第03讲 空间向量的应用（秋季讲义）-2024-2025学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一、二册）

第03讲 空间向量的应用 【人教A版2019】 模块一 用空间向量研究直线、平面的位置关系 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. (2)线面平行的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. (3)面面平行的向量表示：设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 5．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. (2)线面垂直的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. (3)面面垂直的向量表示：设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 6．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 7．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 8．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【题型1 求平面的法向量】 【例1.1】（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高二上·广东茂名·期中）已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，以A为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）.则平面ABE的一个法向量为（     ）    A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高二下·福建龙岩·期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（    ）    A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高二上·海南海口·阶段练习）如图所示，正三棱柱，各条棱长均为2，点，分别是棱，的中点，是的中点.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则以下不是平面法向量的有（    ）    ①② ③④ A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【题型2 空间线、面平行关系的判定及应用】 【例2.1】（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，棱长为a，M，N分别为和AC上的点，，则MN与平面的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．MN在平面内 【例2.2】（23-24高二上·四川遂宁·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，E，F分别为，的中点，，，若平面，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2.1】（23-24高二·全国·课后作业）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【变式2.2】（23-24高二上·天津蓟州·阶段练习）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【题型3 空间线、面垂直关系的判定及应用】 【例3.1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图1，在高为6的等腰梯形中，，且，将它沿对称轴折起，使平面平面，如图2，点为的中点，点在线段上（不同于两点），连接并延长至点，使.    (1)证明：平面； (2)若，求三棱锥 的体积． 【例3.2】（23-24高二上·山西大同·期中）如图，在直三棱柱中，，垂足为，为线段上的一点. (1)若为线段的中点，证明： 平面； (2)若平面平面，求的值. 【变式3.1】（2024·重庆·模拟预测）已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点．    (1)当为中点时，证明：平面； (2)若平面，求的最大值及此时的长． 【变式3.2】（23-24高二下·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 模块二 用空间向量研究空间角 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【题型4 求异面直线所成的角】 【例4.1】（23-24高一下·浙江温州·期中）在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高二下·陕西榆林·开学考试）如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱柱中，侧棱平面，，，，，E为棱的中点，M为棱的中点． (1)证明：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【变式4.2】（23-24高二上·江西景德镇·期末）在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，点在上，且．    (1)求异面直线与夹角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 【题型5 求线面角】 【例5.1】（24-25高二上·河南焦作·开学考试）在棱长为2的正方体中，E，F分别是和的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（23-24高二下·陕西西安·期末）在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）如图，已知多面体，，，均垂直于平面ABC，，，，． (1)证明：； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 【变式5.2】（24-25高二上·山东东营·开学考试）如图，六面体中，面且面 ，. (1)求证：平面； (2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的余弦. 【题型6 求平面与平面所成角】 【例6.1】（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值． 【例6.2】（2025·安徽·一模）如图，在四棱锥中，，，平面平面为中点．    (1)求证：平面； (2)点在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【变式6.1】（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中点，为线段上的动点，． (1)证明：； (2)求实数的值，使得平面与平面所成角的余弦值最大． 【变式6.2】（24-25高三上·四川成都·开学考试）如图，在四棱锥中，底面. (1)若，证明：平面； (2)若，且，线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为？若存在，求出点在线段上的位置；若不存在，请说明理由. 模块三 用空间向量研究距离问题 1．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离. ②转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求. ③等体积法. ④向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为. 