面，综合上述信息求代数式的值． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②，③ 【分析】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知整式的运算法则及整体法的运用． （1）先将原式化简，再进行整体代入即可求解； （2）先根据题意得出，然后把变形后整体代入即可求解； （3）①根据小明的路程+爸爸的路程起跑时两人间的距离跑道周长即可求解； ②根据妈妈的路程妹妹的路程起跑时两人间的距离即可求解； ③先根据题意求出，，然后把原式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ ； （2）当时，代数式的值为， ∴， ∴， ∴当时， ； （3）①根据题意，得跑道周长为； ②根据题意，得妹妹站在妈妈前面； ③根据题意，得，， ∴，， ∴ ． 5．我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数m、n、p，总满足，则称这个数列为理想数列． (1)若数列2，，a，，b，…，是理想数列，则　　，　　； (2)若数列x，，4，…，是理想数列，求代数式的值． (3)若数列…，m，n，p，q…，是理想数列，且，求代数式的值． 【答案】(1)5，； (2)； (3)． 【分析】（1）根据理想数列的定义代入计算即可； （2）根据理想数列的定义代入计算，求出，再整体代入整式计算即可； （3）m，n，p，q，是理想数列，所以，，求出， 结合得，结合问题变形为或，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：5，； （2）由题意可知： ， 即， ； （3）m，n，p，q，…，是理想数列， ， ， ， ， ， ， ， 即或， ． 【点睛】本题考查了新定义下的有理数的运算和整式的化简求值；正确理解新定义、根据所求整式整体代入求值是解题的关键． 6．数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题： （1）若，则 ； （2）已知，，求代数式的值； （3）当，时，代数式的值为8，则当，时，求代数式的值． 【答案】（1）-1；（2）42；（3）-10 【分析】（1）根据整体思想代入计算即可求解； （2）根据已知条件先求出a-c的值，再整体代入到所求代数式中即可； （3）根据已知可得2a+4b=9，再整体代入到所求代数式中即可． 【详解】解：（1）因为x2-3x=2， 所以1+3x-x2=1-（x2-3x） =1-2=-1 故答案为：-1． （2）∵a-b=5，b-c=3， ∴a-b+b-c=a-c=5+3=8， ∴（a-c）2-3a+2+3c=（a-c）2-3（a-c）+2=82-24+2=64-24+2=42； （3）∵当x=-1，y=2时，代数式ax2y-bxy2-1的值为8， 即2a+4b-1=8， 所以2a+4b=9， ∴当x=1，y=-2时，代数式ax2y-bxy2-1=-2a-4b-1=-（2a+4b）-1=-9-1=-10． 【点睛】本题考查了代数式求值，解决本题的关键是运用整体代入思想． 压轴题型六 程序流程图与代数式压轴题 1．按如图所示的程序计算，若最后输出的结果为，则开始输入的是正数的不同值最多有（    ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和程序流程图，根据最后输出的结果，可计算出它前面的那个数，依此类推，可将符合题意的所有正数求出，正确理解题意，列方程逐步计算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，解得， ，符合题意； 继续推理可得，解得， ，符合题意； 继续推理可得，解得， ，符合题意； 继续推理可得，解得， ，符合题意； 继续推理可得，解得， ，不符合题意； 综上所述，开始输入的是正数的不同值最多有4个， 故选：C． 2．如图，这是一种数值转换机的运算程序，若第一次输入的数为7，则第2018次输出的数是 ，若第一次输入的数为，使第2次输出的数也是，则 ． 【答案】 2； 0或或． 【分析】根据运算程序以此列出前几次输出的数，找出规律确定循环周期，即得第2018次的输出结果；再将第一次输入的数为时，计算出第二次输出的数，列出方程求解即得． 【详解】∵第一次输出的数为10；第二次输出的数为5；第三次输出的数为8；第四次输出的数为4；第五次输出的数为2；第五次输出的数为1；第五次输出的数为4；…． ∴输出的数据去掉前三项后，后面的项三次一循环，每组循环依次是： 4，2，1，4 ∵ ∴第2018次输出的数是2． ∵第一次输入的数为，使第2次输出的数也是 ∴当为奇数时，，解得： 当为偶数时，，或解得：或x=0 故答案为：2；0或或． 【点睛】本题是规律题，考查了一元一次方程求解，解题关键是根据特殊情况找出数据的周期． 3．如图，是一个“因变量随着自变量变化而变化”的示意图，下面表格中，是通过运算得到的几组与的对应值．根据图表信息解答下列问题： 输入 … 0 2 … 输出 … 2 18 … (1)直接写出： ， ， ； (2)当输入的值为时，求输出的值； (3)当输出的值为12时，求输入的值． 