3.2.3 直线与双曲线的位置关系讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

专题3.2.3 直线与双曲线的位置关系 【基本知识梳理】 知识点1：直线与双曲线的位置关系 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个切点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当a＝0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个交点． 【特别注意】 （1）直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． （2）解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况． （3）双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行． （4）注意对直线的斜率是否存在进行讨论． 知识点2：弦长公式 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，联立曲线方程和直线方程，根据两点间距离公式并结合韦达定理、点差法进行求解 ③双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 知识点3：“中点弦问题” 在解决中点弦问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 知识点4：双曲线的第二定义 双曲线的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝(e>1)时，这个点的轨迹是双曲线． 【特别注意】双曲线上任意一点到左焦点的距离与到直线x＝－的距离的比或者是到右焦点的距离与到直线x＝的距离的比是该双曲线的离心率． 【题型1 判断直线与双曲线的位置关系】 【例1】（2023-2024）直线与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【变式1-1】（2022-2023·高二上·重庆沙坪坝·期中）已知直线，若双曲线与均无公共点，则可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022-2023）“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式1-3】（2023-2024）过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【题型2 根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围】 【例2】（2023-2024）已知为坐标原点，直线与双曲线交于A，B两点，若△AOB为直角三角形，则（    ） A．2 B．4 C． D．3 【变式2-1】（2023-2024）直线与双曲线相交，有且只有1个交点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023-2024）（多选）已如双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线交于，两点，则的取值可以是（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 【变式2-3】（2023-2024）已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【变式2-4】（2023-2024）已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是． (1)求双曲线的方程； (2)若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值． 【题型3 双曲线的弦长问题】 【例3】（2022-2023）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的弦．则的长是 ． 【变式3-1】（2023-2024）已知双曲线的左右焦点分别是、，过的直线与双曲线相交于、两点，则满足的直线有（ ） A．条 B．条 C．条 D．条 【变式3-2】（2023-2024）（多选）双曲线，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，为双曲线的右焦点，则（    ） A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线方程为 C．的最小值为2 D．过的直线交双曲线于两点， 【变式3-3】（2023-2024）已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）直线经过点，与交于，两点，线段中点在第一象限，且纵坐标为4，求. 【变式3-4】（2023-2024）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. （1）求双曲线C的标准方程； （2）若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 【题型4 双曲线的“中点弦”问题】 【例4】（2022-202）（多选）已知双曲线，点，在上，的中点为，则（    ） A．的渐近线方程为 B．的右焦点为 C．与圆没有交点 D．直线的方程为 【变式4-1】（2023-2024）已和双曲线与直线相交于A、B两点，若弦的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2022-2023期末）已知直线过双曲线的左焦点，且与的左､右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【变式4-3】（2023-2024）已知双曲线：的一个焦点为，一条渐近线方程为，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求弦长. 