【题型7 点到直线距离、异面直线距离的向量求法】 【例7.1】（23-24高二下·江西·阶段练习）已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例7.2】（23-24高二下·江苏泰州·期中）在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（23-24高二上·江苏·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，且点E，F分别为AB和PD中点. (1)求异面直线AF与EC所成角的余弦值； (2)求点F到直线EC的距离. 【变式7.2】（2024·山西吕梁·一模）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，．    (1)线段上是否存在一点使得，若存在，求出的长，若不存在，说明理由； (2)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，求异面直线与之间的距离． 【题型8 求点面距、线面距、面面距】 【例8.1】（23-24高二下·福建厦门·期末）在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【例8.2】（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（2024高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【变式8.2】（2024·海南·模拟预测）如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，. (1)证明： ; (2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，点 为线段 上一点，求点到平面 的距离. 【题型9 立体几何中的探索性问题】 【例9.1】（23-24高二下·浙江宁波·期中）如图，多面体中，直角梯形所在平面与正三角形所在平面垂直，，． (1)求该多面体的体积V； (2)在棱上是否存在点P，使得直线和平面所成的角大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【例9.2】（2024高三·全国·专题练习）已知正四棱台的体积为，其中.    (1)求侧棱与底面所成的角； (2)在线段上是否存在一点P，使得？若存在请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【变式9.1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知平面，，是等腰直角三角形，其中，且． (1)设线段中点为，证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离等于，如果存在，求的长． 【变式9.2】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知平行四边形如图甲，，，沿将折起，使点到达点位置，且，连接得三棱锥，如图乙. (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 一、单选题 1．（23-24高二·全国·课后作业）如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（    ）． A．（1，，4） B．（，1，） C．（2，，1） D．（1，2，） 2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知，，则点B到直线AC的距离为（    ） A． B． C．2 D．3 3．（23-24高二上·广东·阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（    ） A． B． C． D．1 4．（24-25高二上·河北张家口·开学考试）如图，在正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·福建泉州·期末）如图，在正四棱柱中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，则下列说法错误的是（    ）    A．当时，存在，使得平面 B．存在，使得平面 C．存在，使得平面平面 D．存在，使得平面平面 7．（2024·山东临沂·二模）已知正方体中，M，N分别为，的中点，则（    ） A．直线MN与所成角的余弦值为 B．平面与平面夹角的余弦值为 C．在上存在点Q，使得 D．在上存在点P，使得平面 8．（24-25高二上·湖南株洲·开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是（    ）    A．直线与所成的角不可能是 B．若，则二面角的平面角的正弦值为 C．当时， D．当时，点到平面的距离为 二、多选题 9．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点Q为的中点，点P是棱上一动点（与C，不重合），过点P作，点E为垂足，再过点E作，点为垂足．则（   ）    A．平面 B．三棱锥体积的最大值为 C．存在点P使得平面 D．存在点P使得 10．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知正方体中，分别为的中点，则（    ） A．直线与所成角的余弦值为 B．平面与平面夹角的余弦值为 C．在上存在点，使得 D．在上存在点，使得平面 11．（23-24高一下·河南周口·期末）在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点满足，下列结论正确的是（    ） A．若，则平面 B．若，则过点的截面面积是 C．若，则点到平面的距离是 D．若，则与平面所成角的正切值为 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·课堂例题）在空间直角坐标系内，平面经过三点、、，向量是平面的一个法向量，则 ． 13．（23-24高二下·全国·随堂练习）正四棱柱中，，与平面所成角的正弦值为，则 ． 14．（24-25高二下·全国·单元测试）如图，在长方体中，，以D为原点， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，若为线段的中点，则点到平面的距离为 ．    四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，四边形为矩形，平面，，，，分别是，，的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 16．（24-25高二上·河北保定·开学考试）如图，在四棱锥中，已知底面是边长为的菱形，，且平面，垂足为. (1)证明：平面. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 17．（23-24高二下·甘肃白银·期中）在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱的中点，直线与平面交于点． (1)求； (2)求； (3)若点在棱BC上，且平面，求的长． 18．（24-25高二·上海·随堂练习）如图1，在等腰直角三角形ABC中，，,分别是上的点，，为中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中．    (1)求证：⊥平面； (2)求点到平面的距离． 19．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 空间向量的应用 【人教A版2019】 模块一 用空间向量研究直线、平面的位置关系 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. (2)线面平行的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. (3)面面平行的向量表示：设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 5．