专题04 第1第2章合集数轴动点问题分类训练1（5种类型50道）-2024-2025学年人教版（2024）七年级数学上册同步拓展+点对点针对训练

专题04 第1章第2章合集数轴动点问题分类训练1（5种类型50道） 知识归纳 1.数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴； 2.数轴三要素：原点、正方向、单位长度是数轴三要素； 3.有理数与数轴上点的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，一般地，设a为一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离为a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离也为a单位长度； 重点题型 【题型1 基础动点问题】 1 【题型2 重合问题】 14 【题型3 已知速度动点问题】 29 【题型4 变速问题】 43 【题型5 求时间】 64 【题型1 基础动点问题】 1．，两点在数轴上的位置如图所示，其中点对应的有理数为，点对应的有理数为4．动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒（）． (1)当时，点表示的有理数为______；______（填＞，＜，＝）； (2)点为的中点时，______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)  ＝； (2) (3)运动时间为2秒或3秒时． 【分析】（1）由点P的出发点、运动速度及运动方向，可得出当t＝1时AP的长，结合点A表示的有理数即可得出此时点P表示的有理数； （2）利用时间＝路程÷速度即可求出为的中点时的值； （3）利用时间＝路程÷速度可求出点P运动到点B所需时间，分两种情况即可得出结论． 【详解】（1）解：当t＝1时，AP＝4×1＝4， ∴点P表示的有理数为﹣6+4＝﹣2， ， ． 故答案为：﹣2；=． （2）解：当为的中点时，所走的路程为， ； （3）运动时间为2秒或3秒时． ∵点对应的有理数为，点对应的有理数为4， ∴．∴ 当点在点左侧时，如图1所示， ，∴． 当点在点右侧，如图2所示， ，∴． 综上所述，运动时间为2秒或3秒时． 【点睛】本题考查了数轴上点的距离，数轴上动点问题，有理数除法，分情况讨论是解题的关键． 2．已知a是最大的负整数，b是的相反数，且a、b分别是点A、B、在数轴上对应的数． (1)求a、b的值，并在数轴上标出点A、B． (2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，若运动t秒后，点P可以追上点Q，求t的值？ 【答案】(1)，，见解析 (2)运动3秒后，点P可以追上点Q 【分析】本题主要考查了相反数的定义，用数轴上点表示有理数，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，根据题意列出方程． （1）根据有理数的分类求出，根据相反数的定义可得，进而根据数轴上的点所表示数的特点在数轴上标出即可； （2）根据数轴上点所表示数的特点分别表示出点P、Q运动t秒后所表示的数，进而根据点P追上点Q，则两点所表示的数相同，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵ a是最大的负整数，b是的相反数 ， ∴，， ∵a、b分别是点A、B在数轴上对应的数， ∴将点A、B标注在数轴上如下图： （2）解：由题意易得t秒后点P所表示的数为：，点Q所表示的数为， 根据点P追上点Q，则两点所表示的数相同，可得， 解得， 即运动3秒后，点P可以追上点Q． 3．如图：数轴上有A、B两点，分别对应的数为a，b，已知与互为相反数．点P为数轴上一动点，对应为x． (1)若点P到点A和点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A和点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； (3)当点P以每分钟1个单位长度的速度从O点向左运动，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B以每分钟7个单位长度向左运动，问几分钟时点P到点A、点B的距离相等？ 【答案】(1) (2)当的值为或时，点P到点A和点B的距离之和为5． (3)在分钟或分钟时点P到点A、点B的距离相等． 【分析】（1）根据P到A与到B距离相等，列方程求，计算求解即可； （2）根据题意列出关于x的方程，计算求解即可； （3）设第t分钟时，点P到点A、点B的距离相等，根据题意列出关于t的方程，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知， ∴，． ∵P点对应的数为x， ∴由题意得， 解得， ∴P对应的数为1． （2）存在．理由如下： 由题意得， 当时， ∴，不符合题意， 当时，化简得：，即； 当时，化简得：，即； ∴当的值为或时，点P到点A和点B的距离之和为5． （3）设第t分钟时，点P到点A、点B的距离相等． ∵为，为，为， ∴，． ∵， ∴． ∴①， 解得：． ②， 解得：． ∴在分钟或分钟时点P到点A、点B的距离相等． 【点睛】本题考查了数轴上的点的表示，数轴上两点之间的距离，数轴上动点，相反数与绝对值非负性的应用．一元一次方程的应用，解题的关键在于表示出数轴上点对应的数然后根据题意列方程． 4．如图，点、均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点4个单位长度，点、是数轴上的两个动点． (1)直接写成点所对应的数为______． (2)当点到点、的距离之和是6个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点、分别从点、出发，且均沿数轴向左运动，点以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度匀速运动．若点先出发5秒时点出发，当、两点相距2个单位长度时，直接写出此时点、分别对应的数． 【答案】(1)1 (2)点所对应的数是或 (3)点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是 【分析】本题考查了两点间的距离和数轴，解题的关键是熟练掌握数轴及“分类讨论”的数学思想． （）根据两点间的距离公式即可求解； （）分两种情况：点在点的左边；点在点的右边，进行讨论即可求解； （3）分两种情况：点在点的左边，点在点的右边，进行讨论即可求解； 【详解】（1）解：，故点所对应的数是； （2）解：， 点在点的左边， ， 点在点的右边， ， 故点所对应的数是或； （3）解：点在点的左边， （秒）， 点对应的数是，点对应的数是； 点在点的右边， （秒）， 点对应的数是，点对应的数是， 综上可知：点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是． 5．如图，数轴上A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，且a、b满足．动点P从A点出发，以每秒10个单位的速度沿数轴向右运动，到达B点停留片刻后立即以每秒6个单位的速度沿数轴返回到A点，共用了6秒；其中从C到B，返回时从B到C（包括在B点停留的时间）共用了2秒． (1)求C点表示的数c； (2)设运动时间为t秒，求t为何值时，点P到A、B、C三点的距离之和为23个单位？ 【答案】(1)7 (2)1.2、1.8、3、4 【分析】本题主要考查数轴上点的表示、绝对值得非负性和数轴上两点之间的距离， （1）根据绝对值的非负性可得a和b，设，根据题意列出方程求解即可得到C点表示的数c； （2）根据题意可得，只要即可，分类讨论：当点P在点C左边时，由A到B和由B到A；当点P在点C的右侧时，由A到B和由B到A，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，解得，，， 设，则，解得，， 则， 即C点表示的数c是7； （2）∵， ∴P到A、B、C三点的距离之和为23个单位，只要即可， ①当点P在点C左边时，由A到B时，， 由B到A时，， ②当点P在点C的右侧时，由A到B时，， 由B到A时，， 答：t为1.2、1.8、3、4时，点P到A、B、C三点的距离之和为23个单位． 6．如图所示，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a、b满足，点A、B在数轴上表示的数如图所示，动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒1个单位长度的速度向点B运动到点B停止运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动，设点P运动的时间为t秒，P、Q两点的距离为个单位长度． (1)点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (2)当时， ； (3)当P、Q两点中有一个点恰好运动到线段的中点时，求d的值； (4)当时，直接写出t的值． 【答案】(1)，4 (2) (3)d的值为3或 (4)t的值为或5 【分析】（1）由，可知，计算求解，然后作答即可； （2）当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，然后求d即可； （3）由题意知，点P表示的数为，点Q表示的数为，线段的中点表示的数为，分当P点，当Q点分别为线段的中点，列方程求解即可； （4）由题意知，，分两种情况求解；①当相遇前，则时，计算求解即可；②当相遇后，当运动到线段的中点时，，此时运动到，并停止运动，则，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，， ∴点A表示的数为，点B表示的数为4； 故答案为：，4； （2）解：当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 故答案为：3； （3）解：由题意知，点P表示的数为，点Q表示的数为，线段的中点表示的数为， 当P点恰好运动到线段的中点时，则， 解得，， 则点Q表示的数为， ∴； 当Q点恰好运动到线段的中点时，则， 解得，， 则点P表示的数为， ∴； 综上所述，d的值为3或； （4）解：由题意知，，分两种情况求解； ①当相遇前，则时，解得，； ②当相遇后，当运动到线段的中点时，，此时运动到，并停止运动， 则，解得，； 综上所述，t的值为或5． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用．熟练掌握绝对值的非负性，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用是解题的关键． 7．已知点表示的数是，点表示的数是，其中满足条件：，是数轴上的一动点．请借图分析并完成解答： (1)直接写出______，______，线段的长是______； (2)点为线段的中点，如果点从点出发，以的速度沿射线的方向运动，求点运动几秒时到达点处； (3)若点在点右侧且与点之间的距离是2，当点满足时，请直接写出点在数轴上表示的数为______． 【答案】(1)，，； (2)2秒 (3)4或12 【分析】本题考查了非负数的性质、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用． （1）根据非负数的性质可得，，求方程的解即可；根据数轴上两点之间的距离公式即可得出的值； （2）先表示出点C，设点运动秒时到达点处，根据题意列出一元一次方程求解即可； （3）先表示出点D，设点表示的数为，则，，根据列出方程求解即可得出答案． 【详解】（1） ， ， 故答案为：，，； （2） 表示的数是，点表示的数是，点为线段的中点， 表示的数是 设点运动秒时到达点处 答：点运动秒时到达点处； （3） 表示的数是，点在点右侧且与点之间的距离是2， 点表示的数是 设点表示的数为，则， 或 故答案为：4或12． 8．点A为数轴上表示数2的点，点M为数轴上的一个动点（不与点A重合），设（）． (1)若点M表示的数为，则______； (2)若，求点M在数轴上表示的数； (3)若点N为线段OM的中点，当时，求a的值． 【答案】(1) (2)点表示的数为4或 (3)当时，的值为4或或8或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，化简绝对值，一元一次方程的应用，解题关键是分类讨论，找出等量关系，列出相应的方程，利用数形结合的思想解答． （1）由题意可知，，结合可得答案； （2）设点表示的数为，根据题意可得，分三种情况当时，当时，当时，分别化简绝对值，解方程求解即可； （3）设点表示的数为，则，，由题意知，根据，得，分当时，当时，当时，三种情况解方程即可， 根据，则，再将求得的x代入即可求解． 【详解】（1）解：∵点为数轴上表示数2的点，点M表示的数为， ∴，， 则， ∴， 故答案为：； （2）设点表示的数为，则， ∵，，即： ∴， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：，不符合题意， 综上，点表示的数为4或； （3）设点表示的数为，则，， 则， ∵点为线段的中点， ∴， ∵ ∴， 当时，若，解得：；若，解得：； 当时，若，解得：；若，解得：； 当时，，此时无解， ∵， 则， 当时，；当时，；当时，；当时，； 综上，当时，的值为4或或8或． 9．如图，数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，且．      (1)______，______； (2)P为数轴上的动点，设Q为的中点，点P从点M向左运动时，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，，理由见详解 【分析】本题考查了绝对值的非负性，线段的中点、和差的计算， （1）根据几个非负性项之和为0，则每一个非负性均为0，据此即可求解； （2）分当点P在线段上时；当点P在点N左侧，点Q在线段上时；当点P、点Q均在点N左侧时，三种情况讨论，画出图形，根据线段的中点、和差即可计算求解． 【详解】（1）∵， 又∵，， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，，理由如下： 设点P表示的数为x， ∵，， ∴， 当点P在线段上时，如图，    ∵点P表示的数为x，点N表示的数为，点M表示的数为， ∴，， ∴， ∵Q为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在点N左侧，点Q在线段上时，即，如图，    ∴，， ∴， ∵Q为的中点， ∴，且， ∴， 则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点P、点Q均在点N左侧时，如图，    ∴，， ∴， ∵Q为的中点， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，． 10．如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______用含的代数式表示； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求：当点运动多少秒时，点与点相遇？ 【答案】(1)；． (2)当点运动秒时，点与点相遇． 【分析】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据题意得出各线段之间的等量关系是解题关键． （1）由题意知，，因为点在原点左边，从而得出数轴上点表示的数；动点从点出发沿数轴向左匀速运动，根据题意则得出点表示的数； （2）设点运动秒时追上点，根据题意列方程，解得值． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6， ∴， 则， 又∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； 点P运动t秒的长度为， ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：． （2）设点运动秒时追上点， 根据题意，得，         解得：，                        答：当点运动秒时，点与点相遇． 【题型2 重合问题】 11．