专题2.6 基本不等式的15个经典题型-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第一册）

专题2.6 基本不等式的15个经典题型 【基础知识】 1 【考点1：公式法】 2 【考点2：配凑常数和配凑系数法】 3 【考点3：分离常数构造“对构型”】 4 【考点4：“1”的代换】 5 【考点5：“有和有积”型】 5 【考点6：单分母构造型】 6 【考点7：双分母构造型】 6 【考点8：分离常数再构造型】 7 【考点9：因式分解型】 8 【考点10：反解代入型】 8 【考点11：同除消去型】 8 【考点12：代换构造型】 9 【考点13：换元法】 9 【考点14：三元型】 10 【考点15：裂项型】 10 【基础知识】 1．基本不等式：≤； (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. (3)基本不等式的变形： ①a＋b≥2，常用于求和的最小值； ②ab≤，常用于求积的最大值； 2．常用不等式： (1)重要不等式：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)； (2)重要不等式链：≥ ≥≥； 3.已知x>0，y>0，则 (1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)． (2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)． 注意：使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 4基本不等式求最值常用方法： (1) “1”字代换法； (2) 配凑法：即配凑积或和为定值的形式； (3)解不等式法； 5.使用基本不等式求最值， “一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 6对勾型 ，； 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如， 7对勾添加常数型 对于形如，则把cx+d转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化； 8.“1”的代换 利用常数代换法，多称之为“1”的代换； 9.几个重要不等式 （1）_（）； （2） （）； （3）2（）； （4）_或（）； （5） 【考点1：公式法】 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 1．（24-25高一上·全国·课后作业）设且，则的最大值是（    ） A．400 B．100 C．40 D．20 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二上·山西·开学考试）已知长为､宽为的矩形的面积为，则该矩形周长的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 4．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）已知正实数a，b满足，则的最大值为 ． 5．（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）某种汽车，购车费用是12万元，每年使用的保险费、汽油费约为0.88万元，年维修费用第一年是0.24万元，以后每年递增0.24万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？（提示：年平均费用=） 6．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知实数、满足：. (1)求和的最大值； (2)求的最小值和最大值. 【考点2：配凑常数和配凑系数法】 1.“对勾”型凑配分母的倍数型。 2.给和求积和给积求和最值型，要注意字母对应系数是否需要凑配，凑配原则是均值定值时字母的系数。 1．（24-25高三上·北京·开学考试）已知，则的最小值为 ，此时等于 . 2．（24-25高一上·广西·开学考试）已知，且，则的最小值是 . 3．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）已知，则的最小值为 ． 4．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．16 D． 5．（24-25高二上·云南昆明·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【考点3：分离常数构造“对构型”】 对勾型： ， 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如. 1．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，则的最小值为 ，此时 . 2．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）求的最小值． 4．（24-25高一·上海·课堂例题）已知a为正数，比较的值与4的大小. 5．（24-25高一上·江苏·开学考试）（1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值； （3）若，且，求的最小值. 【考点4：“1”的代换】 主要是利用.利用常数代换法。多称之为“1”的代换 （1） 条件和结论有“分子分母”特征； （2） 可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件 1．（24-25高一上·广西·开学考试）已知，且，则的最小值是 . 2．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）已知，则的最小值为 ． 3．（24-25高三上·福建龙岩·开学考试）已知，且，，则的最小值是 ． 4．（河北省保定市2024-2025学年高一上学期期末调研考试数学试题）已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 5．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 6．（2024·江苏宿迁·一模）若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 【考点5：“有和有积”型】 （1）有和有积无常数 形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解 （2）有和有积有常数 形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下： . 1．（24-25高一下·陕西西安·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为 . 2．（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 . 3．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（  ） A． B．或 C． D．或 4．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（多选）（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知正数x，y满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（24-25高二上·安徽·开学考试）已知正数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值 【考点6：单分母构造型】 形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b）=t+m，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 1．