【答案】(1)9，6；6 (2) (3)当输出的值为12时，输入的值为 【分析】此题主要是考查了根据自变量的取值范围求相应的函数值，能够分情况考虑问题是解题的关键． （1）根据，把，代入可得的值；根据，把，代入可得的值；根据，把，代入可得的值； （2）根据，代入可得的值； （3）分或两种情况，把分别代入和，求得的值，再根据的取值范围判断可得结果． 【详解】（1）把，代入得， 解得； 把，代入得， 解得； 把，代入得， 解得． 故答案为：9，6，6； （2）当时，有； （3）当，时，，解得，不符合题意，舍去； 当时，时，，解得，符合题意． 当输出的值为12时，输入的值为． 4．我们在学习《3.3代数式的值（2）》时，介绍了“计算框图”，其实计算框图中有很多的规范要求：“输入输出框”用“”表示（表示输入、输出操作）；“处理框”用“”表示（表示数据处理和运算）；“判断框”用“”表示（根据条件决定执行两条路径中的某一条） (1)【观察与思考】在图①中写出操作过程． (2)【类比与归纳】 ①如图②，如果输入的值为1，那么输出的结果为______． ②根据图③所示的计算程序，若输出的值，则输入的值______． (3)【生活与应用】 为加强居民节水意识，无锡市政府决定对居民用水实行“阶梯价”，见价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出15吨的部分 2元/吨 超15吨不超25吨的部分 3元/吨 超出25吨的部分 6元/吨 注：水费按月结算 问题①：小明家9月用水量为29吨，请问小明家9月份应交水费多少元？ 问题②：若该居民1月用水量不超过25吨，请你设计“计算框图”，使得输入数据为用水量，输出数为水费． 【答案】(1)见解析 (2)①；②15或 (3)①小明家9月份应交水费84元；②见解析 【分析】（1）①由图1输出代数式，可得程序框图中所填的式子； （2）①将代入框图中计算结果，输出答案即可； ②分两种情况考虑：当大于0时，即可得到的值；小于0时，根据，9开方求出负数的值； （3）问题①：根据题干提供的信息，列出算式进行计算即可； 问题②：分两种情况考虑：小于等于15时，得到水费；当大于15时，水费，作出程序框图即可． 【详解】（1）解：输出结果为 图①中的操作过程分别为；． （2）解：①将代入得： ， ， ∴， ∴输出的结果为； 故答案为：； ②当为正数时，， 解得； 当为负数时，，解得（舍）， 故答案为：15或； （3）解：① （元）； 答：小明家9月份应交水费84元； ②如图所示： 【点睛】本题考查了列代数式，有理数四则混合运算的运用，以及代数式求值，解一元一次方程，属于程序框图型试题，弄清题意是解本题的关键． 5．在学习《整式》这一章时，我们见识了程序框图：用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）． 图1               图2                    图3                  图4 (1)①如图1，当输入数时，输出数________； ②如图2，第一个带？号的运算框内，应填________；第二个带？号运算框内，应填________； (2)①如图3，当输入数时，输出数________； ②如图4，当输出的值，则输入的值________； (3)为鼓励节约用水，决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过15吨时（含15吨），以2元/吨的价格收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分以3元/吨的价格收费.请设计出一个“程序框图”，使得输入数为用水量，输出数为水费． 【答案】(1)①；②， (2)①；②6或0 (3)见解析 【分析】本题考查了求代数式的值的应用． （1）①根据图形列出算式，即可求出答案； ②根据图形列出算式，即可求出答案； （2）①根据图形列出算式，即可求出答案； ②根据图形列出算式，即可求出答案； （3）根据图4画出即可． 【详解】（1）解：①当时，， 故答案为：； ②第一个运算框内填：；第二个运算框内填：， 故答案为：，； （2）解：①当时，，，， 故答案为：； ②分为两种情况：当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 故答案为：6或0； （3）解：因为当每月用水量不超过15吨时（含15吨），以2元/吨的价格收费； 当每月用水量超过15吨时，超过部分以3元/吨的价格收费， 所以水费收缴分两种情况，和， 分别计算，所以可以设计如框图如图． ． 6．有四种运算程序如下图所示，按要求完成下列题： （1）如图1，当输入数x=－2时，输出数y=_______ ； （2）如图2，第一个带？号的运算框内，应填_______ ；第二个带？号运算框内，应填_______ ； （3）如图3，当输入数x=1时，输出数y= _______； （4）如图4，当输出的值y=26，则输入的值x=_______ ． 【答案】（1）-9  （2）×5；-3  （3）-27  （4）31或-5 【分析】（1）由图1列出关系式y=2x-5，将x=-2代入计算即可求出值； （2）根据y=5x-3即可得到“？”