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. (2)线面垂直的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. (3)面面垂直的向量表示：设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 6．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 7．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 8．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【题型1 求平面的法向量】 【例1.1】（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设平面的一个法向量为，利用列方程求解即可. 【解答过程】由已知， 设平面的一个法向量为， 取，解得， 选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线. 故选：A. 【例1.2】（23-24高二上·广东茂名·期中）已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，以A为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）.则平面ABE的一个法向量为（     ）    A． B． C． D． 【解题思路】设平面ABE的法向量为，然后由，可求出其法向量. 【解答过程】由题意可得，，， 所以， 设平面ABE的法向量为， 由，得到，取，则， 所以平面ABE的一个法向量为， 所以是平面ABE的法向量.    故选：C. 【变式1.1】（23-24高二下·福建龙岩·期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，设，可得、、的坐标，由此可得向量、的坐标，由此可得关于、、的方程组，利用特殊值求出、、的值，即可得答案． 【解答过程】根据题意，设，则，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则有，令，可得，则. 故选：B． 【变式1.2】（23-24高二上·海南海口·阶段练习）如图所示，正三棱柱，各条棱长均为2，点，分别是棱，的中点，是的中点.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则以下不是平面法向量的有（    ）    ①② ③④ A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【解题思路】利用平面向量的法向量的定义求解. 【解答过程】依题意，， 所以， 设平面的一个法向量为：， 则，即， 令，则，，所以， 令，则，，所以， 令，则，，所以， 令，则，，所以， 故选：B. 【题型2 空间线、面平行关系的判定及应用】 【例2.1】（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，棱长为a，M，N分别为和AC上的点，，则MN与平面的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．MN在平面内 【解题思路】以点为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的一个法向量，利用向量数量积的坐标运算可得线面平行． 【解答过程】以点为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则， 又因为平面，则为平面的一个法向量， 可得，可知， 且平面，所以MN与平面的位置关系是平行. 故选：B. 【例2.2】（23-24高二上·四川遂宁·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，E，F分别为，的中点，，，若平面，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得结果． 【解答过程】以为坐标原点，正方向为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则,0, ,0,,,,,, ， 所以，，，， 设平面的法向量， 则，令，得，，所以； 由可得是的中点，， 由可得， 所以， 因为平面，所以，解得． 故选：C. 【变式2.1】（23-24高二·全国·课后作业）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； （2）证明也是平面MNP的一个法向量即可. 【解答过程】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，，，，．    由正方体的性质，知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于， 则， 所以． 又平面， 所以平面． （2）证明：因为为平面的一个法向量， 由于，， 则， 即也是平面MNP的一个法向量， 所以平面平面． 【变式2.2】（23-24高二上·天津蓟州·阶段练习）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； （2）由空间向量的坐标运算，由与平面的法向量垂直，代入计算，即可求解. 【解答过程】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 【题型3 空间线、面垂直关系的判定及应用】 【例3.1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图1，在高为6的等腰梯形中，，且，将它沿对称轴折起，使平面平面，如图2，点为的中点，点在线段上（不同于两点），连接并延长至点，使.    (1)证明：平面； (2)若，求三棱锥 的体积． 【解题思路】（1）由两两垂直建立空间直角坐标系，由向量坐标运算得到，再根据线面垂直判定定理即可证明； （2）先计算，再计算三棱锥的高，然后根据棱锥体积计算即可. 【解答过程】（1）由题设知两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 则， 因为为中点，所以. 因为， 所以， 即， 又平面,， 所以平面. （2）因为 所以 因为,由题设知，所以， 所以 因为高为6的等腰梯形A中，， 所以三棱锥的高, 所以. 【例3.2】（23-24高二上·山西大同·期中）如图，在直三棱柱中，，垂足为，为线段上的一点. (1)若为线段的中点，证明： 平面； (2)若平面平面，求的值. 【解题思路】（1）利用棱长求出，进而得到D是中点，利用中位线证明，进而证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，根据面面垂直时两个面的法向量也互相垂直，列出方程进行求解即可. 【解答过程】（1）连接，在直三棱柱中，有， . 为中点， 又为中点， ， ， ， 又平面平面， 平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 设， 则， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量， 则，取，得， 平面平面， ，解得， 当平面平面时，. 【变式3.1】（2024·重庆·模拟预测）已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点．    (1)当为中点时，证明：平面； (2)若平面，求的最大值及此时的长． 【解题思路】（1）以为坐标原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量的坐标运算确定线线垂直，结合线面垂直判定定理证明即可； （2）由（1）坐标关系与线面垂直，设，可得，建立坐标等式关系，利用基本不等式求得最值即可. 