第2章 教考衔接3 高考热点之探究圆锥曲线的离心率问题（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

　[对应学生用书P58] 一、真题展示 1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为________． 2．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　) A．　　　　 B． C． D． 二、真题溯源 1．(教材P56　A组第6题)已知正方形ABCD，求以点A，B为焦点，且经过C，D两点的椭圆的离心率． 2．(教材P66　B组第2题)求双曲线4x2－9y2＝k的离心率和渐近线方程． 三、类法探究 离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，是新高考的重点和热点内容，几乎每年必考，考查题型：选择题或填空题，考查内容一是综合：利用圆锥曲线的定义、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，求离心率的值或范围；二是融合：以圆锥曲线为核心，将不同模块知识融合在一起(如向量、三角函数等)，考查离心率问题． 类型一　求离心率的值 　(1)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A，B是以坐标原点为圆心，以|OF1|为半径的圆与该椭圆在y轴左侧的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该椭圆的离心率为(　　) A． B．－1 C．＋1 D． (2)设F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F2作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，|PF1|＝|OP|，O为坐标原点，则双曲线E的离心率为(　　) A． B．2 C． D． (3)如图，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线与双曲线C的左支交于M，N两点，若|MF2|＝|F1F2|，且2|MF1|＝|NF1|，则双曲线的离心率是(　　) A．2 B． C． D． [解析]　(1)由题意可知，作出图形如图所示， 因为F1F2是圆O的直径，所以∠F1AF2＝90°， 即F1A⊥F2A， 又因为△F2AB是等边三角形，F1F2⊥AB， 所以∠AF2F1＝∠AF2B＝30°， 在Rt△F1AF2中，|F1F2|＝2c， 所以|F1A|＝|F1F2|＝c，|F2A|＝|F1F2|＝c， 根据椭圆的定义，得 2a＝|F1A|＋|F2A|＝(1＋)c， 解得a＝c， 所以椭圆的离心率为e＝＝＝－1. (2)点F2(c,0)到渐近线y＝x的距离|PF2|＝＝b(b＞0)， 而|OF2|＝c，所以在Rt△OPF2中，由勾股定理得|OP|＝＝a， 所以|PF1|＝|OP|＝a，在Rt△OPF2中，cos∠PF2O＝＝， 在△F1F2P中， cos∠PF2O＝ ＝， 所以＝⇒3b2＝4c2－6a2， 则有3(c2－a2)＝4c2－6a2， 解得＝(负值舍去)，即e＝，故选D． (3)如图所示，取F1M的中点P，连接PF2，则|MF2|＝|F1F2|＝2c，|MP|＝|F1P|＝c－a. 又|NF1|＝2|MF1|，∴|NF1|＝4(c－a)，|NF2|＝4c－2a. 在Rt△NPF2中，|NP|2＋|PF2|2＝|NF2|2； 在Rt△MPF2中，|MP|2＋|PF2|2＝|MF2|2. 整理得(4c－2a)2－[5(c－a)]2＝(2c)2－(c－a)2， 化简得3c2－8ac＋5a2＝0，两边同除以a2得－＋5＝0， 即3e2－8e＋5＝0，解得e＝或1(舍去)． [答案]　(1)B　(2)D　(3)D ●反思感悟 求离心率的值关键是找到a与c的等式关系，解出a与c的关系，进而求出离心率．建立等式关系的常用思路：①利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形(曲线上的点与两焦点连线组成的三角形)，那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距，从而求解；②利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用a，b，c进行表示，再利用条件列出等式求解． 类型二　求离心率的取值范围 　(1)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2且与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M，若∠F1MF2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．(，＋∞) C．(1,2) D．(1，) (2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．若双曲线上存在点P使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是________． [解析]　(1)双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，由双曲线的对称性不妨设过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线方程为y＝(x－c)，与y＝－x联立，得交点M. ∵∠F1MF2为锐角，∴·>0， 又＝，＝， 即有－＋>0，∴b2>3a2，∴c2－a2>3a2，即e＝>2. (2)在△PF1F2中，由正弦定理可得＝， 所以e＝＝＝，即|PF1|＝|PF2|，则点P在双曲线的右支上，且点P不在直线F1F2上，画出示意图如图所示．由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，则|PF2|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝. 又由双曲线的性质知|PF2|>c－a，则>c－a，即c2－2ac－a2<0， 所以e2－2e－1<0，解得－＋1<e<＋1. 又e∈(1，＋∞)，所以e∈(1，＋1)． [答案]　(1)A　(2)(1，＋1) ●反思感悟 求离心率的取值范围关键是找到a与c的不等关系，解出a与c的关系，进而求出离心率的范围． ①题目中点的横坐标或者纵坐标有取值范围，如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑将该点坐标用a，b，c表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口；②若题目中有一个核心变量，则可以考虑将离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可；③通过一些不等关系得到关于a，b，c的不等式，进而解出离心率的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$