处的结果； （3）将x=1代入计算得到结果为-3大于-20，将x=-3代入计算得到结果为-11大于-20，将x=-11代入计算得到结果为-27小于-20，输出即可； （4）分两种情况考虑：当x大于0时，26+5即可得到x的值；x小于0时，根据26-1开方求出负数x的值 【详解】解：（1）由图1可列出关系式y=2x-5， 当输入数x=－2时，输出数y=2×（-2）-5 =-9； （2）由图2输出为y=5x-3，可得第一个带？号的运算框内，，应填×5；第二个带？号运算框内，应填-3； （3）如图3，当输入数为x=1时， y=1×2-5=-3>-20， 当输入数为x=-3时，y=（-3）×2-5 =-11>-20， 当输入数为x=-11时，y=（-11）×2-5 =-27<-20， 则输出数为y=-27； （4）当x=-1时，y=-2×2-5=-9＞-20，-9×2-5=-23＜-20， 故答案为y=-23； ②分为两种情况：当x＞0时，x-5=26， 解得：x=26+5=31； 当x＜0时，x2+1=26， 解得：x=±5，x=5舍去； 则输入的值x=31或-5． 【点睛】本题考查代数式求值，属于程序框图型试题，弄清题意是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 简单的代数式（6大题型）（36道压轴题专练） 压轴题型一 用字母表示数压轴题型 1．粗心的小倩在放学回家后，发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是她跑步到学校取了练习册，再步行回家（取书时间忽略不计）．已知跑步速度为x，步行速度为y，则她往返一趟的平均速度是（　　） A．x B．y C． D． 2．在我国的民俗中常将十二生肖用于记年，顺序排列为子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、已蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪，今年（2018年）是“戌狗”年，2050年是“ ”年． 3．某种窗户由上下两部分组成，其上部是用木条围成的半圆形，且半圆形内部由三根等长的木条分隔，下部是用木条围成的边长相等的四个小正方形，木条的宽度和厚度不计．已知下部每个小正方形的边长为a米． (1)用含a的代数式分别表示窗户的面积和所用木条的总长度； (2)若米，窗户上安装的是玻璃，玻璃25元/平方米，木条20元/米，求制作这个窗户需要的总钱数（值取3，计算结果精确到个位）． 4．定义：对于四位自然数m，若其千位数字与个位数字之和为7，百位数字与十位数字之和也等于7，则称这个四位自然数m为“七巧数”．例如：3254是“七巧数”，因为，所以3254是“七巧数”；1456不是“七巧数”，因为，所以1456不是“七巧数”． (1)若一个“七巧数”的千位数字为a，则其个位数字可以表示为_________；（用含a的代数式表示） (2)若“七巧数”m的千位数字加上十位数字的和，是百位数字减去个位数字的差的3倍，请写出一个满足条件的“七巧数”_________． 5．为实现可持续发展，资源循环利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计算方案，具体如下表所示： 档次 月用电量（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 1档 0.49 2档 0.54 3档 0.79 例：若某住户8月的用电量为300千瓦时，则需缴电费（元）． (1)若圆圆家某月用电量为千瓦时，请用含的代数式表示，当时，应缴电费为__________元，当时，应缴电费为__________元； (2)若圆圆家9月共缴电费元，求该月圆圆家的用电量． (3)圆圆家10月用电的平均费用最高为0.50元/千瓦时，请根据题意列方程并求10月最大用电量． 6．已知一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7个单位长度到达点，再从点向右移动12个单位长度到达点．点是线段的中点． (1)点表示的数是_____； (2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点分别从点出发，分别以每秒1个单位长度、4个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动时间为秒． ①当时，求的值； ②试探索：的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． 压轴题型二 代数式压轴题型 1．甲、乙两店卖豆浆，每杯售价均相同．已知甲店的促销方式是：每买2杯，第1杯原价，第2杯半价；乙店的促销方式是；每买3杯，第1、2杯原价，第3杯免费．若东东想买12杯豆浆，则下列所花的钱最少的方式是（    ） A．在甲店买12杯 B．在甲店买8杯，在乙店买4杯 C．在甲店买6杯，在乙店买6杯 D．在乙店买12杯 2．某城市青菜价格在六、七两个月中起伏较大．每日的平均菜价与前一日不是上涨，就是下降，且7月31日的平均菜价不低于6月1日的平均菜价，那么在这两个月中最少有 天的平均菜价高于前一日的平均菜价． 3．