根据下面给出的数轴，解答下面的问题： (1)请根据图中A、B两点的位置，A、B两点表示的数分别为a、b，则_______； (2)若经过折叠，A点与表示的点重合，则B点与数______表示的点重合； (3)若数轴上M、N两点之间的距离为12（M在N的左侧），且M、N两点经过（2）中折叠后重合，M点表示的数是：_________； 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，两点中点计算公式，代数式求值等等，熟知折叠前后，重合的点到折叠点的距离相等是解题的关键． （1）根据数轴可得，据此代值计算即可； （2）根据折叠点为折叠前后重合两点的中点求出折叠点为，进而求出与点B重合的数即可； （3）根据点M和点N到折叠点的距离相等，即点M到数的距离为6，据此根据数轴上两点距离计算公式即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵经过折叠，A点与表示的点重合， ∴折叠点表示的数为， ∴与点B重合的数为， 故答案为：2； （3）解：由题意得，点M和点N在以数轴上为折叠点折叠后重合， ∵M、N两点之间的距离为12， ∴点M和点N到的距离相等，都为6， ∵M在N的左侧， ∴点M表示的数为， 故答案为：． 12．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数 表示的点重合； (2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、两点之间的距离为2023（A在的左侧），且A、两点经折叠后重合，求A、两点表示的数是多少？ 【答案】(1)2 (2)①；②A表示的数是，B表示的数是 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离， （1）根据题意可知数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称，由此即可得到答案； （2）①同（1）求解即可； ②根据结合A、B关于对称进行求解即可． 【详解】（1）解：∵1表示的点与表示的点重合， 又∵数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称， ∴折痕处表示的数为0， ∴数轴上数表示的点与数2表示的点重合； 故答案为：2； （2）解：①∵表示的点与3表示的点重合， 又∵数轴上数表示的点与数3表示的点关于点1对称， ∴折痕处表示的数为1， ∴数轴上数5表示的点与数表示的点重合， 故答案为：； ②∵， ∴点A、B到的距离均为， 又∵A在B的左侧， ∴A、B两点表示的数分别是，． 13．已知在数轴上，一动点Q从原点O出发，沿着数轴以每秒4个单位长度的速度来回移动，第1次移动是向右移动1个单位长度，第2次移动是向左移动2个单位长度，第3次移动是向右移动3个单位长度，第4次移动是向左移动4个单位长度，第5次移动是向右移动5个单位长度，……. (1)求出2.5秒钟后动点Q移动______次； (2)第7次移动后，点Q在表示数______的位置上，运动时间为______s； (3)第n次移动后，点Q运动时间为______s. (4)如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距10个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与A重合，若能，则第一次与点A重合需要多长时间？若不能，请说明理由. 【答案】(1)4 (2)4，7 (3) (4)能，47.5秒或52.5秒 【分析】（1）根据路程=速度时间求出2.5秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解; （2）根据左减右加列式计算即可得解，根据路程=速度时间求出路程，进而求得时间; （3）根据（1）（2）的规律，根据左减右加列式计算即可求解； （4）分点在原点左边与右边两种情况分别求出动点走过的路程，然后根据时间=路程速度计算即可得解． 【详解】（1）解：, 点走过的路程是：, 所以共移动4次 故答案为：4． （2）解：处于： ； 点走过的路程是 , (秒) 故答案为：4，7． （3）解：第次移动后，点运动时间为 （4）解：①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A， 则， 解得 则第一次与A重合需要时间是：         ②当点A在原点左边时，设需要第n次到达点A， 则， 解得      则第一次与A重合需要时间是： 综上，第一次与A重合需要时间47.5s或52.5s． 【点睛】本题主要考查了数轴的知识，弄清题中的移动规律是解本题的关键.分情况讨论求解，弄清楚跳到点处的次数的计算方法是关键. 14．折叠数轴，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题：    (1)数轴上9表示的点与　 　表示的点重合． (2)若数轴上M、N两点之间的距离为2024（M在N的左侧），且M、N两点经折叠后重合，求M、N两点表示的数各是多少？ (3)如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动100次后，落在数轴上一边的右端点表示的数与折叠后的哪个数重合？ 【答案】(1) (2)M、N两点表示的数分别是，1014 (3) 【分析】本题考查了有理数与数轴，数轴上点的距离，有理数混合运算，解决本题的关键是根据题意得到折痕所对应的数． （1）先求出和5的中点，进而得到结论； （2）根据中点定义求出的一半，然后分别列式计算即可； （3）根据边长为2的正方形有一顶点A落在数轴上表示的点处，正方形滚动一次后一个顶点落在表示3的点处，正方形滚动2次后一个顶点落在表示5的点处，正方形滚动3次后一个顶点落在表示7的点处，即可求出正方形滚动100次后一边右端点的位置，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵折叠数轴，在数轴上表示的点与5表示的点重合， ∴， ∴在数轴上表示的点与5表示的点的中点是2表示的点， ∴数轴上9表示的点与表示的点重合． 故答案为：． （2）解：∵数轴上M、N两点之间的距离为2024（M在N的左侧）， ∴ ∴， ∴M点表示的数是，N点表示的数是1014． ∴M、N两点表示的数分别是，1014； （3）解：∵边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处， ∴正方形在数轴上向右滚动一次后落在数轴上一边的右端点表示的数是； 正方形在数轴上向右滚动2次后落在数轴上一边的右端点表示的数是； 正方形在数轴上向右滚动3次后落在数轴上一边的右端点表示的数是； …… ∴正方形在数轴上向右滚动100次后落在数轴上一边的右端点表示的数是   ∵ ∴正方形滚动100次后，落在数轴上一边的右端点表示的数与折叠后的－197重合． 15．在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图．    操作一： （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与D在数轴上表示的点重合，求点D表示的数； ②若数轴上A，B两点之间的距离为（点A在点B的左侧），且A，B两点折叠后重合，求A，B两点表示的数． 【答案】（1）2；（2）①；②． 【分析】本题考查了数轴的简单应用，解决数轴中的折叠问题，关键是找到折痕经过的数轴上表示的点． 根据表示1的点与表示的点重合，可得其中点为原点，则与2重合； 根据表示的点与表示3的点重合，可得其中点为表示1的点，再根据互相重合的两个点到中点的距离相等即可求解． 【详解】解：表示1的点与表示的点重合， 折痕经过原点， 表示的点与表示2的点重合． 故答案为：2； 表示的点与表示3的点重合， ， 折痕经过表示1的点， ①， 点D表示的数为； ②A：， B： ，B两点表示的数分别为， 16．我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非．”可见数形结合对于数学学习是多么重要，数学课上老师让同学们将数轴对折探究其中的数学问题．    (1)如图①，勤学小组的同学将数轴对折，使表示2的点与表示的点重合． ①对折后表示5的点与表示________的点重合； ②对折后表示的点与表示________的点重合．（用含的代数式表示） (2)如图②，善思小组的同学将数轴对折，使表示3的点与表示的点重合． ①对折后表示7的点与表示________的点重合； ②对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点与点之间的距离为8，则点表示的数为________，点表示的数为________． (3)如图③，智慧小组的同学将数轴对折，使表示的点与表示的点重合，经对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点和点之间的距离为10，则点表示的数为________，点表示的数为________．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①，② (2)①；②；5 (3)； 【分析】本题考查了数轴、数轴上两点之间的距离、一元一次方程， （1）①先求出对折点所表示的数，再根据数轴的定义即可得； ②根据对折点，利用数轴的定义即可得； （2）①先求出对折点所表示的数，再根据数轴的定义建立方程，解方程即可得； ②根据对折点，利用数轴的定义即可求得两点表示的数； （3）利用表示出对折点，再根据点和点之间的距离为10，利用数轴的定义即可表示出，利用方程思想，熟练掌握数轴上两个的点的中点为两点表示的数相加除以2是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得对折点为， ①对折后与表示5的点重合的点表示的数为； ②对折后与表示的点重合的点表示的数位， 故答案为：①，②； （2）解：由题意得对折点为， ①对折后与表示7的点重合的点表示的数为； ②点与点之间的距离为8， 点与点到对折点的距离为， 点在点的左侧， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：①；②；5； （3）解：使表示的点与表示的点重合， 对折点为， 数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点和点之间的距离为10， 点与点到对折点的距离为， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：；． 17．对于数轴上的定点和动点，如果满足：①点以速度沿数轴正方向运动，经过点后以速度继续沿数轴正方向运动；②点以速度沿数轴负方向运动，经过点后以速度继续沿数轴负方向运动，那么称定点为“变速点”.点在数轴上分别表示有理数，且满足. (1)点表示的数为 ，点表示的数为 . (2)若变速点在线段上，且满足点到点的距离与点到点的距离相等： ①当动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，则点在第 秒时与点重合； ②当动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，则点在第 秒时与点重合. (3)若在线段上存在一变速点（不与点，重合），点表示的数为.动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，若它们在点处相遇，且点表示的数为5，求的值. 【答案】(1)； 10 (2)① 9；② 18 (3)1或7 【分析】本题主要考查绝对值的非负性、有理数混合运算的应用以及一元一次方程的应用： （1）运用绝对值的非负性解题即可； （2）直接根据与变速点有关的计算规律进行计算即可； （3）分，两种情况，结合与变速点有关的计算规律列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得， 故答案为：，； （2）解：∵点到点的距离与点到点的距离相等， ∴点表示的数为：，且， (秒), 故答案为:； ②(秒), 故答案为: ； （3）由题可得，， 若，则 解得； 若时, 则 解得， 答:的值为或. 18．根据下面给出的数轴，解答下面的问题：    (1)请你根据图中A，两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：________，：________． (2)观察数轴，与点A的距离为3的点表示的数是：______________． (3)若将数轴折叠，使得A点与表示的点重合，则点与数________表示的点重合． (4)若数轴上，两点之间的距离为2020（在的左侧），且，两点经过（3）中折叠后互相重合，则，两点表示的数分别是：__________：__________． 【答案】(1)1； (2)4或 (3) (4)； 【分析】（1）根据数轴的特点读数，即可得到答案； （2）根据数轴和绝对值的性质计算，即可得到答案； （3）根据数轴的性质计算，即可得到答案； （4）根据数轴和绝对值的性质，结合题意，通过列方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据数轴性质，读数得：A：1；B：． 故答案为：1；． （2）解：假设与点A的距离为3的数为：x， ∵ ∴或 ∴或 即与点A的距离为3的点表示的数是：4或． 故答案为：4或． （3）解：∵A点与表示的点重合，且A点与距离为5， ∴A点与之间的中心点为：， ∴数轴以为中心折叠， ∵折叠后重合的点到点的距离相等， 又∵B点到点的距离为：， 设和B点重合的点为：x， ∴， ∴或（即B点） ∴B点与表示的点重合． 故答案为：． （4）解：∵数轴上M、N两点之间的距离为2020（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合， ∴M、N两点到点距离为1010， 假设距离点的距离为1010的点为：x， ∴， ∴或， ∴或 ∵M在N的左侧 ∴M：；N：． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了绝对值、数轴、数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点之间的距离公式． 19．翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．（翻折运动）已知纸面上有一数轴，折叠纸面．    (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与_____表示的点重合． (2)若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与_____表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同)，且A、B两点经折叠后重合，则A点表示的数是_____，B点表示的数是_____； (3)若数轴上折叠重合的两点表示的数分别为a，b，那么数c表示的点与数_______表示的点也重合．(用含有a，b，c的代数式表示) 【答案】(1)9 (2)①；②；1008 (3) 【分析】（1）根据1表示的点与表示的点重合计算折痕所表示的数，再根据重合分点到折痕距离相等计算； （2）①根据1表示的点与表示的点重合计算折痕所表示的数，再根据重合分点到折痕距离相等计算；②根据上A、B两点之间的距离为可计算A、B两点到折痕的距离，再根据A、B两点的位置计算即可； （3）根据数轴上折叠重合的两点表示的数分别为a，b可计算折痕为，再根据与点c重合的点到的距离相等，分情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知， 1表示的点与表示的点重合， 则折痕为：， 表示的点在折痕左侧，且到折痕距离为， 故表示的点关于折痕的重合点在折痕右侧，到折痕距离为9， 则表示的点关于折痕的重合点表示的数为：， 故答案为：9； （2）①1表示的点与表示的点重合， 则折痕为：， 表示的点在折痕右侧，且到折痕距离为：， 故3表示的点关于折痕的重合点在折痕左侧，到折痕距离为5， 则3表示的点关于折痕的重合点表示的数为：， 故答案为：； ②，B两点之间的距离为2020，且A在B的左侧， 故A在折痕左侧，B在折痕右侧，且A、B到折痕的距离均为：， 则A点表示的数为：， B点表示的数为：， 故答案为：，1008； （3）数轴上折叠重合的两点表示的数分别为a，b， 则折痕为：， 当表示的点在折痕左侧， 则表示的点到折痕距离为：， 故表示的点关于折痕的重合点在折痕右侧，到折痕距离为， 则表示的点关于折痕的重合点表示的数为：， 当表示的点在折痕右侧， 则表示的点到折痕距离为：， 故表示的点关于折痕的重合点在折痕右侧，到折痕距离为， 则表示的点关于折痕的重合点表示的数为：， 综上所述，表示的点关于折痕的重合点表示的数为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴的折叠问题，数轴上两点重合，中点表示的数等于重合两点表示的数之和的一半，且两点到中点的距离相等． 