精品解析：河南省驻马店市西平县第一初级中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

2024年秋期九年级开学考试 数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义条件，根据二次根式中被开方数为非负数，即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， 解得，，   故选：D ． 2. 下列条件中，能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的判定可判断选项A和B，C选项中根据三角形的内角和定理以及三个角的比例关系可求出为，根据勾股定理的逆定理可判断选项D，即可得出答案． 【详解】解：A．由无法得到为直角三角形，故本选项不符合题意； B．， ，无法得到为直角三角形，故本选项不符合题意； C．，， 最大角， 是直角三角形，故本选项符合题意； D．，，，， ， 不是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 3. 如图，一次函数的图象经过，两点，则解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系，用的数学思想是数形结合思想．由图象可知：，且当时，，即可得到不等式的解集 【详解】解：∵一次函数的图象经过， 根据图象得：当时，， 即：不等式的解集是． 故选D 4. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】通过平行四边形性质，可计算得；再结合AB⊥AC推导得为直角三角形，通过勾股定理计算得，再结合平行四边形性质，计算得到答案． 【详解】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∴BO＝DO，AO＝CO， ∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6， ∴∠BAO＝90°，OA＝3 ∴， ∴BD＝2BO＝10， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形、勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形和勾股定理的性质． 5. 下列方程：①，②，③，④，⑤中是一元二次方程的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程定义，根据含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：①是分式方程，故①不是一元二次方程； ②中含有两个未知数，故②不是一元二次方程； ③符合一元二次方程的定义，故③是一元二次方程； ④，当时，方程化为，不含二次项，故④不是一元二次方程； ⑤将整理得：，不含二次项，故⑤不是一元二次方程． 综上，只有③是一元二次方程． 故选：A． 6. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式，即可得出答案． 【详解】解： 即， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 7. 关于x的方程x2﹣2x+c＝0没有实数根，则c的值不能为（　　） A. ﹣1 B. C. 2 D. π 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可求c的取值范围． 【详解】解：∵关于x的方程x2﹣2x+c＝0没有实数根， ∴△＜0，即（﹣2）2﹣4c＜0，解得c＞1， ∴c的值不能为﹣1． 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系． 8. 抛物线y＝﹣2（x+6）2+5的顶点坐标是（　　） A. （﹣6，5） B. （6，5） C. （6，﹣5） D. （﹣2，5） 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标． 【详解】∵y＝﹣2（x+6）2+5是抛物线解析式的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(−6,5). 故选：A. 【点睛】本题考查二次函数的性质. 9. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：∵抛物线向右平移1个单位长度，∴平移后解析式为：，∴再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为：．故选C． 考点：二次函数图象与几何变换． 10. 如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点D运动，连接，设点P的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为中点时，的长为（ ） A. 5 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，从函数图象中获取信息是解题的关键． 根据图2中点的实际意义可得：当时，，再根据图2中点的实际意义可得：，，然后在中，利用勾股定理可求出，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：由图2可得： 当时，， 当点的运动距离为0时，的长为6， 当时，， 由图2可得： 当时，， 当点的运动距离为时，的值最大，最大为6， 当点运动到和点重合时，的值最大， ，， 在中，， ， ， ， 点为的中点， ， ， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是______________． 【答案】-2 【解析】 【分析】让被开方数为非负数列式求得x的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】∵二次根式 有意义， ∴2x＋7≥0， 解得x≥−3.5， 当x=-3时，二次根式的值为1，不是最简二次根式，不符合题意； 当x=-2时，二次根式值为，是最简二次根式， 综上所述:若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是-2. 故答案为：-2 【点睛】考查二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数． 12. 在一次体育测试中，小芳所在小组人的成绩分别是：，，，，，，，．则这人体育成绩的中位数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一组数据的中位数，注意到题中的8个数已经按从小到大的顺序排列了，只要求出第4个数48和第5个数49的平均数即可求解． 【详解】解：把小芳所在小组人的成绩分别是：从小到大排列为：，，，，，，，， 这人体育成绩的中位数是， 故答案为：． 13. 已知x为实数，且满足，则的值是________． 【答案】6 【解析】 【分析】此题可将(x2+y2)看成一个整体，不妨设为t，则原式可变形为t2-2t-24=0，因式分解法解方程，由t为非负值，即可求得答案. 【详解】令， 由， 得， ∴或， 又∵， ∴， 即． 【点睛】此题考查换元法解一元二次方程，将所求式子看做一个整体是解题的关键. 14. 将二次函数，化为的形式，结果为，该函数图象不经过第_______象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，根据函数解析式确定出顶点坐标与对称轴解析式是解题的关键．