专题05 第1第2章合集数轴动点问题分类训练2（4种类型40道）-2024-2025学年 人教版（2024） 七年级数学上册同步拓展+点对点针对训练

专题05 第1章第2章合集数轴动点问题分类训练2（4种类型40道） 知识归纳 1.数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴； 2.数轴三要素：原点、正方向、单位长度是数轴三要素； 3.有理数与数轴上点的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，一般地，设a为一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离为a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离也为a单位长度； 重点题型 【题型1 动点定值问题】 1 【题型2 动点最值问题】 4 【题型3 探究数量关系】 8 【题型4 存在性问题】 12 【题型1 动点定值问题】 1．如图，数轴上点A，（点A在点左边）所对应的数，满足．P为数轴上一动点，其对应的数为，为原点． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若点为线段的中点，当点P在线段的延长线上运动时，的值是否为定值（即确定的值，不因点P位置的变化而变化）？如是，请求出这个定值；如不是，也请说明理由． 2．如图，点是数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且满足 (1)求线段的长； (2)点从出发向右运动，速度为每秒2个单位，运动时间为，当点为的三等分点时，求的值； (3)为数轴上两个动点（点在点的左侧），它们的运动方向相同，速度相同，且，若为定值的时长为2秒，为定值的时长为8秒，求点的速度． 3．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且．    (1)填空， ______， ______，A，B两点之间的距离______． (2)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2023次时，求点P所对应的有理数． (3)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、B两点之间上，且的值始终是一个定值，求D点运动的方向及m的值． 4．已知点A在数轴上表示的数为a，点B表示的数为b. (1)若a，b满足，求线段的长； (2)在（1）的条件下，若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒，当点P与点Q相距4个单位长度时，求t的值； (3)若动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒b个单位长度的速度也向右匀速运动，设运动t秒后，点P表示的数为m，点Q表示的数为n.是否存在有理数a和b，使得无论t为何值，代数式为定值3，若存在，求a，b的值，若不存在，请说明理由. 5．如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足． (1) ； ； (2)动点P，Q分别从点A，点B同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度． ①几秒时，点P与点Q距离6个单位长度？ ②动点P，Q分别从点A，点B出发的同时，动点R也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为．设运动时间为t秒，请问：是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此n值和这个定值；若不存在，请说明理由． 6．如图，点A表示的数是a，点B表示的数是b，满足，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为（）秒， (1)直接写____，____， (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发， ①问点P运动多少秒时追上点Q？ ②问点P运动多少秒时使得？ (3)点P、Q以（2）中的速度同时分别从点A、B向右运动，同时点R从原点O以每秒7个单位的速度向右运动，是否存在常数m，使得的值为定值，若存在请求出m值；若不存在，请说明理由． 7．阅读：如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是，，，A到C的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题：    (1)填空：__________，__________； (2)现有动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向右移动，同时点Q从A点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒，求P、Q两点间的距离（用含t的代数式表示）． (3)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、C两点之间的线段上，且的值始终是一个定值，求D点运动的方向及m的值． 8．如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且．动点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点P运动时间为t秒    (1)填空： ； ；的距离为 ； (2)点P运动多少秒后，成立？ (3)当点P在A，B之间运动时，如果点M为的中点，请你探究式子是否是定值，如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由 9．如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足． (1) ； ； (2)动点P，Q分别从点A，点B同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度． ①t秒时，点P表示的数是 ，点Q表示的数是 ． ②动点P，Q分别从点A，点B出发的同时，动点R也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒n（n＞1）个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为．设运动时间为t秒，请问：是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此n值和这个定值；若不存在，请说明理由． 10．如图1，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点B在点A的右侧．已知a，b满足，则：    (1)______，______． (2)若动点P、Q分别从点A、B处同时向右移动，点P的速度为4个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，设运动时间为t秒． ①当t为何值时，P、Q两点重合？ ②当t为何值时，P、Q两点相距8个单位长度？ ③如图2，点M是的中点，在点P、Q同时间右移动的过程中，试判断的值是否为定值？并说明理由．    【题型2 动点最值问题】 11．阅读材料：若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点间的距离表示为，则．如，，则，所以式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； (2)若，则 ； (3)若，则 ； (4)找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是 ； (5)当x满足 时，的最小值是 ； (6)根据第（5）小题的探索，当 时，式子的值最小，最小值为 ； (7)若点A表示的数，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 12．点在数轴上的位置如图所示，表示数轴上点A与点之间的距离．若点表示的数为，点表示的数为，且． (1)______，______； (2)动点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒，当为多少秒时，两点之间的距离为4？ (3)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，如的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点之间的距离． ①若，则的取值范围为______； ②直接写出当或时，的最小值． 13．阅读下面材料：若已知点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为，则． 回答下列问题： (1)①点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为______； ②点表示数，点表示数，如果，那么的值为______； (2)①如果，那么______，______； ②当代数式取最小值时，相应的整数的个数为______； (3)在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动．在此过程中，点的运动速度始终保持每秒个单位长度，设点的运动时间为秒．在整个运动过程中，请直接用含的代数式表示． 14．如图，己知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且． (1)写出数轴上点B表示的数__________． (2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： ①若，则__________ ②的最小值为__________； (3)动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．求当t为__________时，A、P两点之间的距离为4． 15．如图，数轴上三点分别表示的数是，点表示的数为． 【阅读材料】在数轴上，数表示的点到原点的距离叫做的绝对值，记为；数轴上数表示的点与数表示的点之间的距离记为（或；数轴上数表示的点到数表示的点与数表示的点的距离之和记为． 【初步应用】 （1）填空：若，则______；若，则______； 【延伸探究】 （2）若点表示的数为，则的最小值是______； 【拓展探究】 （3）若点表示的数为，当取最小值时，动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，到达点后立即以每秒1个单位长度的速度返回点A；动点从点出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，当到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度返回点，同时开始运动，且各自返回到起点时停止运动．求经过多少秒时，点、点之间的距离恰好等于点到点之间的距离． 16．如图，数轴上从左到右排列的，，三点的位置如图所示．点表示的数是3，和两点间的距离为8，和两点间的距离为4． (1)求，两点分别表示的数； (2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，运动时间为秒． ①当点运动到与点和点的距离相等时，求的值； ②若同时，有，两动点分别从点，同时出发，都以每秒1个单位长度的速度沿着数轴向左运动，把点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，当取最小值时，求的最大值和最小值． 17．