20．已知在数轴上对应的数分别用表示，且，是数轴上的一个点．    (1)在数轴上标出的位置，并求出两点之间的距离． (2)数轴上一点距点7个单位长度，其对应的数满足． ①写出两点之间的距离． ②若表示点与点之间的距离，表示点与点之间的距离，当点满足时，直接写出点对应的数． (3)动点从点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，依此类推…在这个移动过程中，点和与能重合吗？若能，请探索是第几次移动时重合，并写出算式说明；若不能，请说明理由． 【答案】(1)图见解析，10 (2)①3；②点对应的数为或2 (3)点和与能重合，第10次移动时重合，理由见解析 【分析】（1）由绝对值的非负性和偶次方的非负性可求出的值，再根据两点间的距离公式进行计算即可得到答案； （2）①由绝对值的定义得，从而推断出，由两点间的距离即可求出点所表示的数，从而即可得到答案；②分两种情况：当点在之间时；当点在的右侧时，根据之间的关系，分别求出点表示的数即可得到答案； （3）先表示出移动次后，点对应的数为：，再分当为偶数时，当为奇数时，分别求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ，，， ，， 解得：，， 点在数轴上对应的数为6，点在数轴上对应的数为，画出图如下：     ，； （2）解：①由（1）可知：， ， ， ， 数轴上一点距点7个单位长度， 点在数轴上表示的数为：， ； ②如图，在数轴上的位置表示如下：   ，点满足， 点可能在之间，也可能在的右侧， 当点在之间时，， ， 点对应的数为：， 当点在的右侧时，， 点对应的数为：， 综上所述：点对应的数为或2； （3）解：点和与能重合， 理由如下： 动点从点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，依此类推…， 移动次后，点对应的数为：， 当为偶数时，点对应的数为： ， ， 当为奇数时，点对应的数为： ， ，不符合题意，舍去， 综上所述，点第10次移动时，点与点重合． 【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的应用、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数、数轴上的动点问题，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 【题型3 已知速度动点问题】 21．如图，在数轴上点表示数，点示数， 点表示数， 的相反数是，且满足．    (1) ； ； ； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合； (3)点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1) (2) (3)不变，定值为 【分析】本题主要考查数轴的特点，掌握绝对值的非负性，数轴上两点之间距离，中点的计算，数轴上动点的运用与线段数量关系，整式的加减运算等知识的综合是解题的关键． （1）根据非负性即可求解； （2）根据折叠后重合，可得折点为，再根据折点的计算方法即可求解； （3）分别用含的式子表示出的值，通过计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的相反数为， ∴， 故答案为：； （2）解：∵与重合，即重合， ∴折点为， ∴与A点重合的点是， 故答案为：； （3）解：点表示的数是，向左的速度为每秒1个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒2个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒4个单位长度，设运动时间为秒， ∴点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴ ， ∴的值不变，定值为． 22．如图，数轴上有A，B，C三点，它们分别表示数a，b，c，已知，且b，c互为相反数．    (1)求a，b，c的值； (2)若有甲、乙两只电子蚂蚁分别从A，C两点同时出发相向而行，电子蚂蚁甲的速度为4个单位长度/s，电子蚂蚁乙的速度为6个单位长度/s，当两只蚂蚁在数轴上点M处相遇时，求点M表示的数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由绝对值与平方数的非负性质即可求得a与b的值，再由相反数即可求得c的值； （2）设两电子蚂蚁经过在点M处相遇，利用数轴上两点间的距离及点M表示的有理数相等，建立一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：，且， ， 则； 又b，c互为相反数， ； 即； （2）（2）设两电子蚂蚁经过在点M处相遇，则甲电子蚂蚁的路程为：个单位长度，乙电子蚂蚁的路程为：个单位长度， 此时点M表示的数分别为：，， 所以， 解得：， 故M点表示的数为： 【点睛】本题考查了绝对值与平方数的非负性，相反数，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用等知识． 23．如图，数轴上的单位长度为1，两点表示的数是互为相反数； (1)点表示的数是______，点表示的数______． (2)数轴上一个动点先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位到达点，若点表示的数是1，则点所表示的数是______． (3)在数轴上，点为坐标原点，若点点分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度向右运动，当两点同时运动时，设运动时间为秒． ①点表示的数为______；点表示的数为______．（用含的式子表示） ②当为何值时，点点点三点之间恰好有一个点到其他两个点的距离相等？ 【答案】(1)； (2) (3)， ；或或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，路程、速度与时间关系的应用，熟练掌握两点间的距离公式是解题的感觉． （1）根据两点表示的数是互为相反数即可得到答案； （2）设点所表示的数为，根据题意列出方程即可得到答案； （3）①根据数轴上的点左加右减的运动规律得到答案； ②分三种情况依次进行讨论即可． 【详解】（1）解：，两点表示的数是互为相反数， 点表示的数是，点表示的数为； （2）解：设点所表示的数为， 根据题意得：， 解得， 故答案为：； （3）解：①运动时间为秒， 点表示的数是，点表示的数为； ②当为中点时，即未出发， ， 当点为中点时，此时， 点表示的数是，点表示的数为， 解得， 当点为中点时，此时， ， 解得． 综上所述，或或． 24．自主学习：在数轴上求任意两个点之间的距离，可以用这两个点所表示的数作差来表示（较大数减去较小数）．已知数轴上任意两点A、B，P为线段的中点．如图1，当A、B两点所表示的数分别为2和8时，则可知，则，，那么P点所表示的数为5． (1)类比探究一：如图2，当A、B两点所表示的数分别为－6和8时，则______，此时P点所表示的数为______； (2)类比探究二：如图2，当A、B两点所表示的数分别为a和b时（），求P点所表示的数．（用含有a、b的式子表示）； (3)拓展应用：如图3，可直接应用上面探究所得结论解决问题．在（1）的条件下，动点C从A点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，同时点D从B点出发以每秒1个单位的速度沿数轴向左运动，运动时间为t秒．若线段的中点为M，求点M运动的速度． 【答案】(1)14；1 (2) (3)2 【分析】本题考查数轴哦上两点间的距离，中点的定义， （1）利用提供的方法解题即可； （2）按照两点间的距离公式计算方法和中点的计算方法推导出一般公式； （3）运用两点间的距离公式计算方法和中点的计算方法解决问题即可． 【详解】（1）解：， P点所表示的数为， 古答案为：14；1； （2）； ∵P是的中点， ∴， ∴P表示的数为． （3）t秒后C点所表示的数为：，D所表示的数为， ， ∵M是的中点， ∴， ∴点M所表示的数为， ∴， ∴M的速度为． 25．【阅读理解】（1）在数轴上，点A表示的数为，点表示的数为，则点A和点之间的距离表示为．当，时，______； 【知识运用】（2）如图，数轴上点A表示，点表示0，点表示10，点表示18．点到点A的距离等于点到点的距离，则点在数轴上表示的数是______； 【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，动点从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴的正方向运动；同时，动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴的负方向运动．设运动时间为秒，当点到点的距离等于点到点的距离时，求出的值． 【答案】（1）11；（2）或；（3）或 【分析】（1）根据两点之间距离公式进行求解即可； （2）设点C表示的数为，根据点到点A的距离等于点到点的距离，列出方程，解方程即可； （3）分当点P在点Q右侧时、当点P在点Q左侧时两种情况进行分类讨论． 【详解】解：（1）当，时，； 故答案为：11； （2）设点C所表示的数为x， ∵点到点A的距离等于点到点的距离， ∴， 即， 解得：或， ∴点C表示的数是或； 故答案为：或； （3）t秒后，点P表示的数为，点M表示的数为， ∵点到点的距离等于点到点的距离， ∴， 即， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：，不符合题意； 综上分析可知，或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，绝对值的意义，有一定难度，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键． 26．如图，在数轴上，点表示原点，点表示数，点表示数，且a，b满足． (1)__________，__________，__________． (2)若线段（在的右侧，），点与点重合，线段从点出发，以2个单位每秒的速度向点方向运动，点是线段的中点，点是线段的中点，在线段运动过程中，线段的长度始终为1，求的值； (3)在（2）的条件下，当线段开始运动时，动点从点处以1个单位每秒的速度向点方向运动，运动的过程中，当为何值时． 【答案】(1)，，； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用； （1）根据绝对值以及偶次幂的非负性求得，进而得出的长，即可求解； （2）设运动的时间为秒，则点对应的数字为，点对应的数字为，得出点，对应的数字，根据，列出绝对值方程，解方程，即可求解； （3）根据（2）可得点对应的数字为，又点对应的数字为，得出，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， 故答案为：，，；． （2）解：设运动的时间为秒，则点对应的数字为，点对应的数字为， 点是的中点，是的中点， 点对应的数字为，点对应的数字为， ，． 解得：或， ， ； （3）∵． 点对应的数字为， 又点对应的数字为， ，． ， ， ， 当时，， ． 当时，，不满足题意，舍； 当时，， ． 综上：的值为4或． 27．已知数轴上A，B两点表示的数分别为和40，P为数轴上一点． (1)若点P到A，B两点的距离相等，求A，B两点的距离和点P表示的数x； (2)若点P到点B的距离等于50，求点P表示的数； (3)①数轴上是否存在点P，使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由． ②若点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向右运动，点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度向左运动，P、Q两点同时出发．几秒后点P到点Q的距离为10？ 【答案】(1)A，B两点的距离为60，点P表示的数x为10 (2)点P表示的数为90或 (3)①存在，点P表示的数为20或100；②秒或秒后点P到点Q的距离为10 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离公式，一元一次方程的实际应用以及绝对值的意义. （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可求出A，B两点的距离；先判断出点P在A、B之间，然后表示出、的长，列方程求解即可； （2）根据点P到点B的距离等于50，B点表示的数为40，计算即可； （3）①分三种情况讨论∶当点P在点A的左侧时；当点P在点A、B之间时；当点P在点B的右侧时；根据点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍列出方程求解即可； ②设t秒后点P到点Q的距离为10，列出方程，求解即可 【详解】（1）∵数轴上A，B两点表示的数分别为和40， ∴， ∵点P到A，B两点的距离相等， ∴点P在A、B之间， ∵点P表示的数x， ∴，， ∴， 解得； （2）∵点P到点B的距离等于50，B点表示的数为40， ∴或， 即点P表示的数为90或； （3）存在，理由： 设点P表示的数为a， ①当点P在点A的左侧时，，不适合题意，舍去； 当点P在点A、B之间时，，， ∵点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍， ∴， 解得； 当点P在点B的右侧时，， ∵点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍， ∴， 解得； 综上，当点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍时，点P表示的数为20或100； ②设t秒后点P到点Q的距离为10， 此时P点表示的数为，Q点表示的数为， ∴， 即， ∴， 解得或， 所以秒或秒后点P到点Q的距离为10． 28．如图所示，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b．    (1)化简：； (2)表示A点和B点之间的距离（即），已知a，b分别是方程和方程的解，求A，B两点之间的距离； (3)在（2）的条件下，若动点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q到达点A后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点P到达点B时，P、Q两点运动随之停止．设运动时间为秒，则t为何值时，． 【答案】(1) (2)15 (3)或或 【分析】（1）根据数轴可得，则，再化简绝对值即可； （2）先分别解方程可得，，再利用两点之间的距离可得答案； （3）当Q到达A时，，当P到达B时，，再分、两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴，解得：； ∵， ∴，解得：； ∴； （3）解：当Q到达A时，；当P到达B时，， 当时，P对应的数为，Q对应的数为， 当时， ∴，即， ∴或，解得：或； 当时， P对应的数为，Q对应的数为， 当时， ∴，即：， ∴或，解得：或（其中不符合题意）， 综上：或或． 【点睛】本题主要考查了绝对值的化简、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用知识点，理解题意、建立方程解题以及清晰的分类讨论是解本题的关键． 29．