根据顶点坐标与对称轴确定出函数图象经过第一四象限，根据与轴的交点求出函数图象经过第三象限，从而可以确定不经过的象限． 【详解】解：， 顶点坐标，对称轴为直线， 函数图象经过第一四象限， 令，则， 所以，函数图象与轴的交点坐标为， 所以，函数图象经过第三象限， 所以，该函数图象经过第一三四象限，不经过第二象限． 故答案为：二． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据中位线定理先判断出点P的轨迹是线段，再根据矩形的性质及已知条件判断是直角三角形，从而得出点D到线段上各点的连线中，最小，最大． 【详解】解：如图所示： 当点F与点C重合时，点P在点处，，当点F与点E重合时，点P在点处，， ∴且， 当点F在EC上除点C、E的位置时，有BP＝FP， 由中位线定理可知：且， ∴点P的运动轨迹是线段， ∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点， ∴△ABE，△BEC、为等腰直角三角形， ∴∠ECB＝45°，∠DP1C＝45°， ∵， ∴∠P2P1B＝∠ECB＝45°， ∴， ∴DP的长最小，最大， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题． 三、解答题（共75分） 16. 计算：（1）； （2）． 【答案】（1）2；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式计算即可； （2）根据二次根式的乘除法则运算； 【详解】（1）原式＝（）－（）2＝20－18＝2； （2）原式＝＋2＝4-＝4+． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 17. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），； （2），； （3），； （4）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可； （4）利用直接开方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 或 ∴，； 【小问2详解】 解： 或 ∴，； 【小问3详解】 解： ，， ∴，； 【小问4详解】 解： ∴，． 18. 已知是关于x的二次函数. （1）求m的值. （2）当m为何值时，该函数图象的开口向上？ （3）当m为何值时，该函数有最大值？ 【答案】（1）或.（2）当时，该函数图象的开口向上.（3）当时，该函数有最大值. 【解析】 【分析】根据题意可知，本题考查是二次函数的基础性质，（1）根据x的次数为2且二次项系数不为0，判断m的值；（2）通过二次项系数的正负判断开口方向，为正开口向上，为负开口向下； （3）对任意的x值，函数有最大值，在函数开口向下时，函数才有最高点，即二次项系数小于0． 【详解】解：（1）根据题意，得解得 ∴或. （2）∵函数图象的开口向上， ∴，∴∴. ∴当时，该函数图象的开口向上. （3）∵函数有最大值，∴. ∴，∴. ∴当时，该函数有最大值. 【点睛】本题关键点：二次函数 中，；时开口向下，函数有最高点，即有最大值，时开口向上，函数有最低点，即有最小值． 19. 2024年哈尔滨冰雪旅游火爆全国，吸引了大量游客前来旅游．“当好东道主，热情迎嘉宾”，哈尔滨某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元． （1）求A，B两种食材的单价； （2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】（1）A种食材的单价为38元，B种食材的单价为30元 （2）当A，B两种食材分别购买24，12千克时，总费用最少为1272元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键． （1）设A种食材的单价为a元，B种食材的单价为b元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设A种食材购买x千克，则B种食材购买千克，根据题意列出不等式，得出，进而设总费用为y元，根据题意，，根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设A种食材的单价为a元，B种食材的单价为b元， 根据题意得，， 解得：， 答：A种食材的单价为38元，B种食材的单价为30元； 【小问2详解】 解：设A种食材购买x千克，则B种食材购买千克， 根据题意，， 解得：， 设总费用为y元，根据题意，， ∵，y随x的增大而增大， ∴当时，y最小， ∴最少总费用为（元）， 答：当A，B两种食材分别购买24，12千克时，总费用最少为1272元． 20. 已知一次函数的图象经过A（2，4），B（﹣2，0）两点，且与y轴交于点C．求： （1）一次函数的解析式； （2）△AOC的面积； （3）点D（m，0）是x轴上一个动点，过D作x轴的垂线，交直线AB于E，若DE＝6，求m的值． 【答案】（1）y＝x+2 （2）2 （3）4或﹣8 【解析】 【分析】（1）设一次函数的解析式为：y＝kx+b，将A（2，4），B（﹣2，0）代入该一次函数解析式组成二元一次方程组，解之即可； （2）先求出点C的坐标，利用三角形面积公式可得结论； （3）由DE⊥x轴，D（m，0），可知E（m，m+2），则DE＝|m+2|＝6，求解即可． 【小问1详解】 解：设该一次函数的解析式为：y＝kx+b， 将A（2，4），B（﹣2，0）代入该一次函数解析式，得， 解得， ∴该一次函数的解析式为：y＝x+2． 【小问2详解】 解：如图，连接OA，过点A作AF⊥y轴于点F， ∵一次函数y＝x+2与y轴交于点C， ∴C（0，2）， ∴AF＝2，OC＝2， ∴S△AOC＝•AF•OC＝×2×2＝2． 【小问3详解】 解：∵DE⊥x轴，D（m，0）， ∴E（m，m+2）， ∴DE＝|m+2|＝6， 解得m＝﹣8或4． ∴m的值为4或﹣8． 【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，平面直角坐标系中的三角形的面积，两点间的距离等知识，熟练掌握相关内容是解题关键． 21. 雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元. （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 【答案】（1）捐款增长率为10%.（2）第四天该单位能收到13310元捐款. 【解析】 【分析】（1）根据“第一天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）2=第三天收到捐款钱数”，设出未知数，列方程解答即可. （2）第三天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）=第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可. 【详解】（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得： ， 解得x1=0.1，x2=－1.9（不合题意，舍去）. 答：捐款增长率为10%. （2）12100×（1+10%）=13310元 答：第四天该单位能收到13310元捐款. 22. 二次函数的图象经过点，，经过点B，且与二次函数交于点D．