如图，O为数轴的原点，，，O为的中点，C为的中点． (1)求的长度； (2)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时，动点Q从O出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为t秒，当t满足什么条件时，有最小值，并求出该最小值． 18．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离； 可以理解为数轴上表示3与的两点之间的距离． 从“数”的角度看：数轴上表示4和的两点之间的距离可用代数式表示为：． 根据以上阅读材料探索下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是______；______；______；（直接写出最终结果） (2)等式几何意义______，则的值为______； (3)若为数轴上某动点表示的数，则式子有最小值吗？若有求出最小值，若没有，写出理由． 19．预备知识：在数学中，把点与点之间的距离用表示 如图，在数轴上点表示数点表示数点表示数，已知数是最小的正整数，且满足．    (1) ， ， ； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，运动秒钟后，求三点在数轴上所表示的数（用含的式子表示），若在此过程中，的值保持不变，求的值． (3)在此数轴有上一动点对应的数为，求的最小值． 20．如图两点之间相距3个单位长度，两点之间相距7个单位长度，点、在数轴上表示的数分别为．    (1)若以为原点，求． (2)若以为原点，求． (3)现有一动点从点开始沿数轴的正方向运动到达点停止： ①设点到两点的距离之和为，求的最小值； ②设点到三点的距离之和为，直接写出的最大值与最小值． 【题型3 探究数量关系】 21．点O为数轴的原点，点A、B在数轴上分别表示数a、b，且满足． (1)填空：______，______； (2)如图1，在数轴上有一点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的2倍，求点M在数轴上表示的数； (3)如图2，在数轴上有两个动点P，Q，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，求出m与n的数量关系． 22．如图，数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，且．      (1)______，______； (2)P为数轴上的动点，设Q为的中点，点P从点M向左运动时，请探究与的数量关系，并说明理由． 23．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 24．已知实数a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，且a，b，c满足两点之间的距离可用这两点对应的字母表示，如：点A与点B之间的距离可表示为 (1)______，______，______； (2)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒1个单位长度的速度向右运动，点C以每秒3个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，试探究AB和BC之间的数量关系； (3)若A，C两点的运动速度和运动方向与（2）保持一致，点B变为以每秒个单位长度的速度向右运动，当时，，求m的值． 25．如图所示，在数轴上点、、表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)则______，______，______； (2)点、B、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，．若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，、、之间是否存在怎样的数量关系？请说明理由． 26．已知实数a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，且a，b，c满足．两点之间的距离可用这两点对应的字母表示，如：点A与点B之间的距离可表示为AB． (1)a＝______，b＝______，c＝______； (2)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒5个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，试探究AB和BC之间的数量关系． 27．如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：． (1)直接写出：____________，_____________； (2)若，当点C、D运动了，求的值； (3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系． 28．如图，在数轴上，点A、B、C表示的数分别为－2、1、6（点A与点B之间的距离表示为AB）． （1）AB= ，BC= ，AC= ． （2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：2BC－AC的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求其值． （3）若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．求随着运动时间t的变化，AB、BC、AC之间的数量关系． 29．点O为数轴的原点，点A，B在数轴上分别表示数a，b，且a，b满足． (1)填空： ___________，___________，___________． (2)如图1，在数轴上有一点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，求点M在数轴上表示的数； (3)如图2，在数轴上有两个动点P，Q，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，求出m与n的数量关系． 30．已知点A在数轴上的对应的数为a，点B对应的数为b，且满足． （1）点A到点B的距离为__________（直接写出结果）； （2）如图，点P是数轴上一点，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍（即），求点P在数轴上对应的数； （3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴负方向运动；动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴负方向运动，且M，N两点同时开始运动，重合后同时停止运动，设点M的运动时间为x秒，则当时，x的值为__________（直接写出结果）； （4）如图，点M，N分别从点O，B同时出发，分别以，的速度沿数轴负方向运动（M在O，A之间，N在O，B之间），运动时间为t秒，点Q为O，N之间一点，且点Q到N的距离是点A到N的距离的一半（即），若M，N运动过程中Q到M的距离（即QM）总为一个固定的值，则与的数量关系为______（直接写出结果）． 【题型4 存在性问题】 31．已知有理数在数轴上对应的点分别为，且满足，． (1)分别求的值； (2)若点在数轴上对应的数为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为（提示：点在点的右侧时，．，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 32．已知如图，数轴上、、三点分别对应有理数、、，且满足． (1)求、、的值； (2)若点在之间，且，求点对应的数； (3)动点从点出发以2单位秒的速度向左运动，动点从点出发以4单位秒的速度向左运动，动点从点出发以单位秒的速度向左运动，三点同时出发，若三点同时到达同一点，求的值，并求点对应的数； (4)动点从点出发以2单位秒的速度向左运动，动点从点出发以4单位秒的速度向左运动，动点从点出发以6单位秒的速度向左运动，三点同时出发，在运动过程中，为的中点，为的中点，是否存在某时刻，、两点到原点的距离相等？若存在，求出运动时间． 33．如图：数轴上有A、B两点，分别对应的数为a，b，已知与互为相反数．点P为数轴上一动点，对应为x． (1)若点P到点A和点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A和点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； (3)当点P以每分钟1个单位长度的速度从O点向左运动，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B以每分钟7个单位长度向左运动，问几分钟时点P到点A、点B的距离相等？ 34．如图，点A，O，B在数轴上表示的数分别为，，，点C是数轴上一动点，其表示的数为x． (1)若点C到A、B两点的距离相等，求点C表示的数； (2)数轴上是否存在点C，使得点C在数轴上，且到点A，点B距离之和为25？若存在，求出x的值，若不存在，说明理由． 35．如图，在数轴上点A表示的数是，点表示的数是，且．    (1)直接写出的值，________，________，________； (2)动点从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点在数轴上运动，点的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，设它们的运动时间为秒． ①若点A向右运动，点向左运动，，求的值； ②若点A向左运动，点向右运动，在原点右侧有一点，问是否存在的值使得关系式成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 36．在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离可以记作或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为，0，． (1)直接写出结果， ， ； (2)设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段的中点，则 ； ②若点P为线段上的一个动点，则的化简结果是 ； (3)动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 37．数轴上有三个点，分别代表的整数是，点在数轴上的位置如图，，满足． (1)______，______，______，点与点之间的距离是______； (2)点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动，点同时运动，设运动时间为秒，回答下列问题： ①秒时，点A对应的数为______；点对应的数为______；点对应的数为______．（用含的式子表示） ②若点A与点之间的距离记为，点与点之间的距离记为，是否存在有理数，使得代数式的值为定值？若存在，求出的值及该定值，若不存在，请说明理由． 38．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最大的负整数，a，c满足，请回答下列问题： (1)__________， __________， __________． (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与表示某数的点重合，则此数为__________． (3)有一动点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点C开始以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 39．