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：    (1)数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为 ． (2)若，则 ． (3)当x是 时，代数式． (4)若x表示一个有理数，则的最小值= ． (5)若点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 【答案】(1) (2) (3) (4)5 (5)运动3或2秒后，点Q与点P 相距1个单位 【分析】本题考查了数轴上表示有理数、化简绝对值、一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据在数轴上A、B两点之间的距离直接列式表示，即可作答． （2）运用绝对值的性质，化简计算，即可作答． （3）进行分类讨论：，这三种情况化简绝对值，进行解答即可； （4）进行分类讨论：，这三种情况化简绝对值，比较得数进行解答即可； （5）根据的距离为1，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：依题意，∵在数轴上A、B两点之间的距离 ∴数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为； （2）解：∵ ∴ 解得或1； （3）解：∵ ∴当时，则 解得； ∴当时，则； 此时无解； ∴当时，则； 此时； 综上：当x是时，代数式； （4）解：依题意， 若x表示一个有理数，当时，则 当时，则； 当时，则； 综上：则的最小值； （5）解：点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧 依题意，设运动秒后，， ①P超过Q，， 解得， ②P在Q的后边，， 解得， 答：运动3或2秒后，点Q与点P 相距1个单位． 30．已知数轴上两点A，B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P为的中点，则点P对应的数是 ． (2)数轴的原点右侧有点P，使点P到点A，点B的距离之和为8．请你求出x的值． (3)现在点A，点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，直接写出点P对应的数． 【答案】(1)1 (2)x的值是5 (3)点P对应的数是或 【分析】本题考查数轴上点表示的数及两点间距离，解题的关键是掌握点运动后表示的数与运动前表示的数的关系． （1）根据点P为的中点列方程即可解得答案； （2）分两种情况，当P在线段上时，由，知这种情况不存在；当P在B右侧时，，求解即可； （3）设运动的时间是t秒，表示出运动后A表示的数是，B表示的数是，P表示的数是，根据点A与点B之间的距离为3个单位长度得：，解出t的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵A，B对应的数分别为，3，点P为的中点， ∴， 解得， ∴点P对应的数是1； （2）解：当P在线段上时，， ∴这种情况不存在； 当P在B右侧时，， 解得， 答：x的值是5； （3）解：设运动的时间是t秒，则运动后A表示的数是，B表示的数是，P表示的数是， 根据题意得：， 解得或， 当时，P表示的数是， 当时，P表示的数是， 答：点P对应的数是或． 【题型4 变速问题】 31．已知，如图，数轴上依次有、、三点，它们在数轴上对应的数分别是、、，其中、满足，点到点的距离为20． (1)求、、的值． (2)如图1，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，动点从点出发，以每秒1单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，、两点同时出发，在点处相遇，求出相遇点所对应的数是多少； (3)如图2，将数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”，（图中、两点在“折线数轴”上的距离为28个单位长度）．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复；同时，动点从点出发以每秒1个单位长度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复，设运动时间为秒，请直接写出当为何值时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等． 【答案】(1)；； (2) (3)4，7，10，16 【分析】（1）由题中条件，利用平方与绝对值非负性，结合非负式和为的条件求解即可得到答案，再由数轴上两点之间距离表示方法即可得到答案； （2）设相遇点所对应的数是，相遇时间为，由相遇问题列方程组求解即可得到答案； （3）根据数轴上动点问题，分四种情况：当不在线段上；当在线段上；当在线段上；当在线段上、在线段上；列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ， 解得， 、在数轴上对应的数分别是、，如图所示： ， 解得； （2）解：设相遇点所对应的数是，相遇时间为，则 ，解得， 相遇点所对应的数是； （3）解：由（1）知；；， ，， 动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半， 走完用时为秒，走完用时秒； 动点从点出发以每秒1个单位长度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍， 走完用时为秒，走完用时秒； 当不在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； 当在线段上时，如图所示： 当在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； 当在线段上、在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； 当为4或7或10或16时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等． 【点睛】本题考查数轴综合问题，涉及数轴表示有理数、数轴上两点之间距离的表示方法、非负式和为零的条件、数轴上动点问题、相遇问题等知识，根据题意，数形结合列方程求解是解决问题的关键． 32．已知关于x的多项式是二次多项式．如图1．在数轴上有A、B、C三个点，且A、B、C三点所表示的数分别是a，b，．有两条动线段和（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边）．，，线段从点B开始沿数轴向左运动，同时线段从点A开始沿数轴向右运动，当点Q运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，当点P运动到点C时，线段同时停止运动，设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． (1)直接依次写出a，b的值：__________，__________； (2)如图2，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右匀速运动，当C、Q、M中任意一点为其他两点构成线段的中点时，求时间t； (3)如图3，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右运动，当两条线段有重合部分时，线段的速度变为原来的倍，线段的速度变为原来的2倍，当重合部分消失后速度恢复，请直接写出当线段和重合部分长度为1时所对应的t的值． 【答案】(1)， (2)或或 (3)或或或 【分析】本题考查两点间距离，列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握线段上两点间距离的求法，能够准确表示数轴上的点是解题的关键． （1）由已知可得即可求； （2）分点Q在到达点B前或到达点B后，两种情况分别求解即可； （3）分四种情况：①Q未到达C，Q在M右边1个单位时，②Q未到达C，N在P右侧1个单位时，③返回，N在P右侧1个单位时，④返回，Q在M右边1个单位时，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：关于x的多项式是二次多项式， ， ， 故答案为：，； （2）解：点Q在到达点B前： ①当点Q为中点时，， 点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边，，， 点Q表示的数为：，点M表示的数为：， ， ，即， 解得：； ②当点M为中点时，， ， ，即， 解得：； 点Q在到达点B时：， 点Q在到达点B后： 点Q表示的数为：，点M表示的数为：， ①当点M为中点时，， ， ，即， 解得：（舍去，不符合题意）； ②当点Q为中点时，， ， ，即， 解得：； 当点P运动到点C时，线段同时停止运动， 此时：， 综上，t的值为或或； （3）解： 当时，Q表示，P表示的数， 当时，Q表示的数是，P表示的数是， N表示的数是，M表示的数是， ①Q未到达C，若Q在M右边1个单位时， ， 解得， ②Q未到达C，N在P右侧1个单位时，， 解得； 当时，Q表示，P表示的数， 当时，Q表示的数是，P表示的数是， 当时，Q表示的数是，P表示的数是，N表示的数是，M表示的数是， ③返回，N在P右侧1个单位时，， 解得， ④返回，Q在M右边1个单位时，， 解得； 综上所述，t的值是或或或． 33．如图1，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、24，其中、满足，． (1)填空：______，______，______； (2)如图1，若点、分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为 问：当为何值时，、之间的距离为2？ (3)如图2，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若、两点在点处相遇，则点表示的数为______． 【答案】(1)，8，16； (2)当为6或时； (3)． 【分析】（1）利用非负数的性质先求解，的值，再利用，从而可得的值； （2）由点向右平移对应的点的数是，点向右平移对应的点的数是，结合，建立方程，再解方程即可； （3）先由题意分别计算点运动到点、、三点时的值，再分类讨论在、、上相遇的值是否符合题意即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴解得：，， ∵，， ， ， （2）由（1）可知，，，， ∴点向右平移对应的点的数是，点向右平移对应的点的数是， 当时， ∴或 或 ∴当为6或时，、之间的距离为2． （3）点表示的数为，以每秒3个单位长度的速度沿正方向运动至点， ∴移动后的数表示为：，当点移动至点时，， ， 根据题意可知、、， ∴当点运动到点时，；运动到点时，，运动到点时，， ①点、点在上相遇， 则， ， 不符合题意； ②点、点在上相遇， 则， ， ， 不符合题意； ③点、点在上相遇， 则，， ，符合题意， 点表示的数为：， 点表示的数为， 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，如何表示线段的长度，绝对值的非负性，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程，分类讨论，还需注意运动过程中速度的变化． 34．如图，点O是数轴的原点，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足． (1)点A表示的数是______，点B表示的数是______； (2)动点P、Q分别从点A和点O同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向运动，点Q以每秒3个单位长度的速度向正方向运动，点Q运动到点B后立即沿射线的方向以原速度运动，点P、Q在点C的位置相遇，求点C表示的数； (3)在（2）的条件下，若从点P、Q相遇开始，动点N从点O出发以每秒0．5个单位长度的速度向数轴正方向运动，点Q的速度变为每秒个单位长度，点P的速度不变，设动点N运动的时间为t秒，求当t为何值，点P刚好是线段的一个三等分点，并直接写出此时点N所表示的数． 【答案】(1)，4 (2) (3)点N表示的数为或 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据绝对值和平方的非负性，即可解答； （2）易得，设经过x秒后，点P和点Q相遇，根据相遇时，两点的路程和等于，列出方程求出x的值，即可得出点C表示的数； （3）根据题意得出，，，然后进行分类讨论：①当时， ②当时． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：，4； （2）解：∵， ∴， 设经过x秒后，点P和点Q相遇， ， 解得：， ∴点C表示的数为； （3）解：根据题意可得：点P表示的数为，点Q表示的数为，点N表示的数为， ，，， ①当时，， 解得：， ∴点N表示的数为； ②当时，， 解得：， ∴点N表示的数为； 综上：点N表示的数为或． 35．已知，其中分别为点、点在数轴上表示的数，如图所示． 动点分别从同时开始运动，点以每秒6个单位向左运动，点以每秒2个单位向右运动，设运动时间为秒．    (1)直接写出的值； (2)请用含的代数式表示点在数轴上对应的数为：___________，点在数轴上对应的数为___________． (3)当相遇后，点继续保持向左运动，点在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍． 在整个运动过程中，当之间的距离为2个单位时，求运动时间的值（需写出必要的解答过程）． 【答案】(1) (2)， (3)秒或秒或秒或秒 【分析】本题考查了绝对值的非负性、列代数式、一元一次方程的应用，理解题意，熟练根据题中的等量关系列方程求解是解此题的关键． （1）根据绝对值和平方式的非负性得出和的值即可； （2）根据点的运动列出代数式即可； （3）分情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ，， 解得：； （2）解：由（1）可得：， 点表示的数为12，点表示的数为， 动点分别从同时开始运动，点以每秒6个单位向左运动，点以每秒2个单位向右运动，设运动时间为秒， 点在数轴上对应的数为：；点在数轴上对应的数为：， 故答案为：，； （3）解：设当之间的距离为2个单位时，运动时间为秒， 相遇前：， 解得： 相遇后：相遇的时间为：（秒）， 相遇点为， 点在原地停留4秒时，， 解得：； 由题意得：当相遇后，点在数轴上对应的数为：，点在数轴上对应的数为：， 当在左侧时，， 解得：， 当在右侧时，， 解得：， 故当之间的距离为2个单位时，运动时间为秒或秒或秒或秒． 36．数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题，已知a、b为常数且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图1所示，O为原点，点C在原点右侧，且点C与点A到原点的距离相等． (1)则_______，_______； (2)如图2，我们将图1的数轴在点O和点C处各弯折一次，弯折后与处于水平位置，线段处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O为“折坡数轴”原点，在“折坡数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数．记为“折坡数轴”拉直后点A和点B的距离：即，其中代表线段的长度．定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍．动点M从点A处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向右移动到点O，再下坡到点C，然后再沿方向移动，在点M出发的同时，动点N从点B处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向左移动到点C，再上坡移动，当移到点O时，立即掉头返回（掉头时间不计），当点N重新回到点B时所有运动结束，设点N运动时间为t秒，在移动过程中： ①若M，N两点在点Q处相遇，则点Q在“折坡数轴”上所表示的数是多少． ②在点N从点O返回之前，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①M和N的相遇点Q所对应的数为；②存在，符合题意的t的值为：或 【分析】（1）根据绝对值的非负性即可得出结果； （2）①由题可知，点M和N相遇在线段上于Q处，根据运动时间相等，可列出方程求解即可； ②分别求出点M和N的运动时间，结合点M和点N的不同位置，分两种情况分析，然后根据列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴解得， 故答案为：； （2）解：①由题意得，C表示的数为4，，， 由题可知，M和N两点相遇在线段于Q处，设，则， 因为M和N两点分别在上运动的时间相同， 则， 解得， 则Q表示的数为， 故M和N的相遇点Q所对应的数为； ②存在，理由如下： ∵， ∴点M从A到O所需时间为：， ∵， ∴点M从O到C所需时间为：， ∵， ∴点N从B到C所需时间为：， 点N从C到O所需时间为： 点N返回时， 点N从O到C所需时间为：， 点N从C到B所需时间为：， 由此再分类讨论如下： （1）当点M在上时，点N在上运动，此时， 此时； ， ∴， 解得； （2）当点N在上时， ①点M在上且点M和点N相遇前，当两点相遇时，，当， ， ， ∴ 解得； ②点M在上，且M和N相遇后，即， 此时， ， ∴，无解； ③当点M在上时，即， 此时，， ∴， 解得，不符合题意；, 综上所述，符合题意的t的值为：或． 【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类计算时不重不漏． 37．点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，且．我们将A，B两点间的距离记为． (1)求的长度； (2)两带电粒子P，Q分别从A，B两点同时出发，沿数轴的正方向运动，其中带电粒子Q的运动速度为2个单位长度／秒． ①若带电粒子P的运动速度为4个单位长度／秒，设运动时间为秒，当时，求的值； ②点C为线段上的一点.若两带电粒子P，Q运动开始时，在线段之间放入某种电场，使得带电粒子在线段运动时，速度比原来每秒快１个单位长度，在线段运动时，速度变为原速度的2倍，P，Q在其他位置速度与原来相同．若经过一段时间x秒的运动后，的长度恒等于10，求运动时间x的最小值及点C所对应的数． 【答案】(1) (2)①或  ②x的最小值为，点所对应的数为 【分析】本题考查绝对值的非负性，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，掌握用方程解决动点问题是解题的关键． （1）运用绝对值的非负性进行解题求出，，然后计算距离即可； （2）①根据运功过程得到点P和点Q对应的数，然后根据两点间的距离列方程解题即可； ②根据经过一段时间x秒的运动后，的长度恒等于10，说明两点的速度相同，然后设设长为c，根据时间相同即可列方程解题即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴； （2）①由运动可得点P对应的数值为，点Q对应的数值为， ∴， 解得：或； ②∵经过一段时间x秒的运动后，的长度恒等于10， ∴点P和点Q的运动速度相同，即速度为2个单位长度／秒，且x的最小值为， 设长为c，则 ，解得：， ∴这时点所对应的数为． 38．数轴上点表示，点表示6，点表示12，点表示18．如图，将数轴在原点和点、处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点和点在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点从点出发，以2个单位秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，过点后继续以原来的速度向终点运动；点从点出发的同时，点从点出发，一直以1.5个单位秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． (1)当秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离为 　　；当点、都运动到折线段上时，、两点间的和谐距离　　（用含有的代数式表示）；、两点间的和谐距离　　（用含有的代数式表示）；　　时，、两点相遇； (2)当M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等时，求t的值． 【答案】(1)19；；；8.8 (2)或 【分析】本题考查数轴、绝对值、一元一次方程的应用，解题的关键是用含的代数式表示点运动后所表示的数及分类讨论． （1）当秒时，点表示的数是，点表示的数是15，即可表示出、两点在折线数轴上的和谐距离；由题意知，时，点、都在折线段上运动，点表示的数为，点表示的数为，进而可得出答案． （2）分，和，并根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）当时，点表示的数是，点表示的数是15， 、两点在折线数轴上的和谐距离为． 由题意可知，4秒时点运动到点，点运动到点，12秒时点运动到点， 时，点、都在折线段上运动， 点表示的数为， 点表示的数为， ，两点间的和谐距离， ，两点间的和谐距离． ，相遇时，两点表示的数相同， ， 解得． 故答案为：19；；；8.8． （2）由（1）知，时点运动到点，点运动到点， 当时，不存在、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等； 当，即点在折线段上运动时， 可得， 解得或， 当时，点从点向点运动，速度为2个单位秒，不存在、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等， 综上所述，或． 39．如图，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、，其中、满足，点到原点距离是点到原点距离的倍． (1)填空： _____， _____， _____； (2)如图，若点、、分别同时以每秒个单位长度、个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为． ①为何值时，？ ②若的值始终保持不变，求的值： (3)如图，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若、两点在点处相遇，则点表示的数为_____． 【答案】(1)，， (2)①，② (3) 【分析】（1）由可得：，，从而可求出、，再根据点到原点距离是点到原点距离的倍，可求出； （2）①把，用含有的式子表达，根据列出关于的方程即可求解； ②先把、的长度分别用含有的式子表达，然后再用含有的式子表达出，由的值始终保持不变，可令，分别得出的值，最后列出关于的一元一次方程即可求解； （3）先由题意分别计算点运动到点、、三点时的值，再分类讨论在、、上相遇的值是否符合题意即可． 【详解】（1）解： ， ，， 解得：，， 点到原点距离是点到原点距离的倍，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：①由（1）可知，，，， ∴点向左平移对应的点的数是，点向左平移对应的点的数是，点向左平移对应的点的数是， ，， ， ， ； ②已知点以每秒个单位长度向左运动，以每秒个单位长度向左运动，以每秒个单位长度向左运动， ，， ， 第一种情况：当时，， 令时，；令时，； 的值始终保持不变， ， ； 第二种情况：当时，， 令时，；令时，； 的值始终保持不变， ∴， 解得，； ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴． （3）解：点表示的数为，以每秒个单位长度的速度沿正方向运动至点， ∴移动后的数表示为：，当点移动至点时，， ∴， 根据题意可知、、， ∴当点运动到点时，；运动到点时，，运动到点时，， ①点、点在上相遇， 则，， ∵， ∴不符合题意； ②点、点在上相遇， 则， ， ∵， ∴不符合题意； ③点、点在上相遇， 则，， ∵，符合题意， ∴点表示的数为：， ∴点表示的数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程，数轴上的动点问题，如何表示线段的长度，绝对值的非负性，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程，分类讨论，还需注意运动过程中速度的变化． 40．点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，且．我们将A，B两点间的距离记为． (1)______，______，______； (2)若点C在数轴上，且，求点C表示的有理数； (3)M，P，Q三点在数轴上，点O为原点，点M表示的数为12．P，Q两点分别从A，B两点同时出发，沿数轴的正方向运动，在到达点O前，P，Q两点的运动速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒，点P经过点O后的速度变为原速度的一半，点Q经过点O后的速度变为原速度的2倍．设运动时间为t秒，当时，求t的值． 【答案】(1)，， (2)点C表示的有理数为或； (3)t的值为2或或17． 【分析】（1）根据平方与绝对值的和等于0，则每一项都等于0，求出a、b，从而求出线段的长； （2）设出点C表示的有理数为c，根据位置不同进行分类讨论，根据题意中给出的等式运算，得出结果； （3）根据题意分情况讨论，结合，列出每种情况下的等式，并对t的取值范围进行说明，从而进行判断取舍，最终得出所有满足的结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ； 故答案为：，，； （2）解：设点C表示的有理数为c， 根据题意得：， 当点C在点A的左侧时，， ∴， 解得：； ∵，， ∴点C不可能在A、B之间， 当点C在点A的右侧时，， ∴， 解得：； 综上，点C表示的有理数为或； （3）解：由（1）得，， ∵， ∴当时，点P到达点O，当时，点Q到达点O， 由题意得：， 当点P、Q都在点O左侧时，， ，， ∴， 解得：； 当点P点O右侧，点Q在点O左侧时，， ，， ∴， 解得：(舍)； 当点P点O右侧，点Q在点O与点M之间时，， ，， ∴， 解得：； 当点P点O右侧，点Q在点M右侧时，， ，， ∴， 解得：； 当点P点O重合时，， ，不合题意； 当点Q点O重合时，， ，不合题意； 当点Q点M重合时，， ，不合题意； 综上，t的值为2或或17． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值与一元一次方程的应用，是一个综合问题，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，进而求解． 【题型5 求时间】 41．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，表示A点和B点之间的距离，且a、b满足．    (1)求A、B两点之间的距离； (2)一小球甲从点A处以2个单位/秒的速度向右运动；同时另一小球乙从点B处以4个单位/秒的速度向左运动（忽略球的大小，可看作一点），设运动的时间为t（秒）， ①直接写出甲、乙两小球所对应的点表示的数（用t表示）； ②求甲、乙两小球距离10个单位时运动的时间？ 【答案】(1) (2)①甲小球所对应的点表示的数，乙小球所对应的点表示的数；②当秒或秒 【分析】本题考查了非负数的性质，一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离，有一定难度，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出、的值，然后进行计算即可； （2）①根据数轴上点移动的规律，左移减，右移加，即可得出结论； ②移动后两点距离为10列绝对值方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ，， ∴，， ∴的距离为：； （2）解：①∵甲球向右运动的路程为： ， ∴甲小球所对应的点表示的数为：； ∵乙球向左运动的路程为： ， ∴乙两小球所对应的点表示的数为：； ②当甲、乙两小球距离10个单位时，即：， 解得：或 当秒或秒时，甲、乙两小球距离10个单位． 42．如图，数轴上A点表示数a，B点表示数b，表示A点和B点之间的距离，且a、b满足． (1)求 A和B 两点之间的距离； (2)若在数轴上存在一点C，且，求 C点表示的数； (3)若在原点 O处放一挡板（忽略挡板的厚度），一小球甲从点A处以 1 个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点 B 处以2个单位/秒的速度 也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）； ①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）； ②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 【答案】(1)的距离为9 (2)当时，或 (3)①甲球与原点的距离为：；乙球到原点的距离为：或；②当秒或秒时，甲乙两小球到原点的距离相等 【分析】（1）根据非负数的性质求出、的值，然后进行计算即可； （2）分点在线段上和线段的延长线上两种情况讨论即可求解； （3）①甲球到原点的距离甲球运动的路程的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当时，乙球从点处开始向左运动，一直到原点，此时的长度乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）当时，乙球从原点处开始向右运动，此时乙球运动的路程的长度即为乙球到原点的距离； ②分两种情况：（Ⅰ），（Ⅱ），根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ，， ∴，， ∴的距离为：； （2）解：设数轴上点C表示的数为 c ， ∵， ∴，即， ∵， ∴点C不可能在的延长线上，则C点可能在线段上和线段的延长线上； ①当C点在线段上时，则有， 得， 解得； ②当C点在线段的延长线上时，则有， 得， 解得， 故当时，或； （3）解：①∵甲球运动的路程为： ，， ∴甲球与原点的距离为：； 乙球到原点的距离分两种情况： (Ⅰ) 当时，乙球从点 B 处开始向左运动，一直到原点O， ∵，乙球运动的路程为：， ∴乙球到原点的距离为：； (Ⅱ) 当 时，乙球从原点 O 处开始一直向右运动， 此时乙球到原点的距离为：； ②当时，得， 解得； 当时，得， 解得； 当秒或秒时，甲乙两小球到原点的距离相等． 【点睛】本题考查了非负数的性质，一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离，有一定难度，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键． 43．数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，且多项式的二次项系数为a，常数项为b． (1)直接写出： ______， ______． (2)若，利用绝对值的几何意义可知x＝______． (3)若点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动；同时点N从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左移动，到达A点后立即返回并向右继续移动，当M，N两点相距1个单位长度时，求M，N两点移动的时间． 【答案】(1)，5 (2)或6 (3)当M，N两点相距1个单位长度时，M，N两点移动的时间为2秒或秒或6秒或8秒 【分析】此题考查的是数轴上的动点问题，掌握绝对值的性质、行程问题中的等量关系、数形结合的数学思想和分类讨论的数学思想是解决此题的关键， （1）根据多项式中二次项系数的定义和常数项的定义即可求出a、b的值； （2）根据题意，分情况时或时，然后根据绝对值的性质去绝对值化简得方程并解方程即可； （3）设经过 t 秒 M，N 两点相距一个单位长度，根据M、N的相对位置分类讨论，然后分别列出方程即可． 【详解】（1）解：∵多项式的二次项系数为a，常数项为b， ∴， 故答案为：，5； （2）∵， ∴表示x的点到表示和5点的距离之和为9， 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：， ∴或6， 故答案为：或6； （3）设经过t秒后，M、N两点相距1个单位长度， 由运动知，，点N运动路程为， ①当点N到达点A之前时， Ⅰ、当M，N相遇前，M、N两点相距1个单位长度， ， 所以，秒． Ⅱ、当M，N相遇后，M、N两点相距1个单位长度， ， 所以，秒． ②当点N到达点A之后时， Ⅰ、当N未追上M时，M、N两点相距1个单位长度， ， 所以，秒； Ⅱ、当N追上M后时，M、N两点相距1个单位长度， ， 所以，秒； 即：经过2秒或秒或6秒或8秒后，M、N两点相距1个单位长度． 