专题03 第1第2章合集绝对值培优分类训练（10种类型50道）-2024-2025学年人教版（2024 ）七年级数学上册同步拓展+点对点针对训练

专题03 第1第2章合集绝对值培优分类训练（10种类型50道） 知识归纳 1.绝对值定义：一般地，数轴上表示数的a的点与原点距离叫做数a的绝对值，数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”； 2.几何意义和代数意义 （1）几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点越远，绝对值越大，反之越小； （2）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即= 3.补充说明： （1）互为相反数的两个数绝对值相等，反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数； （2）当绝对值符号里的数正负不能确定时，要分类讨论，即将分成大于0，小于0，等于0三种情况讨论； （3）任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意有理数，都有， （4）两个负数相比较，绝对值大的反而小. 重点题型 【题型1 求绝对值】 1 【题型2 利用绝对值求取值范围】 2 【题型3 绝对值与距离】 2 【题型4 利用非负性求值】 3 【题型5 求含绝对值方程】 3 【题型6 利用绝对值求值】 4 【题型7 去绝对值】 4 【题型8 绝对值的化简】 4 【题型9 最值问题】 5 【题型10 绝对值几何意义的综合运用】 5 【题型1 求绝对值】 1．2024的绝对值是（    ） A． B．2024 C． D． 2．的绝对值是（    ） A． B．3 C． D． 3．等于（ ） A． B． C．5 D． 4．的绝对值是（    ） A． B． C． D．5 5．等于（　　） A． B． C．2 D． 【题型2 利用绝对值求取值范围】 6．如果，那么的取值范围是（    ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 7．若，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D．非以上答案 8．若，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．如果，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 绝对值与距离】 11．数轴上表示数的点和原点的距离表示为（    ） A． B． C． D． 12．如图，数轴上表示的点A到原点的距离是（　　） A． B．3 C． D． 13．点在数轴上表示的数是，那么数轴上表示点到点的距离是（   ） A． B． C． D． 14．如图，数轴上的三点所表示的数分别为．若，，且原点与的距离分别为1.5、2.5，则（    ）    A．3.5 B．0.5 C． D． 15．在数轴上，若点表示为，则距离点个单位长度的点表示的数是（ ） A． B． C．或 D．或 【题型4 利用非负性求值】 16．若，则的值是（ ） A．5 B． C．8 D． 17．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 18．如果实数满足，那么等于（　　） A． B． C． D．9 19．若 ，则的值为（   ） A．6 B．5 C．1 D． 20．若，则的值是（    ） A．0 B． C． D．5 【题型5 求含绝对值方程】 21．若，则x的值是（   ） A． B．或1 C．1 D．或 22．方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 23．方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 24．若，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 25．若满足，则的值是（　　） A．0 B．1 C． D．2 【题型6 利用绝对值求值】 26．若，，且，那么的值是 ． 27．已知，，且，，则的值为 ． 28．已知，，且，则的值是 ． 29．若，，且的绝对值与它的相反数相等，则的值是 30．已知，，且，则 ． 【题型7 去绝对值】 31．如图，化简 ． 32．已知数位置如图所示，化简 ． 33．如图，根据数轴上表示的三个数的位置，化简： ． 34．a、b、c三个数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 35．有理数，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【题型8 绝对值的化简】 36．如果，且，那么 ． 37．有理数a，b，c都不为零，且，则 ． 38．如果、、是非零有理数，那么所有可能的值为 ．（表示、、的乘积） 39．设a，b，c为有理数，则由构成的各种数值是 ． 40．若，则 ． 【题型9 最值问题】 41．求的最小值是 ． 42．若式子有最小值，则该最小值为 ． 43．已知为有理数，则的最小值是 ． 44．当 时，有最小值，最小值是 ． 45．若取最小值时，代数式的值是 ． 【题型10 绝对值几何意义的综合运用】 46．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_______________；式子的几何意义是______________________________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，________； (3)当表示的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是________； (4)探究：的最小值是________；的最小值为________，此时满足的条件是________． 