阅读材料 材料：学习绝对值时，我们知道表示数a的点与原点的距离，即，也可以说表示数轴上数a与数0对应的两点之间的距离，同理，数轴上数a和数b两点间的距离可以表示为或． 例如数轴上表示和3的两点间的距离为或． 发现解题规律： 若，则或； 若，则或，得或； 若，则或，得或． 结合上面的发现解决下列问题． (1)数轴上表示和4两点之间的距离是_______． (2)若，则__________或_______． (3)如图所示，当点A、B所表示的数分别为和2时，是否存在一点P，使得点P到A、B两点的距离之和等于7？若存在，设点P表示的数为x，求x的值；若不存在，请说明理由． 40．如图，数轴上有两点，分别对应的数为，已知与互为相反数，点为数轴上一动点，对应为， (1)______；______ (2)若点到点和点的距离相等，则点对应的数是______ (3)数轴上是否存在点，使点到点和点的距离之和为5？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由． (4)当点以每分钟1个单位长度的速度从点向左运动，点以每分钟5个单位长度向左运动，问几分钟时点到点，点的距离相等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 第1章第2章合集数轴动点问题分类训练2（4种类型40道） 知识归纳 1.数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴； 2.数轴三要素：原点、正方向、单位长度是数轴三要素； 3.有理数与数轴上点的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，一般地，设a为一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离为a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离也为a单位长度； 重点题型 【题型1 动点定值问题】 1 【题型2 动点最值问题】 16 【题型3 探究数量关系】 31 【题型4 存在性问题】 46 【题型1 动点定值问题】 1．如图，数轴上点A，（点A在点左边）所对应的数，满足．P为数轴上一动点，其对应的数为，为原点． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若点为线段的中点，当点P在线段的延长线上运动时，的值是否为定值（即确定的值，不因点P位置的变化而变化）？如是，请求出这个定值；如不是，也请说明理由． 【答案】(1)6或4． (2)或 (3)是定值，定值为2 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，非负数的性质，一元一次方程的应用．要分类讨论是解题关键． （1）由非负数的性质求出a、b的值，再根据两点距离公式，由，列出方程，求解即可． （2）分两种情况，当点在A，两点之间时，当点在的左边时，根据两点距离公式，由，列出方程求解即可． （3）根据点为线段的中点，得点对应的数为1，则，从而求得，代入计算即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 所以，． 由题意得：＝1， 所以，或4． （2）解：当点在A，两点之间时， ，解得． 当点在A的左边时， ，解得． 所以，或． （3）解：的值为定值． 因为点为线段的中点， 所以点对应的数为，则 所以， 所以． 2．如图，点是数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且满足 (1)求线段的长； (2)点从出发向右运动，速度为每秒2个单位，运动时间为，当点为的三等分点时，求的值； (3)为数轴上两个动点（点在点的左侧），它们的运动方向相同，速度相同，且，若为定值的时长为2秒，为定值的时长为8秒，求点的速度． 【答案】(1) (2)当点为的三等分点时，的值为或 (3)点的速度为每秒个单位长度 【分析】（1）先根据非负数的性质得出，，即可得出的值，从而得出点对应的数为，点对应的数为，再根据数轴上两点间的距离进行计算即可； （2）根据题意得点表示的数为，则，，分两种情况：当时，当时，分别得出一元一次方程，解方程即可得出答案； （3）由题意得长为定值，设，，要使为定值，只有当时，才为定值，此时需要满足分别在两侧，令点从出发向左运动，直到运动到时，都为定值，此时点运动的距离为的长，即，从而得出， 要使为定值，只有当时，才为定值，此时在之间，令点从出发向右运动，直到运动到时，都为定值，此时点运动的距离为的长，即，，联立①②求解即可． 【详解】（1）解：，，， ，， 解得：，， 点对应的数为，点对应的数为， ； （2）解：点从出发向右运动，速度为每秒2个单位，运动时间为， 点表示的数为， 点为的三等分点， 点在之间， ，， 当时，则， 解得：， 当时，则， 解得：， 当点为的三等分点时，的值为或； （3）解： 为数轴上两个动点（点在点的左侧），它们的运动方向相同，速度相同， 长为定值， 设，， 如图，要使为定值，只有当时，才为定值，此时需要满足分别在两侧， ， 令点从出发向右运动，直到运动到时，都为定值，此时点运动的距离为的长，即， 为定值的时长为2秒， ， 如图，要使为定值，只有当时，才为定值，此时在之间， ， 令点从出发向右运动，直到运动到时，都为定值，此时点运动的距离为的长，即， 为定值的时长为8秒， ， 联立①②解得：， 点的速度为每秒个单位长度． 【点睛】本题考查了非负数的性质、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 3．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且．    (1)填空， ______， ______，A，B两点之间的距离______． (2)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2023次时，求点P所对应的有理数． (3)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、B两点之间上，且的值始终是一个定值，求D点运动的方向及m的值． 【答案】(1)，16，21 (2) (3)D点是从原点向左运动，此时m的值为 【分析】（1）根据非负数的性质可求出a，b的值，然后根据两点间的距离求出的长即可； （2）根据向左移动为减法，向右移动为加法，列式可得答案． （3）①当点D从原点向左运动和②当点D从原点向右运动两种情况求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，16，21； （2）由题意得： ． 此时点P所对应的有理数是． （3）①当点D从原点向左运动时， ， ∵的值始终是一个定值． ∴， 解得； ∴D点是从原点向左运动，m的值为； ②当点D从原点向右运动时． ， ∵的值始终是一个定值． ∴， 解得； ∵，故此种情形不存在． 综上所述，D点是从原点向左运动，此时m的值为． 【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，非负数的性质，数轴上的动点问题，以及一元一次方程的知识，掌握数轴上两点的距离的表示方法是解决问题的关键． 4．已知点A在数轴上表示的数为a，点B表示的数为b. (1)若a，b满足，求线段的长； (2)在（1）的条件下，若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒，当点P与点Q相距4个单位长度时，求t的值； (3)若动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒b个单位长度的速度也向右匀速运动，设运动t秒后，点P表示的数为m，点Q表示的数为n.是否存在有理数a和b，使得无论t为何值，代数式为定值3，若存在，求a，b的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)７ (2)或 (3)存在，， 【分析】（1）根据偶次方以及绝对值的非负性可得答案； （2）分相遇前相距4个单位长度以及相遇后相距4个单位长度列方程求解即可； （3）根据题意可得，，根据若无论t为何值，等式恒成立，可得，整理得，则，，求解即可． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴，， ∴线段的长为个单位长度； （2）点P表示，点Q表示， 当P在Q左侧且相距4个单位长度时，则，解得：； 当P在Q右侧且相距4个单位长度时，则，解得：. 综上所述：当点P与点Q相距4个单位长度时，t的值为或； （3）依题意得：，， ∵无论t为何值，，即， 整理得：， ∴，， 解得：，， ∴存在，时，无论t为何值，代数式为定值3 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上表示有理数，绝对值的非负性，一元一次方程的应用等知识点，读懂题意，根据题意表示出移动后P，Q表示的有理数是解本题的关键． 5．如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足． (1) ； ； (2)动点P，Q分别从点A，点B同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度． ①几秒时，点P与点Q距离6个单位长度？ ②动点P，Q分别从点A，点B出发的同时，动点R也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为．设运动时间为t秒，请问：是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此n值和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①8秒或20秒时，点P与点Q距离6个单位长度；②存在，当n的值为4时，使得在运动过程中，的值是定值，定值为34. 【分析】本题考查一元一次方程的应用，涉及数轴上的动点问题； （1）由绝对值和平方的非负性可得答案； （2）设运动时间为t秒，P表示的数为，Q表示的数为， ①根据点P与点Q距离6个单位长度得，即可求解； ②R表示的数是，可表示出，，，即得 ，当时，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴ 解得： （2）解：①运动时间为t秒，P表示的数为，Q表示的数为， ∵点P与点Q距离6个单位长度， ∴ 解得：或， ∴8秒或20秒时，点P与点Q距离6个单位长度； 解：②存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值， R表示的数是， ∵， ∴，， ∴ 当，即时， 的值为34， n的值为4时，的值是定值，定值为34； 6．如图，点A表示的数是a，点B表示的数是b，满足，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为（）秒， (1)直接写____，____， (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发， ①问点P运动多少秒时追上点Q？ ②问点P运动多少秒时使得？ (3)点P、Q以（2）中的速度同时分别从点A、B向右运动，同时点R从原点O以每秒7个单位的速度向右运动，是否存在常数m，使得的值为定值，若存在请求出m值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10， (2)①9②7或11 (3)存在常数使得的值为定值 【分析】本题考查了数轴上动点问题以及两点之间的距离、一元一次方程的应用、绝对值的非负性： （1）根据绝对值的非负性可得到结果； （2）先分别用t表示出点P和点Q，①根据距离相等可列得等式；②根据距离为4也可求得结果； （3）先分别用t表示出点P和点Q以及点R，分别用t表示出，然后化简，根据是定值可求得结果； 用t表示出点所代表的数是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：10，； （2）解：当运动时间为t秒时，点Q表示的数为， 点P表示的数为， ①由题意可得， 解得：， ∴点P运动9秒时追上点Q； ②由题可得：， 即， 解得：， ∴点P运动7秒或者11秒时使得； （3）解：当运动时间为t秒时，点Q表示的数为， 点P表示的数为， 点R表示的数为， ∴，， ∴， ∵的值为定值， ∴， 解得：， ∴存在常数使得的值为定值． 