44．【数学实验室】 点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示4和8两点之间的距离是 ；数轴上表示和7的两点之间的距离表示为 ． (2)若表示一个有理数，则 的最小值 ． (3)已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． (4)已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为90．    若当电子蚂蚁从点出发时，以3个单位每秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位每秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度？ 【答案】(1)4， (2)6 (3)或8 (4)12秒或28秒 【分析】（1）根据题意数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值解答即可; （2）根据绝对值几何意义即可得出结论； （3）根据数轴上两点间的距离和绝对值几何意义解答即可； （4）设运动时间为，用表示移动后对应的数，表示，由题目知道，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，数轴上表示4和8两点之间的距离是：, 数轴上表示和7的两点之间的距离表示为： 故答案为：4，． （2）解：根据绝对值的定义有：可表示为点到2与两点距离之和， 根据几何意义分析可知: 当时，距离和最小，即 的最小值6 故答案为：6． （3）解： ∵ 或， ∵表示数轴上表示到，3，5之间的距离和最小， ∴当时，有最小值7， 或； 故答案为：或8． （4）解：设运动秒两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度 ， 或 答：运动12秒或28秒两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度． 【点睛】本题考查了绝对值几何意义和数轴上动点问题，包含数轴上两点的距离，解含绝对值的方程，数轴动点问题总结，熟练掌握绝对值几何意义是解题的关键． 45．已知数轴上的A、B两点分别对应的数字为a、b，且a、b满足．    (1)求a、b的值； (2)点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，出发后经过t秒钟，P、A、B三点中其中一个点到另外两个点的距离相等，求出此时t值； (3)数轴上还有一点C对应的数为40，若点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向C点运动，同时，点Q从B点出发，以每秒个单位长度的速度向正方向运动，点P运动到C点后立即返回再沿数轴向左运动．当时，求点P运动的时间． 【答案】(1)， (2)点的运动时间为3秒或6秒或12秒 (3)当时，点运动的时间为：秒或秒或秒或秒 【分析】（1）根据非负数的性质即可求解； （2）根据点P运动时间设未知数列方程即可求解； （3）利用点P和点Q的运动情况借助数轴上两点间的距离列方程即可求解． 【详解】（1）， 又，， ， ，； （2）当点是线段的中点，即， 此时点表示的数为：， 点的运动时间为：（秒）； 当点是线段的中点，即， 此时， ， ， 点的运动时间为：（秒）， 当点与点重合时，点到的距离相等，此时 综上，点的运动时间为3秒或秒或12秒； （3）设点运动秒时，，分四种情况讨论如下： ①点、点向右运动，点在点左侧时， ，解得：； ②点、点向右运动，点在点右侧时， ，解得：， 又点到达点的时间为：， 符合题意； ③点向左运动，点在点右侧时， ，解得：， 又， 符合题意； ④点向左运动，点在点左侧时， ，解得：，，符合题意； 综上所述，当时，点运动的时间为：秒或秒或秒或秒． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，非负数的性质，解决本题的关键是根据两点间的距离找等量关系． 46．已知数轴上两点A、B对应的数分别是，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为M点的3倍，点P从原点出发，速度为每秒1个单位． (1)若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距46个单位？ (2)若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？ (3)当时间t满足时，M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出t1，t2的值． 【答案】(1)4； (2)或； (3)4或 【分析】（1）利用M、N之间的距离为最初的距离加上各自行驶的路程即可得到一个关于t的方程，解方程即可得出答案； （2）先将M，N，P三点在数轴上的位置用含t的代数式表示出来，然后分点N在点P左侧和点N在点P右侧两种情况分别讨论即可； （3）根据M，N，P之间整数点的个数，可以确定出M，N，P三点的位置，从而找到，的值． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒， 由题意可得：， ∴， ∴运动4秒点M与点N相距46个单位； （2）解：设运动时间为t秒， 由题意可知：M点运动到，N点运动到，P点运动到t， 由得， 解得t或， ∴运动或时点P到点M，N的距离相等； （3）解：由题意可得：M、N、P三点之间整数点的多少可看作它们之间距离的大小， M、N两点距离最大，M、P两点距离最小，可得出M、P两点向右运动，N点向左运动． ①当时，P在4，M在14，N在， 再往前一点，之间的距离即包含10个整数点，之间有37个整数点； ②当N继续以6个单位每秒的速度向左移动，P点向右运动， 若N点移动到时，此时N、P之间仍为37个整数点， 若N点过了时，此时N、P之间为38个整数点 故， ∴，． 【点睛】本题主要结合数轴考查了点在数轴上的移动，能够根据题中信息利用方程的思想建立关于t的方程是解题的关键． 47．已知数轴上的、两点分别对应的数字为、，且、满足． (1)直接写出：______，______； (2)从出发，以每秒个长度的速度沿数轴正方向运动，何时，，三点中其中一个点到另外两个点的距离相等？求出相应的时间； (3)数轴上还有一点对应的数为，若点从出发，以每秒个单位的速度向点运动，同时，从点出发，以每秒个长度的速度向正方向运动，点运动到点立即返回再沿数轴向左运动．当时，求运动的时间． 【答案】(1)， (2)或或或； (3)或或 【分析】（1）根据绝对值的非负性，平方的非负性，即可求解； （2）设时间为秒，从出发，以每秒个长度的速度沿数轴正方向运动，则，点表示的数为，分三种情况讨论，①当时，②时， ③当时，分别列出方程，解方程即可求解； （3）分四种情况讨论：①点、点向右运动，点在点左侧，②点、点向右运动，点在点右侧，③点向左运动，点在点右侧，④点向左运动，点在点左侧，分别列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， 解得：， 故答案为：，． （2）解：∵数轴上的、两点分别对应的数字为、， ∴ 设时间为秒，从出发，以每秒个长度的速度沿数轴正方向运动，则，点表示的数为， 则 ①当时， 则， 解得：， ②时， ， 解得：； ③当时， 解得：或 ∴或或或； （3）设时，， 分四种情况讨论： ①点、点向右运动，点在点左侧， ， 解得：； ②点、点向右运动，点在点右侧， ， 解得：， 点到达点的时间为，， 不合题意，舍去； ③点向左运动，点在点右侧， ， 解得：； ④点向左运动，点在点左侧， ，解得：， 综上所述，当时，点运动的时间为：或或． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，数轴上动点问题，一元一次方程的应用，数形结合，分类讨论是解题的关键． 48．如图，在数轴上点表示数，点表示数，表示点和点之间的距离，且、满足． (1)求、的值； (2)如图1，若在数轴上存在一点，且，求点表示的数； (3)如图2，若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒）， ①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用表示）； ②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 【答案】(1)； (2)或14； (3)①甲球与原点的距离为，乙小球到原点的距离为；②秒和8秒． 【分析】（1）根据非负数的性质求出、的值； （2）分点在线段上和线段的延长线上两种情况讨论即可求解； （3）①甲球到原点的距离＝甲球运动的路程的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当时，乙球从点处开始向左运动，一直到原点，此时的长度－乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）当时，乙球从原点处开始向右运动，此时乙球运动的路程的长度即为乙球到原点的距离； ②分两种情况：（Ⅰ），（Ⅱ），根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）∵， ∴解得：． （2）如图1，设点的读数为． 当点在之间时，，即，解得： 当点在点的右侧时，，即，解得：． 综上所述：点表示的数为或14． （3）如图2，①∵甲球运动的路程为：, ， ∴甲球与原点的距离为：； 乙球到原点的距离分两种情况： （Ⅰ）当时，乙球从点处开始向左运动，一直到原点， ∵，乙球运动的路程为：， ∴乙球到原点的距离为：； （Ⅱ）当时，乙球从原点处开始一直向右运动， 此时乙球到原点的距离为：； ∴乙小球到原点的距离 ②当时，， 解得：． 当时，， 解得：． 综上所述，甲乙两球到原点距离相等时经历的时间为秒和8秒． 【点睛】本题考查了非负数的性质，方程的解法，数轴，两点间的距离，有一定难度，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键． 49．如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，点表示A点和B点之间的距离，且a、b满足． (1)点A表示的数为___________；点B表示的数为___________； (2)若A、B两点之间存在一点C，且，求C点表示的数； (3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动：同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）乙球的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）． ①用含t的式子表示，甲球到原点的距离：___________；乙球到原点的距离：___________； ②求甲、乙两球到原点的距离相等时经历的时间． 【答案】(1)，6 (2) (3)①，或，②秒或秒 【分析】（1）根据绝对值的非负性求解即可； （2）设点C表示的数为c，根据列等式求解即可； （3）①甲球到原点的距离原点甲球对应的数，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，此时乙球折返前对应的数减去原点即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）当时，乙球从原点O处开始向右运动，此时乙球折返后对应的数减去原点即为乙球到原点的距离； ②分两种情况：（Ⅰ），（Ⅱ），根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：，6． （2）解：∵点C在点A和点B之间时，设点C表示的数为c， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴点C表示的数为． （3）解：①∵t秒后，甲球对应的数为：， ∴甲球与原点的距离为：； 乙球的运动情况分两种情况： （Ⅰ）当时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O， 则t秒后，乙球折返前对应的数为：， ∴乙球到原点的距离为：； （Ⅱ）当时，乙球从原点O处开始一直向右运动， ∵折返前运动用时3秒， ∴折返后实际运动时间为秒， 则t秒后，乙球折返后对应的数为：， 此时乙球到原点的距离为：； 故答案为：；或； ②∵甲、乙两球到原点的距离相等： （Ⅰ）当时，由上一问可得：， 解得：； （Ⅱ）当时，由上一问可得：， 解得：； 综上所述，当秒或秒时，甲乙两小球到原点的距离相等． 【点睛】本题考查了非负数的性质，一元一次方程的运用，以及数轴上两点间的距离，渗透分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键． 50．如图1，在数轴上有A和B两点，其中点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数是b，点B位于点A左侧，并且a和b满足关系式：． (1)求线段的长度； (2)动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动： ①若同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，则经过几秒后，P、Q两点相遇． ②如图2，若定点C在数轴上对应的数为5，其他条件不变，当时，求此时点P运动的时间． 【答案】(1)7 (2)①经过7秒后，P、Q两点相遇，②秒或者2秒 【分析】（1）根据绝对值与平方的非负性先求解，的值，再利用两点之间的距离公式可得答案； （2）①利用P的运动路程减去Q的运动路程等于7列方程即可；②设经过t秒后，，点P表示的数为．分两种情况讨论：当点P在点B左侧时，当点P在点B右侧时，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴，． ∴． （2）①设经过x秒后，P、Q两点相遇，由题可知： ， 解得． ∴经过7秒后，P、Q两点相遇． ②设经过t秒后，，点P表示的数为． 当点P在点B左侧时， ，，， ∵  即， 解得， 当点P在点B右侧时，， ，， ∵， 即， 解得， 综上所述，点P运动的时间为秒或者2秒． 【点睛】本题考查的是非负数的性质，数轴上两点之间的距离，动点问题，一元一次方程的应用，理解题意，清晰的分类讨论是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 第1章第2章合集数轴动点问题分类训练1（5种类型50道） 知识归纳 1.数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴； 2.数轴三要素：原点、正方向、单位长度是数轴三要素； 3.有理数与数轴上点的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，一般地，设a为一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离为a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离也为a单位长度； 重点题型 【题型1 基础动点问题】 1 【题型2 重合问题】 3 【题型3 已知速度动点问题】 7 【题型4 变速问题】 10 【题型5 求时间】 15 【题型1 基础动点问题】 1．，两点在数轴上的位置如图所示，其中点对应的有理数为，点对应的有理数为4．动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒（）． (1)当时，点表示的有理数为______；______（填＞，＜，＝）； (2)点为的中点时，______； (3)当时，求的值． 2．已知a是最大的负整数，b是的相反数，且a、b分别是点A、B、在数轴上对应的数． (1)求a、b的值，并在数轴上标出点A、B． (2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，若运动t秒后，点P可以追上点Q，求t的值？ 