如图，A是数轴上表示的点，B是数轴上表示10的点，C是数轴上表示18的点，点A，B，C在数轴上同时向数轴的正方向运动，点A运动的速度是6个单位长度/秒，点B和点C运动的速度是3个单位长度/秒．设三个点运动的时间为t秒． (1)直接写出t秒后，A，B，C三点在数轴上所表示的数； (2)当t为何值时，线段（单位长度）？ (3)当时，设线段的中点为P，线段的中点为M，线段的中点为N，且为常数，求k的值． 4．如图，已知在数轴上有三个点A，B，C，O是原点，其中A，B，C三点表示的数分别是 ，动点P从点O出发向右以每秒4个单位的速度匀速运动：同时，动点Q从点C出发，在数轴上向左匀速运动，速度为每秒a个单位 ；运动时间为t（单位：秒）． (1)求：点P从点O运动到点C时，运动时间t的值． (2)若Q的速度a为每秒6个单位，那么经过多长时间P，Q两点相距个单位？ (3)当时，请求出点Q的速度a的值（注：表示Q、B两点之间的距离）． 5．如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为________个单位长度，的值为________； (2)当时，求点表示的数； (3)当机器人，之间的距离小于等于个单位长度时，机器人变成彩色，求机器人变成彩色的总时长； (4)当机器人，和点中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出的值． 6．随着智能手机的普及，网购已经成为人们的一种生活方式，快递业也随之发展壮大。某快递公司每件普通物品的收费标准如下表： 寄往市内 寄往市外 首重 续重 首重 续重 元／千克 元／千克 元／千克 元／千克 说明：①每件快递按送达地（市内，市外）分别计算运费． ②运费计算方式：首重价格续重续重运费．首重均为千克，超过千克即要续重，续重以千克为计重单位（不足千克按千克计算） 例如：寄往市内一件千克的物品，运费总额为：元．寄往市外一件千克的物品，运费总额为：元． (1)小华同时寄往市内一件千克的物品和市外一件千克的物品，各需付运费多少元？ (2)小彤同时寄往市内和市外同一件千克的物品，已知超过，且的整数部分是，小数部分小于，请用含字母的代数式表示市外与市内这两笔运费的差． (3)某日小华和小彤同时在该快递公司寄物品，小华寄往市外，小彤寄往市内，小彤所寄物品的重量不是整数，小华的运费比小彤的运费多元，物品的重量比小彤多千克，则小华和小彤共需付运费多少元？ 压轴题型三 用代数式表示数的规律 1．在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为，若，则（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 2．如图,某校园的学子餐厅把密码做成了数学题,小亮在餐厅就餐时,思索了一会,输入密码,顺利地连接到了学子餐厅的网络． (1)如果是2,那么他输入的密码是 ． (2)若他输入的密码是4235,最后两位被隐藏了,那么被隐藏的两位数是 ． 3．观察下面三行数： 、、、、、．……① 、、、、、．……② 、、、、、．……③ (1)按第①行数排列的规律，第7个数是______，第n个数是______（用含n的式子表示）． (2)观察第②行数与第①行数的关系，第②行第n个数是______（用含n的式子表示）；观察第③行数与第①行数的关系，第③行第n个数是______（用含n的式子表示）． (3)取每行数的第8个数，计算这三个数的和． 4．请阅读下列材料，并解答相应的问题： 将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等（这个和叫幻和），则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”中国古代称“幻方”为“河图”、“洛书”等，例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的3×3方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等． (1)请你将下列九个数：，分别填入图1方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等； (2)在图2的三阶幻方中，x的值为______； (3)在图3的三阶幻方中，该幻方的幻和可用e表示为______；进而可得该幻方中9个数的和可用e表示为______；a，h，f之间的数量关系为______； (4)图4的三阶幻方中，y的值为______． 5．观察下列等式： 第1个等式：a1＝＝×（﹣）； 第2个等式：a2＝＝×（﹣）； 第3个等式：a3＝＝×（）； 第4个等式：a4＝＝×（）； … 请解答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：a5＝　 　＝　 　；第n（n为正整数）个等式：an＝　 　＝　 　； （2）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值； （3）数学符号f（x）＝f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n），试求 的值． 6．