7．阅读：如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是，，，A到C的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题：    (1)填空：__________，__________； (2)现有动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向右移动，同时点Q从A点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒，求P、Q两点间的距离（用含t的代数式表示）． (3)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、C两点之间的线段上，且的值始终是一个定值，求D点运动的方向及m的值． 【答案】(1)10；16 (2) (3)D点运动的方向为从原点向左运动，m的值为 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离及数轴上动点问题： （1）根据数轴上两点间的计算方法可得解； （2）分类讨论：当P、Q两点相遇前和当P、Q两点相遇后，根据的长度为数量关系可得解； （3）分类讨论：当点D从原点向左运动时；当点D从原点向右运动时；根据的值始终是一个定值，即t的系数为0时，得出m的值，根据可得解； 利用数形结合和分类讨论的思想方法是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴得： ，， 故答案为：10；16． （2）当P、Q两点相遇时，由题意得： ， 解得：（秒）， 分两种情况： 当P、Q两点相遇前： ， 当P、Q两点相遇后： ， 综上所述，． （3）当点D从原点向左运动时： ， 的值始终是一个定值， ， 解得：； 当点D从原点向右运动时： ， 的值始终是一个定值， ， 解得：； ， 此情况不存在， 综上所述，D点运动的方向为从原点向左运动，m的值为． 8．如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且．动点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点P运动时间为t秒    (1)填空： ； ；的距离为 ； (2)点P运动多少秒后，成立？ (3)当点P在A，B之间运动时，如果点M为的中点，请你探究式子是否是定值，如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由 【答案】(1)8，，14 (2)点P运动秒或7秒时，； (3)当时，为定值，该定值为2． 【分析】（1）利用非负数的性质求得a，b的值，再利用数轴上两点之间的距离公式即可求得的距离； （2）设运动时间为t秒，可得，，即有，从而解得或，即可得到答案； （3）运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，可以表示出中点M所表示的数为，再分类讨论，当时，当时，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵． ∴，， ∴点A表示的数为8，点B表示的数为， ∴， 故答案为：8，，14； （2）解：设运动时间为t秒，则运动后Q表示的数是，点P表示的数是， ∴，， ∵， ∴， 解得或； 答：点P运动秒或7秒时，； （3）解：运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，则中点M所表示的数为， ∴， ∴当时， ； 当时， ， ∴当时，为定值，该定值为2． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示运动后点表示的数． 9．如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足． (1) ； ； (2)动点P，Q分别从点A，点B同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度． ①t秒时，点P表示的数是 ，点Q表示的数是 ． ②动点P，Q分别从点A，点B出发的同时，动点R也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒n（n＞1）个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为．设运动时间为t秒，请问：是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此n值和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，5 (2)①②当时，的值为定值，这个定值是59或时，的值为 【分析】（1）由绝对值和平方的非负性可得答案； （2）①t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是； ②根据题意得R表示的数是，故，当时，，可得时，为定值59；当时，，故时，为定值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：，5； （2）①t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是； 故答案为：； ②存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值，理由如下： 根据题意得R表示的数是， ∴， ∴， 当时，， ∴时，为定值59； 当时，， ∴时，为定值； 综上所述，当时，的值为定值，这个定值是59或时，的值为． 10．如图1，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点B在点A的右侧．已知a，b满足，则：    (1)______，______． (2)若动点P、Q分别从点A、B处同时向右移动，点P的速度为4个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，设运动时间为t秒． ①当t为何值时，P、Q两点重合？ ②当t为何值时，P、Q两点相距8个单位长度？ ③如图2，点M是的中点，在点P、Q同时间右移动的过程中，试判断的值是否为定值？并说明理由．    【答案】(1) (2)①②或③是定值，理由见解析 【分析】（1）非负性求出的值即可； （2）①根据相遇时，点移动的距离等于点移动的距离加上的距离，列出方程即可； ②表示出的距离，列出方程进行求解即可； ③表示出，的距离，相减即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①∵， ∴， 由题意，得：， 解得：； ②由题意，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴或； ③是定值，理由如下： ∵点表示的数为，为的中点， ∴表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴为定值． 【点睛】本题考查非负性，两点间的距离，一元一次方程的应用，整式的加减运算．熟练掌握两点间的距离公式，正确的列出方程和代数式，是解题的关键． 【题型2 动点最值问题】 11．阅读材料：若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点间的距离表示为，则．如，，则，所以式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； (2)若，则 ； (3)若，则 ； (4)找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是 ； (5)当x满足 时，的最小值是 ； (6)根据第（5）小题的探索，当 时，式子的值最小，最小值为 ； (7)若点A表示的数，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 【答案】(1) (2)5或 (3) (4)整数x为：，，，，，0，1，2 (5)，3 (6)0，4 (7)运动9秒或11秒后， 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、化简绝对值、一元一次方程的应用： （1）根据在数轴上A、B两点之间的距离直接列式表示，即可作答； （2）运用绝对值的性质，化简计算，即可作答； （3）运用绝对值的性质，化简计算，即可作答； （4）根据绝对值的几何意义可知位于和之间，结合整数的定义，即可得出答案； （5）根据绝对值的几何意义可知的位置，结合两点之间的距离可得答案； （6）根据绝对值的几何意义可知的位置，结合两点之间的距离可得答案； （7）根据的距离为1，列出方程，解方程，可得答案． 【详解】（1）解：由两点间的距离公式得， 故答案为：5． （2）解：， 或， 或， 故答案为：5或． （3）解：， 或， ， 故答案为：． （4）解：， ，即到的距离与到的距离之和为7， 和之间的距离为7， 位于和之间， 整数x为：，，，，，0，1，2． （5）解：3和6之间的距离为3， 当或时，x到3的距离x到6的距离， x位于3和6之间， 有最小值是3， 故答案为：，3． （6）解：由得， x位于和3之间，且当时，， 此时最小值为4， 故答案为：0，4． （7）解：点A表示的数为，，且点B在点A的右侧， 点B表示的数为9． 设运动时间为t秒， 点P表示的数为，点Q表示的数为， ，， 当P在Q的左侧时， ， ， ， ． 当P在Q的右侧时， 同理：， ． 答：运动9秒或11秒后，． 12．点在数轴上的位置如图所示，表示数轴上点A与点之间的距离．若点表示的数为，点表示的数为，且． (1)______，______； (2)动点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒，当为多少秒时，两点之间的距离为4？ (3)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，如的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点之间的距离． ①若，则的取值范围为______； ②直接写出当或时，的最小值． 【答案】(1)，8． (2)2或6秒； (3)①；②13． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、偶次方及绝对值的非负性、数轴以及列代数式，解题的关键是： （1）由偶次方及绝对值的非负性，可求出a,b的值，进而可得出结论； （2）分点M在点B的左侧及点M在点B的右侧两种情况考虑，由，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）①根据绝对值的几何意义找出所有符合条件的x,再利用有理数的加减运算法则求和即可得；②分，及三种情况，利用数轴上两点间的距离公式可用含x的代数式（或数）表示出，再结合代数式值变化的规律，即可找出的最小值． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴点A表示的数为，点B表示的数为8， 故答案为：，8． （2）解：当点M在点B的左侧时，， 解得：； 当点M在点B的右侧时，， 解得：． 