第07讲 基本不等式（七大考点）-2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第07讲 基本不等式 学习目标： 1．理解基本不等式的推导过程，掌握基本不等式及成立条件． 2．会用基本不等式证明简单的不等式． 3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 4．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题． 重点难点： 重点：基本不等式的定义、证明方法、几何意义和实际应用 难点：基本不等式的证明、基本不等式的几何意义及其应用 一、两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 二、基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 考点01 直接利用基本不等式求最值 1．设、满足，且、都是正数，则的最大值为（    ） A．5 B．10 C．25 D．50 2．已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 3．已知实数满足，则最小值为（    ） A．4 B．8 C． D． 4．已知，若，则的最小值是 ， 5．已知， 且， 则的最大值为 ． 6．设，求二次函数的最大值. 考点02 “1”的代换求最值 7．已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 8．已知且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．16 D． 9．已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．若，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D．9 11．已知，且，则的最小值是 . 12．已知，则的最小值为 ． 13．若正数a，b，c满足，则的最小值为 ，此时，的一组值可以为 ． 考点03 配凑法求最值 14．函数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 15．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 16．函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 17．函数的最小值是，则当时，a的值为 ，当时，a的值为 18．（1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值． 19．求的最小值． 考点04 消参法求最值 20．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 21．已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 22．若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 23．已知，，且，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．19 D．22 24．已知正数x，实数y满足，则的最小值为 . 25．已知正实数满足，求的最小值为 ． 考点05 和、积、平方和的转化 26．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B．16 C． D．8 27．（多选）已知正数x，y满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 28．已知正数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值 29．（多选）若满足，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 30．已知，，若，则的最小值为 . 31．已知实数，，，求 (1)的取值范围； (2)的取值范围； 考点06 恒成立问题 32．对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．若，恒成立，则最小值为（    ） A． B． C． D． 34．若关于x的不等式对于一切实数x都成立，则实数a的范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 35．设，，不等式恒成立，则实数m的最小值是（    ） A． B．2 C．1 D． 36．若不等式对任意正实数恒成立，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 37．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 38．，使得成立，则实数的取值范围为 ． 考点07 实际问题 39．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题．如果一个直角三角形的斜边长等于，当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为 ． 40．（多选）位于山东省中部的泰山，为五岳之一，素有“五岳之首”“天下第一山”之称.小明和小刚相约登泰山，若小明上山的速度为，下山（原路返回）的速度为，小刚上山和下山的速度都是，设上山路程为L，若两人途中休息时间忽略不计，则（） A．小刚上山和下山所用时间之和为 B．小明上山和下山所用时间之和为 C．小明上山和下山所用时间之和比小刚上山和下山所用时间之和少 D．小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少 41．某种汽车，购车费用是12万元，每年使用的保险费、汽油费约为0.88万元，年维修费用第一年是0.24万元，以后每年递增0.24万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？（提示：年平均费用=） 42．某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 43．用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ 44．如图所示，为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为 (1)求关于的函数表达式 (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少? 基础试炼 一、单选题 1．已知长为､宽为的矩形的面积为，则该矩形周长的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．已知，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 4．命题，，使，若p是真命题，则实数a的取值范围为（    ） A．{a|a≥3} B．{a|a≥13} C．{a|a≥12} D．{a|a≤13} 二、多选题 5．设正实数m，n满足，则（　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 6．小王从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．已知，，且，则 ，的最小值为 ． 8．（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，当这个矩形的边长为 m时，所用篱笆最短．最短篱笆的长度是 m． （2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为 m时，菜园的面积最大．最大面积是 m． 9．若，，且，求的最大值为 ． 四、解答题 10．（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最小值. 11．已知，，且. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值. 12．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰梯形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为（宣传栏中相邻的三角形和梯形间在水平方向上的留空宽度也都是10，设． (1)当时，求海报纸（矩形）的周长； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 高阶突破 1．