47．同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： (1)求______． (2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是______． (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值（请写清楚过程），如果没有说明理由． 48．点在数轴上的位置如图所示，表示数轴上点A与点之间的距离．若点表示的数为，点表示的数为，且． (1)______，______； (2)动点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒，当为多少秒时，两点之间的距离为4？ (3)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，如的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点之间的距离． ①若，则的取值范围为______； ②直接写出当或时，的最小值． 49．同学们都知道：表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)已知，求的最大值 和最小值 ． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并请写出所有符合条件的整数；如果没有，说明理由． 50．【阅读材料】 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系．两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示．如图，在数轴上有理数a对应的点为A，有理数b对应的点为B，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为． 【解决问题】 （1）数轴上有理数与1对应的两点之间的距离是______； （2）数轴上有理数m与对应的两点之间的距离是______（用含m的式子表示）； （3）若数轴上有理数n与对应的两点之间的距离是5，则______． 【拓展应用】 点M，N，P是数轴上的三个点，其中，点M表示的数为2，点N表示的数为，点P表示的数为x．若点P在点M，N之间，则______；若，则______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 第1第2章合集绝对值培优分类训练（10种类型50道） 知识归纳 1.绝对值定义：一般地，数轴上表示数的a的点与原点距离叫做数a的绝对值，数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”； 2.几何意义和代数意义 （1）几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点越远，绝对值越大，反之越小； （2）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即= 3.补充说明： （1）互为相反数的两个数绝对值相等，反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数； （2）当绝对值符号里的数正负不能确定时，要分类讨论，即将分成大于0，小于0，等于0三种情况讨论； （3）任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意有理数，都有， （4）两个负数相比较，绝对值大的反而小. 重点题型 【题型1 求绝对值】 1 【题型2 利用绝对值求取值范围】 3 【题型3 绝对值与距离】 4 【题型4 利用非负性求值】 6 【题型5 求含绝对值方程】 8 【题型6 利用绝对值求值】 10 【题型7 去绝对值】 11 【题型8 绝对值的化简】 13 【题型9 最值问题】 16 【题型10 绝对值几何意义的综合运用】 18 【题型1 求绝对值】 1．2024的绝对值是（    ） A． B．2024 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可． 【详解】解：2024的绝对值是， 故选：B． 2．的绝对值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值，根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，进行解答即可． 【详解】负数的绝对值等于它的相反数， 的绝对值是3， 故选：B． 3．等于（ ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了绝对值，解题的关键是掌握正数和零的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数． 根据绝对值的意义即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 4．的绝对值是（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数解答即可． 本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 【详解】解：的绝对值是5． 故选D． 5．等于（　　） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义，可以得到，本题得以解决． 本题考查了绝对值的计算，熟练掌定义是解题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 【题型2 利用绝对值求取值范围】 6．如果，那么的取值范围是（    ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 【答案】C 【分析】此题主要考查了绝对值，根据非负数的绝对值等于本身，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，则a的取值范围是：非负数． 