答：当t为2或6时，B、M两点之间的距离为4． （3）解：①当时，， ， 随x的增大而减小， ； 当时，； 故答案为：； ②当时，， ， 随x的增大而增大， ． 的最小值为13． 故答案为：13． 13．阅读下面材料：若已知点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为，则． 回答下列问题： (1)①点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为______； ②点表示数，点表示数，如果，那么的值为______； (2)①如果，那么______，______； ②当代数式取最小值时，相应的整数的个数为______； (3)在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动．在此过程中，点的运动速度始终保持每秒个单位长度，设点的运动时间为秒．在整个运动过程中，请直接用含的代数式表示． 【答案】(1)① ②或 (2)①，② (3)当时，，当时，，当时，，当时， 【分析】此题主要考查有理数与数轴的应用， （）①根据、两点之间的距离公式即可求解； ②根据及、两点之间的距离公式分情况讨论即可求解； （）①根据绝对值的非负性即可求解； ②根据代数式的含义为点到和的距离之和，故可得到取最小值时，相应的整数的值，即可求解； （）根据点位置分情况讨论，用含的式子表示的长，即可求解． 解题的关键是根据题意分类讨论求解． 【详解】（1）①∵点表示数，点表示数， ∴、两点之间的距离表示为； ②点表示数，点表示数， ∵， ∴ ∴或 ∴或 故答案为：①；②或； （2）①∵， ∴，， ∴，， ②代数式的含义为点到和的距离之和， ∴当整数的值为这个值时，的最小值为， 即相应的整数的个数为个； 故答案为：①；；②； （3）在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是， ∴点表示的数是，点表示的数是，、之间的距离， ∵点的运动速度始终保持每秒个单位长度，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动， ∴ 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，，当时，，当时， 14．如图，己知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且． (1)写出数轴上点B表示的数__________． (2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： ①若，则__________ ②的最小值为__________； (3)动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．求当t为__________时，A、P两点之间的距离为4． 【答案】(1) (2)①5或11；②20 (3)当为2或6时，之间的距离为4 【分析】本题考查了数轴一元一次方程的应用数轴上两点之间的距离，根据题意找到等量关系，列出方程求解，利用分类讨论思想解答是解题的关键； （1）根据两点间的距离公式可得数轴上点表示的数； （2）①根据绝对值的性质即可求解；②根据两点间的距离公式即可求解； （3）设经过秒时，之间的距离为4，根据距离的等量关系即可求解． 【详解】（1）解：点表示的数． 故答案为：； （2）①∵ ， 解得：或． 故答案为：5或11； ②根据题意得：表示数轴上表示有理数的点到表示有理数的点之间的距离与表示有理数的点到表示有理数8的点之间的距离的和， 所以的最小值为． 故答案为：20； （3）设经过t秒时，之间的距离为4，此时点表示的数是，则， 整理得：或， 解得：或， 故当为2或6时，之间的距离为4． 15．如图，数轴上三点分别表示的数是，点表示的数为． 【阅读材料】在数轴上，数表示的点到原点的距离叫做的绝对值，记为；数轴上数表示的点与数表示的点之间的距离记为（或；数轴上数表示的点到数表示的点与数表示的点的距离之和记为． 【初步应用】 （1）填空：若，则______；若，则______； 【延伸探究】 （2）若点表示的数为，则的最小值是______； 【拓展探究】 （3）若点表示的数为，当取最小值时，动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，到达点后立即以每秒1个单位长度的速度返回点A；动点从点出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，当到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度返回点，同时开始运动，且各自返回到起点时停止运动．求经过多少秒时，点、点之间的距离恰好等于点到点之间的距离． 【答案】（1）7或，0；（2）8；（3）当经过秒或秒或秒或秒时，点、点之间的距离恰好等于点到点之间的距离． 【分析】（1）根据绝对值的意义即可； （2）根据题意得出可以表示为点P到与4的距离之和，结合数轴即可得出结果； （3）若点表示的数为，当取最小值时，，设经过的时间为，故点表示的数为，再分四种情况讨论，四种情况分别是：当点M、N第一次相遇之前时，即时， 当点M、N第一次相遇之后时，即时，当时，即第二次相遇之前时，当时，即第二次相遇之后时．分别求解即可 【详解】解：（1）∵， 或， ∵， ， 故答案为：7或，0； （2）可以表示为点P到与4的距离之和， 当点P在与4之间时，取得最小值为8， 故答案为：8； （3）若点表示的数为，当取最小值时，， 设经过的时间为，故点表示的数为， ∴点到点之间的距离为， ∵动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，动点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动， ∴相遇时：，点M到点C的时间为，点N到点A的时间为；两个点同时回到终点时间为； 当点M、N第一次相遇之前时，即时， 点M表示的数为，点N表示的数为：， ∴， 解得：； 当点M、N第一次相遇之后时，即时， 点M表示的数为，点N表示的数为：， ∴， 解得：； ∵动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，到达点后立即以每秒1个单位长度的速度返回点A；动点从点出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，当到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度返回点， ∴第二次相遇时满足：， 解得：， 当时，即第二次相遇之前时， 点M表示的数为，点N表示的数为：， ， 解得：； 当时，即第二次相遇之后时， 点M表示的数为，点N表示的数为：， ， 解得：； 综上所述：当经过秒或秒或秒或秒时，点、点之间的距离恰好等于点到点之间的距离． 【点睛】本题主要考查整式的加减运算，绝对值与数轴的综合应用，解决此题时，能够熟练掌握绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数是解决此题的关键，注意进行分情况讨论． 16．如图，数轴上从左到右排列的，，三点的位置如图所示．点表示的数是3，和两点间的距离为8，和两点间的距离为4． (1)求，两点分别表示的数； (2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，运动时间为秒． ①当点运动到与点和点的距离相等时，求的值； ②若同时，有，两动点分别从点，同时出发，都以每秒1个单位长度的速度沿着数轴向左运动，把点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，当取最小值时，求的最大值和最小值． 【答案】(1)，7 (2)①5，②最小值是，最大值是4 【分析】本题考查两点间的距离公式，绝对值的意义，整式的加减运算． （1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）①根据题意，得到点为的中点，求出点表示的数，再进行求解即可；②表示出，，根据绝对值的意义，进行求解即可． 掌握两点间的距离公式，是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，得：点表示的数为；点表示的数为； （2）①当点运动到与点和点的距离相等时，点在中间，则点表示的数为， ∴； ②由题意，得：点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴，表示数轴上表示的点到与表示的点的距离之和， ∴当，即时，取最小值， ∴的最小值是，最大值是4． 17．如图，O为数轴的原点，，，O为的中点，C为的中点． (1)求的长度； (2)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时，动点Q从O出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为t秒，当t满足什么条件时，有最小值，并求出该最小值． 【答案】(1)1 (2)当，有最小值，最小值为． 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，绝对值的几何意义，数轴上两点距离计算： （1）先根据线段中点的定义得到，进而得到，再由线段中点的定义得到，则； （2）由（1）得点A表示的数为，点B表示的数为3，点C表示的数为，则运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为t，根据两点距离计算公式得到，，则，由绝对值的几何意义可知，表示的数数轴上表示t的数到表示2和表示3的数的距离之和，故当时，的值最小，即此时的值最小，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∴； （2）解：由（1）得点A表示的数为，点B表示的数为3，点C表示的数为， ∴运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为t， ∴，， ∴， 由绝对值的几何意义可知，表示的数数轴上表示t的数到表示2和表示3的数的距离之和， ∴当时，的值最小，即此时的值最小， ∴当，有最小值，最小值为． 18．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离； 可以理解为数轴上表示3与的两点之间的距离． 从“数”的角度看：数轴上表示4和的两点之间的距离可用代数式表示为：． 根据以上阅读材料探索下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是______；______；______；（直接写出最终结果） (2)等式几何意义______，则的值为______； (3)若为数轴上某动点表示的数，则式子有最小值吗？若有求出最小值，若没有，写出理由． 【答案】(1)7；2；6 (2)数轴上表示x和两点之间的距离是4；或2 (3)有；最小值是4 【分析】（1）直接根据数轴上两点之间的距离公式和绝对值的意义求解即可； （2）根据绝对值的几何意义进行解答即可； （3）由于所给式子表示x到和3的距离之和，当x在和3之间时和最小，故只需求出和3的距离即可． 【详解】（1）解：数轴上表示2和的两点之间的距离是， ， ； 故答案为：5；2；6． （2）解：等式几何意义表示：数轴上表示x和两点之间的距离是4； 当x表示的点在表示点的左侧时，， 当x表示的点在表示点的右侧时，， 故答案为：数轴上表示x和两点之间的距离是4；或2； （3）解：式子有最小值；且最小值为4； ∵表示x到和3的距离之和， ∴当x在和3之间时距离和最小，最小值为：， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数；会灵活运用数轴上两点之间的距离解决问题是解答的关键． 19．预备知识：在数学中，把点与点之间的距离用表示 如图，在数轴上点表示数点表示数点表示数，已知数是最小的正整数，且满足．    (1) ， ， ； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，运动秒钟后，求三点在数轴上所表示的数（用含的式子表示），若在此过程中，的值保持不变，求的值． (3)在此数轴有上一动点对应的数为，求的最小值． 【答案】(1)，1，7 (2)点A表示的数为，点B表示的数为；点C表示的数为， (3)9 【分析】（1）根据数是最小的正整数，得出，根据绝对值和平方的非负性得出，即可得出a和c的值； （2）根数两点之间的距离表示方法，即可得出t秒后A、B、C三点表示的数，得出关于t的表达式，根据的值保持不变可知，的值与t无关，即可求出m的值． （3）根据绝对值的几何意义，可得表示点Q和的距离，表示点Q和7的距离，则当点Q在和7之间时，的值最小，即可求解． 【详解】（1）解：∵数是最小的正整数， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：，1，7； （2）解：根据题意可得： ∵， ∴t秒中后，点A表示的数为，点B表示的数为；点C表示的数为， ∴，， ∴， ∵的值保持不变， ∴的值与t无关，即， 解得：； （3）解：∵， ∴表示点Q和的距离， ∵表示点Q和7的距离， ∴当点Q在和7之间时，的值最小， 此时． 【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，绝对值的几何意义，数轴上两点之间距离的表示方法，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0，以及数轴上两点之间距离的表示方法． 20．如图两点之间相距3个单位长度，两点之间相距7个单位长度，点、在数轴上表示的数分别为．    (1)若以为原点，求． (2)若以为原点，求． (3)现有一动点从点开始沿数轴的正方向运动到达点停止： ①设点到两点的距离之和为，求的最小值； ②设点到三点的距离之和为，直接写出的最大值与最小值． 【答案】(1) (2) (3)①3；②最大值17，最小值10． 【分析】（1）若以为原点，确定，计算即可； （2）若以为原点，确定，计算即可； （3）①分点在两点之间和点在两点之间两种情况讨论即可； ②分点P在不同的位置进行讨论即可； 【详解】（1）若以为原点，则 ， ； （2）若以为原点，则， ； （3）①当点在两点之间时，为定值，此时； 当点在两点之间时，两点之间的距离大于，即大于3，故的最小值是3； ②当点在点时，； 当点在点时，； 当点在点时，； 当点在两点之间时，； 当点在两点之间时； 故最大值17，最小值10． 【点睛】该题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是进行分类讨论． 【题型3 探究数量关系】 21．点O为数轴的原点，点A、B在数轴上分别表示数a、b，且满足． (1)填空：______，______； (2)如图1，在数轴上有一点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的2倍，求点M在数轴上表示的数； (3)如图2，在数轴上有两个动点P，Q，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，求出m与n的数量关系． 【答案】(1)，2 (2)点M对应的数为或； (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是数轴、绝对值和非负数，解题的关键是根据数轴的特点，表示出点表示的数和线段的长度． （1）根据非负性计算可得； （2）根据题意得，解方程求解即可； （3）分别表示出点P与点C表示的数，表示出的长度，因为的长度是定值，故含字母的部分为0，解出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：，2； （2）解：设点M对应的数为x，点A对应的数为，点B对应的数为2， ∵点M到点B的距离是点M到点A的距离的2倍， ∴， 整理得或， 解得或 综上所述：点M对应的数为或； （3）解：，理由如下： 设运动时间为t秒，根据题意得：， ∴， ∵点C为线段的中点， ∴， 点C表示的数为：， 点P表示的数为：， ∴， ∵线段的长度总为一个固定的值， ∴， ∴． 22．如图，数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，且．      (1)______，______； (2)P为数轴上的动点，设Q为的中点，点P从点M向左运动时，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，，理由见详解 【分析】本题考查了绝对值的非负性，线段的中点、和差的计算， （1）根据几个非负性项之和为0，则每一个非负性均为0，据此即可求解； （2）分当点P在线段上时；当点P在点N左侧，点Q在线段上时；当点P、点Q均在点N左侧时，三种情况讨论，画出图形，根据线段的中点、和差即可计算求解． 【详解】（1）∵， 又∵，， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，，理由如下： 设点P表示的数为x， ∵，， ∴， 当点P在线段上时，如图，    ∵点P表示的数为x，点N表示的数为，点M表示的数为， ∴，， ∴， ∵Q为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在点N左侧，点Q在线段上时，即，如图，    ∴，， ∴， ∵Q为的中点， ∴，且， ∴， 则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点P、点Q均在点N左侧时，如图，    ∴，， ∴， ∵Q为的中点， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，． 23．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)10，1 (2)当或或时，P，Q两点间距离为3 (3)，理由见详解 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离和中点坐标，数轴上动点问题以及分类讨论思想， 结合点和点表示的数，利用两点之间距离即可求得，利用中点坐标即可求得线段的中点表示的数； 当点P与点B重合时，求得；同理求得点Q与点A重合时的t；当点Q返回到点B时的t，当时，点P表示的数，点Q表示的数，结合题意即可列出方程求的t；当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，同理求的t即可； 根据题意得，，当点到达点之前，即当时，点M表示的数是，点N表示的数是，即可得即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为6， ∴， 线段的中点表示的数为∶， 故答案为：10，1 （2）当点P与点B重合时，； 当点Q与点A重合时，； 当点Q返回到点B时，， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得或 (不符合题意，舍去)， 综上所述，当或或时，P，Q两点间距离为3． （3），理由如下： ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， 当点到达点之前，即当时， 点M表示的数是， 点N表示的数是， ∵， ∴， ∴． 24．已知实数a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，且a，b，c满足两点之间的距离可用这两点对应的字母表示，如：点A与点B之间的距离可表示为 (1)______，______，______； (2)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒1个单位长度的速度向右运动，点C以每秒3个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，试探究AB和BC之间的数量关系； (3)若A，C两点的运动速度和运动方向与（2）保持一致，点B变为以每秒个单位长度的速度向右运动，当时，，求m的值． 【答案】(1)；1；6 (2) (3)或 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，以及数轴与绝对值，正确理解的变化情况是关键． （1）根据是最小的正整数，即可确定的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得的值； （2）根据题意得：秒后，表示的数为，表示的数为表示的数为，然后分别表示出线段长度作差即可求解； （3）分别求出当时，、、表示的数，得到和，根据列出方长，解之即可． 【详解】（1）解：∵，是最小的正整数， 故答案为：； （2）∵点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动， ∴秒后，表示的数为表示的数为 表示的数为， ； （3）当时，点表示，点表示，点表示， ， 则， 则，或， 解得：或． 25．如图所示，在数轴上点、、表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)则______，______，______； (2)点、B、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，．若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，、、之间是否存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)3，5，8 (2)不变，值为2 (3)①时，；②当时，；③当时，． 【分析】此题考查整式的加减的应用，数轴上两点之间的距离，解题关键在于结合数轴进行解答． （1）根据点A、B、C在数轴上的位置，写出、、的长度； （2）求出和的值，然后求出的值，判断即可； （3）分别表示出、、的长度，然后分情况讨论得出之间的关系． 【详解】（1）由图可得，，，， 故答案为：3，5，8； （2）， 故的值不会随着时间t的变化而改变，值为2； （3）由题意得，，或， 或， 当时，， 当时，， 当时，． 26．已知实数a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，且a，b，c满足．两点之间的距离可用这两点对应的字母表示，如：点A与点B之间的距离可表示为AB． (1)a＝______，b＝______，c＝______； (2)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒5个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，试探究AB和BC之间的数量关系． 【答案】(1)；1；5 (2) 【分析】（1）最小的正整数是1，从而得到，再结合非负性，求出，即可； （2）分别表示出t秒后，各点所表示的数，然后分别求出和，即可通过作差得出和的差值固定，不随时间发生改变，从而得出结论． 【详解】（1）解：最小的正整数是1，则， 由非负性得，，， ∴，， 故答案为：；1；5； （2）解：由题意，运动t秒后， 点A表示的数为：， 点B表示的数为：， 点C表示的数为：， ∴，， ∵， ∴和之间的数量关系为：． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，以及列代数式和整式的运算，理解绝对值等式子的非负性，准确求出数轴上各个点对应的数字是解题基础，掌握用代数式表示数轴上动点所在位置表示的数，并结合整式的加减运算法则计算是解题关键． 27．如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：． (1)直接写出：____________，_____________； (2)若，当点C、D运动了，求的值； (3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系． 