【解答过程】（1）以为坐标原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，    则， 设， 当E，F为中点时，，有， 所以，，，有，， 所以，又平面， 所以平面． （2）由（1）可得，，， 若平面，则，，所以， 设，则， 由平面ACE，所以， 当时，，有，当时，等号成立， 所以，即， 综上，的最大值为，． 【变式3.2】（23-24高二下·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 【解题思路】（1）利用已知可得，结合面面垂直可得平面，可证结论. （2）以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，若，求得平面的一个法向量，可判断此情况不成立，若与不共线，设，连接，利用，可求得结论. 【解答过程】（1）在中，点D、E分别为边AC、AB的中点， 且. 又平面平面，平面平面 平面， 平面. 又平面. （2）由（1）知，. 以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. ， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 假设在平面内存在点，使得平面平面.连接. 若，则设.设平面的一个法向量为. 由，取，则. 平面的法向量.由知，此情况不成立. 若与不共线，设，连接.    设，则. 当，即时，. 又平面，即平面平面，也即平面平面. 所以在平面内存在点，当点在直线（点在直线上且）上时，平面平面. 模块二 用空间向量研究空间角 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【题型4 求异面直线所成的角】 【例4.1】（23-24高一下·浙江温州·期中）在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依据题目中的垂直关系，可建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，即可求得异面直线与所成角的余弦值． 【解答过程】由题意可知， 三线两两垂直，所以可建立空间直角坐标系，如图所示： 则，． ∴． ∴． 异面直线与所成角的余弦值为． 故选：C． 【例4.2】（23-24高二下·陕西榆林·开学考试）如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】取的中点，连接，，根据面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角的余弦值即可. 【解答过程】取的中点，连接，，因为，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面.又因为，所以，于是以为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，结合为等腰直角三角形， ，为等边三角形， 则，，，， 所以，， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 【变式4.1】（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱柱中，侧棱平面，，，，，E为棱的中点，M为棱的中点． (1)证明：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【解题思路】（1）建立适当的空间直角坐标系，只需证明即可； （2）求出异面直线与的方向向量，由向量的夹角公式即可得解. 【解答过程】（1）因为底面，平面， 所以， 而， 所以、、两两互相垂直， 不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如上图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、，， ，， 因为，所以，则； （2），， ， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 【变式4.2】（23-24高二上·江西景德镇·期末）在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，点在上，且．    (1)求异面直线与夹角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与夹角的余弦值. （2）利用向量法求得点到平面的距离． 【解答过程】（1）依题意可知两两相互垂直， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， ，， 即异面直线与夹角的余弦值为.    （2）设平面的一个法向量， ， 由，得，于是平面的一个法向量， 点到平面的距离． 【题型5 求线面角】 【例5.1】（24-25高二上·河南焦作·开学考试）在棱长为2的正方体中，E，F分别是和的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系，根据题意，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【解答过程】由空间直角坐标系中有棱长为2的正方体， 点分别是和的中点， 可得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B. 【例5.2】（23-24高二下·陕西西安·期末）在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系，运用向量的方法求解即可. 【解答过程】建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则， 所以 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A. 【变式5.1】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）如图，已知多面体，，，均垂直于平面ABC，，，，． (1)证明：； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 【解题思路】（1）由题意，根据勾股定理的逆定理可得、，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可. 【解答过程】（1）因为平面ABC，平面ABC， 所以． 因为，，， 所以， 又因为，所以， 所以．同理可得：． 又，平面，平面， 所以平面．因为平面， 所以． （2）取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交于D． 因为，所以． 因为，，所以，． 以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则，． 令可得． ． 设直线与平面所成的角为，则． 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 【变式5.2】（24-25高二上·山东东营·开学考试）如图，六面体中，面且面 ，. (1)求证：平面； (2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的余弦. 【解题思路】（1）先证和，得，再由余弦定理，求出，得证，由即可证得平面； （2）取中点，连接，证明两两垂直，建系，设，写出相关点和向量坐标，利用已知二面角列方程求出值，继而通过空间向量夹角公式即可求得所求线面角余弦值. 【解答过程】（1）因为面且面面且面， 所以且，在面中，，同理，在面中，， 因为，所以，又， 由余弦定理，，则， 由可得， 由面面，知， 又因为面面，所以面. （2） 取中点，连接,由题可知， 且， 所以四边形为平行四边形，则 ，因面，故面， 又因为正三角形，所以两两垂直， 以为坐标原点，以的方向分别为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则 易得，故有，， 设面的法向量为，则有， 不妨设，则得，， 又面，故面的法向量可设为， 由题意，解得， 于是，， 设面的法向量为，则有 不妨设，得， 设直线与平面所成角为，则. 