2024-2025学年浙江八年级上学期第一次月考卷 考试范围：三角形的初步知识、特殊三角形 2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

2024-2025学年浙江八年级上学期第一次月考卷 考试范围：三角形的初步知识、特殊三角形、共24题 （考试时间：90分钟、试卷满分：100分） 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，若，BC=7，CF=5，则CE的长为（  ）    A．1 B．2 C．2.5 D．3 3．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（      ） A．30° B．35° C．40° D．45° 4．如图，在中，，，垂足为．下列说法不正确的是（    ） A．与互余的角只有 B．点到的距离是的长 C． D．若，则 5．如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．下列命题是假命题的是（ ） A．有一个角为的等腰三角形是等边三角形 B．等角的余角相等 C．钝角三角形一定有一个角大于 D．同位角相等 7．如图，在中，，于D，，E是斜边的中点，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 8．如图，边长为2的正方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着正方体的外表面爬到B顶点的最短路程是（　　） A．6 B． C．4 D．2+2 9．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，△ADC的周长为10，且BC-AC=2，则BC的长为（  ） A． B． C． D． 10．如图，在《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面b上，镜面的调节角（）的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板a的夹角，则反射光束与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 11．已知的周长为，则 ． 12．△ABC中，已知AB＝AC，∠C＝50°，则∠A＝ °. 13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝40°，那么∠A＝ ． 14．如图，在中，，D 是的中点，延长至点E，使得．若 则的长为 ． 15．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．(1)若BE＝10 cm，则EC＝ cm；(2)若AB＋AC＝8 cm，则△ACE的周长是 ． 16．数学课上，王老师布置如下任务：如图，△ABC中，BC>AB>AC，在BC边上取一点P，使∠APC=2∠ABC． 小路的作法如下： ① 作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q； ② 连结AP． 请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据： ∵ PQ是AB的垂直平分线 ∴ AP= ，  （依据： ）； ∴ ∠ABC= ， （依据： ）． ∴ ∠APC=2∠ABC． 三．解答题：（本大题共8题，17-22题每题6分，23-24题每题8分，满分52分） 17．为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，这是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，，，求该田地的面积． 18．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）作线段，使其长度为； （2）通过计算说明是直角三角形． 19．消防云梯主要用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．如图，已知云梯最多能伸长到，消防车高．某次任务中，消防车在A处将云梯伸长至最长，消防员从高的处救人后，消防车需到达B处使消防员从24m高的处救人，求消防车从A处向着火的楼房靠近的距离． 20．如图，以点B为顶点，射线BC为一边，利用尺规作∠EBC，使得∠EBC＝∠A． (1)用尺规作出∠EBC．(不写作法，保留作图痕迹，要写结论) (2)EB与AD一定平行吗？简要说明理由．    21．如图，中，，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒个单位，设运动的时间为秒．    (1)当 秒时，把的面积分成相等的两部分； (2)当秒时，把分成的和的面积之比是 ； (3)当为多少秒时，的面积为． 22．如图，某游泳池长48米，小刘和小杨进行游泳比赛，从同一处（点）出发，小刘平均速度为3米/秒，小杨为3.2米/秒．但小杨一心想快，不看方向沿斜线（方向）游，而小刘直游（方向），两人到达终点的位置相距14米．按各人的平均速度计算，谁先到达终点？请说明理由．    23．如图，某校数学兴趣小组开展“初二几何现场实践活动”，他们在操场上设立四个点，并给出以下信息：点在点的西北方向上，点在点的北偏西方向上，点在点的东北方向上，，米，米． (1)求的长； (2)若小明和小亮从点同时出发，分别沿和到达点，若两人的速度相同，请判断小明和小亮谁先到达？并说明理由．（参考数据：，） 24．如图，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足． （1）点A的坐标为 ；点B的坐标为 ； （2）如图1，若点C的坐标为（－3，－2），且BE⊥AC于点E，OD⊥OC交BE延长线于D，试求点D的坐标； （3）如图2，M、N分别为OA、OB边上的点，OM=ON，OP⊥AN交AB于点P，过点P 作PG⊥BM，交AN的延长线于点G，请写出线段AG、OP与PG之间的数量关系，并证明你的结论． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙江八年级上学期第一次月考卷 考试范围：三角形的初步知识、特殊三角形、共24题 （考试时间：90分钟、试卷满分：100分） 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形三边的关系；根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，分别判断即可得出答案． 