【答案】(1)1，3 (2)8cm (3)或 【分析】（1）根据绝对值的非负性得出a-1=0，b-3=0，求解即可； （2）当C、D运动时，，，结合图形求解即可； （3）分两种情况：当点N在线段上时；当点N在线段的延长线上时；利用线段间的数量关系求解即可． 【详解】（1）解：∵|a−1|+|b−3|=0 ∴a-1=0，b-3=0， ∴a=1，b=3， 故答案为：1；3； （2）当C、D运动时，，， ∴ ． （3）当点N在线段上时， ∵， 又∵， ∴， ∴． 当点N在线段的延长线上时， ∵， 又∵， ∴． 综上所述，或． 【点睛】题目主要考查绝对值的非负性及点的运动，线段间的数量关系等，理解题意，根据图象得出线段间的数量关系是解题关键． 28．如图，在数轴上，点A、B、C表示的数分别为－2、1、6（点A与点B之间的距离表示为AB）． （1）AB= ，BC= ，AC= ． （2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：2BC－AC的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求其值． （3）若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．求随着运动时间t的变化，AB、BC、AC之间的数量关系． 【答案】（1）3，5，8；（2）不会，理由见解析；（3）当t<1时，AB+BC=AC；当t大于或等于1，且t小于或等于2时，BC+AC=AB；当t>2时，AB+AC=BC 【分析】（1）根据点A、B、C在数轴上的位置，写出AB、BC、AC的长度； （2）求出BC和AC的值，然后求出2BC−AC的值，判断即可； （3）分别表示出AB、BC、AC的长度，然后分情况讨论得出之间的关系． 【详解】解：（1）由图可得，AB＝3，BC＝5，AC＝8， 故答案为：3，5，8； （2）2BC−AC的值不会随着时间t的变化而改变． 设运动时间为t秒， 则2BC−AC ＝2[6＋5t−（1＋2t）]−[6＋5t−（−2−t）] ＝12＋10t−2−4t−8−6t ＝2， 故2BC−AC的值不会随着时间t的变化而改变； （3）由题意得，AB＝t＋3， BC＝5−5t（t＜1时）或BC＝5t−5（t≥1时）， AC＝8−4t（t≤2时）或AC＝4t−8（t＞2时）， 当t＜1时，AB＋BC＝（t＋3）＋（5−5t）＝8−4t＝AC； 当1≤t≤2时，BC＋AC＝（5t−5）＋（8−4t）＝t＋3＝AB； 当t＞2时，AB＋AC＝（t＋3）＋（4t−8）＝5t−5＝BC． 【点睛】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是能求出两点间的距离． 29．点O为数轴的原点，点A，B在数轴上分别表示数a，b，且a，b满足． (1)填空： ___________，___________，___________． (2)如图1，在数轴上有一点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，求点M在数轴上表示的数； (3)如图2，在数轴上有两个动点P，Q，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，求出m与n的数量关系． 【答案】(1)，3，8 (2)或 (3) 【分析】（1）根据，利用非负数的性质得，可得，； （2）设点M对应的数为x，点A对应的数为，点B对应的数为3，分三种情况分别讨论：①当点M在点A的左侧时，，，根据题意得，可得；②当点M在线段之间时，，，根据题意得，可得；③当点M在点B右侧时，不满足题意； （3）设运动时间为t秒，根据题意得，，，，，根据线段的长度总为一个固定的值，可得． 【详解】（1）解： 得 （2）解：设点M对应的数为x，点A对应的数为，点B对应的数为3， ①当点M在点A的左侧时 则， 点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍 解得 ②当点M在线段之间时 则， 点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍． 解得 ③当点M在点B右侧时，不满足题意． 综上所述：点M对应的数为或． （3）解：，理由如下： 设运动时间为t秒，根据题意得： ，， ， 点C为线段的中点， 线段的长度总为一个固定的值． 【点睛】本题考查非负数的性质，数轴上两点的距离公式，绝对值方程的应用，数轴上的动点问题，熟练掌握各知识点，并利用数形结合的思想是解答本题的关键． 30．已知点A在数轴上的对应的数为a，点B对应的数为b，且满足． （1）点A到点B的距离为__________（直接写出结果）； （2）如图，点P是数轴上一点，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍（即），求点P在数轴上对应的数； （3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴负方向运动；动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴负方向运动，且M，N两点同时开始运动，重合后同时停止运动，设点M的运动时间为x秒，则当时，x的值为__________（直接写出结果）； （4）如图，点M，N分别从点O，B同时出发，分别以，的速度沿数轴负方向运动（M在O，A之间，N在O，B之间），运动时间为t秒，点Q为O，N之间一点，且点Q到N的距离是点A到N的距离的一半（即），若M，N运动过程中Q到M的距离（即QM）总为一个固定的值，则与的数量关系为______（直接写出结果）． 【答案】（1）8；（2）或；（3）；（4）． 【分析】（1）根据绝对值的非负性解得，再根据数轴上两点的距离解题即可； （2）根据题意列出，再由绝对值的非负性得到或，继而解得n的值即可求解； （3）M在数轴上对应的数是-2x，N在数轴上对应的数是5-3x，根据MN=3列出，再由绝对值的非负性解题，根据题意验根即可； （4）根据题意得，由已知条件解得QN、QM的长，再根据M，N运动过程中Q到M的距离（即QM）总为一个固定的值，得到即可解题． 【详解】（1） ， 故答案为：8； （2）设P对应的点数为n，根据题意得， 或 解得或； （3）M在数轴上对应的数是-2x，N在数轴上对应的数是5-3x， 或 当时， M在数轴上对应的数是-4<0，N在数轴上对应的数是-1， 两点未重合， 当时， M在数轴上对应的数是-16，N在数轴上对应的数是-19， -16>-19， 两点早已重合，（舍去）   故答案为：；                                                                                                                 （4） 到M的距离总为一个固定值 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴上动点问题，数轴上两点间的距离，涉及绝对值、一元一次方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 【题型4 存在性问题】 31．已知有理数在数轴上对应的点分别为，且满足，． (1)分别求的值； (2)若点在数轴上对应的数为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为（提示：点在点的右侧时，．，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值分别为1，， (2)的值为7或 (3)存在， 【分析】（1）由非负数的概念即可求解； （2）在数轴上应用两点的距离公式，即可求解； （3）表示出，的长度，即可求解． 本题考查有关数轴的问题，关键是掌握在数轴上两点距离的表示方法． 【详解】（1）∵满足， ∴且． 解得，． ∴． ∴的值分别为1，，． （2）由（1）得， ， ∴点表示的数为7或， ∴的值为7或； （3）假设存在常数，使得不随运动时间的改变而改变． 则依题意得：表示的数为，点表示的数为， ， ， ∴当时，不随运动时间的改变而改变，此时． 32．已知如图，数轴上、、三点分别对应有理数、、，且满足． (1)求、、的值； (2)若点在之间，且，求点对应的数； (3)动点从点出发以2单位秒的速度向左运动，动点从点出发以4单位秒的速度向左运动，动点从点出发以单位秒的速度向左运动，三点同时出发，若三点同时到达同一点，求的值，并求点对应的数； (4)动点从点出发以2单位秒的速度向左运动，动点从点出发以4单位秒的速度向左运动，动点从点出发以6单位秒的速度向左运动，三点同时出发，在运动过程中，为的中点，为的中点，是否存在某时刻，、两点到原点的距离相等？若存在，求出运动时间． 【答案】(1) (2)D 点对应的数为 (3)，E 点对应的数为 (4)存在，运动时间为 【分析】（1）由绝对值及偶次方的非负性可求出，，的值； （2）先设点对应的数为，根据数轴上两点间的距离可以用分别表示出，，，再根据求出即可； （3）设运动时间为，则点对应的数为：；点对应的数为：；点对应的数为：，然后根据三点到达同一点得出方程求解即可； （4）设运动时间为，则点对应的数为：；点对应的数为：；点对应的数为：，再根据，是中点，根据中点坐标公式求出，，根据、两点到原点的距离相等，列方程，求解即可． 此题考查一元一次方程的应用，数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． 【详解】（1）解：， 且且， 解得：，，， ，，； （2）解：设点对应的数为， 在之间，则， ，，， ， 解得：， 点对应的数为； （3）解：存在，设运动时间为， 则点对应的数为：；点对应的数为：；点对应的数为：， 三点到达同一点时，有， 解得，， 点对应的数为； （4）解：存在， 设运动时间为， 则点对应的数为：；点对应的数为：；点对应的数为：， 为中点， 对应的数为， 为的中点， 对应的数为， 、两点到原点的距离相等， 则， 解得或（舍去）， 存在某时刻，、两点到原点的距离相等，此时刻是运动到第秒． 33．如图：数轴上有A、B两点，分别对应的数为a，b，已知与互为相反数．点P为数轴上一动点，对应为x． (1)若点P到点A和点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A和点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； (3)当点P以每分钟1个单位长度的速度从O点向左运动，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B以每分钟7个单位长度向左运动，问几分钟时点P到点A、点B的距离相等？ 【答案】(1) (2)当的值为或时，点P到点A和点B的距离之和为5． (3)在分钟或分钟时点P到点A、点B的距离相等． 【分析】（1）根据P到A与到B距离相等，列方程求，计算求解即可； （2）根据题意列出关于x的方程，计算求解即可； （3）设第t分钟时，点P到点A、点B的距离相等，根据题意列出关于t的方程，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知， ∴，． ∵P点对应的数为x， ∴由题意得， 解得， ∴P对应的数为1． （2）存在．理由如下： 由题意得， 当时， ∴，不符合题意， 当时，化简得：，即； 当时，化简得：，即； ∴当的值为或时，点P到点A和点B的距离之和为5． （3）设第t分钟时，点P到点A、点B的距离相等． ∵为，为，为， ∴，． ∵， ∴． ∴①， 解得：． ②， 解得：． ∴在分钟或分钟时点P到点A、点B的距离相等． 【点睛】本题考查了数轴上的点的表示，数轴上两点之间的距离，数轴上动点，相反数与绝对值非负性的应用．一元一次方程的应用，解题的关键在于表示出数轴上点对应的数然后根据题意列方程． 34．