又，故，则直线与平面所成角的余弦值为. 【题型6 求平面与平面所成角】 【例6.1】（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值． 【解题思路】（1）由中位线易证明四边形是平行四边形，进而得到，进而得到平面； （2）由题易知，，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，通过平面与平面的夹角计算公式计算余弦值，再用同角三角函数的基本关系计算正弦值； 【解答过程】（1）如图所示，连接．    因为，分别是棱，的中点， 所以， 因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 则． 因为平面，平面， 所以平面． （2）因为平面， 平面, 所以， 又因为， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．    由题中数据可得，， ，． 设平面的法向量为， 则 令，得． 因为，, 所以平面 平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为， 则． 故， 即平面与平面的夹角的正弦值为． 【例6.2】（2025·安徽·一模）如图，在四棱锥中，，，平面平面为中点．    (1)求证：平面； (2)点在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【解题思路】（1）应用面面垂直性质定理证明线面垂直； （2）先应用空间向量法计算线面角得出参数，再计算二面角即可. 【解答过程】（1）由题意：，同理， 又．而，即 又平面平面，平面平面平面， 平面平面，又，且面面平面． （2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， ， 设，有， 取面的一个法向量， 则， 故． 令是平面的一个法向量，则，即 令，有，则 故平面与平面夹角的余弦值为． 【变式6.1】（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中点，为线段上的动点，． (1)证明：； (2)求实数的值，使得平面与平面所成角的余弦值最大． 【解题思路】（1）利用线面垂直平面证明线线垂直、线面垂直平面证明线线垂直，然后再利用线面垂直平面证明线线垂直，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，以及，再求出两平面的法向量，利用公式求出余弦值，然后借助换元结合基本不等式，求出最值即可得解. 【解答过程】（1）因为平面，又平面，所以， 又因为底面为正方形，所以， 又,平面,平面, 所以平面,又平面,所以, 又为线段的中点，所以, 又,平面,平面, 所以平面,又平面, 所以. （2）如图，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系 不妨设， 则，， ，设， 则，解得， 设平面的法向量为， 则， 所以，取，则，即， 设平面的法向量为， 则，令，故可取， 设平面与平面所成角为， 则， 令，则， 所以， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以当时，即时，． 【变式6.2】（24-25高三上·四川成都·开学考试）如图，在四棱锥中，底面. (1)若，证明：平面； (2)若，且，线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为？若存在，求出点在线段上的位置；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）利用线面垂直的性质判定证得，再利用线面平行的判定推理即得. （2）以点为原点建立空间直角坐标系，令，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得. 【解答过程】（1）在四棱锥中，由平面，平面，得， 又平面，则平面， 而平面，于是，由，得， 则，又平面平面， 所以平面. （2）由（1）知，过点作平面，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 假设存在点满足条件，令， ， 设平面的法向量，则，令，得， 由平面，得为平面的法向量， 由二面角的正弦值为，得， 即，而，解得， 所以点是线段上靠近点的三等分点，使得二面角的正弦值为. 模块三 用空间向量研究距离问题 1．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离. ②转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求. ③等体积法. ④向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为. 【题型7 点到直线距离、异面直线距离的向量求法】 【例7.1】（23-24高二下·江西·阶段练习）已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】以点D为原点，建立空间直角坐标系，借助空间向量结合二次函数求解作答. 【解答过程】在棱长为2的正方体中，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则有，则， 设点， 则点到直线的距离 ， 当且仅当时取等号，则点到直线的距离的最小值为. 故选：D. 【例7.2】（23-24高二下·江苏泰州·期中）在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【解答过程】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和的距离为. 故选：A. 【变式7.1】（23-24高二上·江苏·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，且点E，F分别为AB和PD中点. (1)求异面直线AF与EC所成角的余弦值； (2)求点F到直线EC的距离. 【解题思路】（1）根据底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设异面直线AF与EC所成角为α，|求解； （2）根据直线EC的一个方向向量，结合=（0，2，1），||=，由d=求解. 【解答过程】（1）解：因为在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD， 所以以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，0，1），E（2，1，0），P（0，0，2），C（0，2，0）. 所以=（2，0，1），=（2，1，0）， 设异面直线AF与EC所成角为α，则=， 所以异面直线AF与EC所成角的余弦值为. （2）因为=（2，1，0），所以直线EC的一个方向向量. 又=（0，2，1），||=， 所以点F到直线EC的距离d===. 【变式7.2】（2024·山西吕梁·一模）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，．    (1)线段上是否存在一点使得，若存在，求出的长，若不存在，说明理由； (2)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，求异面直线与之间的距离． 【解题思路】（1）首先以点为原点建立空间直角坐标系，由，即可求解点的位置，并求解； （2）由异面直线的距离的定义，结合（1）的结果，转化为求点到直线的距离，再转化为二次函数求最值问题. 【解答过程】（1）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则各点的坐标为，，， ， 设为直线PB上一点，且， ,又， 所以存在点，满足，此时.    （2）由（1）可得，     则点到直线的距离 ∵ ∴   所以异面直线PB与CD之间的距离为. 【题型8 求点面距、线面距、面面距】 【例8.1】（23-24高二下·福建厦门·期末）在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量求出点到平面的距离. 【解答过程】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量， 由，，得，则，令，得， 所以点到平面的距离. 故选：D. 【例8.2】（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【解答过程】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离 ， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B. 【变式8.1】（2024高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【解题思路】（1）直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用向量求解可得； （2）平面与平面间的距离等于点到平面的距离，利用向量法求解即可． 【解答过程】（1）以D为原点，为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则 所以，所以，即， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的一个法向量为， 则，令，则，又， 所以点到平面的距离.      （2）由（1）知平面，同理，平面， 又，平面， 所以平面平面， 即平面与平面间的距离等于点到平面的距离． 由（1）知，点到平面的距离. 所以平面与平面间的距离为. 【变式8.2】（2024·海南·模拟预测）如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，. (1)证明： ; (2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，点 为线段 上一点，求点到平面 的距离. 【解题思路】（1）因为，因此只需证明平面，只需证明（由题可证），，由勾股定理易证. （2）建立空间直角坐标系，先由直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求出，再证明平面，由此得点M到平面 的距离等价于点到平面 的距离，再由点到平面的距离公式求解即可. 【解答过程】（1）因为，， 所以，所以, 因为为直四棱柱， 所以, 因为，平面， 所以平面， 因为，所以平面， 因为平面，所以 （2）由（1）及题意知，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 因为，.设， 所以 所以, 设平面的一个法向量为 则， 令，则，所以 设直线 与平面 所成的角为， 则， 解得，所以 所以点到平面 的距离为 因为，所以 因为不在平面，所以平面， 因为M在线段上，所以点M到平面 的距离等价于点到平面 的距离，为 故点M到平面 的距离. 【题型9 立体几何中的探索性问题】 【例9.1】（23-24高二下·浙江宁波·期中）如图，多面体中，直角梯形所在平面与正三角形所在平面垂直，，． (1)求该多面体的体积V； (2)在棱上是否存在点P，使得直线和平面所成的角大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）取中点，连接，求证平面，即可由求出该多面体的体积. （2）先求证两两垂直，建立空间直角坐标系，设，依据已知条件求出和平面的法向量，再依据即可计算求解，进而得解. 【解答过程】（1）取中点，连接，则由为正三角形得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又由题意， 所以该多面体的体积. （2）连接，由题意以及（1）可知且， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 所以由平面可知两两垂直， 所以可建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 所以，， 设，则， 所以， 设是平面的一个法向量，则， 所以，即，取，则， 所以直线和平面所成的角的正弦值为 ， 整理得，解得（舍去）或， 所以在棱上存在点P，使得直线和平面所成的角大小为，此时. 【例9.2】（2024高三·全国·专题练习）已知正四棱台的体积为，其中.    (1)求侧棱与底面所成的角； (2)在线段上是否存在一点P，使得？若存在请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【解题思路】 （1）先求得正四棱台的高，然后求得侧棱与底面所成的角. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法确定是否存在符合题意的点. 【解答过程】（1）依题意，在正四棱台中，， 所以上底面积，下底面积， 设正四棱台的高为，则. 连接，则， 所以， 设侧棱与底面所成的角为，则， 由于线面角的取值范围是，所以. （2）连接，设正四棱台上下底面的中心分别为， 以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， ， 设线段上存在一点，满足， ， ， 则， ， 若，则， 即， 解得，舍去， 所以在线段上不存在一点，使得. 【变式9.1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知平面，，是等腰直角三角形，其中，且． (1)设线段中点为，证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离等于，如果存在，求的长． 【解题思路】（1）取的中点，根据线面平行的判定定理即可得证； （2）设，根据等体积法求出x的值，即可得出结论. 【解答过程】（1）取的中点，的中点，连结、、， 则有，， 因为，，所以且， 所以四边形是平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. （2）存在.设，在中，. 因为平面，所以. 因为平面，平面，平面 所以,， 则均为直角三角形. 在中，， 同理，. 取的中点，因为，所以， 而. 故. 因为点到面的距离等于， 所以. 而，所以，解得. 所以在线段上只存在唯一一点，当且仅当时，点到面的距离等于. 【变式9.2】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知平行四边形如图甲，，，沿将折起，使点到达点位置，且，连接得三棱锥，如图乙. (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【解题思路】 （1）推导出，证明出平面，可得出， 利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出结论. 【解答过程】（1）证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，则， 因为，则，， 由余弦定理可得， 所以，，则，同理可证， 翻折后，则有，， 因为，，、平面， 所以，平面， 因为平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，故平面平面. （2）解：因为平面，，以点为坐标原点， 、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 则，， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 所以，， 易知平面的一个法向量为， 则，整理可得， 因为，解得， 因此，线段上存在点，使二面角的余弦值为，且. 一、单选题 1．（23-24高二·全国·课后作业）如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（    ）． A．