【详解】，，，不能组成三角形，故A选项不符合题意； ，，，不能组成三角形，故B不符合题意； ，，，能组成三角形，故C符合题意； ，，，不能组成三角形，故D不符合题意， 故选：C． 2．如图，若，BC=7，CF=5，则CE的长为（  ）    A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】由全等三角形的性质可知，然后利用即可求解． 【详解】 ∵BC=7，CF=5 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（      ） A．30° B．35° C．40° D．45° 【答案】B 【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=70°， ∴∠B=∠ADB=70°， ∴∠ADC=180°-∠ADB=110°， ∵AD=CD， ∴∠C=（180°-∠ADC）÷2=（180°-110°）÷2=35°． 故选：B． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键． 4．如图，在中，，，垂足为．下列说法不正确的是（    ） A．与互余的角只有 B．点到的距离是的长 C． D．若，则 【答案】A 【分析】根据直角三角形两锐角互余和等角或同角的余角相等对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：、， ， ， ， 与互余的角有与两个角，故本选项错误； B、点到的距离是的长，故本选项正确； C、，， ，故本选项正确； D、， ， 解得，故本选项正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查直角三角形两锐角互余的性质和同角或等角的余角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 5．如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换，三角形的内角和定理等知识．根据，求出即可解答． 【详解】解：，， ， 由翻折的性质可知：， ， 故选：B． 6．下列命题是假命题的是（ ） A．有一个角为的等腰三角形是等边三角形 B．等角的余角相等 C．钝角三角形一定有一个角大于 D．同位角相等 【答案】D 【详解】解：选项A、B、C都是真命题； 选项D，两直线平行，同位角相等，选项D错误，是假命题， 故选：D． 7．如图，在中，，于D，，E是斜边的中点，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可求出，即．根据直角三角形斜边中线的性质可得出，从而可证．再根据，即得出，即，进而可求出，最后即可求出． 【详解】解：∵，， ∴，即． ∵E是斜边的中点， ∴, ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 8．如图，边长为2的正方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着正方体的外表面爬到B顶点的最短路程是（　　） A．6 B． C．4 D．2+2 【答案】B 【分析】要求正方体中两点之间的最短路径，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线． AB＝＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了最短路径问题及勾股定理的应用，解题的关键是将几何体展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理进行求解． 9．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，△ADC的周长为10，且BC-AC=2，则BC的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线段垂直平分线的性质推出DA=DB，得到BC+AC=10，即可求得BC的长． 【详解】∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴DA=DB， ∵△ADC的周长为10， ∴DA+DC+AC=10，即DB +DC+AC=10， ∴BC+AC=10①， ∵BC-AC=2②， ①+②得：2BC =12， ∴BC =6， 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 10．如图，在《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面b上，镜面的调节角（）的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板a的夹角，则反射光束与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了光的反射定律的应用．理解和掌握光的反射定律是解题的关键． 当调节角为时，，所以当调节角在时，射到F点的左侧上，根据角的关系确定的范围；当调节角在时，射到F点的右侧上，根据角的关系确定的范围，最后根据的范围确定不可能取到的度数． 【详解】解：因为镜面的调节角（）的调节范围为，当调节角为时，， 所以当调节角在时，射到F点的左侧上，且， 则，那么； 当调节角在时，射到F点的右侧上，且， 则，那么； 当调节角为时，点E和F重合； 综上可得：或． 故选C． 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 11．已知的周长为，则 ． 【答案】5 【分析】根据全等三角形的性质求出，根据三角形的周长公式计算． 【详解】解：， ， 由题意得，， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 12．△ABC中，已知AB＝AC，∠C＝50°，则∠A＝ °. 【答案】80 【分析】由已知可判断∠C=50°是三角形的底角，∠A是顶角，∠B是底角，根据等腰三角形等边对等角求解即可． 【详解】∵AB=AC ， ∴∠C=∠B=50° ， ∴∠A=180°-50°-50°=80°. 故答案为80. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；由已知判断出∠B、∠C是三角形的底角是解答本题的关键． 13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝40°，那么∠A＝ ． 【答案】65°/65度 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B＝90°，结合已知条件求解即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A+∠B＝90°， ∵， ∴，， 故答案为：65°． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 14．如图，在中，，D 是的中点，延长至点E，使得．若 则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、 等腰三角形的性质、中线的定义，解题的关键是合理添加辅助线，正确寻找全等三角形解决问题；延长到F使，根据中线的性质证明，得，，再利用外角与内角关系，证明，即可得到结果． 【详解】解：延长到F使， ， D 是的中点， ， 在和中 ， ， ，， ，， ，， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：9． 15．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．(1)若BE＝10 cm，则EC＝ cm；(2)若AB＋AC＝8 cm，则△ACE的周长是 ． 【答案】 10 8 【分析】（1）直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论； （2）根据题意可得出BE=CE，进而可得出结论． 【详解】解：（1）∵DE是BC的垂直平分线，BE=10cm， ∴EC=BE=10cm． 故答案为10； （2）∵DE是BC的垂直平分线， ∴BE=EC， ∴AE+EC=BE+AE=AB． ∵AB+AC=8cm， ∴△ACE的周长=AB+AC=8cm． 故答案为10，8cm； 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 16．数学课上，王老师布置如下任务：如图，△ABC中，BC>AB>AC，在BC边上取一点P，使∠APC=2∠ABC． 小路的作法如下： ① 作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q； ② 连结AP． 请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据： ∵ PQ是AB的垂直平分线 ∴ AP= ，  （依据： ）； ∴ ∠ABC= ， （依据： ）． ∴ ∠APC=2∠ABC． 【答案】尺规作图见解析；BP，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；∠BAP，等边对等角. 【分析】按照线段垂直平分线的作图方法作出AB的垂直平分线，然后按照线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质求解即可. 【详解】如图， ∵ PQ是AB的垂直平分线 ∴ AP=BP，（依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）； ∴ ∠ABC=∠BAP，（依据：等边对等角）． ∴ ∠APC=2∠ABC． 【点睛】本题考查了尺规作图，段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键. 三．解答题：（本大题共8题，17-22题每题6分，23-24题每题8分，满分52分） 17．为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，这是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，，，求该田地的面积． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理， 连接，首先根据勾股定理求出，然后根据勾股定理的逆定理得到，然后利用该田地的面积的面积的面积代数求解即可． 【详解】解∶连接， 在中，根据勾股定理， 可得 ， ∴是直角三角形， ∴， ∴该田地的面积的面积的面积 ． 答：该田地的面积是． 18．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）作线段，使其长度为； （2）通过计算说明是直角三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据网格特点和勾勾定理作图即可； （2）根据勾股定理及其逆定理解答即可； 【详解】解：（1）如图， AD=； （2）∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．反之亦成立． 19．消防云梯主要用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．如图，已知云梯最多能伸长到，消防车高．某次任务中，消防车在A处将云梯伸长至最长，消防员从高的处救人后，消防车需到达B处使消防员从24m高的处救人，求消防车从A处向着火的楼房靠近的距离． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：由题意，易得，，A，B，D三点在同一直线上． ，， ． 在中，由勾股定理，得． 在中，由勾股定理，得 ． 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为． 20．如图，以点B为顶点，射线BC为一边，利用尺规作∠EBC，使得∠EBC＝∠A． (1)用尺规作出∠EBC．(不写作法，保留作图痕迹，要写结论) (2)EB与AD一定平行吗？简要说明理由．    【答案】(1)作图见解析；(2)EB与AD不一定平行． 【分析】分两种情况：①根据同位角相等两直线平行，过D点作AD的平行线即可．②当所作的角在BC下方． 【详解】解：(2)EB与AD不一定平行． ①当所作的角在BC上方时平行．∵∠EBC＝∠A， ∴EB∥AD． 当所作的角在BC下方，所作的角对称时EB与AD就不平行．    