【变式4-4】（2022-2023）已知点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)是否存在过点的直线l与双曲线相交于A,B两点，且满足P是线段的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【题型5 双曲线中的面积问题】 【例5】（2023-202）（多选）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上一点，，则下列说法正确的是（    ） A．的离心率为 B．三角形的面积为1 C．点的纵坐标绝对值为 D．三角形的内切圆与x轴相切于点 【变式5-1】（2023-202）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与C交于，两点，若面积是面积的2倍，则m等于（    ） A．6 B． C． D． 【变式5-2】（2022-202）已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C左支上一动点，△周长的最小值为10，求此时△的面积= . 【变式5-3】（2023-2024）已知圆，动圆与圆均外切，记圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点且斜率为4的直线与曲线交于两点，求的面积． 【题型6 双曲线中的定点、定值、定直线问题】 【例6】（2023-2024）已知动点M到点，的距离之差的绝对值为，斜率为的直线l与点M的轨迹C交于A，B两点． (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)若（O为坐标原点），点，记直线NA，的斜率分别为，，求的值． 【变式6-1】（2023-2024）已知双曲线的中心为坐标原点，上顶点为，离心率为. (1)求双曲线的渐近线方程； (2)记双曲线的上､下顶点为为直线上一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，求证：直线过定点，并求出定点坐标. 【变式6-2】（2023-2024）已知双曲线过点，左右焦点分别为，且． (1)求的标准方程． (2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值：若不存在，请说明理由． 【变式6-3】（2023-2024期末）已知双曲线：的实轴长为4，焦距为． (1)求双曲线的方程； (2)记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的下支交于，两点，在第四象限，直线与交于点，设直线，，的斜率分别为，，．证明：． 【题型7 双曲线中的最值问题】 【例7】（2023-2024月考）在平面内，动点与定点的距离和它到定直线的距离比是常数3． (1)求动点M的轨迹方程； (2)若直线m与动点M的轨迹交于P，Q两点，且(O为坐标原点)，求的最小值． 【变式7-1】（2023-2024期末）已知点，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)记动点的轨迹为，若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值. 【变式7-2】（2023-2024月考）设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若为线段的中点，求直线的方程； (3)当直线过点时，求的取值范围． 【变式7-3】（2023-2024期末）已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为． (1)求双曲线的方程； (2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2.3 直线与双曲线的位置关系 【基本知识梳理】 知识点1：直线与双曲线的位置关系 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个切点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当a＝0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个交点． 【特别注意】 （1）直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． （2）解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况． （3）双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行． （4）注意对直线的斜率是否存在进行讨论． 知识点2：弦长公式 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，联立曲线方程和直线方程，根据两点间距离公式并结合韦达定理、点差法进行求解 ③双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 知识点3：“中点弦问题” 在解决中点弦问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 知识点4：双曲线的第二定义 双曲线的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝(e>1)时，这个点的轨迹是双曲线． 【特别注意】双曲线上任意一点到左焦点的距离与到直线x＝－的距离的比或者是到右焦点的距离与到直线x＝的距离的比是该双曲线的离心率． 【题型1 判断直线与双曲线的位置关系】 【例1】（2023-2024）直线与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【详解】联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出x，从而得出直线和双曲线位置关系，得出答案. 