幻方的历史很悠久，传说中最早出现在夏禹时代的“洛书”，用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，即将若干个数组成一个正方形数阵，任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等．观察下图： （1）若图1为“和幻方”，则 ， ， ； （2）若图2为“和幻方”，请通过观察上图的 三个幻方，试着用含、的代数式表示，并说明理由． （3）若图3为“和幻方”，且为整数，试求出所有满足条件的整数的值．     压轴题型四 用代数式表示图形的规律 1．我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图有1颗弹珠；图有3颗弹珠；图有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；如图中画出了最上面的四层．若用表示图的弹珠数，其中，2，3，…，则（    ）    A． B． C． D． 2．国庆节，广场上要设计一排灯笼增强气氛，其中有一个设计由如图所示图案逐步演变而成，其中圆圈代表灯笼，n代表第n次演变过程，s代表第n次演变后的灯笼的个数．仔细观察下列演变过程，当时，s= ． 3．【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）； 【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 4．探究一，模型再现：m条直线最多可以把平面分割成多少个部分？ 如图1，很明显，平面中画出1条直线时，会得到1＋1＝2个部分；所以，1条直线最多可以把平面分割成2个部分； 如图2，平面中画出第2条直线时，新增的一条直线与已知的1条直线最多有1个交点，这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1＋1＋2＝4个部分，所以，2条直线最多可以把平面分割成4个部分； 如图3，平面中画出第3条直线时，新增的一条直线与已知的2条直线最多有2个交点，这2个交点会把新增的这条直线分成3部分，从而多出3个部分，即总共会得到1＋1＋2＋3＝7个部分，所以，3条直线最多可以把平面分割成7个部分； 平面中画出第4条直线时，新增的一条直线与已知的3条直线最多有3个交点，这3个交点会把新增的这条直线分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1＋1＋2＋3＋4＝11个部分，所以，4条直线最多可以把平面分割成11个部分；…… 探究二，类比迁移：n个圆最多可以把平面分割成多少个部分？ 如图4，很明显，平面中画出1个圆时，会得到1＋1＝2个部分；所以，1个圆最多可以把平面分割成2个部分； 如图5，平面中画出第2个圆时，新增的一个圆与已知的1个圆最多有2个交点，这2个交点会把新增的这个圆分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1＋1＋2＝4个部分，所以，2个圆最多可以把平面分割成4个部分； 如图6，平面中画出第3个圆时，新增的一个圆与已知的2个圆最多有4个交点，这4个交点会把新增的这个圆分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1＋1＋2＋4＝8个部分，…… 平面中画出第4个圆时，新增的一个圆与已知的3个圆最多有6个交点，这6个交点会把新增的这个圆分成6部分，从而多出6个部分，即总共会得到1＋1＋2＋4＋6＝14个部分，…… (1)5条直线最多可以把平面分割成______个部分； (2)m条直线最多可以把平面分割成______个部分（用m的代数式表示）； (3)5个圆最多可以把平面分割成______个部分； (4)n个圆最多可以把平面分割成______个部分（用n的代数式表示）； (5)如果n个圆最多可以把平面分割成508个部分，求n的值（要求写出解答过程）； (6)5条直线和1个圆最多可以把平面分割成______个部分； (7)m条直线和n个圆最多可以把平面分割成______个部分（用m、n的代数式表示）． 5．现有长度相同的小木棒 n 根，若按如图 1 摆放，正好摆成 a 个小正方形，若按如图 2 摆 摆放， 则可以摆成 b 个小正六边形还剩下 2 根．若 按如图 3 摆放，则可以摆成 c 个小正八边形还剩下 4 根． (1)分别用含 a ，b，c 的代数式表示 n； (2)当 b=41 时，求 a，c 的值． (3)试求n 的最小值． 6．下列图形是按照一定的规律摆成的，用两种不同的方法计算图形中“·”的个数可以得到对应的等式. 直接相加法           ________ ________ （1）请根据图形与对应等式的关系填空； （2）根据（1）中结论，计算第n个图形中“。”的个数，用含有n的代数式填空：________________. 压轴题型五 根据式子的值求代数式压轴题 1．当时，多项式.那么当时，它的值是（   ） A． B． C． D． 2．一个四位数（其中，，，，且均为整数），若，且为整数，则称为“型数”．例如：，因为，则为“型数”；，因为，则为“型数”．