已知，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 2．（多选）已知为正实数，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值 C．的最小值为 D．的最小值为 3．（多选）根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（    ） A．自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积． B．在b克盐水中含有a克盐（），再加入n克盐，全部溶解，则盐水变咸了． C．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率等于． D．购买同一种物品，可以用两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．用第一种方式购买一定更实惠. 4．已知矩形的周长为24，将沿向折叠，AB折过去后与DC交于点P．设，则 （用x表示），当的面积最大时， ． 5．已知，则的最大值和最小值分别为 ． 6．已知实数，满足，则的最小值为 7．若，且，则的最小值是 ． 8．已知，，则的最小值为 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第07讲 基本不等式 学习目标： 1．理解基本不等式的推导过程，掌握基本不等式及成立条件． 2．会用基本不等式证明简单的不等式． 3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 4．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题． 重点难点： 重点：基本不等式的定义、证明方法、几何意义和实际应用 难点：基本不等式的证明、基本不等式的几何意义及其应用 一、两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 二、基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 考点01 直接利用基本不等式求最值 1．设、满足，且、都是正数，则的最大值为（    ） A．5 B．10 C．25 D．50 【答案】C 【详解】因为、满足，且、都是正数， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：C. 2．已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为8. 故选：D 3．已知实数满足，则最小值为（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当且，即时等号成立. 故选：B 4．已知，若，则的最小值是 ， 【答案】2 【详解】，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为2. 故答案为：2 5．已知， 且， 则的最大值为 ． 【答案】144 【详解】因为，由基本不等式得， 故，当且仅当时，等号成立． 故的最大值为 故答案为：144 6．设，求二次函数的最大值. 【答案】4 【详解】由公式可得，该式对都成立， 故，当且仅当即时等号成立. 所以当时，二次函数有最大值4. 考点02 “1”的代换求最值 7．已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】因为为正实数且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 8．已知且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．16 D． 【答案】C 【详解】因为，则，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 9．已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则， 由于， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：C 10．若，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D．9 【答案】A 【详解】因为，可得，且， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：A. 11．已知，且，则的最小值是 . 【答案】9 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故所求最小值为9， 故答案为：9 12．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】， 当且仅当，即， 即当时等号成立. 故答案为： 13．若正数a，b，c满足，则的最小值为 ，此时，的一组值可以为 ． 【答案】 / （答案不唯一） 【详解】由题意得，即， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 故答案为：，（答案不唯一，只要满足，即可） 考点03 配凑法求最值 14．函数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【详解】，，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最大值为， 故选：B. 15．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 16．函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 【答案】D 【解析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案； 【详解】 ， 当且仅当,即等号成立. 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件. 17．函数的最小值是，则当时，a的值为 ，当时，a的值为 【答案】 【详解】当时， 当时：，当且仅当即时等号； 此时. 当时，， 当且仅当即时等号；此时. 综上： 若，则，由题，所以. 若，则，由题，所以. 故答案为：1；−1. 18．（1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值． 【答案】（1）7；（2）5． 【详解】（1）， 当且仅当时，等号成立，即． （2）， 当且仅当时，等号成立，即． 19．求的最小值． 【答案】4 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值是4． 考点04 消参法求最值 20．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 21．已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由得， 故， 当且仅当时，等号成立. 故选：C 22．若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，，而，， 所以， 所以且， 又，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即目标式最大值为. 故选：D 23．已知，，且，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．19 D．22 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为， 故选：C. 24．已知正数x，实数y满足，则的最小值为 . 【答案】/0.75 【详解】由正数x，实数y满足，得， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 25．已知正实数满足，求的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】因为正实数满足， 所以，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：. 考点05 和、积、平方和的转化 26．