第2章 1.1 椭圆及其标准方程（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

第二章　圆锥曲线 §1　椭圆 1.1　椭圆及其标准方程 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 常数(大于|F1F2|) F1，F2 |F1F2| 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 F1F2 垂直平分线 中点 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a2＝b2＋c2 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 学业标准 素养目标 1．掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决有关问题．(重点) 2．掌握椭圆的标准方程，了解其推导过程．会求椭圆的标准方程．(重点、难点) 1．通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养学生的数学抽象、直观想象等核心素养． 2．借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算等核心素养. 导学1　椭圆的定义 　通过探讨以下几个问题，初步形成对椭圆的认识． 将一条细绳的两端用图钉分别固定在平面内的两个定点F1，F2上，用笔尖将细绳拉紧并运动，在纸上能得到怎样的图形？ [提示]　得到一个椭圆． 　如果调整细绳两端点F1，F2的相对位置，细绳的长度不变，猜想椭圆会发生怎样的变化？ [提示]　当细绳两个端点逐步靠近时，所画的椭圆越接近圆，当细绳两端点逐步远离时，所画的椭圆越扁平． ◎结论形成 1．椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于________________的点的集合(或轨迹)叫作椭圆． 这两个定点_________叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离_________叫作椭圆的焦距． 2．椭圆的对称性 椭圆是轴对称图形，直线_________及线段F1F2的______________都是它的对称轴；椭圆也是中心对称图形，线段F1F2的________是它的对称中心． 导学2　椭圆的标准方程 　推导椭圆的标准方程是如何建坐标系的？椭圆的标准方程有几种形式？ [提示]　以椭圆的对称中心为坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴，建立平面直角坐标系，由于焦点在x轴上或y轴上，故标准方程有两种形式． 　推导椭圆的标准方程过程中，对含有的两个根式是怎样处理的？ [提示]　将两个根式分开即移项，先变成eq \r(x＋c2＋y2)＝2a－eq \r(x－c2＋y2)，再两边平方(可消去很多项，简单了很多)． ◎结论形成 椭圆的标准方程 名称 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 ______________________ ______________________ 图形 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a＞b＞0) eq \f(y2,a2) ＋ eq \f(x2,b2) ＝1(a＞b＞0) 名称 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦点坐标 __________________ __________________ a，b，c 的关系 _________________ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹就是椭圆．(　　) (2)椭圆的焦点只能在坐标轴上．(　　) (3)方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(m＞0，n＞0)不一定表示椭圆．(　　) (4)两种椭圆的标准方程中，有时a＞b＞0，有时b＞a＞0.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　 (4)× 2．以下方程表示椭圆的是(　　) A．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,25)＝1　　　　　 B．2x2－3y2＝2 C．－2x2－3y2＝－1 D．eq \f(x2,n2)＋eq \f(y2,n2＋2)＝0 解析　A中方程为圆的方程，B，D中方程不是椭圆方程． 答案　C 3．(多选)以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是(　　) A．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 C．eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 解析　若椭圆的焦点在x轴上，则c＝1，b＝2，得a2＝5，此时椭圆方程是eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1；若焦点在y轴上，则a＝2，c＝1，则b2＝3，此时椭圆方程是eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1. 答案　AB 4．若方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a＋6)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________． 解析　∵方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a＋6)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴a2＞a＋6＞0，∴a＞3或－6＜a＜－2. 答案　(－6，－2)∪(3，＋∞) 题型一　对椭圆标准方程的理解 　(1)若方程eq \f(x2,25－m)＋eq \f(y2,m＋9)＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是(　　) A．(－9,25)　　　　 B．(－9,8)∪(8,25) C．(8,25) D．(8，＋∞) (2)若方程x2－3my2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________． [解析]　(1)依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(25－m＞0，,m＋9＞0，,m＋9≠25－m，)) 解得－9＜m＜8或8＜m＜25， 即实数m的取值范围是(－9,8)∪(8,25)． (2)由题意知m≠0，将椭圆方程化为eq \f(x2,1)＋eq \f(y2,－\f(1,3m))＝1， 依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(1,3m)＞0，,1＞－\f(1,3m)，))解得m＜－eq \f(1,3)， 即实数m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3))). [答案]　(1)B　(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3))) 1．给出方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1，其表示椭圆的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＞0，,n＞0，,m≠n，))其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m＞n＞0，其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是n＞m＞0. 2．若给出椭圆方程Ax2＋By2＝C，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式eq \f(x2,\f(C,A))＋eq \f(y2,\f(C,B))＝1，再研究其焦点的位置等情况． [触类旁通] 1．已知椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(m＞0)，并且焦距为6，则实数m的值为________． 解析　∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2，a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4. 当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25，a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝eq \r(34).综上，实数m的值为4或eq \r(34). 答案　4或eq \r(34) 题型二　求椭圆的标准方程 　(1)求适合下列条件的椭圆的标准方程： ①焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3eq \r(2))； ②经过两点(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2))). (2)已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点Q(2，1)且与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有公共的焦点，求椭圆的标准方程． [解析]　(1)①解法一　因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)． 由椭圆的定义知 2a＝ eq \r(4－02＋3\r(2)＋22)＋eq \r(4－02＋3\r(2)－22)＝12， 所以a＝6.又c＝2， 所以b＝eq \r(a2－c2)＝4eq \r(2). 所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,32)＝1. 解法二　因为椭圆的焦点在y轴上， 所以可设其标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0) 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(18,a2)＋\f(16,b2)＝1，,a2＝b2＋4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝36，,b2＝32.)) 