【点睛】此题主要考查学生对平行线的判定和尺规作图相关知识的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题． 21．如图，中，，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒个单位，设运动的时间为秒．    (1)当 秒时，把的面积分成相等的两部分； (2)当秒时，把分成的和的面积之比是 ； (3)当为多少秒时，的面积为． 【答案】(1)； (2)； (3)当或时，的面积为． 【分析】()三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用中线的性质可求出P的路径长即可求解； ()和分别以、为底时，高相同，根据和的比即可求出面积比； ()分两种情况讨论，当在上时，利用面积求出的长度即可求出，当在上时，利用面积比可求出的长，即可求出． 【详解】（1）当点在中点时，把的面积分成相等的两部分， 此时， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴，， ∴， 故答案为：； （3）当在线段上时，如图，    ， 解得； 当在线段上时，如图，    ， ∴， ∵和高相同， ∴， ∴， ∴， ∴当或时，的面积为． 【点睛】此题考查了三角的面积公式，三角形的动点问题，灵活应用三角形面积公式是解题的关键． 22．如图，某游泳池长48米，小刘和小杨进行游泳比赛，从同一处（点）出发，小刘平均速度为3米/秒，小杨为3.2米/秒．但小杨一心想快，不看方向沿斜线（方向）游，而小刘直游（方向），两人到达终点的位置相距14米．按各人的平均速度计算，谁先到达终点？请说明理由．    【答案】小杨先到达终点，理由见解析 【分析】根据题中已知条件，利用勾股定理将边的长求出来，然后将两人所游的距离除以各自的游泳速度，计算出到达终点所需的时间，进行比较即可． 【详解】解：如图，表示小刘的路线，表示小杨的路线， 由题意可知，，， 在直角三角形中，， 小刘用时：秒，小杨用时秒， 因为，所以小杨用时少，即小杨先到达终点． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 23．如图，某校数学兴趣小组开展“初二几何现场实践活动”，他们在操场上设立四个点，并给出以下信息：点在点的西北方向上，点在点的北偏西方向上，点在点的东北方向上，，米，米． (1)求的长； (2)若小明和小亮从点同时出发，分别沿和到达点，若两人的速度相同，请判断小明和小亮谁先到达？并说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)40米 (2)小明先到达，理由见详解 【分析】本题主要考查了方位角、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确理解题意，综合运用相关知识是解题关键． （1）首先根据题意可得，，，进而可得，由“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得米，然后理由勾股定理计算的长即可； （2）首先利用勾股定理解得的长度，设两人的速度均为米/分钟（），分别求得两人到达点所用时间，比较即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图， 根据题意，点在点的西北方向上，点在点的东北方向上， ∴，， ∵点在点的北偏西方向上，即， ∴， 又∵米， ∴米， ∵，米， ∴米； （2）由（1）可知，，米，米， ∴米， 设两人的速度均为米/分钟（）， 则到达点，小明用时， 小亮用时， ∵， ∴小明先到达点． 24．如图，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足． （1）点A的坐标为 ；点B的坐标为 ； （2）如图1，若点C的坐标为（－3，－2），且BE⊥AC于点E，OD⊥OC交BE延长线于D，试求点D的坐标； （3）如图2，M、N分别为OA、OB边上的点，OM=ON，OP⊥AN交AB于点P，过点P 作PG⊥BM，交AN的延长线于点G，请写出线段AG、OP与PG之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） A(5，0) ，B(0，-5) ；（2）D(2，3)；(3) OP+PG=AG． 【分析】（1）根据非负数的性质得出a=5，b=﹣5即可； （2）过C作CK⊥x轴，过D作CF⊥y轴，再利用AAS证明△AOC与△DOB全等即可； （3）延长GP到L使PL=OP，连接AL，证明△PAL与△OAP全等，再利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：（1）∵|a+b|+（a﹣5）2=0， ∴a=5，b=﹣5， ∴点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（0，﹣5）， 故答案为（5，0）；（0，﹣5）； （2）过C作CK⊥x轴，过D作DF⊥y轴， ∵∠AED=∠BOK=90°， ∴∠DBO=∠OAC， ∵∠AOB+∠BOC=∠BOK+∠BOC=90°+∠BOC， ∴∠AOC=∠BOD，在△AOC与△DOB中， ∵∠AOC=∠BOD，∠DBO=∠OAC，OA=OB， ∴△AOC≌△DOB（AAS）， ∴OC=OD，在△OCK与△ODF中，∵∠DFO=∠CKO=90°，∠DOF=∠COK，OD=OC， ∴△OCK≌△ODF， ∴DF=CK，OK=OF， ∴D（﹣2，3）； （3）延长GP到L，使PL=OP，连接AL，在△AON与△BOM中，∵ON=OM，∠AON=∠BOM，OA=OB， ∴△AON≌△BOM， ∴∠OAN=∠OBM， ∴∠MBA=∠NAB， ∵PG⊥BM，OP⊥AN， ∴∠NAB+∠OPA=∠MBA+∠GPB=90°， ∴∠OPA=∠GPB=∠APL， 在△OAP与△PAL中，∵PL=OP，∠APL=∠OPA，AP=AP， ∴△OAP≌△PAL， ∴∠POA=∠L，∠OAP=∠PAL=45°， ∴∠OAL=90°， ∴∠POA=90°﹣∠POB，∠GAL=90°﹣∠OAN， ∵∠POB=∠OAN， ∴∠POA=∠GOL， ∴∠POA=∠GOL=∠L， ∴AG=GL， ∴AG=GL=GP+PL=GP+OP． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应角相等，对应边相等． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$