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】B 【详解】正实数满足， 可得，当且仅当时，等号成立， 即，解得， 所以的最小值为. 故选：B. 27．（多选）已知正数x，y满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由，得， 对于A，，当且仅当时取等号，解得，A错误； 对于B，， 当且仅当，即，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，由选项A知，，， 当且仅当，即时取等号，D正确． 故选：CD 28．已知正数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值 【答案】ABD 【详解】因为正数，满足， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 解得，所以，故的最大值为，故A正确； ， 即，又，所以， 所以的最小值为，当且仅当，即，时等号成立，故B正确； 由可得， 所以， 当且仅当时等号成立，此时，，又为正数，矛盾，故C错误； ，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 29．（多选）若满足，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A， ， 即，解得， 当且仅当时，， 当且仅当时，，A错误； 三角换元，，令.B正确； ， C正确，D错误. 故选：BC. 30．已知，，若，则的最小值为 . 【答案】3 【详解】因为，，， 所以，即； 因为，当且仅当时取到等号， 所以， 解得或（舍） 所以当时，有最小值3. 故答案为：3 31．已知实数，，，求 (1)的取值范围； (2)的取值范围； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由基本不等式的定义可知，又 即，解得或（舍去）. 所以的取值范围为 （2）由基本不等式的定义可知，又 即，解得，即，当且仅当时，等号成立， 所以，因为，所以 所以， 所以的取值范围为 考点06 恒成立问题 32．对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式恒成立 ，，且 当且仅当，即时取等号 ，即 解得 故实数的取值范围是 故选：C 33．若，恒成立，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得， 又注意到， 当且仅当，即时取等号.则. 故选：C 34．若关于x的不等式对于一切实数x都成立，则实数a的范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【详解】关于x的不等式对于一切实数x都成立， 则，其中. 又，则由基本不等式有： ，当且仅当，即时取等号. 则. 故选：C 35．设，，不等式恒成立，则实数m的最小值是（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【详解】∵，，不等式恒成立， 即恒成立，∴只需, ∵，当且仅当时取等号. 所以， ∴，∴m的最小值为， 故选：D 36．若不等式对任意正实数恒成立，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由题意易知，， 令，分式上下同除以，得恒成立， 则， 令，则，， 所以，得， 当且仅当，即，时，等号成立， 故选：CD 37．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为不等式恒成立，则, 因为,所以，当且仅当取等号， 所以. 故答案为：. 38．，使得成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：因为，使得成立， 所以成立， 因为，当且仅当时成立， 故，即， 因为，使得成立， 所以，即，故. 故答案为：. 考点07 实际问题 39．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题．如果一个直角三角形的斜边长等于，当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为 ． 【答案】8 【详解】设该直角三角形的斜边为，直角边为a，b，则， 因为，所以，即， 当且仅当，且，即时，等号成立． 因为，，所以， 所以的最大值为8，该直角三角形周长， 故这个直角三角形周长取最大值时，， 此时三角形的面积为． 故答案为:8． 40．（多选）位于山东省中部的泰山，为五岳之一，素有“五岳之首”“天下第一山”之称.小明和小刚相约登泰山，若小明上山的速度为，下山（原路返回）的速度为，小刚上山和下山的速度都是，设上山路程为L，若两人途中休息时间忽略不计，则（） A．小刚上山和下山所用时间之和为 B．小明上山和下山所用时间之和为 C．小明上山和下山所用时间之和比小刚上山和下山所用时间之和少 D．小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少 【答案】ABD 【详解】对于A,小刚上山和下山所用时间之和为,故A正确; 对于B,小明上山和下山所用时间之和为,故B正确. 对于C、D,因为，所以而， 所以，小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少.故C错误，D正确. 故选：ABD. 41．某种汽车，购车费用是12万元，每年使用的保险费、汽油费约为0.88万元，年维修费用第一年是0.24万元，以后每年递增0.24万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？（提示：年平均费用=） 【答案】10年 【详解】设使用年时，汽车的年平均费用（万元）最少，依题意有： ， 当且仅当，即时取得最少值3.4， 故汽车使用10年时平均费用最省. 42．某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【答案】(1)采用方案二；理由见解析 (2)24 【详解】（1）解：方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. （2）解：由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 43．用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ 【答案】当这个矩形菜园的边长为时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为. 【详解】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为， 依题意，，于是，即， 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为. 44．如图所示，为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为 (1)求关于的函数表达式 (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少? 【答案】(1) (2)海报长，宽时，用纸量最少. 【详解】（1）由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为， 所以有， 整理得. （2）由（1）知，即， 因为，所以由基本不等式可得， 令，则，解得（舍去）或. 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以海报长，宽时，用纸量最少，最少用纸量为. 基础试炼 一、单选题 1．已知长为､宽为的矩形的面积为，则该矩形周长的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【详解】由题意可知：， 又因为，即， 可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以该矩形周长的最小值为16. 故选：D. 2．已知，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】，， 当且仅当，即，时等号成立. 故选：B. 3．若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【详解】因，则， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以当时，有最大值. 