3．如图：数轴上有A、B两点，分别对应的数为a，b，已知与互为相反数．点P为数轴上一动点，对应为x． (1)若点P到点A和点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A和点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； (3)当点P以每分钟1个单位长度的速度从O点向左运动，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B以每分钟7个单位长度向左运动，问几分钟时点P到点A、点B的距离相等？ 4．如图，点、均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点4个单位长度，点、是数轴上的两个动点． (1)直接写成点所对应的数为______． (2)当点到点、的距离之和是6个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点、分别从点、出发，且均沿数轴向左运动，点以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度匀速运动．若点先出发5秒时点出发，当、两点相距2个单位长度时，直接写出此时点、分别对应的数． 5．如图，数轴上A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，且a、b满足．动点P从A点出发，以每秒10个单位的速度沿数轴向右运动，到达B点停留片刻后立即以每秒6个单位的速度沿数轴返回到A点，共用了6秒；其中从C到B，返回时从B到C（包括在B点停留的时间）共用了2秒． (1)求C点表示的数c； (2)设运动时间为t秒，求t为何值时，点P到A、B、C三点的距离之和为23个单位？ 6．如图所示，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a、b满足，点A、B在数轴上表示的数如图所示，动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒1个单位长度的速度向点B运动到点B停止运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动，设点P运动的时间为t秒，P、Q两点的距离为个单位长度． (1)点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (2)当时， ； (3)当P、Q两点中有一个点恰好运动到线段的中点时，求d的值； (4)当时，直接写出t的值． 7．已知点表示的数是，点表示的数是，其中满足条件：，是数轴上的一动点．请借图分析并完成解答： (1)直接写出______，______，线段的长是______； (2)点为线段的中点，如果点从点出发，以的速度沿射线的方向运动，求点运动几秒时到达点处； (3)若点在点右侧且与点之间的距离是2，当点满足时，请直接写出点在数轴上表示的数为______． 8．点A为数轴上表示数2的点，点M为数轴上的一个动点（不与点A重合），设（）． (1)若点M表示的数为，则______； (2)若，求点M在数轴上表示的数； (3)若点N为线段OM的中点，当时，求a的值． 9．如图，数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，且．      (1)______，______； (2)P为数轴上的动点，设Q为的中点，点P从点M向左运动时，请探究与的数量关系，并说明理由． 10．如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______用含的代数式表示； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求：当点运动多少秒时，点与点相遇？ 【题型2 重合问题】 11．根据下面给出的数轴，解答下面的问题： (1)请根据图中A、B两点的位置，A、B两点表示的数分别为a、b，则_______； (2)若经过折叠，A点与表示的点重合，则B点与数______表示的点重合； (3)若数轴上M、N两点之间的距离为12（M在N的左侧），且M、N两点经过（2）中折叠后重合，M点表示的数是：_________； 12．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数 表示的点重合； (2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、两点之间的距离为2023（A在的左侧），且A、两点经折叠后重合，求A、两点表示的数是多少？ 13．已知在数轴上，一动点Q从原点O出发，沿着数轴以每秒4个单位长度的速度来回移动，第1次移动是向右移动1个单位长度，第2次移动是向左移动2个单位长度，第3次移动是向右移动3个单位长度，第4次移动是向左移动4个单位长度，第5次移动是向右移动5个单位长度，……. (1)求出2.5秒钟后动点Q移动______次； (2)第7次移动后，点Q在表示数______的位置上，运动时间为______s； (3)第n次移动后，点Q运动时间为______s. (4)如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距10个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与A重合，若能，则第一次与点A重合需要多长时间？若不能，请说明理由. 14．折叠数轴，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题：    (1)数轴上9表示的点与　 　表示的点重合． (2)若数轴上M、N两点之间的距离为2024（M在N的左侧），且M、N两点经折叠后重合，求M、N两点表示的数各是多少？ (3)如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动100次后，落在数轴上一边的右端点表示的数与折叠后的哪个数重合？ 15．在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图．    操作一： （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与D在数轴上表示的点重合，求点D表示的数； ②若数轴上A，B两点之间的距离为（点A在点B的左侧），且A，B两点折叠后重合，求A，B两点表示的数． 16．我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非．”可见数形结合对于数学学习是多么重要，数学课上老师让同学们将数轴对折探究其中的数学问题．    (1)如图①，勤学小组的同学将数轴对折，使表示2的点与表示的点重合． ①对折后表示5的点与表示________的点重合； ②对折后表示的点与表示________的点重合．（用含的代数式表示） (2)如图②，善思小组的同学将数轴对折，使表示3的点与表示的点重合． ①对折后表示7的点与表示________的点重合； ②对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点与点之间的距离为8，则点表示的数为________，点表示的数为________． (3)如图③，智慧小组的同学将数轴对折，使表示的点与表示的点重合，经对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点和点之间的距离为10，则点表示的数为________，点表示的数为________．（用含的代数式表示） 17．对于数轴上的定点和动点，如果满足：①点以速度沿数轴正方向运动，经过点后以速度继续沿数轴正方向运动；②点以速度沿数轴负方向运动，经过点后以速度继续沿数轴负方向运动，那么称定点为“变速点”.点在数轴上分别表示有理数，且满足. (1)点表示的数为 ，点表示的数为 . (2)若变速点在线段上，且满足点到点的距离与点到点的距离相等： ①当动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，则点在第 秒时与点重合； ②当动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，则点在第 秒时与点重合. (3)若在线段上存在一变速点（不与点，重合），点表示的数为.动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，若它们在点处相遇，且点表示的数为5，求的值. 18．根据下面给出的数轴，解答下面的问题：    (1)请你根据图中A，两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：________，：________． (2)观察数轴，与点A的距离为3的点表示的数是：______________． (3)若将数轴折叠，使得A点与表示的点重合，则点与数________表示的点重合． (4)若数轴上，两点之间的距离为2020（在的左侧），且，两点经过（3）中折叠后互相重合，则，两点表示的数分别是：__________：__________． 19．翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．（翻折运动）已知纸面上有一数轴，折叠纸面．    (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与_____表示的点重合． (2)若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与_____表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同)，且A、B两点经折叠后重合，则A点表示的数是_____，B点表示的数是_____； (3)若数轴上折叠重合的两点表示的数分别为a，b，那么数c表示的点与数_______表示的点也重合．(用含有a，b，c的代数式表示) 20．已知在数轴上对应的数分别用表示，且，是数轴上的一个点．    (1)在数轴上标出的位置，并求出两点之间的距离． (2)数轴上一点距点7个单位长度，其对应的数满足． ①写出两点之间的距离． ②若表示点与点之间的距离，表示点与点之间的距离，当点满足时，直接写出点对应的数． (3)动点从点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，依此类推…在这个移动过程中，点和与能重合吗？若能，请探索是第几次移动时重合，并写出算式说明；若不能，请说明理由． 【题型3 已知速度动点问题】 21．如图，在数轴上点表示数，点示数， 点表示数， 的相反数是，且满足．    (1) ； ； ； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合； (3)点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 22．如图，数轴上有A，B，C三点，它们分别表示数a，b，c，已知，且b，c互为相反数．    (1)求a，b，c的值； (2)若有甲、乙两只电子蚂蚁分别从A，C两点同时出发相向而行，电子蚂蚁甲的速度为4个单位长度/s，电子蚂蚁乙的速度为6个单位长度/s，当两只蚂蚁在数轴上点M处相遇时，求点M表示的数． 23．如图，数轴上的单位长度为1，两点表示的数是互为相反数； (1)点表示的数是______，点表示的数______． (2)数轴上一个动点先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位到达点，若点表示的数是1，则点所表示的数是______． (3)在数轴上，点为坐标原点，若点点分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度向右运动，当两点同时运动时，设运动时间为秒． ①点表示的数为______；点表示的数为______．（用含的式子表示） ②当为何值时，点点点三点之间恰好有一个点到其他两个点的距离相等？ 24．自主学习：在数轴上求任意两个点之间的距离，可以用这两个点所表示的数作差来表示（较大数减去较小数）．已知数轴上任意两点A、B，P为线段的中点．如图1，当A、B两点所表示的数分别为2和8时，则可知，则，，那么P点所表示的数为5． (1)类比探究一：如图2，当A、B两点所表示的数分别为－6和8时，则______，此时P点所表示的数为______； (2)类比探究二：如图2，当A、B两点所表示的数分别为a和b时（），求P点所表示的数．（用含有a、b的式子表示）； (3)拓展应用：如图3，可直接应用上面探究所得结论解决问题．在（1）的条件下，动点C从A点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，同时点D从B点出发以每秒1个单位的速度沿数轴向左运动，运动时间为t秒．若线段的中点为M，求点M运动的速度． 25．【阅读理解】（1）在数轴上，点A表示的数为，点表示的数为，则点A和点之间的距离表示为．当，时，______； 【知识运用】（2）如图，数轴上点A表示，点表示0，点表示10，点表示18．点到点A的距离等于点到点的距离，则点在数轴上表示的数是______； 【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，动点从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴的正方向运动；同时，动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴的负方向运动．设运动时间为秒，当点到点的距离等于点到点的距离时，求出的值． 26．如图，在数轴上，点表示原点，点表示数，点表示数，且a，b满足． (1)__________，__________，__________． (2)若线段（在的右侧，），点与点重合，线段从点出发，以2个单位每秒的速度向点方向运动，点是线段的中点，点是线段的中点，在线段运动过程中，线段的长度始终为1，求的值； (3)在（2）的条件下，当线段开始运动时，动点从点处以1个单位每秒的速度向点方向运动，运动的过程中，当为何值时． 27．已知数轴上A，B两点表示的数分别为和40，P为数轴上一点． (1)若点P到A，B两点的距离相等，求A，B两点的距离和点P表示的数x； (2)若点P到点B的距离等于50，求点P表示的数； (3)①数轴上是否存在点P，使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由． ②若点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向右运动，点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度向左运动，P、Q两点同时出发．几秒后点P到点Q的距离为10？ 28．如图所示，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b．    (1)化简：； (2)表示A点和B点之间的距离（即），已知a，b分别是方程和方程的解，求A，B两点之间的距离； (3)在（2）的条件下，若动点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q到达点A后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点P到达点B时，P、Q两点运动随之停止．设运动时间为秒，则t为何值时，． 29．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：    (1)数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为 ． (2)若，则 ． (3)当x是 时，代数式． (4)若x表示一个有理数，则的最小值= ． (5)若点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后， ？（请写出必要的求解过程） 30．已知数轴上两点A，B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P为的中点，则点P对应的数是 ． (2)数轴的原点右侧有点P，使点P到点A，点B的距离之和为8．