故选C． 7．若，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D．非以上答案 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质是关键．根据绝对值的性质进行判断可以得解． 【详解】若， ， ， 故选：D． 8．若，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了绝对值的意义，用到的知识点是绝对值的定义和相反数，掌握绝对值的性质是解题的关键． 9．若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的意义，得到，求解即可得到答案． 【详解】解：， ， , 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题关键是掌握正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数． 10．如果，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“正数和0的绝对值等于它本身”即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查绝对值的性质，解答此题的关键是熟知绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 【题型3 绝对值与距离】 11．数轴上表示数的点和原点的距离表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的性质，绝对值的意义，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 【详解】解：数轴上表示数的点到原点的距离表示为的绝对值，即， 故选：B． 12．如图，数轴上表示的点A到原点的距离是（　　） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了绝对值的意义，根据绝对值的定义即可得到结论． 【详解】解：数轴上表示的点A到原点的距离是3， 故选：B 13．点在数轴上表示的数是，那么数轴上表示点到点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义以及在数轴上表示有理数，根据数轴上表示点到点的距离为，再化简绝对值，即可作答． 【详解】解：依题意，得数轴上表示点到点的距离是 ∴ 故选：D 14．如图，数轴上的三点所表示的数分别为．若，，且原点与的距离分别为1.5、2.5，则（    ）    A．3.5 B．0.5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质和数轴上两点之间的距离，确定原点的位置是解题的关键． 根据三点所表示的数之间的关系结合三点在数轴上的位置即可得出，，再根据原点与的距离分别为1.5、2.5，即可得出，，结合间的关系即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵原点与的距离分别为1.5、2.5， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴． 故选：C． 15．在数轴上，若点表示为，则距离点个单位长度的点表示的数是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据数轴上两点间距离关系直接求解即可得到答案． 【详解】解：设数字为x，由题意可得， ， 解得：或， 故选：C． 【点睛】本题考查数轴上两点间距离关系：两数字之差的绝对值． 【题型4 利用非负性求值】 16．若，则的值是（ ） A．5 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，求代数式的值的应用，能得出是解此题的关键．根据绝对值的非负性求出x、y的值，再代入求出即可． 【详解】解： 故选B． 17．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了非负数的性质，理解并掌握非负数的性质是解题关键．根据绝对值非负性和偶数次方的非负数性质，即可获得答案． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， 解得，． 故选：D． 18．如果实数满足，那么等于（　　） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】本题考查偶次方、绝对值的非负性，根据偶次方、绝对值的非负性得出，，代入计算即可得出答案，掌握偶次方、绝对值的非负性是正确解答的关键． 【详解】解：∵，而，， ，即，， ． 故选：D． 19．若 ，则的值为（   ） A．6 B．5 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，根据非负数的性质可得，求得的值，代入即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 20．若，则的值是（    ） A．0 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，非负数的性质，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【题型5 求含绝对值方程】 21．若，则x的值是（   ） A． B．或1 C．1 D．或 【答案】D 【分析】本题考查解绝对值方程，由绝对值的定义可得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或． 故选：D 22．