（1，，4） B．（，1，） C．（2，，1） D．（1，2，） 【解题思路】设正方体的棱长为2，依次求出各点坐标，设向量是平面的法向量，根据法向量的定义，逐一验证各选项即可求出答案． 【解答过程】解：设正方体的棱长为2，则，， ∴， 设向量是平面的法向量， 则取，得， 则是平面的一个法向量， 结合其他选项，只需和共线即可， 检验可知，ACD选项均不与共线. 所以能作为平面的法向量只有选项B 故选：B． 2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知，，则点B到直线AC的距离为（    ） A． B． C．2 D．3 【解题思路】由坐标运算求出，，，进而求出，再求得在方向上的投影，然后即可求出点B到直线AC的距离. 【解答过程】因为，， 所以，， ， ， 所以在方向上的投影为，， 所以点B到直线AC的距离为. 故选：C. 3．（23-24高二上·广东·阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（    ） A． B． C． D．1 【解题思路】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，根据条件求得点的坐标，即可得到结果. 【解答过程】 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示， 由题意可得， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则 所以平面的一个法向量为 因为平面，则 设，则，所以 解得，所以，即 故选:C. 4．（24-25高二上·河北张家口·开学考试）如图，在正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系，先利用向量法求，则得线线角. 【解答过程】连接交于，连接， 由四棱锥是正四棱锥，则平面，且. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由，不妨设，则， 在中，， 则，则， ， 则， 由异面直线与所成角为锐角，所求余弦值为. 故选：B. 5．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式计算即可． 【解答过程】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以点到平面的距离为， 故选：D． 6．（23-24高二上·福建泉州·期末）如图，在正四棱柱中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，则下列说法错误的是（    ）    A．当时，存在，使得平面 B．存在，使得平面 C．存在，使得平面平面 D．存在，使得平面平面 【解题思路】对于ABD：建系，利用空间向量结合线、面位置关系分析判断，对于C：根据面面平行的判定定理分析判断. 【解答过程】以D为原点，分别为建立空间直角坐标系，如图：    设，则，则， 因为点分别是的中点， 所以， 对于选项B：设平面的一个法向量为， 因为， 可得，取，解得， 设， 因为，则，可得，即， 则， 若∥平面，则， 可得，且，解得， 即为的中点，故B正确； 对于选项A：由B可知：， 若平面，则， 则，当且仅当时成立，故A错误； 对于选项D：由B可知：，则， 因为，则 ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 若平面平面，则，故D正确； 对于选项C：  当与D重合时， 因为分别是的中点， 则，且平面，平面， 可得平面， 同理可得：平面， 且，平面， 所以此时平面平面，故C正确；    故选：A. 7．（2024·山东临沂·二模）已知正方体中，M，N分别为，的中点，则（    ） A．直线MN与所成角的余弦值为 B．平面与平面夹角的余弦值为 C．在上存在点Q，使得 D．在上存在点P，使得平面 【解题思路】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，由空间向量计算异面直线所成角，二面角和线线垂直可判断ABC；由四点共面，而平面可判断D. 【解答过程】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1， 所以，， ， 对于A，，， 直线MN与所成角的余弦值为，故A错误； 对于B，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， ，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 平面与平面夹角的余弦值为： ，故B错误； 对于C，因为Q在上，设，所以，， 则，所以， 所以，， 所以，解得：. 故上存在点，使得，故C正确； 对于D，因为，所以四点共面， 而平面，所以上不存在点P，使得平面，故D错误. 故选：C. 8．（24-25高二上·湖南株洲·开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是（    ）    A．直线与所成的角不可能是 B．若，则二面角的平面角的正弦值为 C．当时， D．当时，点到平面的距离为 【解题思路】建立如图的空间直角坐标系，利用反证法可判断A的正误，利用向量法可求面面角的余弦值后结合同角的三角函数基本关系式计算后可判断B的正误，利用空间中的距离公式计算CD后可判断它们的正误，. 【解答过程】    建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， 对于A，设，故， 故，而， 设直线与所成的角为，则， 若直线与所成的角是，则， 整理得到：，此方程在上无实数解， 故直线与所成的角不可能是，故A正确. 对于B，当时，结合A分析得，此时， 故，而，设此时平面的法向量为， 则即，取，则，，故， 又，，设平面的法向量为， 则即，取，则，，故， 故，故二面角的平面角的正弦值为，故B错误. 对于C，当时，又B的分析可得，故，故，故C正确. 对于D，当时，结合A中分析可得，故，故， 而，设平面的法向量为， 则即，取，则，，故， 又，故到平面的距离为，故D正确. 故选：B. 二、多选题 9．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点Q为的中点，点P是棱上一动点（与C，不重合），过点P作，点E为垂足，再过点E作，点为垂足．则（   ）    A．平面 B．三棱锥体积的最大值为 C．存在点P使得平面 D．存在点P使得 【解题思路】利用线面垂直的性质判定推理判断A；求出三棱锥体积最大值判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断CD. 【解答过程】对于A，由平面，平面，得，而， 平面，则平面，A正确； 对于B，令，则的面积，为等腰直角三角形， 由，可得平面，又平面，因此， 三棱锥体积，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，建立空间直角坐标系，如图，则， ，由，解得， 即当时，，此时 而平面，平面， 因此平面，C正确； 对于D，，则，， 因此与不垂直，D错误. 故选：AC.    10．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知正方体中，分别为的中点，则（    ） A．直线与所成角的余弦值为 B．平面与平面夹角的余弦值为 C．在上存在点，使得 D．在上存在点，使得平面 【解题思路】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，由空间向量计算异面直线所成角，二面角和线线垂直可判断ABC；由四点共面，而平面可判断D. 【解答过程】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1， 所以，， ， 对于A，，， 直线与所成角的余弦值为，故A错误； 对于B，，，设平面的法向量为，则， 取，可得，所以，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 平面与平面夹角的余弦值为：，故B正确； 对于C，因为Q在上，设，所以，， 则，所以， 所以，， 所以，解得：. 