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知、，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 2．（24-25高二上·河南鹤壁·阶段练习）已知，，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（23-24高二下·重庆·期末）已知均为实数且，则的最小值为 . 4．（24-25高一下·云南曲靖·阶段练习）已知，且，则的最小值为 ． 5．（2024高三·全国·专题练习）当时，的最小值为10，则 . 【考点7：双分母构造型】 形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 1．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）已知，则的最小值为 ． 2．（23-24高一上·天津·期末）若实数，，且满足，则的最小值为 . 3．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知，且，则的最小值为 . 4．（2024·河南信阳·模拟预测），则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 5．（多选）（2024·湖南邵阳·三模）若正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【考点8：分离常数再构造型】 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的最小值为 ． 2．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）若，，且，则的最小值为 . 3．（23-24高二下·天津·期末）设为正数，且，则的最小值为 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值． 5．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知实数，，求的最大值. 【考点9：因式分解型】 （1）特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理； （2）最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）。 1．（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 . 2．（2023·全国·高三专题练习）设，为正实数，若，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2023·河南·高三校联考）已知，，，，则的最小值为 A．8 B．10 C． D． 4．（2023·安徽马鞍山·统考二模）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 【考点10：反解代入型】 条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。 1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 2．（多选）（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）已知，，，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最小值是8 C．的最小值是 D．的最小值是 3．（多选）（2023秋·安徽合肥·高一合肥一中校考期中）若，，，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是8 C．的最小值为 D．的最小值是4 【考点11：同除消去型】 一般是齐次型分式，可以考虑同除，构造单变量型，或者构造对勾型。 1.（2022·四川·成都外国语学校高三阶段练习（文））设，，且，则的最大值为（       ）． A． B． C． D． 【考点12：代换构造型】 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，且，则的最小值为 ． 2．（23-24高二下·天津河东·期末）已知正数x，实数y满足，则的最小值为 . 3．（24-25高一上·全国·课后作业）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2024高二下·安徽·学业考试）已知，且，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 5．（多选）（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若a， b均为正数，且满足，则（    ） A．ab的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值是4 D．的最小值为 【考点13：换元法】 换元型： （1）二次配方型，可以三角换元（学完三角函数才能使用）； （2）和前边分母构造换元型一样，可以代数换元； （3）齐次分式同除型，可以代数换元。 1．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．（多选）（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知为正实数，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值 C．的最小值为 D．的最小值为 4．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知为正实数，则的最小值为 . 5．（24-25高一上·全国·课后作业）设，求的最大值． 【考点14：三元型】 1．（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）若均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·安徽马鞍山·统考二模）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 3．（2022春·安徽六安·高一安徽省舒城中学校考阶段练习）已知且，则的最小值为 ． 4．（2023秋·安徽安庆·高一统考期末）已知a，b，c均为正实数，且，则的最小值为 ． 【考点15：裂项型】 1.（2023·安徽蚌埠·高三统考）若均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 基本不等式的15个经典题型 【基础知识】 1 【考点1：公式法】 2 【考点2：配凑常数和配凑系数法】 5 【考点3：分离常数构造“对构型”】 7 【考点4：“1”的代换】 9 【考点5：“有和有积”型】 11 【考点6：单分母构造型】 15 【考点7：双分母构造型】 17 【考点8：分离常数再构造型】 19 【考点9：因式分解型】 22 【考点10：反解代入型】 23 【考点11：同除消去型】 25 【考点12：代换构造型】 25 【考点13：换元法】 27 【考点14：三元型】 30 【考点15：裂项型】 32 【基础知识】 1．基本不等式：≤； (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. (3)基本不等式的变形： ①a＋b≥2，常用于求和的最小值； ②ab≤，常用于求积的最大值； 2．常用不等式： (1)重要不等式：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)； (2)重要不等式链：≥ ≥≥； 3.