过点D作轴，垂足为点C． （1）求二次函数的表达式； （2）点N是二次函数图象上一点（点N在上方），过N作轴，垂足为点P，交于点M，求的最大值． 【答案】（1）二次函数的表达式为 （2）的最大值为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式以及二次函数的最值．根据一次函数和二次函数表示出、的坐标是解题的关键． （1）根据待定系数法求得即可； （2）根据待定系数法求得，得到直线的解析式，设，则，则，从而求得最大值． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得， n＝3， ∴二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：经过点B， ∴， ∴解得 ∴ 设，则， ∴， ∴的最大值为． 23. 如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xOy中，使分别落在x，y轴的正半轴上，其中，对角线AC所在直线解析式为，将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的D处． （1）求点B的坐标； （2）求EA的长度； （3）点P是y轴上一动点，是否存在点P使得△PBE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，如不存在，请说明理由． 【答案】（1）B（6，10） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质结合的长度可得出点的坐标，由点的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，由直线的解析式，利用一次函数的图像上点的坐标特征可得出点的坐标，再利用矩形的性质可得出点的坐标； （2）在中，利用勾股定理可求出的长，进而可求出的长，设，则，在中，利用勾股定理可求出的长）的值； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的周长最小，由点的坐标可得出点的坐标，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图像上点的坐标特征可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：，四边形是矩形， ， 点的坐标为． 将代入，得：， ， 直线的解析式为． 当时，，解得：， 点的坐标为， 点的坐标为． 【小问2详解】 解：在中，，， ， ． 设，则， 在中，， ， ， ． 【小问3详解】 解：存在，如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的周长最小． 由（2）可知：点的坐标为，． 点，关于轴对称， 点的坐标为，． 设直线的解析式为， 将，，代入，得：， 解得：， 直线的解析式为． 当时，， 点的坐标． 【点睛】本题考查了矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像上点的坐标特征、折叠的性质、勾股定理以及轴对称最短路径问题，解题的关键是：（1）利用一次函数图像上点的坐标特征结合矩形的性质，找出点的坐标；（2）利用折叠的性质结合勾股定理，求出的长度；（3）利用两点之间线段最短确定点的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋期九年级开学考试 数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列条件中，能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ， 3. 如图，一次函数的图象经过，两点，则解集是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，▱ABCD对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 5. 下列方程：①，②，③，④，⑤中是一元二次方程的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的方程x2﹣2x+c＝0没有实数根，则c的值不能为（　　） A. ﹣1 B. C. 2 D. π 8. 抛物线y＝﹣2（x+6）2+5的顶点坐标是（　　） A. （﹣6，5） B. （6，5） C. （6，﹣5） D. （﹣2，5） 9. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点D运动，连接，设点P运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为中点时，的长为（ ） A. 5 B. 8 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是______________． 12. 在一次体育测试中，小芳所在小组人的成绩分别是：，，，，，，，．则这人体育成绩的中位数是___________． 13. 已知x为实数，且满足，则的值是________． 14. 将二次函数，化为的形式，结果为，该函数图象不经过第_______象限． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是______． 三、解答题（共75分） 16. 计算：（1）； （2）． 17. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 18. 已知是关于x的二次函数. （1）求m的值. （2）当m为何值时，该函数图象的开口向上？ （3）当m为何值时，该函数有最大值？ 19. 2024年哈尔滨冰雪旅游火爆全国，吸引了大量游客前来旅游．“当好东道主，热情迎嘉宾”，哈尔滨某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元． （1）求A，B两种食材单价； （2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 20. 已知一次函数图象经过A（2，4），B（﹣2，0）两点，且与y轴交于点C．求： （1）一次函数的解析式； （2）△AOC的面积； （3）点D（m，0）是x轴上一个动点，过D作x轴的垂线，交直线AB于E，若DE＝6，求m的值． 21. 雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元. （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 22. 二次函数图象经过点，，经过点B，且与二次函数交于点D．过点D作轴，垂足为点C． （1）求二次函数的表达式； （2）点N是二次函数图象上一点（点N在上方），过N作轴，垂足为点P，交于点M，求的最大值． 23. 如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xOy中，使分别落在x，y轴的正半轴上，其中，对角线AC所在直线解析式为，将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的D处． （1）求点B的坐标； （2）求EA的长度； （3）点P是y轴上一动点，是否存在点P使得△PBE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，如不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$