方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了解含绝对值符号的一元一次方程，熟练掌握绝对值的代数意义是解题的关键，忘记考虑绝对值符号内的原代数式为负是本题的易错点． 利用绝对值的代数意义化解已知方程，转化两个一元一次方程，求出方程的解后即可解题． 【详解】 或 解得或． 故选：D． 23．方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由，得到或，分别解一元一次方程，即可求解， 本题考查了，解绝对值方程，解题的关键是：熟练掌握解绝对值方程． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， 故选：C． 24．若，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了含有绝对值的方程．利用绝对值的意义可得，解出的值即可． 【详解】解：， ∴， 当时，解得， 当时，解得， 故选：C． 25．若满足，则的值是（　　） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，涉及解绝对值方程，由题意求出，代入代数式求值即可得到答案，熟记绝对值意义及乘方运算是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：B． 【题型6 利用绝对值求值】 26．若，，且，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了有理数的加法及绝对值，根据绝对值的意义确定出与的值，即可求出的值，正确理解绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴，或，， 则或， 故答案为：或． 27．已知，，且，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加法，以及化简绝对值，熟练掌握有理数加法的计算是解题的关键．根据题意得出a和b的值，然后计算出的值即可． 【详解】解：，，且，， ，， ， 故答案为：． 28．已知，，且，则的值是 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法，先根据绝对值的意义得出，，再根据，得出a和b异号，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴a和b异号， 当，时，， 当，时，， 故答案为：3或． 29．若，，且的绝对值与它的相反数相等，则的值是 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的加减运算，熟练掌握绝对值的意义，是解题的关键．根据，得出，，根据的绝对值与它的相反数相等得出，即可求解． 【详解】解∶∵，， ∴，， ∵的绝对值与它的相反数相等， ∴， ∴，或，， ∴的值是或， 故答案为∶或． 30．已知，，且，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查代数式求值，绝对值的意义，根据绝对值的意义，得到，进而求出的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或； 故答案为：或． 【题型7 去绝对值】 31．如图，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据数轴上数字的特点确定符号，再根据绝对值的性质“”化简即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故答案为： ． 32．已知数位置如图所示，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查绝对值的化简、数轴等知识点，要能根据数轴上点的位置确定各式子的符号是关键． 先根据数轴上a，b，c的位置确定的符号，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知：，则， 所以． 故答案为：． 33．如图，根据数轴上表示的三个数的位置，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与绝对值，由数轴可得，进而得，，再根据绝对值的性质化简即可求解，由数轴确定出和的符号是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，， ∴原式， 故答案为：． 34．a、b、c三个数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．先根据各点在数轴上的位置判断出、、的符号及大小，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】解：由图可知，，， ，， 原式． 故答案为：． 35．有理数，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】此题考查利用数轴比较数的大小，化简绝对值，整式的加减计算， 先根据数轴得到，，由此得到，化简各绝对值，合并同类项即可 【详解】由数轴可知，，， ∴， ∴原式 ， 故答案为： 【题型8 绝对值的化简】 36．如果，且，那么 ． 【答案】或 【分析】由题意可求出，故可分类讨论：①当时，则，从而可化简绝对值求解；②当时，则，同理求解即可． 【详解】解：，且， ． 对的值分类讨论如下： ①当时， ， ， ； ②当时， ， ， ． 故答案为：或． 【点睛】本题考查化简绝对值．利用分类讨论的思想是解题关键． 37．有理数a，b，c都不为零，且，则 ． 【答案】1或 【详解】根据题意分析可得：有理数a，b，c中一个为正，两个为负或一个为负，两个为正，分情况讨论，利用绝对值的意义化简运算即可． 【分析】解：∵， ∴，，． ∵有理数a，b，c都不为零，且， ∴有理数a，b，c不同时为正，也不同时为负， ∴有理数a，b，c中一个为正，两个为负或一个为负，两个为正， 当有理数a，b，c中一个为正，两个为负时，假定， ∴原式 ， 当有理数a，b，c中一个为负，两个为正时，假定， ∴原式 ． 