已知x>0，y>0，则 (1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)． (2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)． 注意：使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 4基本不等式求最值常用方法： (1) “1”字代换法； (2) 配凑法：即配凑积或和为定值的形式； (3)解不等式法； 5.使用基本不等式求最值， “一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 6对勾型 ，； 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如， 7对勾添加常数型 对于形如，则把cx+d转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化； 8.“1”的代换 利用常数代换法，多称之为“1”的代换； 9.几个重要不等式 （1）_（）； （2） （）； （3）2（）； （4）_或（）； （5） 【考点1：公式法】 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 1．（24-25高一上·全国·课后作业）设且，则的最大值是（    ） A．400 B．100 C．40 D．20 【答案】A 【分析】直接用基本不等式求解即可. 【详解】因为 所以 即 所以 当且仅当且，即时等号成立. 故选：A 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由得，进而根据充分不必要条件求解即可. 【详解】若则， 若，只有当时才可推出，则， 故是的充要条件. 故选：C. 3．（24-25高二上·山西·开学考试）已知长为､宽为的矩形的面积为，则该矩形周长的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】根据题意可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可知：， 又因为，即， 可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以该矩形周长的最小值为16. 故选：D. 4．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）已知正实数a，b满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据已知结合应用基本不等式得出乘积的最大值. 【详解】因为正实数a，b满足，则， 当且仅当时，即时，等号成立，故ab的最大值为． 故答案为：． 5．（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）某种汽车，购车费用是12万元，每年使用的保险费、汽油费约为0.88万元，年维修费用第一年是0.24万元，以后每年递增0.24万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？（提示：年平均费用=） 【答案】10年 【分析】设出未知数，得到关系式，利用基本不等式进行求解. 【详解】设使用年时，汽车的年平均费用（万元）最少，依题意有： ， 当且仅当，即时取得最少值3.4， 故汽车使用10年时平均费用最省. 6．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知实数、满足：. (1)求和的最大值； (2)求的最小值和最大值. 【答案】(1)； (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）使用基本不等式根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解； （2）使用基本不等式，注意根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解. 【详解】（1）∵，∴， ∵，∴，∴， 当且仅当、或、时等号成立，∴的最大值为， ∵，∴， ∵， ∴，∴， ∴，当且仅当、时等号成立，∴的最大值为； （2）∵，∴， ∵，∴，即， 当且仅当、或、时等号成立，∴的最小值为， 又，∴，即， 当且仅当、或、时等号成立， ∴的最大值为. 【考点2：配凑常数和配凑系数法】 1.“对勾”型凑配分母的倍数型。 2.给和求积和给积求和最值型，要注意字母对应系数是否需要凑配，凑配原则是均值定值时字母的系数。 1．（24-25高三上·北京·开学考试）已知，则的最小值为 ，此时等于 . 【答案】 21 11 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】由于，所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 故答案为：； 2．（24-25高一上·广西·开学考试）已知，且，则的最小值是 . 【答案】9 【分析】利用不等式乘“1”法即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故所求最小值为9， 故答案为：9 3．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据用1的活用，结合常值代换应用基本不等式计算即可. 【详解】， 当且仅当，即， 即当时等号成立. 故答案为： 4．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．16 D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，根据乘1法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，则，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 5．（24-25高二上·云南昆明·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】将原式变形为，结合不等式的加法性质利用基本不等式即可求得最值. 【详解】由得，， 则， 因为，当且仅当即时取等号. 因为，当且仅当即时取等号. 当且仅当即时取等号. 所以的最小值为. 故选：D 【考点3：分离常数构造“对构型”】 对勾型： ， 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如. 1．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，则的最小值为 ，此时 . 【答案】 3 2 【分析】将式子拆开后用基本不等式即可求解最小值及取得最小值时自变量的值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当即时取等号. 所以函数的最小值为3，当且仅当时取等号， 故答案为：3；2 2．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，换元令，．则原问题转化为任意，恒成立.变形，结合基本不等式求最值可解. 【详解】由于，则令，． 则原问题转化为任意，恒成立，即恒成立， 即恒成立. 由于，当且仅当，即取最值. 故，. 由于恒成立，，故a的最小值为. 故选：C. 3．（2024高三·全国·专题练习）求的最小值． 【答案】4 【分析】利用基本不等式计算即可. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值是4． 4．（24-25高一·上海·课堂例题）已知a为正数，比较的值与4的大小. 【答案】 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当时，等号成立. 