所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,32)＝1. ②解法一　若椭圆的焦点在x轴上， 设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)． 由已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＝\f(1,8)，,\f(1,b2)＝\f(1,4).)) 所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1. 同理可得：焦点在y轴上的椭圆不存在． 综上，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1. 解法二　设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)． 将两点(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))代入， 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，)) 所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1. (2)解法一　由已知的椭圆方程知：所求的椭圆的焦点在x轴上，设方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)， 由eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1⇒c2＝5，则a2－b2＝5，① 又Q(2,1)在椭圆上，则eq \f(4,a2)＋eq \f(1,b2)＝1，② 由①②解得：a2＝eq \r(5)＋5，b2＝eq \r(5)， 即所求的方程是eq \f(x2,\r(5)＋5)＋eq \f(y2,\r(5))＝1. 解法二　由已知设所求的椭圆的标准方程是：eq \f(x2,9＋k)＋eq \f(y2,4＋k)＝1(k＞－4)． 则eq \f(4,9＋k)＋eq \f(1,4＋k)＝1， 整理得：k2＋8k＋11＝0⇒k＝eq \f(－8±2\r(5),2)＝－4±eq \r(5)， k＞－4，∴k＝－4＋eq \r(5)， 故所求的椭圆的标准方程是eq \f(x2,5＋\r(5))＋eq \f(y2,\r(5))＝1. 确定椭圆方程的“定位”与“定量” 提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)． [触类旁通] 2．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (2)经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－4))和点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，3)). 解析　(1)由于椭圆的焦点在y轴上， ∴设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)． 由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1，))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1.)) 故所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,4)＋x2＝1. (2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(9,25)m＋16n＝1，,\f(16,25)m＋9n＝1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(1,25).)) ∴椭圆方程为x2＋eq \f(y2,25)＝1. 题型三　椭圆定义的应用 一题多变 　如图所示，已知椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，若点P为椭圆上的点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积． [解析]　由已知a＝2，b＝eq \r(3)，得c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(4－3)＝1，|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|·cos 120° 即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.① 由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4， 即|PF2|＝4－|PF1|.② ②代入①解得|PF1|＝eq \f(6,5). 所以＝eq \f(1,2)|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝eq \f(1,2)×eq \f(6,5)×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),5)， 即△PF1F2的面积是eq \f(3\r(3),5). [母题变式] 1．(变结论)在本例题设条件不变的情况下，求点P的坐标． 解析　设P点坐标为(x0，y0)． 由本例题解答可知＝eq \f(1,2)|F1F2|·|y0|＝eq \f(3,5) eq \r(3)， 解得|y0|＝eq \f(3,5) eq \r(3)，即y0＝±eq \f(3,5) eq \r(3)，将y0＝±eq \f(3,5) eq \r(3)代入eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1得x＝±eq \f(8,5)， 所以点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(3\r(3),5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，－\f(3\r(3),5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)，\f(3\r(3),5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)，－\f(3\r(3),5))). 2．(变条件)把本例中的“∠PF1F2＝120°”变为“∠F1PF2＝60°”，其他条件不变，求△PF1F2的面积． 解析　由已知得a＝2，b＝eq \r(3)，得c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(4－3)＝1. 所以|F1F2|＝2，在△PF1F2中，由余弦定理，得 |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°， 即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝4，又因为|PF1|＋|PF2|＝4， 所以|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16.所以|PF1|·|PF2|＝4， 所以△PF1F2的面积为＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin 60°＝eq \f(1,2)×4×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3). [素养聚焦]　直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养在本例中得以体现． (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解． [触类旁通] 3．(1)已知P为椭圆eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,4)＝1上一点，若P到一个焦点的距离为1，则P到另一个焦点的距离为(　　) A．3　　　　　　　　　 B．5 C．8 D．12 (2)若动点M(x，y)始终满足关系式eq \r(x2＋y＋22)＋eq \r(x2＋y－22)＝8，则动点M的轨迹方程为(　　) A．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1 B．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1 C．eq \f(x2,12)－eq \f(y2,16)＝1 D．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,12)＝1 解析　(1)椭圆eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,4)＝1的长轴长为2a＝6，由椭圆的定义得：|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又因为P到一个焦点的距离为1，即|PF1|＝1，所以P到另一个焦点的距离为|PF2|＝6－|PF1|＝5. (2)因动点M(x，y)满足关系式eq \r(x2＋y＋22)＋eq \r(x2＋y－22)＝8，则该等式表示点M(x，y)到两个定点F1(0，－2)，F2(0,2)的距离的和为8，而|F1F2|＝4＜8，即动点M的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长2a＝8的椭圆，于是短半轴长b有b2＝a2－22＝12，所以动点M的轨迹方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1. 答案　(1)B　(2)B [缜密思维提能区]　易错辨析 忽视椭圆标准方程的条件致误 [典例]　“2＜m＜8”是“方程eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,8－m)＝1表示椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [错解]　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m－2＞0，,8－m＞0))得2＜m＜8，故选C． [正解]　当方程表示椭圆时，应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m－2＞0，,8－m＞0，,m－2≠8－m，)) 所以2＜m＜8且m≠5. 因此应为必要不充分条件，故选B． [答案]　B [纠错心得]　在椭圆的标准方程中，分母都大于零且不相等，在解题时，不仅要注意分母都大于零，还要注意分母应该不能相等，否则该方程就变成了圆的方程． 知识落实 技法强化 1．椭圆的定义． 2．椭圆的标准方程. 1．求椭圆的标准方程的两种方法：①待定系数法；②定义法． 2．用待定系数法求椭圆的标准方程时，要“先定位，再定量”. $$