如图，点A，O，B在数轴上表示的数分别为，，，点C是数轴上一动点，其表示的数为x． (1)若点C到A、B两点的距离相等，求点C表示的数； (2)数轴上是否存在点C，使得点C在数轴上，且到点A，点B距离之和为25？若存在，求出x的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)点C表示的数为2 (2)存在，x的值为或14.5 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离： （1）根据点C到A、B两点的距离相等，求得点A、B间的距离，再用点B表示的数减去A、B两点间距离的一半即可得到点C表示的数； （2）由A、B两点的距离为16，可知点C在不可能在点A，B之间，再分两种情况：①当点C在点A的左边时，②当点C在点B的右边时，求解即可． 【详解】（1）解：因为点C到A、B两点的距离相等，且点A、B间的距离为， 所以点C表示的数为． （2）解：存在，且x的值为或14.5．理由如下： 因为点A、B间的距离， 所以点C在不可能在点A，B之间， 所以当点C在数轴上，且到点A，点B距离之和为25时，以下两种情况： ①当点C在点A的左边时，； ②当点C在点B的右边时，． 综上所述，x的值为或14.5． 35．如图，在数轴上点A表示的数是，点表示的数是，且．    (1)直接写出的值，________，________，________； (2)动点从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点在数轴上运动，点的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，设它们的运动时间为秒． ①若点A向右运动，点向左运动，，求的值； ②若点A向左运动，点向右运动，在原点右侧有一点，问是否存在的值使得关系式成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；30；50 (2)①或  ②存在；当时，成立 【分析】（1）根据非负数的性质和两点间距离公式进行解答即可； （2）①根据题意得出，，根据，列方程求解即可； ②设P点对应的数是x，由题意t秒时，点A，B，C所对应的数分别为，，，由题意得出，解方程可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，； 解得：，； ∴． 故答案为：；30；50． （2）解：①t秒时，A点表示的数是，B点表示的数是，C点表示的数是， ，， ， ， 解得或； ②设P点对应的数是x，由题意t秒时，点A，B，C所对应的数分别为，，， ，，， ∵， ∴ ， 解得或（，舍去）， 时，成立． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，数轴以及绝对值的知识点，动点在数轴上运动，在已知运动的方向和速度之后，就可以利用原来所在的数如果向右移动就加上向右移动的距离，如果向左移动，就减去向左移动的距离为解题关键，利用方程思想列式求解即可． 36．在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离可以记作或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为，0，． (1)直接写出结果， ， ； (2)设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段的中点，则 ； ②若点P为线段上的一个动点，则的化简结果是 ； (3)动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①1；② (3)存在，t＝1，，7或 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离的计算方法，即可得到答案； （2）①根据想断中点的定义，得到，列方程并求解，即得答案； ②若点P为线段上的一个动点，则，根据两点之间的距离的计算方法，即得答案； （3）先求出点M表示的数，的长，然后分和两种情况，分别求出的长，再列方程分别求解，即得答案． 【详解】（1）（1），， 故答案为：，． （2）①点P为线段的中点， ， ， 解得； 故答案为：1． ②点P为线段上的一个动点， ； 故答案为：． （3）点M表示的数为，， 当时，点N表示的数为，， 当时，点N表示的数为，， 当时，|解得或； 当时，，解得或；． 存在t值，，，7或，使得． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，线段中点的定义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，绝对值的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 37．数轴上有三个点，分别代表的整数是，点在数轴上的位置如图，，满足． (1)______，______，______，点与点之间的距离是______； (2)点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动，点同时运动，设运动时间为秒，回答下列问题： ①秒时，点A对应的数为______；点对应的数为______；点对应的数为______．（用含的式子表示） ②若点A与点之间的距离记为，点与点之间的距离记为，是否存在有理数，使得代数式的值为定值？若存在，求出的值及该定值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2，6，10； (2)①，，；②存在，当时，定值为34． 【分析】（1）结合题意，可得；根据绝对值和乘方的性质，通过求解一元一次方程，得到a和b的值；再根据数轴的性质，计算得到点A与点B之间的距离； （2）求得秒时，A对应的数为，B对应的数为， C对应的数为，再根据数轴性质，计算得到和；结合题意，通过代数式计算，得到a的取值，即可完成求解． 【详解】（1）结合题意，得 ∵， ∴， ∴， ∴点A与点B之间的距离是：， 故答案为：，2，，10； （2）①∵点A以每秒2个单位长度的速度向左运动， ∴秒时，A对应的数为：； ∵点以每秒4个单位长度的速度向左运动， ∴秒时，B对应的数为：， ∵点以每秒个单位长度的速度向右运动， ∴秒时，C对应的数为：， 故答案为：；， ②∵，且， ∴， ， ∴， 当时，，为定值 ∴存在有理数，使得代数式的值为定值，，定值为34． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值、乘方、代数式、整式的加减等知识；解题的关键是数形结合和准确计算． 38．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最大的负整数，a，c满足，请回答下列问题： (1)__________， __________， __________． (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与表示某数的点重合，则此数为__________． (3)有一动点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点C开始以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；4 (2)3 (3)存在t值为或，使得 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，非负数的性质： （1）根据非负数的性质，即可求解； （2）求得中点对应的数，即可求解； （3）根据运动方向和运动速度分别表示出t秒后，点P对应的数为，点Q对应的数为，然后分两种情况，结合，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵b是最大的负整数， ∴， 故答案为：；；4 （2）解：解：由题意可得，中点对应的数为， ∵点B表示的数为， ∴点B与数表示的点重合3； 故答案为：3； （3）解：存在， 根据题意得：t秒后，点P对应的数为，点Q对应的数为， 当点B，Q重合时，，此时， 当点Q在点B的右侧时，此时， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在点B的左侧时，此时， ∵， ∴， 解得：； 存在t值为或，使得． 39．阅读材料 材料：学习绝对值时，我们知道表示数a的点与原点的距离，即，也可以说表示数轴上数a与数0对应的两点之间的距离，同理，数轴上数a和数b两点间的距离可以表示为或． 例如数轴上表示和3的两点间的距离为或． 发现解题规律： 若，则或； 若，则或，得或； 若，则或，得或． 结合上面的发现解决下列问题． (1)数轴上表示和4两点之间的距离是_______． (2)若，则__________或_______． (3)如图所示，当点A、B所表示的数分别为和2时，是否存在一点P，使得点P到A、B两点的距离之和等于7？若存在，设点P表示的数为x，求x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5； (2)或； (3)x的值为或． 【分析】（1）根据两点间的距离公式计算可得； （2）由表示的意义为：在数轴上到表示和的点的距离为，据此解答可得； （3）由点P到A、B两点的距离之和等于7列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意知数轴上表示和4两点之间的距离是， 故答案为：5； （2）解：∵，即在数轴上数轴上表示和的点的距离为， ∴或， 或， 故答案为：或； （3）解：表示在数轴上表示的点到和2的点的距离之和， ∴， 当时，，解得， 当时，，此时方程无解， 当时，，解得， ∴x的值为或． 【点睛】本题考查了整式的加减，数轴，绝对值，一元一次方程的应用，利用了两点间的距离公式，线段上的点到线段的两端点的距离的和等于线段的距离，理解绝对值的意义是解题的关键． 40．如图，数轴上有两点，分别对应的数为，已知与互为相反数，点为数轴上一动点，对应为， (1)______；______ (2)若点到点和点的距离相等，则点对应的数是______ (3)数轴上是否存在点，使点到点和点的距离之和为5？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由． (4)当点以每分钟1个单位长度的速度从点向左运动，点以每分钟5个单位长度向左运动，问几分钟时点到点，点的距离相等． 【答案】(1)；3 (2)1 (3)存在，或 (4)分钟时，点P到点A，点B的距离相等 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，非负数的性质等知识，正确理解题意，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． （1）根据相反数定义，得到，再利用偶次方和绝对值的非负性，即可求出、的值； （2）根据数轴上两点之间的距离公式，得到关于的绝对值方程，求解即可； （3）根据数轴上两点之间的距离公式，得到关于的绝对值方程，分情况求解即可； （4）由题意可知，点表示的数为，点表示的数为，设分钟时点到点，点的距离相等，根据数轴上两点之间的距离公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：与互为相反数， ， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：若点到点和点的距离相等， ， 解得：， 即点对应的数是1， 故答案为：1； （3）解：存在，理由如下： 点到点和点的距离之和为5， ，即 当时，，解得：； 当时，，无解； 当时，，解得：； 综上可知，数轴上存在点，使点到点和点的距离之和为5，的值为或； （4）解：由题意可知，点表示的数为，点表示的数为， 设分钟时点到点，点的距离相等， 由题意得：， 解得：； 即分钟时点到点，点的距离相等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$