综上，或． 故答案为：1或． 【点睛】本题主要考查了绝对值，有理数的加法，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 38．如果、、是非零有理数，那么所有可能的值为 ．（表示、、的乘积） 【答案】或或或 【分析】分类讨论：①、、中有一个负数时，②、、中有两个负数时，③、、中有三个负数时，④、、都是正数时，即可求解． 【详解】解：①、、中有一个负数时， 所以， 原式 ； ②、、中有两个负数时， 所以， 原式 ； ③、、中有三个负数时， 所以， 原式 ； ④、、都是正数时， 所以， 原式 ； 故答案：或或或． 【点睛】此题考查了分类讨论与有理数绝对值的性质应用能力，有理数加减混合运算，能根据有理数绝对值的性质分类讨论是解题的关键． 39．设a，b，c为有理数，则由构成的各种数值是 ． 【答案】，0 【分析】此题要分类讨论a，b，c与0的关系，然后根据绝对值的性质进行求解； 【详解】解：∵a，b，c为有理数， ①若， ∴； ②若a，b，c中有两个负数，则， ∴， ③若a，b，c中有一个负数，则， ∴， ④若a，b，c中有三个负数，则， ∴， 故答案为：，0． 【点睛】此题主要考查绝对值的性质，解题的关键是如何根据已知条件，去掉绝对值，还考查了分类讨论的思想，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 40．若，则 ． 【答案】2或-2. 【分析】对a、b、c中正数的个数进行讨论，即可求解． 【详解】解：当a、b、c中没有负数时，都是正数，则原式=1+1+1-1=2； 当a、b、c中只有一个负数时，不妨设a是负数，则原式=-1+1+1+1=2； 当a、b、c中有2个负数时，不妨设a、b是负数，则原式=-1-1+1-1=-2； 当a、b、c都是负数时，则原式=-1-1-1+1=-2， 总是代数式的值是2或-2， 故答案为：2或-2. 【点睛】本题考查了有理数的除法法则和乘法法则，正确进行讨论是关键． 【题型9 最值问题】 41．求的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．注意当的值不明确时，要分情况讨论是解题的关键． 根据绝对值均大于等于的性质，对的大小进行分情况讨论，去掉绝对值后，再进行比较大小，再求最小值． 【详解】解：当时，原代数式①； 当时，原代数式②； 当时，原代数式③； 据以上可得，且； 所以当时，原代数式取得最小值为， 故答案为：． 42．若式子有最小值，则该最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为：， 故答案为： 43．已知为有理数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的几何意义求含绝对值的代数式的最值，理解绝对值的几何意义，分类讨论求解即可得到答案，熟记绝对值的几何意义是解决问题的关键． 【详解】解：表示的点为数轴上的一个动点，由绝对值的几何意义可知，指表示的点与表示的点的距离 表示的点与表示的点的距离，分三种情况： 当时，如图所示： ，最小值为； 当时，如图所示： ，最小值为； 当时，如图所示： ，最小值为； 综上所述，的最小值是为， 故答案为：． 44．当 时，有最小值，最小值是 ． 【答案】 【分析】根据，可得结论． 【详解】解：∵， ∴当时，有最小值，最小值是． 故答案为：，． 【点睛】本题考查的是绝对值的非负数的性质，掌握绝对值的意义是解题的关键． 45．若取最小值时，代数式的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了非负数的性质和代数式求值，直接利用绝对值的性质得出，进而得出答案． 【详解】解：∵当取最小值时， ∴， 则 ． 故答案为：3． 【题型10 绝对值几何意义的综合运用】 46．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_______________；式子的几何意义是______________________________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，________； (3)当表示的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是________； (4)探究：的最小值是________；的最小值为________，此时满足的条件是________． 【答案】(1)，数轴上表示数的点与数的点之间的距离 (2)或5 (3)7 (4)8；16； 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键． （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据的几何意义求解可得； （3）根据绝对值的性质得一元一次方程进行解答便可； （4）当时化简绝对值方程便可求得的最小值．当时便可求得的最小值． 【详解】（1）数轴上表示数2的点与数的点之间的距离的式子是； 式子的几何意义是数轴上表示数的点与数的点之间的距离； 故答案为：，数轴上表示数的点与数的点之间的距离； （2）等式的几何意义是表示到数2的距离为3的点， 则的值为或5； 故答案为：或5； （3）表示的点在与5之间移动时， ， 故答案为：7； （4）当时，的值最小， 的最小值为8； 当时，有最小值为：； 故答案为：8；16；． 47．同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： (1)求______． (2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是______． (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值（请写清楚过程），如果没有说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)有最小值，最小值是． 