故. 5．（24-25高一上·江苏·开学考试）（1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值； （3）若，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）9；（3）9 【分析】（1）对函数解析式变形，利用基本不等式求解最值； （2）对函数解析式变形，利用基本不等式求解最值； （3）先常数代换变形，再利用基本不等式求解最值； 【详解】（1）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以原函数的最大值为. （2）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以原函数的最小值为9. （3）因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，，所以的最小值为. 【考点4：“1”的代换】 主要是利用.利用常数代换法。多称之为“1”的代换 （1） 条件和结论有“分子分母”特征； （2） 可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件 1．（24-25高一上·广西·开学考试）已知，且，则的最小值是 . 【答案】9 【分析】利用不等式乘“1”法即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故所求最小值为9， 故答案为：9 2．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据用1的活用，结合常值代换应用基本不等式计算即可. 【详解】， 当且仅当，即， 即当时等号成立. 故答案为： 3．（24-25高三上·福建龙岩·开学考试）已知，且，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由基本不等式“1”的妙用求解即可． 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：． 4．（河北省保定市2024-2025学年高一上学期期末调研考试数学试题）已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据条件对变形，利用均值不等式求解即得. 【详解】因为为正实数且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 5．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，为正实数，且，所以, 当且仅当时取等号. 故选：C 6．（2024·江苏宿迁·一模）若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 【答案】A 【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值. 【详解】根据题意可得； 当且仅当，即时，等号成立； 此时的最小值为9. 故选：A. 【考点5：“有和有积”型】 （1）有和有积无常数 形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解 （2）有和有积有常数 形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下： . 1．（24-25高一下·陕西西安·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由题设条件得，，利用基本不等式求出最值． 【详解】由已知，所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 又，所以时取最小值． 故答案为： 2．（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 . 【答案】 【分析】由已知得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】正实数且得， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 故答案为： 3．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据题意，利用基本不等式求得的最小值，把不等式有解，转化为不等式，即可求解. 【详解】由两个正实数满足，得， 则， 当且仅当，即时取等号， 又由不等式有解，可得，解得或， 所以实数的取值范围为或. 故选：B. 4．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】变形给定的等式，再利用基本不等式求解即得. 【详解】由，得，由，得， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为3. 故选：A 5．（多选）（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知正数x，y满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式逐项判断即可． 【详解】由，得， 对于A，，当且仅当时取等号，解得，A错误； 对于B，， 当且仅当，即，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，由选项A知，，， 当且仅当，即时取等号，D正确． 故选：CD 6．（多选）（24-25高二上·安徽·开学考试）已知正数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式判断A、B；依题意可得，再由基本不等式判断C、D. 【详解】因为正数，满足， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 解得，所以，故的最大值为，故A正确； ， 即，又，所以， 所以的最小值为，当且仅当，即，时等号成立，故B正确； 由可得， 所以， 当且仅当时等号成立，此时，，又为正数，矛盾，故C错误； ，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 【考点6：单分母构造型】 形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b）=t+m，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 1．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知、，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由得，再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为、，，所以， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 2．（24-25高二上·河南鹤壁·阶段练习）已知，，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由，，，所以，结合“1”的代换，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，，，所以， 则， 当且仅当且，即时取等号， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答合理构造基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，结合“1”的代换技巧是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 3．