第2章 圆锥曲线 章末整合提升2（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

章 末 整 合 提 升 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 章 末 整 合 提 升 1 谢谢观看 章 末 整 合 提 升 1 (一)圆锥曲线的定义、方程和性质 1．圆锥曲线的定义是标准方程和几何性质的根源，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略． 2．应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来． 　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________． (2)若椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围为________． [解析]　(1)解法一　(直接法)　由|AB|＝10及双曲线的对称性得|AF2|＝eq \f(|AB|,2)＝5，因为|AF1|＝13，所以2a＝|AF1|－ |AF2|＝13－5＝8,2c＝|F1F2|＝eq \r(|AF1|2－|AF2|2)＝eq \r(132－52)＝12，所以a＝4，c＝6， 则C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(6,4)＝eq \f(3,2). 解法二　(二级结论)　因为|AB|＝10，所以eq \f(2b2,a)＝10，所以eq \f(b2,a)＝eq \f(c2－a2,a)＝5，又|AF1|＝13，所以|F1F2|＝2c＝eq \r(|AF1|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2)＝12，得c＝6，所以a2＋5a－36＝0，得a＝4，所以C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(6,4)＝eq \f(3,2). eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(二级结论：椭圆和双曲线的通径长均为\f(2b2,a))) (2)解法一　设M(x0，y0)，则|x0|<a.∵F1(－c,0)，F2(c,0)， ∴eq \o(MF1,\s\up16(→))＝(－c－x0，－y0)，eq \o(MF2,\s\up16(→))＝(c－x0，－y0)． ∵∠F1MF2＝90°，∴eq \o(MF1,\s\up16(→))·eq \o(MF2,\s\up16(→))＝0，∴xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＝c2.又yeq \o\al(2,0)＝b2－eq \f(b2,a2)xeq \o\al(2,0)， ∴xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＝b2＋eq \f(c2,a2)xeq \o\al(2,0)∈[b2，a2]，即c2∈[b2，a2]， ∴c2≥b2＝a2－c2，∴eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,2)，∴e≥eq \f(\r(2),2). 故椭圆的离心率e的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)). 解法二　设点M的坐标是(x0，y0)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),a2)＋\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，,x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＝c2，))消去y0，得xeq \o\al(2,0)＝eq \f(a2c2－b2,c2). ∵0≤xeq \o\al(2,0)<a2，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a2c2－b2,c2)≥0，①,\f(a2c2－b2,c2)＜a2.②)) 由①得c2≥b2，即c2≥a2－c2， ∴a2≤2c2，∴e2＝eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,2). 又0<e<1，∴e∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)). 由②得c2－b2<c2，此式恒成立． 综上所述，所求椭圆的离心率e的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)). 解法三　设椭圆与y轴的一个交点为P， ∵椭圆上存在一点M，使∠F1MF2＝90°， ∴∠F1PF2≥90°，则c≥b， ∴c2≥b2＝a2－c2， ∴eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,2)，∴e≥eq \f(\r(2),2)，又e<1， ∴椭圆的离心率e的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)). [答案]　(1)eq \f(3,2)　(2)eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) (二)直线与圆锥曲线的位置关系 讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立，组成方程组，消去一个未知数，转化为关于x(或y)的一元二次方程，由根与系数的关系求出x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)进而解决了与“距离”“中点”等有关的问题． 　已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2eq \r(2)＝0的距离为3. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M，N，当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围． [解析]　(1)依题意可设椭圆方程为 eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)，则右焦点F(eq \r(a2－1)，0)， 由题设，知eq \f(|\r(a2－1)＋2\r(2)|,\r(2))＝3， 解得a2＝3，故所求椭圆的方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1. (2)设点P为弦MN的中点，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,3)＋y2＝1，)) 得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0. 由于直线与椭圆有两个交点， 所以Δ>0，即m2<3k2＋1，① 所以xP＝eq \f(xM＋xN,2)＝－eq \f(3mk,3k2＋1)， 从而yP＝kxP＋m＝eq \f(m,3k2＋1)，所以kAP＝eq \f(yP＋1,xP)＝－eq \f(m＋3k2＋1,3mk)， 又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN， 则－eq \f(m＋3k2＋1,3mk)＝－eq \f(1,k)，即2m＝3k2＋1，② 把②代入①得2m>m2，解得0<m<2， 由②得k2＝eq \f(2m－1,3)>0，解得m>eq \f(1,2)， 故所求m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)). (三)圆锥曲线的综合问题 (题点多探　多维探究) 角度1　圆锥曲线中的定点、定值问题 在几何问题中，有些几何量与参数无关，就构成了定点与定值问题．求解圆锥曲线中的定点定值问题的基本策略是“大处着眼、小处着手”，从整体上把握问题给出的综合信息，选择解题的思路，注意运用待定系数法、定义法等数学方法．如果题目中没有告诉定点定值，可考虑用特殊图形(特殊点、特殊直线等)进行探求，再就一般情况进行推证，如果定值已经给出，可设参数，通过运算推理，参数必消，定值显露． 　