第2章 3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

第二章　圆锥曲线 3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　抛物线的简单几何性质 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 x轴 y轴 原点 e＝1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 学业标准 素养目标 1．掌握抛物线的几何性质．(重点) 2．能运用抛物线的性质解决有关问题．(重点) 3．掌握抛物线焦点弦问题的求解方法．(难点) 1．通过抛物线几何性质的探究，培养直观想象核心素养． 2．借助抛物线几何性质的应用及焦点弦问题，提升逻辑推理、数学运算等核心素养. 导学　抛物线的简单几何性质 　根据抛物线方程y2＝2px(p＞0)，如何确定横坐标x的范围？ [提示]　由抛物线y2＝2px(p＞0)有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2px＝y2≥0，,p＞0，))所以x≥0.所以抛物线的范围为x≥0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 　观察下面表格，探究以下问题： 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 抛物线是中心对称图形吗？它有渐近线吗？ [提示]　抛物线不是中心对称图形，也没有渐近线． ◎结论形成 抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 性 质 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R ___________　 ___________　 对称轴 ________ x轴 y轴 ________ 顶点 _______ 离心率 _______ 焦点 坐标 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))) 准线 方程 x＝－eq \f(p,2) x＝eq \f(p,2) y＝－eq \f(p,2) y＝eq \f(p,2) [拓展] (1)抛物线的几何性质与椭圆、双曲线相比有较大差别，它的离心率为定值1，只有一个焦点，一个顶点、一条对称轴、一条准线，没有渐近线，没有对称中心，通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆、双曲线为有心圆锥曲线． (2)抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线既是轴对称图形也是中心对称图形．(　　) (2)抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上．(　　) (3)直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线相切．(　　) (4)抛物线焦点到准线的距离等于p.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　 (4)√ 2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点F的距离是(　　) A．8　　　　　　　　　 B．6 C．4 D．2 解析　∵抛物线的方程为y2＝8x， ∴其准线l的方程为x＝－2， 设点P(x0，y0)到其准线的距离为d，则d＝|PF|， 即|PF|＝d＝x0－(－2)＝x0＋2， ∵点P到y轴的距离是6，∴x0＝6， ∴|PF|＝6＋2＝8. 答案　A 3．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　) A．x2＝16y B．x2＝8y C．x2＝±8y D．x2＝±16y 解析　顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p＞0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y. 答案　D 4．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________. 解析　设A(x0，y0)，由抛物线定义知x0＋1＝2， ∴x0＝1，则直线AB⊥x轴，∴|BF|＝|AF|＝2. 答案　2 题型一　由抛物线的几何性质求其标准方程 　(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程； (2)已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程． [解析]　(1)因为顶点在原点，焦点在y轴上，点M(m，－3)位于第三或第四象限，故可确定所求抛物线的开口向下． 解法一　设所求抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))). 因为M(m，－3)在抛物线上且|MF|＝5， 故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2＝6p，, \r(m2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3＋\f(p,2)))2)＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝±2\r(6).)) 所以m＝±2eq \r(6)，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2. 解法二　如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)， 则焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))，准线l：y＝eq \f(p,2)，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋eq \f(p,2)，所以3＋eq \f(p,2)＝5，解得p＝4.又点M在抛物线上，所以m2＝24，解得m＝±2eq \r(6).所以m＝±2eq \r(6)，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2. (2)由题意，可设抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)，则焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0))，直线l：x＝eq \f(a,2)，所以A，B两点的坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，a))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－a))，所以|AB|＝2|a|. 因为△OAB的面积为4，所以eq \f(1,2)·eq \f(|a|,2)·2|a|＝4，所以a＝±2eq \r(2).故所求抛物线的标准方程为y2＝4eq \r(2)x或y2＝－4eq \r(2)x. 求抛物线标准方程的一般步骤是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中p的值，从而求出方程． [触类旁通] 1．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的方程． 解析　∵椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1的焦点在y轴上， ∴椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1短轴所在的直线为x轴． ∴抛物线的对称轴为x轴． ∴设抛物线的方程为y2＝mx(m≠0)， ∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(m,4)))＝5，∴m＝±20. ∴所求抛物线的方程为y2＝20x或y2＝－20x. 