故上存在点，使得，故C正确； 对于D，因为，所以四点共面，而平面，所以上不存在点，使得平面，故D错误. 故选：BC. 11．（23-24高一下·河南周口·期末）在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点满足，下列结论正确的是（    ） A．若，则平面 B．若，则过点的截面面积是 C．若，则点到平面的距离是 D．若，则与平面所成角的正切值为 【解题思路】延长相交于点，若平面，根据线面平行的性质定理可得与重合可判断A；连接，得四边形即为过点的截面，利用四边形是等腰梯形，求出面积可判断B；以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用点到平面的向量求法可判断C；利用线面角的向量求法可判断D. 【解答过程】对于A，若，则，即点与点重合， 延长相交于点，连接，则平面平面， 若平面，平面，所以， 因为，所以，即与重合，显然不可能，故A错误；    对于B，若，则，即点与点重合， 连接，因为，所以， 即四边形即为过点的截面，且， ， 所以四边形是等腰梯形，其高为， 所以四边形的面积为，故B正确；    对于C，若，即点是的中点，以为原点，所在 的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则， ，， 设为平面的一个法向量，则 ，所以，令，则， 所以，所以点到平面的距离为 ，故C错误，    对于D，若，由C，，所以， 为平面的一个法向量， 设与平面所成角为， 则， 所以， 可得 ，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·课堂例题）在空间直角坐标系内，平面经过三点、、，向量是平面的一个法向量，则 7 ． 【解题思路】根据题意可得，求出，从而可求出结果. 【解答过程】因为、、， 所以， 因为向量是平面的一个法向量， 所以，解得， 所以. 故答案为：7. 13．（23-24高二下·全国·随堂练习）正四棱柱中，，与平面所成角的正弦值为，则 7 ． 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用线面角的正弦值求出的长 【解答过程】 如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因为棱柱为正四棱柱，设， 则， 其中平面的一个法向量为， 设与平面所成角为， 则， 得：，即 故答案为：. 14．（24-25高二下·全国·单元测试）如图，在长方体中，，以D为原点， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，若为线段的中点，则点到平面的距离为 ．    【解题思路】根据已知得出点的坐标，应用向量法求点到平面距离即可. 【解答过程】如图可得, 设平面法向量为, 所以, 令,所以, 所以, 所以到平面的距离为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，四边形为矩形，平面，，，，分别是，，的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【解题思路】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）只需证明平面的法向量与平面中的两个向量垂直即可. 【解答过程】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，    设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为，所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为，所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 16．（24-25高二上·河北保定·开学考试）如图，在四棱锥中，已知底面是边长为的菱形，，且平面，垂足为. (1)证明：平面. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【解题思路】（1）作出辅助线，由线面垂直得到，结合是正三角形，故，并得到为等边三角形，，故，即，结合，得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式得到答案. 【解答过程】（1）连接，因为平面，平面， 所以 ， ， ， 由勾股定理得，， 因为，所以. 又四边形是菱形，，所以是正三角形， 所以. 由，得是正三角形，. 所以，即. 由平面，平面，可得. 因为，平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示. 因为，所以， 则， ， .设是平面的一个法向量，由得 取，可得. 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 17．（23-24高二下·甘肃白银·期中）在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱的中点，直线与平面交于点． (1)求； (2)求； (3)若点在棱BC上，且平面，求的长． 【解题思路】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用坐标运算求解； （2）设，求出面的法向量，通过列方程求出即可； （3）设，则，可得是平面的一个法向量，通过求解即可. 【解答过程】（1）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以； （2）设，则 设平面的法向量为， 则，令得， 依题意可得， 解得，所以； （3）设，则， 由（2）知，则， 因为， 所以， 所以是平面的一个法向量．因为平面， 所以，解得， 所以的长为. 18．（24-25高二·上海·随堂练习）如图1，在等腰直角三角形ABC中，，,分别是上的点，，为中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中．    (1)求证：⊥平面； (2)求点到平面的距离． 【解题思路】（1）分别计算，的长度，然后利用勾股定理计算直角，最后再利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）取中点，则．以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式求解即可． 【解答过程】（1）解：（1）连接OD，OE，， 在△COD中，， 同理得， 因为，所以, 所以， 因为 所以， 所以 又因为平面,平面 所以⊥平面； （2）（2）取中点，则以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系    则， 设平面的一个法向量为， 又， 所以，令，则， 则， 又，， 所以点B到平面A′CD的距离为． 19．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）推导出，证明出平面，可得出， 利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出结论. 【解答过程】（1）证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，则， 因为，则，， 由余弦定理可得， 所以，，则，同理可证， 翻折后，则有，， 因为，，、平面， 所以，平面， 因为平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 所以平面平面. （2）因为平面，，以点为坐标原点， 、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，所以，， 平面的一个法向量为，，， 则，令，可得， 则，整理可得， 因此，线段上存在点，使平面AMB与平面MBC的夹角的余弦值为，且. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$