若四位数是“型数”，是“型数”，将的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数，也是“型数”，则满足条件的最小四位数的值为 ． 3．如图，数轴上点分别表示数，其中，． (1)当时，线段的中点表示的数是_______； (2)若数轴上另有一点表示数3． ①若点在线段上，且，求式子的值； ②点为线段上一动点，点为线段上一动点，当时，线段的最大长度为5，求的值． 4．整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）如果，求的值； （2）当时，代数式的值为，当时，求代数式的值；（用含的代数式表示） 【拓展应用】 （3）周末爸爸妈妈带着小明和妹妹在小区的休闲区运动．爸爸和小明在休闲区的环形跑道上跑步，两人相距20米，同时反向运动，小明的速度是，爸爸的速度是，经过两人第一次相遇．妈妈带着妹妹做追逐游戏，妹妹在妈妈前面，两人同时同向起跑，妹妹的速度是，妈妈的速度也是，经过，妈妈追上妹妹． ①休闲区的环形跑道周长是_____________m；（用含的代数式表示） ②起跑时，妹妹站在妈妈前面_____________m；（用含的代数式表示） ③若休闲区的环形跑道周长是，起跑时妹妹站在妈妈前面，综合上述信息求代数式的值． 5．我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数m、n、p，总满足，则称这个数列为理想数列． (1)若数列2，，a，，b，…，是理想数列，则　　，　　； (2)若数列x，，4，…，是理想数列，求代数式的值． (3)若数列…，m，n，p，q…，是理想数列，且，求代数式的值． 6．数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题： （1）若，则 ； （2）已知，，求代数式的值； （3）当，时，代数式的值为8，则当，时，求代数式的值． 压轴题型六 程序流程图与代数式压轴题 1．按如图所示的程序计算，若最后输出的结果为，则开始输入的是正数的不同值最多有（    ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，这是一种数值转换机的运算程序，若第一次输入的数为7，则第2018次输出的数是 ，若第一次输入的数为，使第2次输出的数也是，则 ． 3．如图，是一个“因变量随着自变量变化而变化”的示意图，下面表格中，是通过运算得到的几组与的对应值．根据图表信息解答下列问题： 输入 … 0 2 … 输出 … 2 18 … (1)直接写出： ， ， ； (2)当输入的值为时，求输出的值； (3)当输出的值为12时，求输入的值． 4．我们在学习《3.3代数式的值（2）》时，介绍了“计算框图”，其实计算框图中有很多的规范要求：“输入输出框”用“”表示（表示输入、输出操作）；“处理框”用“”表示（表示数据处理和运算）；“判断框”用“”表示（根据条件决定执行两条路径中的某一条） (1)【观察与思考】在图①中写出操作过程． (2)【类比与归纳】 ①如图②，如果输入的值为1，那么输出的结果为______． ②根据图③所示的计算程序，若输出的值，则输入的值______． (3)【生活与应用】 为加强居民节水意识，无锡市政府决定对居民用水实行“阶梯价”，见价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出15吨的部分 2元/吨 超15吨不超25吨的部分 3元/吨 超出25吨的部分 6元/吨 注：水费按月结算 问题①：小明家9月用水量为29吨，请问小明家9月份应交水费多少元？ 问题②：若该居民1月用水量不超过25吨，请你设计“计算框图”，使得输入数据为用水量，输出数为水费． 5．在学习《整式》这一章时，我们见识了程序框图：用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）． 图1               图2                    图3                  图4 (1)①如图1，当输入数时，输出数________； ②如图2，第一个带？号的运算框内，应填________；第二个带？号运算框内，应填________； (2)①如图3，当输入数时，输出数________； ②如图4，当输出的值，则输入的值________； (3)为鼓励节约用水，决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过15吨时（含15吨），以2元/吨的价格收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分以3元/吨的价格收费.请设计出一个“程序框图”，使得输入数为用水量，输出数为水费． 6．有四种运算程序如下图所示，按要求完成下列题： （1）如图1，当输入数x=－2时，输出数y=_______ ； （2）如图2，第一个带？号的运算框内，应填_______ ；第二个带？号运算框内，应填_______ ； （3）如图3，当输入数x=1时，输出数y= _______； （4）如图4，当输出的值y=26，则输入的值x=_______ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$