（23-24高二下·重庆·期末）已知均为实数且，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】利用基本不等式凑“一”法求解二元变量最值问题. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即等号成立， 所以的最小值为1. 故答案为：1. 4．（24-25高一下·云南曲靖·阶段练习）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据分母特点，将化为，将化为.然后用基本不等式即可. 【详解】由于，因此， 则， 当且仅当时取等号． 故答案为：. 5．（2024高三·全国·专题练习）当时，的最小值为10，则 . 【答案】1 【分析】化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果. 【详解】当时，， 当时 “等号”成立，即，可得. 故答案为：1 【考点7：双分母构造型】 形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 1．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据用1的活用，结合常值代换应用基本不等式计算即可. 【详解】， 当且仅当，即， 即当时等号成立. 故答案为： 2．（23-24高一上·天津·期末）若实数，，且满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】将式子变形，利用常数代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】因为，所以， 又实数，，所以 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：. 3．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用，结合基本不等式可求其最小值. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 4．（2024·河南信阳·模拟预测），则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】由已知可得，利用基本不等式求的最小值. 【详解】，则，且, 整理得到， 所以，当且仅当，即时取等号. 即的最小值为. 故选：C. 5．（多选）（2024·湖南邵阳·三模）若正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式、基本不等式“1”的妙用逐项判断即可. 【详解】对于A，正数，则，当且仅当时取等号，因此，A错误； 对于B，由，得，则 ，当且仅当，即时取等号，B正确； 对于C，由，得，即，而， 因此，C正确； 对于D，由，得，即， 由，得，因此， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 【考点8：分离常数再构造型】 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的最小值为 ． 【答案】2 【分析】根据条件，得到，再利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为， 当且仅且，即时，取等号， 故答案为：. 2．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）若，，且，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】通分后利用已知化简，然后再变形为，利用常数代换，结合基本不等式可得. 【详解】因为， 所以 ， 由于，所以，且， 所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2 3．（23-24高二下·天津·期末）设为正数，且，则的最小值为 【答案】/5.8 【分析】由题意，原式可化简为：，由，得，即，再利用基本不等式“1”的代换即可求解. 【详解】由题意，， 因为， 所以， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 所以， 即的最小值为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值． 【答案】（1）；（2）最小值为9． 【分析】（1）（2）根据给定条件，配凑并利用基本不等式求出最值即得. 【详解】（1）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以原函数的最大值为. （2）由，得， 因此 ， 当且仅当，即时取等号， 所以原函数的最小值为9. 5．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知实数，，求的最大值. 【答案】2 【分析】利用分离常数法，把分子降为一次式，再可以利用基本不等式结合条件即得. 【详解】因为， 又因为，，所以可由平方均值不等式得：， 取等号条件是，即， 所以上式可变为：， 取等号条件是：，即，结合， 可得取到最大值的条件是：. 故答案为：2 【考点9：因式分解型】 （1）特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理； （2）最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）。 1．（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 . 【答案】 【分析】由已知得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】正实数且得， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 故答案为： 2．（2023·全国·高三专题练习）设，为正实数，若，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由，令，，即可得到， 则，利用基本不等式计算可得. 【详解】解：因为，为正实数，且， 令，，则，则， 当且仅当，即，时取等号.故选：D． 3．（2023·河南·高三校联考）已知，，，，则的最小值为 A．8 B．10 C． D． 【答案】C 【分析】利用结合均值不等式求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为，故选：C. 4．（2023·安徽马鞍山·统考二模）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】， 因为a，b，c均为正数， 所以有， 当且仅当时取等号，即时取等号，故选：C 【考点10：反解代入型】 条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。 1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解. 【详解】解：已知，且xy+2x+y=6，y= 2x+y=2x+=2(x+1)，当且仅当时取等号， 故2x+y的最小值为4. 故选:A 2．（多选）（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）已知，，，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最小值是8 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】ACD 【分析】用均值不等式判断选项A、C、，对选项B进行“1的代换”，利用二次函数的性质判断选项D. 【详解】A：由，得， 所以(当且仅当时取等号)，故A正确； B：， 当且仅当时取等号，故B错误； C：，即 当且仅当时取等号，故C正确； D：由，则 当时取得最小值，最小值为，故D正确. 故选：ACD. 3．