【解答过程】由得  整理得，； 所以，故直线和双曲线只有一个交点； 又双曲线的渐近线方程为： 与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点. 所以直线和双曲线的位置关系为相交． 故选：B 【变式1-1】（2022-2023·高二上·重庆沙坪坝·期中）已知直线，若双曲线与均无公共点，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线渐近线与之间的位置关系，即可容易判断. 【详解】的斜率分别是； 对A：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为， 又，故曲线与有两个公共点，不满足题意，A错误； 对B：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为， 又，故双曲线与有两个公共点，不满足题意，B错误； 对C：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为， 又，故双曲线与都没有公共点，满足题意，C正确； 对D：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为， 又，故双曲线与没有公共点，与有两个公共点，不满足题意，D错误. 故选：C. 【变式1-2】（2022-2023）“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】利用定义法，分充分性和必要性分类讨论即可. 【详解】充分性：因为“直线与双曲线有且仅有一个公共点”，所以直线与双曲线相切或直线与渐近线平行.故充分性不满足； 必要性：因为“直线与双曲线相切”，所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”.故必要性满足. 所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要非充分条件. 故选：B 【变式1-3】（2023-2024）过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据点在双曲线上，与渐近线平行以及该点处的切线均只与双曲线有一个公共点即可求解. 【详解】当时，，所以，故点在双曲线上， 因此过点且与双曲线的两条渐近线平行的直线，只与双曲线有一个交点， 设（且） 将其代入双曲线方程可得，化简得， 令，化简得， 解得， 故过点处的切线也只与双曲线有唯一的交点， 或者由得， 当时，，故，故处的切线斜率为， 故过点经过点的直线方程为，即， 联立与可得，解得， 因此在点处的切线也只与双曲线有唯一的交点， 综上可知：过点的直线有3条与双曲线有一个交点， 故选：C 【题型2 根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围】 【例2】（2023-2024）已知为坐标原点，直线与双曲线交于A，B两点，若△AOB为直角三角形，则（    ） A．2 B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】设直线与轴交于点，则由题意可得为等腰直角三角形，将代入双曲线方程可求出，从而可求出结果. 【详解】设直线与轴交于点，由双曲线的对称性可知为等腰直角三角形， 所以为等腰直角三角形． 由，得，则． 故选：A 【变式2-1】（2023-2024）直线与双曲线相交，有且只有1个交点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线与双曲线相交，且有且仅有1个交点可得直线与渐近线平行，即可得与的关系，即可求得离心率. 【详解】因为直线与双曲线：相交，且有且仅有1个交点, 所以直线与双曲线：的渐近线平行， 故，则双曲线的离心率. 故选：A 【变式2-2】（2023-2024）（多选）已如双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线交于，两点，则的取值可以是（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】AB 【分析】由双曲线方程可得焦点坐标，设点在第一象限，，可得，利用向量数量积的坐标运算表示，由双曲线的性质可得的取值范围，进而可知的最大值，即可求解. 【详解】双曲线中，，实轴长， 不妨设点在第一象限，，则， 所以，，则， 又点在双曲线上，所以，即， 则，由，可知，即， 则的最大值为16，所以的取值可以是，. 故选：. 【变式2-3】（2023-2024）已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先运算转化曲线的方程形式，再作出图形，数形结合，随着直线平行移动，与曲线有三个不同交点，求出直线截距范围即可. 【详解】曲线可化为， 当时，，则， 故此时曲线为椭圆的上半部分； 当时，，则， 故此时曲线为双曲线的上半部分，且渐近线方程为； 直线，表示一组斜率为的平行直线， 如图，当直线过点时，，解得； 当直线与椭圆上半部分相切时， 由，消化简得， 由，解得， 又直线与椭圆上半部分相切，则，故， 要使直线与曲线恰有三个不同交点， 结合图形可得，实数的取值范围为. 故选：D 【变式2-4】（2023-2024）已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是． (1)求双曲线的方程； (2)若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由渐近线公式，以及代入点的坐标，即可求解双曲线方程； （2）直线方程与双曲线方程联立，根据交点个数，求实数的取值范围. 【详解】（1）由条件可知，，且，解得：，， 所以双曲线方程为； （2）设直线的方程为， 联立，， 时，，得； 当时，时，，得，满足条件， 综上可知，或. 【题型3 双曲线的弦长问题】 【例3】（2022-2023）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的弦．则的长是 ． 