【分析】本题考查了数轴与绝对值，数轴上两点间的距离，理解用绝对值表示两点间的距离是解题的关键． （）根据绝对值的性质即可求解； （）由可得表示到的距离与到的距离之和，根据即可得到一定在到之间，进而可求解； （）由可得表示的是到的距离与到的距离之和，进而可得当位于和之间时，的值最小，即为到的距离，即可求解； 【详解】（1）解：， 故答案为:； （2）解：∵， ∴表示到的距离与到的距离之和， ∵， ∴一定在到之间， ∴符合条件的整数有， 故答案为：； （3）解：有最小值，最小值是． 理由如下： ∵， ∴表示的是到的距离与到的距离之和， 当位于和之间时，的值最小，即为到的距离， ∴ 有最小值为． 48．点在数轴上的位置如图所示，表示数轴上点A与点之间的距离．若点表示的数为，点表示的数为，且． (1)______，______； (2)动点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒，当为多少秒时，两点之间的距离为4？ (3)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，如的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点之间的距离． ①若，则的取值范围为______； ②直接写出当或时，的最小值． 【答案】(1)，8． (2)2或6秒； (3)①；②13． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、偶次方及绝对值的非负性、数轴以及列代数式，解题的关键是： （1）由偶次方及绝对值的非负性，可求出a,b的值，进而可得出结论； （2）分点M在点B的左侧及点M在点B的右侧两种情况考虑，由，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）①根据绝对值的几何意义找出所有符合条件的x,再利用有理数的加减运算法则求和即可得；②分，及三种情况，利用数轴上两点间的距离公式可用含x的代数式（或数）表示出，再结合代数式值变化的规律，即可找出的最小值． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴点A表示的数为，点B表示的数为8， 故答案为：，8． （2）解：当点M在点B的左侧时，， 解得：； 当点M在点B的右侧时，， 解得：． 答：当t为2或6时，B、M两点之间的距离为4． （3）解：①当时，， ， 随x的增大而减小， ； 当时，； 故答案为：； ②当时，， ， 随x的增大而增大， ． 的最小值为13． 故答案为：13． 49．同学们都知道：表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)已知，求的最大值 和最小值 ． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并请写出所有符合条件的整数；如果没有，说明理由． 【答案】(1) (2)、、、、； (3)， (4)有最小值，，符合条件的整数为： 【分析】本题考查绝对值的意义；整式的加减、数轴、绝对值； （1）根据距离公式即可解答； （2）利用绝对值和数轴求解即可； （3）由于，可知，，依此得到的最大值和最小值． （4）|理解为：在数轴上表示到、、和的距离之和，当在与之间的线段上（即）时，取得最小值，进而即可求解． 【详解】（1）数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为， 故答案为； （2）表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 这样的整数有、、、、， 故答案为、、、 、； （3）， ，， 的最大值为，最小值为． 故的最大值，最小值． （4）有最小值， 理由是|理解为：在数轴上表示到、、和的距离之和， ∴当在与之间的线段上（即）时： ∴符合条件的整数为 50．【阅读材料】 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系．两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示．如图，在数轴上有理数a对应的点为A，有理数b对应的点为B，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为． 【解决问题】 （1）数轴上有理数与1对应的两点之间的距离是______； （2）数轴上有理数m与对应的两点之间的距离是______（用含m的式子表示）； （3）若数轴上有理数n与对应的两点之间的距离是5，则______． 【拓展应用】 点M，N，P是数轴上的三个点，其中，点M表示的数为2，点N表示的数为，点P表示的数为x．若点P在点M，N之间，则______；若，则______． 【答案】【解决问题】（1）7；（2）（或）；（3）4或 【拓展应用】5；或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离公式的应用，理解题意是解决问题的关键； 【解决问题】（1）根据两点距离公式求解即可； （2）根据两点距离公式求解即可； （3）根据两点距离公式可得，解方程即可； 【拓展应用】根据x的范围分类讨论即可． 【详解】解：【解决问题】（1）由题意可得与1对应的两点之间的距离是， 故答案为：7； （2）数轴上有理数m与对应的两点之间的距离是或， 故答案为：（或）； （3）根据数轴上有理数n与对应的两点之间的距离是5，结合题意可得 ， ， 或； 【拓展应用】点M表示的数为2，点N表示的数为，点P在点M，N之间， ， ； 若，则点P不在点M，N之间， 分如下两种情况： 当P在M左侧，即时， ， 解得， 当P在N右侧时，即时， ， 解得， 故答案为：5；或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$