故选：A 4．命题，，使，若p是真命题，则实数a的取值范围为（    ） A．{a|a≥3} B．{a|a≥13} C．{a|a≥12} D．{a|a≤13} 【答案】C 【解析】根据特称命题的否定是全称命题结合命题的真假关系进行判断求解，再利用补集思想得答案． 【详解】解：解：命题，，使的否定，，， 即，即， 设，则， 当且仅当，即时，取等号， ， 是真命题，是假命题； 故的取值范围是． 故选：． 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定的应用，根据条件利用参数分离法进行转化，结合基本不等式求最值是解决本题的关键．属于中档题． 二、多选题 5．设正实数m，n满足，则（　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 【答案】AD 【详解】对于A，因为正实数m，n满足m＋n＝1， 所以， 当且仅当且，即时取等号，A正确； 对于B，， 当且仅当时取等号，所以≤， 即最大值为，B错误； 对于C，， 当且仅当时取等号，此时取最大值，C不正确； 对于D，由， 因此，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 即的最小值为，D正确． 故选：AD 6．小王从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】设甲，乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为 所以， 因为，由基本不等式可得， ， 另一方面， ， 所以，则 故选：AD 三、填空题 7．已知，，且，则 ，的最小值为 ． 【答案】 1 8 【详解】由题意得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故答案为：1，8 8．（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，当这个矩形的边长为 m时，所用篱笆最短．最短篱笆的长度是 m． （2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为 m时，菜园的面积最大．最大面积是 m． 【答案】 10 40 9 81 【详解】（1）设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，则篱笆的长度为m， 依题意，，于是，即，当且仅当时取等号， 所以当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m． （2）设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，则篱笆的长度为m，矩形菜园的面积为xy， 依题意，，于是，即，当且仅当时取等号， 所以当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园面积最大，最大面积是81． 故答案为：10；40；9；81 9．若，，且，求的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 所以，故的最大值为. 故答案为：． 四、解答题 10．（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最小值. 【答案】（1）6；（2）8. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6. （2）因为，， 所以， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为8. 11．已知，，且. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得，又，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为8； （2）由恒成立，得恒成立， 又，所以， 由（1）可知，所以， 当且仅当，即，时等号成立，即，故的最大值是4. 12．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰梯形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为（宣传栏中相邻的三角形和梯形间在水平方向上的留空宽度也都是10，设． (1)当时，求海报纸（矩形）的周长； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 【答案】(1)； (2)选择矩形的长宽分别为的海报纸，可使用纸量最少 【详解】（1）设阴影部分直角三角形的高为， 阴影部分的面积， 又， 由图可知：， 海报纸的周长为. （2）由（1）知， ，， 当且仅当，即时，等号成立， 此时， 故选择矩形的长宽分别为的海报纸，可使用纸量最少. 高阶突破 1．已知，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【详解】由得，， 则， 因为，当且仅当即时取等号. 因为，当且仅当即时取等号. 当且仅当即时取等号. 所以的最小值为. 故选：D 2．（多选）已知为正实数，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AB 【详解】对选项A，，当且仅当时取“=”，故A正确； 对选项B， ，当且仅当时取“=”，故B正确； 对选项C，， 令，则， 所以， 当且仅当，即，时取“=”， 所以的最小值为，故选项C错误. 对选项D，， 当且仅当时取“=”，故D错误； 故选：AB. 3．（多选）根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（    ） A．自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积． B．在b克盐水中含有a克盐（），再加入n克盐，全部溶解，则盐水变咸了． C．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率等于． D．购买同一种物品，可以用两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．用第一种方式购买一定更实惠. 【答案】AB 【详解】对于选项A：设周长为，则圆的面积为， 正方形的面积为，因为，，可得，即，故A正确； 对于选项B：原盐水的浓度为，加入克盐，盐水的浓度为，则， 因为，，可得，， 所以，即，故B正确； 对于选项C：设这两年的平均增长率为， 则，可得， 因为，即， 当且仅当，即时，等号成立，即这两年的平均增长率不大于，故C错误； 对于选项D：按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为元/kg，购n kg， 第二次购物时的价格为元/kg，购n kg，两次购物的平均价格为； 若按第二种策略购物，第一次花元钱，能购kg物品， 第二次仍花元钱，能购物品，两次购物的平均价格为． 比较两次购的平均价格：， 当且仅当时，等号成立，所以第一种策略的平均价格不低于第二种策略的平均价格， 因而用第二种策略比较经济，故D错误. 故选：AB． 4．已知矩形的周长为24，将沿向折叠，AB折过去后与DC交于点P．设，则 （用x表示），当的面积最大时， ． 【答案】 . 【详解】    如图2是图1沿着折叠后的图形，因，则， 因矩形的周长为24，则，对折后,易得, 设，则,在中，由勾股定理，， 整理得，即 的面积为， 因，则当且仅当时，， 此时时，. 故答案为：；. 5．已知，则的最大值和最小值分别为 ． 【答案】9，1 【详解】当时，，当且仅当时取等号． 当时，，当且仅当时取等号． 当时，也存在满足的情况， 所以， 由，得， 所以， 由，得， 所以， 当时取得最小值，当时取得最大值， 所以的最大值和最小值分别为9和1. 故答案为：9，1 6．已知实数，满足，则的最小值为 【答案】 【详解】令，则，代入，得， ，为实数，关于的一元二次方程有解， ，解得， 当且仅当时，成立， 即的最小值为. 故答案为：. 7．若，且，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】由，则， 即 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 8．已知，，则的最小值为 . 【答案】12 【详解】令，则，且，所以． 又，所以， 当且仅当，即，时等号成立． 故答案为：12. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$