【答案】25 【分析】 设，，求出双曲线的焦点坐标，利用点斜式求出直线方程，将直线的方程代入双曲线的方程，利用韦达定理求得，，再根据弦长公式即可得解. 【详解】设，，双曲线的左焦点为， 则直线的方程为，由得，， ，，则． 故答案为：25. 【变式3-1】（2023-2024）已知双曲线的左右焦点分别是、，过的直线与双曲线相交于、两点，则满足的直线有（ ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】根据双曲线，过的直线垂直于轴时，，双曲线两个顶点的距离为，即可得出结论. 【详解】双曲线，过的直线垂直于轴时， ； 双曲线两个顶点的距离为， 满足的直线有条， 一条是通径所在的直线，另两条与右支相交. 故选：C 【点睛】本题考查了直线与双曲线相交的弦长问题，考查了通径的求法，属于基础题. 【变式3-2】（2023-2024）（多选）双曲线，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，为双曲线的右焦点，则（    ） A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线方程为 C．的最小值为2 D．过的直线交双曲线于两点， 【答案】AB 【分析】由题知，进而求离心率与渐近线方程可判断AB，结合焦点到渐近线的距离为判断C，根据实轴长为判断D. 【详解】解：由题知双曲线的标准方程为，即， 所以对于A选项，双曲线的离心率为，故正确； 对于B选项，双曲线的渐近线方程为，故正确； 对于C选项，设点，则，由于，点到渐近线的距离为，所以的最小值为，故错误； 对于D选项，当过的直线为轴时，弦为实轴长，此时，故错误. 故选：AB 【变式3-3】（2023-2024）已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）直线经过点，与交于，两点，线段中点在第一象限，且纵坐标为4，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出动点坐标为，根据斜率之积为4列出等式，化简即可. （2）首先直线斜率存在且经过点，设出直线方程并将其与双曲线方程联立，由韦达定理结合已知条件算出斜率，进而由弦长的计算公式直接计算即可. 【小问1详解】 设点的坐标为，因为，，所以， 化简得：.所以的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；    设，，直线方程为， 与联立得：， 由且，解得且， 由韦达定理得， 因为线段中点在第一象限，且纵坐标为， 所以，解得或（舍去）， 所以直线为，所以， 所以. 【变式3-4】（2023-2024）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. （1）求双曲线C的标准方程； （2）若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，得，，由此能求出双曲线方程； （2）联立方程组，得，利用韦达定理、弦长公式、根的判别式能求出结果. 【小问1详解】 双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程， 设双曲线的方程（，）， 由已知得，，所以，. 所以双曲线方程为. 【小问2详解】 直线与双曲线C交于A，B两点，且， 联立方程组，得， 当时，设， ，. 所以 令，解得. 经检验符合题意，所以. 【题型4 双曲线的“中点弦”问题】 【例4】（2022-202）（多选）已知双曲线，点，在上，的中点为，则（    ） A．的渐近线方程为 B．的右焦点为 C．与圆没有交点 D．直线的方程为 【答案】CD 【分析】对于AB，利用双曲线的性质即可求解；对于C，联立双曲线与圆的方程即可；对于D，利用点差法出直线的方程，再检验即可求解. 【详解】对于AB，由双曲线可得， 所以渐近线方程为，右焦点为，故AB不正确； 对于C，联立消可得，代入，解得无实数根， 所以与圆没有交点，故正确； 对于D，设，则，， 两式相减，得， 因为的中点为，所以等式可得， 易得直线的斜率存在，故可得， 则直线为即， 联立双曲线的方程和直线，消去x，可得， 此时，则直线与双曲线有两个交点，符合题意， 故直线l的方程为，故正确. 故选：CD 【变式4-1】（2023-2024）已和双曲线与直线相交于A、B两点，若弦的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用点差法求解. 【详解】解：因为双曲线与直线相交于A、B两点， 且弦的中点M的横坐标为1，则纵坐标为3， 设 ，则， 两式相减得 ，则 ， 解得 ，即 ， 所以双曲线C的渐近线方程为， 故选：A 【变式4-2】（2022-2023期末）已知直线过双曲线的左焦点，且与的左､右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点差法得，由条件知直线的倾斜角为倾斜角的两倍，代入两直线的斜率关系式即可求得的斜率. 【详解】设, 由均在上，为的中点， 得，则， ∴， ∴， 设直线倾斜角为，则，不妨设为锐角， ∵是以为底边的等腰三角形，∴直线的倾斜角为，则. ∴， ∴，解得， ∴由对称性知直线的斜率为. 故选：D 【点睛】中点弦定理：直线与椭圆（双曲线）交于两点，中点为，则有，（为坐标原点） 此题解答过程中中点弦定理起了核心作用，通过中点弦定理建立了与的关系，另一方面通过是以为底边的等腰三角形可能建立两直线倾斜角的关系，从而得到所求直线的斜率. 【变式4-3】（2023-2024）已知双曲线：的一个焦点为，一条渐近线方程为，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的几何性质即可求解， （2）根据点差法，结合中点弦可得直线方程，即可根据弦长公式求解. 【详解】（1）由焦点可知， 又一条渐近线方程为，所以， 由可得，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）设中点的坐标为， 则   两式子相减得：， 化简得， 即，又，所以， 所以中点的坐标为， 所以直线的方程为，即. 