已知抛物线E：x2＝2py(p>0)，直线y＝kx＋2与E交于A，B两点，且eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OB,\s\up16(→))＝2，其中O为原点． (1)求抛物线E的方程； (2)点C坐标为(0，－2)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，证明：keq \o\al(2,1)＋keq \o\al(2,2)－2k2为定值． (1)[解析]　将y＝kx＋2代入x2＝2py，得x2－2pkx－4p＝0，其中Δ＝4p2k2＋16p>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－4p.eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OB,\s\up16(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋eq \f(x\o\al(2,1),2p)·eq \f(x\o\al(2,2),2p)＝－4p＋4.由已知，－4p＋4＝2，p＝eq \f(1,2)，所以抛物线E的方程为x2＝y. (2)[证明]　由(1)知，x1＋x2＝k，x1x2＝－2.k1＝eq \f(y1＋2,x1)＝eq \f(x\o\al(2,1)＋2,x1)＝eq \f(x\o\al(2,1)－x1x2,x1)＝x1－x2，同理k2＝x2－x1，所以keq \o\al(2,1)＋keq \o\al(2,2)－2k2＝2(x1－x2)2－2(x1＋x2)2＝－8x1x2＝16. 角度2　圆锥曲线中的最值、范围问题 圆锥曲线中的量值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等的最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题，这两类问题的解决往往要通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及数形结合、设参、转化代换等途径来解决． 　设椭圆M：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆M的方程； (2)若直线y＝eq \r(2)x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，eq \r(2))为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值． [解析]　(1)由题可知，双曲线的离心率为eq \r(2)， 则椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)， 由2a＝4，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，b2＝a2－c2， 得a＝2，c＝eq \r(2)，b＝eq \r(2)， 故椭圆M的方程为eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,2)＝1. (2)联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\r(2)x＋m，,\f(x2,2)＋\f(y2,4)＝1，)) 得4x2＋2eq \r(2)mx＋m2－4＝0， 由Δ＝(2eq \r(2)m)2－16(m2－4)>0， 得－2eq \r(2)<m<2eq \r(2). 且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(\r(2),2)m，,x1x2＝\f(m2－4,4)，)) 所以|AB|＝eq \r(1＋2)|x1－x2| ＝eq \r(3)·eq \r(x1＋x22－4x1x2) ＝eq \r(3)·eq \r(\f(1,2)m2－m2＋4)＝eq \r(3)·eq \r(4－\f(m2,2)). 又P到直线AB的距离为d＝eq \f(|m|,\r(3))， 所以S△PAB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(\r(3),2)·eq \r(4－\f(m2,2))·eq \f(|m|,\r(3)) ＝eq \f(1,2) eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(m2,2)))·m2) ＝eq \f(1,2\r(2)) eq \r(m28－m2)≤eq \f(1,2\r(2))·eq \f(m2＋8－m2,2)＝eq \r(2). 当且仅当m＝±2∈(－2eq \r(2)，2eq \r(2))时取等号， 故△PAB面积的最大值为eq \r(2). 取值(范围)问题 [典例]　设双曲线C：eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B． (1)求双曲线C的离心率e的取值范围； (2)设直线l与y轴的交点为P，且eq \o(PA,\s\up16(→))＝eq \f(5,12) eq \o(PB,\s\up16(→))，求a的值． [解析]　(1)将y＝－x＋1代入双曲线eq \f(x2,a2)－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，① 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－a2≠0，,2a22＋8a21－a2>0.))* 解得0<a<eq \r(2)且a≠1， 又双曲线的离心率e＝eq \f(\r(1＋a2),a)＝eq \r(\f(1,a2)＋1)，所以e>eq \f(\r(6),2)且e≠eq \r(2). (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为P为直线与y轴的交点，所以P(0,1)． 因为eq \o(PA,\s\up16(→))＝eq \f(5,12) eq \o(PB,\s\up16(→))，所以(x1，y1－1)＝eq \f(5,12)(x2，y2－1)． 由此得x1＝eq \f(5,12)x2，② 由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0. 由根与系数的关系，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(17,12)x2＝－\f(2a2,1－a2)，,\f(5,12)x\o\al(2,2)＝－\f(2a2,1－a2).)) 消去x2，得－eq \f(2a2,1－a2)＝eq \f(289,60)， 由a>0，③ 得a＝eq \f(17,13). [纠错心得]　解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面： (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等式关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 直线与椭圆的综合问题 [典例]　(13分)设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为eq \f(\r(3),3)，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为eq \f(4\r(3),3). (1)求椭圆的方程； (2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若eq \o(AC,\s\up16(→))·eq \o(DB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(CB,\s\up16(→))＝8，求k的值． [审题指导] [规范解答]　(1)设F(－c,0)(c＞0)，由eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)，知a＝eq \r(3)c， 过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程， 有eq \f(－c2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，解得y＝±eq \f(\r(6)b,3)， 于是eq \f(2\r(6)b,3)＝eq \f(4\r(3),3) ，① 解得b＝eq \r(2).(3分) 又a2－c2＝b2，从而a＝eq \r(3)，c＝1，所以椭圆的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.(5分) (2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)， 由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)， 由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,3)＋\f(y2,2)＝1)) 消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.②(8分) Δ＝48k2＋48＞0. $$