请你求出x的值． (3)现在点A，点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，直接写出点P对应的数． 【题型4 变速问题】 31．已知，如图，数轴上依次有、、三点，它们在数轴上对应的数分别是、、，其中、满足，点到点的距离为20． (1)求、、的值． (2)如图1，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，动点从点出发，以每秒1单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，、两点同时出发，在点处相遇，求出相遇点所对应的数是多少； (3)如图2，将数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”，（图中、两点在“折线数轴”上的距离为28个单位长度）．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复；同时，动点从点出发以每秒1个单位长度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复，设运动时间为秒，请直接写出当为何值时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等． 32．已知关于x的多项式是二次多项式．如图1．在数轴上有A、B、C三个点，且A、B、C三点所表示的数分别是a，b，．有两条动线段和（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边）．，，线段从点B开始沿数轴向左运动，同时线段从点A开始沿数轴向右运动，当点Q运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，当点P运动到点C时，线段同时停止运动，设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． (1)直接依次写出a，b的值：__________，__________； (2)如图2，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右匀速运动，当C、Q、M中任意一点为其他两点构成线段的中点时，求时间t； (3)如图3，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右运动，当两条线段有重合部分时，线段的速度变为原来的倍，线段的速度变为原来的2倍，当重合部分消失后速度恢复，请直接写出当线段和重合部分长度为1时所对应的t的值． 33．如图1，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、24，其中、满足，． (1)填空：______，______，______； (2)如图1，若点、分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为 问：当为何值时，、之间的距离为2？ (3)如图2，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若、两点在点处相遇，则点表示的数为______． 34．如图，点O是数轴的原点，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足． (1)点A表示的数是______，点B表示的数是______； (2)动点P、Q分别从点A和点O同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向运动，点Q以每秒3个单位长度的速度向正方向运动，点Q运动到点B后立即沿射线的方向以原速度运动，点P、Q在点C的位置相遇，求点C表示的数； (3)在（2）的条件下，若从点P、Q相遇开始，动点N从点O出发以每秒0．5个单位长度的速度向数轴正方向运动，点Q的速度变为每秒个单位长度，点P的速度不变，设动点N运动的时间为t秒，求当t为何值，点P刚好是线段的一个三等分点，并直接写出此时点N所表示的数． 35．已知，其中分别为点、点在数轴上表示的数，如图所示． 动点分别从同时开始运动，点以每秒6个单位向左运动，点以每秒2个单位向右运动，设运动时间为秒．    (1)直接写出的值； (2)请用含的代数式表示点在数轴上对应的数为：___________，点在数轴上对应的数为___________． (3)当相遇后，点继续保持向左运动，点在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍． 在整个运动过程中，当之间的距离为2个单位时，求运动时间的值（需写出必要的解答过程）． 36．数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题，已知a、b为常数且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图1所示，O为原点，点C在原点右侧，且点C与点A到原点的距离相等． (1)则_______，_______； (2)如图2，我们将图1的数轴在点O和点C处各弯折一次，弯折后与处于水平位置，线段处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O为“折坡数轴”原点，在“折坡数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数．记为“折坡数轴”拉直后点A和点B的距离：即，其中代表线段的长度．定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍．动点M从点A处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向右移动到点O，再下坡到点C，然后再沿方向移动，在点M出发的同时，动点N从点B处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向左移动到点C，再上坡移动，当移到点O时，立即掉头返回（掉头时间不计），当点N重新回到点B时所有运动结束，设点N运动时间为t秒，在移动过程中： ①若M，N两点在点Q处相遇，则点Q在“折坡数轴”上所表示的数是多少． ②在点N从点O返回之前，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 37．点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，且．我们将A，B两点间的距离记为． (1)求的长度； (2)两带电粒子P，Q分别从A，B两点同时出发，沿数轴的正方向运动，其中带电粒子Q的运动速度为2个单位长度／秒． ①若带电粒子P的运动速度为4个单位长度／秒，设运动时间为秒，当时，求的值； ②点C为线段上的一点.若两带电粒子P，Q运动开始时，在线段之间放入某种电场，使得带电粒子在线段运动时，速度比原来每秒快１个单位长度，在线段运动时，速度变为原速度的2倍，P，Q在其他位置速度与原来相同．若经过一段时间x秒的运动后，的长度恒等于10，求运动时间x的最小值及点C所对应的数． 38．数轴上点表示，点表示6，点表示12，点表示18．如图，将数轴在原点和点、处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点和点在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点从点出发，以2个单位秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，过点后继续以原来的速度向终点运动；点从点出发的同时，点从点出发，一直以1.5个单位秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． (1)当秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离为 　　；当点、都运动到折线段上时，、两点间的和谐距离　　（用含有的代数式表示）；、两点间的和谐距离　　（用含有的代数式表示）；　　时，、两点相遇； (2)当M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等时，求t的值． 39．如图，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、，其中、满足，点到原点距离是点到原点距离的倍． (1)填空： _____， _____， _____； (2)如图，若点、、分别同时以每秒个单位长度、个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为． ①为何值时，？ ②若的值始终保持不变，求的值： (3)如图，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若、两点在点处相遇，则点表示的数为_____． 40．点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，且．我们将A，B两点间的距离记为． (1)______，______，______； (2)若点C在数轴上，且，求点C表示的有理数； (3)M，P，Q三点在数轴上，点O为原点，点M表示的数为12．P，Q两点分别从A，B两点同时出发，沿数轴的正方向运动，在到达点O前，P，Q两点的运动速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒，点P经过点O后的速度变为原速度的一半，点Q经过点O后的速度变为原速度的2倍．设运动时间为t秒，当时，求t的值． 【题型5 求时间】 41．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，表示A点和B点之间的距离，且a、b满足．    (1)求A、B两点之间的距离； (2)一小球甲从点A处以2个单位/秒的速度向右运动；同时另一小球乙从点B处以4个单位/秒的速度向左运动（忽略球的大小，可看作一点），设运动的时间为t（秒）， ①直接写出甲、乙两小球所对应的点表示的数（用t表示）； ②求甲、乙两小球距离10个单位时运动的时间？ 42．如图，数轴上A点表示数a，B点表示数b，表示A点和B点之间的距离，且a、b满足． (1)求 A和B 两点之间的距离； (2)若在数轴上存在一点C，且，求 C点表示的数； (3)若在原点 O处放一挡板（忽略挡板的厚度），一小球甲从点A处以 1 个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点 B 处以2个单位/秒的速度 也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）； ①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）； ②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 43．数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，且多项式的二次项系数为a，常数项为b． (1)直接写出： ______， ______． (2)若，利用绝对值的几何意义可知x＝______． (3)若点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动；同时点N从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左移动，到达A点后立即返回并向右继续移动，当M，N两点相距1个单位长度时，求M，N两点移动的时间． 44．【数学实验室】 点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示4和8两点之间的距离是 ；数轴上表示和7的两点之间的距离表示为 ． (2)若表示一个有理数，则 的最小值 ． (3)已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． (4)已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为90．    若当电子蚂蚁从点出发时，以3个单位每秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位每秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度？ 45．已知数轴上的A、B两点分别对应的数字为a、b，且a、b满足．    (1)求a、b的值； (2)点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，出发后经过t秒钟，P、A、B三点中其中一个点到另外两个点的距离相等，求出此时t值； (3)数轴上还有一点C对应的数为40，若点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向C点运动，同时，点Q从B点出发，以每秒个单位长度的速度向正方向运动，点P运动到C点后立即返回再沿数轴向左运动．当时，求点P运动的时间． 46．已知数轴上两点A、B对应的数分别是，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为M点的3倍，点P从原点出发，速度为每秒1个单位． (1)若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距46个单位？ (2)若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？ (3)当时间t满足时，M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出t1，t2的值． 47．已知数轴上的、两点分别对应的数字为、，且、满足． (1)直接写出：______，______； (2)从出发，以每秒个长度的速度沿数轴正方向运动，何时，，三点中其中一个点到另外两个点的距离相等？求出相应的时间； (3)数轴上还有一点对应的数为，若点从出发，以每秒个单位的速度向点运动，同时，从点出发，以每秒个长度的速度向正方向运动，点运动到点立即返回再沿数轴向左运动．当时，求运动的时间． 48．如图，在数轴上点表示数，点表示数，表示点和点之间的距离，且、满足． (1)求、的值； (2)如图1，若在数轴上存在一点，且，求点表示的数； (3)如图2，若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒）， ①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用表示）； ②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 49．如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，点表示A点和B点之间的距离，且a、b满足． (1)点A表示的数为___________；点B表示的数为___________； (2)若A、B两点之间存在一点C，且，求C点表示的数； (3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动：同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）乙球的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）． ①用含t的式子表示，甲球到原点的距离：___________；乙球到原点的距离：___________； ②求甲、乙两球到原点的距离相等时经历的时间． 50．如图1，在数轴上有A和B两点，其中点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数是b，点B位于点A左侧，并且a和b满足关系式：． (1)求线段的长度； (2)动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动： ①若同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，则经过几秒后，P、Q两点相遇． ②如图2，若定点C在数轴上对应的数为5，其他条件不变，当时，求此时点P运动的时间． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$