将代入得，， 则， , 【变式4-4】（2022-2023）已知点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)是否存在过点的直线l与双曲线相交于A,B两点，且满足P是线段的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）代入点的坐标，解方程可得的值，即可得双曲线方程； （2）假设存在，设过的直线方程为：，，两点的坐标为，，，，代入双曲线方程，再相减，运用平方差公式和中点坐标公式，及斜率公式，即可得到所求直线的斜率，进而得到直线方程，代入双曲线方程，检验判别式即可判断． 【详解】（1）解：已知点在双曲线上 所以，整理得：，解得：，则 所以双曲线方程为：. （2）解：由题可知若直线存在则直线的斜率存在，故设直线的方程为： 且设交点 则 ，两式相间得： 由于为中点，则 则 即有直线的方程：，即 检验判别式为，方程无实根． 故不存在过点的直线与该双曲线相交A,B两点，且满足P是线段的中点. 【题型5 双曲线中的面积问题】 【例5】（2023-202）（多选）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上一点，，则下列说法正确的是（    ） A．的离心率为 B．三角形的面积为1 C．点的纵坐标绝对值为 D．三角形的内切圆与x轴相切于点 【答案】ABD 【分析】 由题意求出c，进而求出离心率即可判断A；由双曲线的定义和勾股定理可得，求出即可判断B；利用三角形等面积计算即可判断判断C；如图，由切线长相等和双曲线的定义计算即可判断D. 【详解】A：由题意知，，则， 所以双曲线的离心率为，故A正确； B：设，则， 得，所以，故B正确； C：由选项B知，，又， 所以，得，故C错误； D：如图，设内切圆与内切的切线长分别为， 由双曲线的定义知，即， 又，所以，又， 所以的内切圆与x轴相切于点，故D正确. 故选：ABD 【变式5-1】（2023-202）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与C交于，两点，若面积是面积的2倍，则m等于（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用面积关系，得到线段比例关系，设出直线与轴交点后求参数即可. 【详解】 易得，故，设，， 直线与轴交点，面积为，面积为， 由题意得面积是面积的2倍，则， 化简得，结合， 故，解得，即，故，解得. 故选：D. 【变式5-2】（2022-202）已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C左支上一动点，△周长的最小值为10，求此时△的面积= . 【答案】/ 【分析】运用双曲线的定义可得，则的周长为，运用三点共线取得最小值，可得的关系，进而可得渐近线方程．根据余弦定理和正弦定理求出，结合三角形面积公式计算即可. 【详解】由题意可得，， 由双曲线的定义可得， ，， 则的周长为 , 当且仅当共线时，取得最小值，且为， 由题意可得，即 解得，所以，，得直线的斜率为， 所以，由余弦定理， 得，结合， 解得，由正弦定理， 得，解得， 所以. 故答案为：. 【变式5-3】（2023-2024）已知圆，动圆与圆均外切，记圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点且斜率为4的直线与曲线交于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两圆的位置关系结合双曲线的定义分析即可得解； （2）联立直线与曲线的方程，利用弦长公式求得，再利用点线距离求得到直线的距离，从而利用三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 由条件可得，即， 则根据双曲线的定义可知，点是以，为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支， 则，可得， 所以曲线的方程为． （2）依题意，直线的方程为，即， 联立，消去，得， 易知，设，则， 所以， 而到直线的距离为， 所以的面积为. 【题型6 双曲线中的定点、定值、定直线问题】 【例6】（2023-2024）已知动点M到点，的距离之差的绝对值为，斜率为的直线l与点M的轨迹C交于A，B两点． (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)若（O为坐标原点），点，记直线NA，的斜率分别为，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线定义求解轨迹方程; （2）先设对称点,结合韦达定理计算斜率可得定值. 【详解】（1）由题意可知，点M的轨迹C是以，为焦点的双曲线， 且，，所以，， 所以，所以动点M的轨迹C的方程为． （2）设，，则，则，， 设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，消去y得：，由，得， 由一元二次方程根与系数的关系得，， 所以， ， 则，故． 【变式6-1】（2023-2024）已知双曲线的中心为坐标原点，上顶点为，离心率为. (1)求双曲线的渐近线方程； (2)记双曲线的上､下顶点为为直线上一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，求证：直线过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）根据离心率和上顶点确定，进而可得渐近线方程； （2）直线的方程为，与双曲线联立，利用韦达定理，结合， 可得的值，进而可得定点. 【详解】（1）设双曲线方程为，由上顶点坐标可知， 则由可得， 双曲线的渐近线方程为； （2）由（1）可得，设， 设直线的方程为， 与联立可得，且， 则， ， 设， ， 又， 得， ， 即， 化简得， 解得，所以直线过定点.    【变式6-2】（2023-2024）已知双曲线过点，左右焦点分别为，且． (1)求的标准方程． (2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点，该常数为56 【分析】（1）根据给定条件，利用双曲线定义求出实轴长即可求出双曲线方程. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理及数量积的坐标表示求解即得. 【详解】（1）依题意，双曲线半焦距， ，则， 所以的方程为. （2）依题意，直线的斜率存在，设的方程为， 由，消去得，显然， 且，得且，则， 设存在符合条件的定点，则， 因此 要为常数，当且仅当，解得，此时该常数的值为56， 所以在轴上存在点，使得为常数，该常数为56． 【变式6-3】（2023-2024期末）已知双曲线：的实轴长为4，焦距为． (1)求双曲线的方程； (2)记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的下支交于，两点，在第四象限，直线与交于点，设直线，，的斜率分别为，，．证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可得出结果； （2）设直线的方程为，联立双曲线方程得，由韦达定理得，，再通过联立直线和的方程，求得，从而得出点在定直线上运动，即可证明结果； 【详解】（1）因为：的实轴长为4， 所以，由焦距可知，又， 所以双曲线方程为. （2）由（1）可得，，，设，， 显然直线的斜率存在，所以设直线的方程为， 因为双曲线的两渐近线为，直线与双曲线的下支交于，两点，所以， 由，消得，且， 则，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立两直线方程，得到， ， 据此可得点在定直线上运动， ， ， ． 所以 . （法2）联立直线与直线的方程可得： 所以可得，即， 据此可得点在定直线上运动． 则．    【点睛】关键点点晴：本题第（2）的关键在于，由直线的方程和双曲线方程得，从而得出，，联立直线和的方程，得到交点坐标，再利用，化简得到，从而解决问题. 【题型7 双曲线中的最值问题】 【例7】（2023-2024月考）在平面内，动点与定点的距离和它到定直线的距离比是常数3． (1)求动点M的轨迹方程； (2)若直线m与动点M的轨迹交于P，Q两点，且(O为坐标原点)，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据动点与定点的距离和它到定直线的距离比即可得出轨迹方程； （2）设出设直线和直线的方程，让直线方程与动点M的轨迹方程联立，得出的表达式，结合基本不等式即可得出最小值. 【详解】（1）由题意， 动点与定点的距离和它到定直线的距离比是常数3， ∴， 整理化简可得：即， ∴动点M的轨迹方程为： （2）由题意及（1）得， 在中，直线m与动点M的轨迹交于P，Q两点，且(O为坐标原点)， ∴各直线存在斜率且不为0， 可设直线的方程为，直线的方程为， 由可得， 所以， 同理可得， 又由且，可得， 所以， 所以， 所以， 当且仅当时，即等号成立， 所以的最小值为． 【变式7-1】（2023-2024期末）已知点，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)记动点的轨迹为，若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据双曲线定义求出轨迹方程； （2）分直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，当斜率不存在时求出，斜率存在时，，得到答案. 【详解】（1）因为， 由双曲线定义可知：点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 所以，， 所以动点的轨迹方程为：. （2）①当直线斜率不存在时，设直线方程为：， 此时， 所以； ②当直线斜率存在时，设直线方程为：， 代入双曲线方程可得：， 可知其有两个不等的正实数根， 解得：， 所以 . 由得， ， 综上所述，的最小值为1. 【变式7-2】（2023-2024月考）设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若为线段的中点，求直线的方程； (3)当直线过点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，解方程即可得出答案； （2）由“点差法”可得直线的斜率为，再由点斜式方程求解即可； （3）讨论直线的斜率存不存在，存在时设直线的方程为，，联立直线与双曲线的方程，将韦达定理代入，由反比例函数的单调性即可得出答案. 【详解】（1）由题意可得：，解得：. 所以椭圆的方程为：. （2）设，因为在椭圆上， 所以，两式相减可得： ， 则，因为为线段的中点， 所以， 所以，所以直线的方程为：， 化简可得：. （3）当直线的斜率不存在时，，， 此时，所以， 当直线的斜率存在时，设，因为直线过点， 设直线的方程为：， 联立可得：， 当时，， ， ， 令，则， 令，在在上单调递减， 又，所以 ， 所以的取值范围为. 【变式7-3】（2023-2024期末）已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为． (1)求双曲线的方程； (2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据焦点到渐近线距离求出，再求出即可得解； （2）（ⅰ）直线与双曲线方程联立消元后由根与系数关系及直线与右支相交可得； （ⅱ）根据弦长公式及点到直线的距离分别求出三角形面积，根据面积表达式换元后利用不等式性质求最值即可. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，且， 因为到直线的距离为，故， 则，故双曲线的方程为：． （2）如图， （ⅰ）设，，联立直线与双曲线的方程， 消元得，则， 因为直线与双曲线右支交于两点，故，则，故的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）知，， 原点到直线的距离， 设，，联立，则， ，，， 则， 而， 令，则， 当即时取到等号． 综上所述，的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$