（多选）（2023秋·安徽合肥·高一合肥一中校考期中）若，，，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是8 C．的最小值为 D．的最小值是4 【答案】AB 【分析】利用基本不等式求出的最大值可判断A正确；利用“1”的代换可判断B错误； 由消元法以及一元二次函数的性质可判断C错误；根据基本不等式可判断D错误． 【详解】对于A， ，，当且仅当即，时等号成立，故A正确； 对于B，，当且仅当即时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，而，所以等号不成立，故D错误； 故选：AB . 【考点11：同除消去型】 一般是齐次型分式，可以考虑同除，构造单变量型，或者构造对勾型。 1.（2022·四川·成都外国语学校高三阶段练习（文））设，，且，则的最大值为（       ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简，由，结合基本不等式，求得，进而求得的最大值. 【详解】∵，，， 当且仅当，时取等号，∴．故选：B． 【考点12：代换构造型】 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知可得，代入变形可得，又,利用基本不等式，即可得到的最小值. 【详解】因为，且，所以， 所以 ， 因为，所以, 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 2．（23-24高二下·天津河东·期末）已知正数x，实数y满足，则的最小值为 . 【答案】/0.75 【分析】由已知条件可得，代入并利用基本不等式求解即得. 【详解】由正数x，实数y满足，得， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 3．（24-25高一上·全国·课后作业）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用消元法，消去，再利用基本不等式进行求解即可. 【详解】由为正实数，且，得， 则， 当且仅当，即时，取最小值9. 故选：C. 4．（2024高二下·安徽·学业考试）已知，且，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】A 【分析】由基本不等式求解即可． 【详解】因为，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为1， 而，且，故无最小值. 故选：A 5．（多选）（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若a， b均为正数，且满足，则（    ） A．ab的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值是4 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式对A，B，C选项分析判断，利用二次函数的性质对D选项分析判断即可得答案． 【详解】对于 A：，b均为正数，且满足， ，解得，当且仅当时取等号， 所以ab的最大值为2，故A正确； 对于B，，，则，当且仅当时取等号， ，当时等式不成立，则等号取不到， 则的最小值不是4，故B不正确； 对于C：，b均为正数，且满足， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4，故C正确； 对于D：，b均为正数，且满足，则， 又，解得， 则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确． 故选：ACD. 【考点13：换元法】 换元型： （1）二次配方型，可以三角换元（学完三角函数才能使用）； （2）和前边分母构造换元型一样，可以代数换元； （3）齐次分式同除型，可以代数换元。 1．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，利用换元法可将原式变形再利用基本不等式即可求得结果. 【详解】由可得，且 因此， 令，则； 又； 当且仅当时，即时，等号成立； 此时的最小值为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将未知数个数减少，并合理变形利用基本不等式求解. 2．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由已知结合基本不等式可得，令，则转化为，求出的范围可得答案. 【详解】因为，，且， 所以， 即，当且仅当时取等号， 令，则， 所以，得， 所以，得， 即，所以的最小值为4. 故选：C 3．（多选）（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知为正实数，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】运用可判断A项；由结合基本不等式可判断B项；令，代入原式，结合“1”的代换及基本不等式可判断C项；由，结合二次函数在区间上的最小值可判断D. 【详解】对选项A，，当且仅当时取“=”，故A正确； 对选项B， ，当且仅当时取“=”，故B正确； 对选项C，， 令，则， 所以， 当且仅当，即，时取“=”， 所以的最小值为，故选项C错误. 对选项D，， 当且仅当时取“=”，故D错误； 故选：AB. 4．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知为正实数，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】将原式变形为，结合基本不等式即可求得最值. 【详解】由题得， 设，则. 当且仅当时取等. 所以的最小值为4. 故答案为：4 5．（24-25高一上·全国·课后作业）设，求的最大值． 【答案】 【分析】利用换元法得，即可由不等式求解. 【详解】设，，且， 所以． 由，得， ∴，当且仅当时，等号成立， 即的最大值为． 【考点14：三元型】 1．（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）若均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将变形为 ，结合可求得答案. 【详解】因为均为正数，所以， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C 2．（2023·安徽马鞍山·统考二模）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】， 因为a，b，c均为正数， 所以有， 当且仅当时取等号，即时取等号， 故选：C 3．（2022春·安徽六安·高一安徽省舒城中学校考阶段练习）已知且，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】由已知及基本不等式可得，则目标式有，利用基本不等式求其最小值，注意等号成立条件. 【详解】由题意得：，于是，当且仅当时，的最小值为2． 故答案为：2. 4．（2023秋·安徽安庆·高一统考期末）已知a，b，c均为正实数，且，则的最小值为 ． 【答案】18 【分析】先化简提公因式再应用，a，b应用基本不等式，再应用基本不等式，确定取等条件成立取得最小值即可. 【详解】由条件知 ，当且仅当，，又因为，即，，时，的最小值为18． 故答案为：18. 【考点15：裂项型】 1.（2023·安徽蚌埠·高三统考）若均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将变形为 ，结合可求得答案. 【详解】因为均为正数，所以， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C 【课时达标检测】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$