题型二　与抛物线有关的最值问题 一题多变 　(1)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点． ①求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值； ②若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值． (2)已知抛物线y2＝2x，A点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0)). 求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|. [解析]　(1)①抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1. ∵点P到准线x＝－1的距离等于P到点F(1,0)的距离． ∴问题转化为：在曲线上求一点P， 使点P到A(－1,1)的距离与 P到F(1,0)的距离之和最小． 显然P是AF的连线与抛物线的交点， 最小值为|AF|＝eq \r(5). ②同理|PF|与P点到准线的距离相等．如图： 过B作BQ⊥准线于Q点，交抛物线于P1点． ∵|P1Q|＝|P1F|， ∴|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4. ∴|PB|＋|PF|的最小值为4. (2)由题意设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，则|PA|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,3)))2＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,3)))2＋2x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))2＋eq \f(1,3).因为x≥0，所以当x＝0时，|PA|min＝eq \f(2,3).故距离点A最近的点P的坐标为(0,0)，最短距离是eq \f(2,3). [母题变式] (变条件、变结论)将本例(2)中将A点坐标变为(a,0)，其他条件不变，求抛物线上的点到点A的距离的最小值d. 解析　d2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋2x＝[x－(a－1)]2＋2a－1.(x≥0) 当a－1≥0，即a≥1时，deq \o\al(2,min)＝2a－1， 解得dmin＝eq \r(2a－1)，此时x＝a－1； 当a－1＜0，即a＜1时，deq \o\al(2,min)＝a2，解得dmin＝|a|，此时x＝0. 所以d＝f(a)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\r(2a－1)，a≥1，,|a|，a＜1.)) 解决与抛物线有关的最值问题的思路 求抛物线最值的常见题型是求抛物线上一点到定点的距离的最值、求抛物线上一点到定直线的距离的最值．解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以目标函数最值的求法解决． [触类旁通] 2．已知过点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的直线l与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，且eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OB,\s\up16(→))＝－3，其中O为坐标原点． (1)求p的值； (2)当|AM|＋4|BM|取最小值时，求直线l的方程． 解析　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋eq \f(p,2). 将其代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0. ∴y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2. ∵eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OB,\s\up16(→))＝－3， ∴x1x2＋y1y2＝－3. 又x1x2＝eq \f(y\o\al(2,1),2p)·eq \f(y\o\al(2,2),2p)＝eq \f(p2,4)，∴eq \f(p2,4)－p2＝－3⇒p2＝4. ∵p＞0，∴p＝2. (2)由抛物线定义，得|AM|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋1，|BM|＝x2＋eq \f(p,2)＝x2＋1， ∴|AM|＋4|BM|＝x1＋4x2＋5≥2eq \r(4x1x2)＋5＝9， 当且仅当x1＝4x2时取等号． 将x1＝4x2代入x1x2＝eq \f(p2,4)＝1，得x2＝eq \f(1,2)(负值舍去)． 将x2＝eq \f(1,2)代入y2＝4x，得y2＝±eq \r(2)，即点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，±\r(2))). 将点B代入x＝my＋1，得m＝±eq \f(\r(2),4). ∴直线l的方程为x＝±eq \f(\r(2),4)y＋1， 即4x±eq \r(2)y－4＝0. 题型三　抛物线的焦半径和焦点弦问题 一题多变 　已知抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝eq \f(5,2)p，求AB所在直线的方程． [解析]　∵过焦点的弦长|AB|＝eq \f(5,2)p，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k，且A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵y2＝2px的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)). ∴直线方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2))). 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))整理得k2x2－(k2p＋2p)x＋eq \f(1,4)k2p2＝0(k≠0)， ∴x1＋x2＝eq \f(k2p＋2p,k2)， ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(k2p＋2p,k2)＋p， 又|AB|＝eq \f(5,2)p， ∴eq \f(k2p＋2p,k2)＋p＝eq \f(5,2)p，∴k＝±2. ∴所求直线方程为y＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))或y＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2))). [母题变式] (变结论)本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离． 解析　设AB中点为M(x0，y0)， 由例题解答可知2x0＝x1＋x2＝eq \f(3,2)p， 所以AB的中点M到y轴的距离为eq \f(3,4)p. [素养聚焦]　本题主要考查抛物线的焦点弦问题，提升学生的逻辑推理能力和数学运算核心素养． 过焦点的弦长的求解方法 设过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可．这种方法的实质是利用焦半径，把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决，这体现了抛物线的定义的重要应用． [触类旁通] 3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，那么|AB|＝(　　) A．10　　 B．8　　 C．6　　 D．4 解析　由抛物线y2＝4x，得p＝2，设抛物线的焦点为F，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.故选B． 答案　B 知识落实 技法强化 1．抛物线的简单几何性质． 2．抛物线中的焦点弦. 1．抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点的弦长|AB|＝x1＋x2＋p，其中x1，x2分别是点A，B的横坐标．对其他形式的抛物线方程要注意结合实际求解． 2．抛物线上的点与焦点的距离和到准线的距离注意相互转化. $$