第2章 3.2 第2课时 抛物线的标准方程及性质的应用（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 [对应学生用书P66] 导学　抛物线性质的应用 　类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系． [提示]　如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交点、两个交点． ◎结论形成 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当__Δ＞0__时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当__Δ＝0__时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当__Δ＜0__时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有__一个__交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． [对应学生用书P66] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与抛物线相交，则有2个公共点．(　　) (2)P(x，y)到点F(3,0)的距离与到直线x＋y＝0的距离相等，则动点P的轨迹不是抛物线．(　　) (3)P(x，y)到F(3,0)的距离与到直线x－y－3＝0的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线．(　　) (4)点M在抛物线y2＝2x上，则OM的中点的轨迹是抛物线．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)只有一个公共点，则直线l与抛物线的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　 B．相切 C．相离 D．相交或相切 解析　l与抛物线的对称轴平行或l与抛物线相切时有一个公共点，选D． 答案　D 3．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________． 解析　x－y＝2与y2＝4x联立消去x得y2－4y－8＝0，y1＋y2＝4，设中点P(a，b)，则b＝(y1＋y2)＝2，a＝2＋b＝2＋2＝4，即P(4,2)． 答案　(4,2) 4．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________. 解析　k＝0时，y＝2符合题意，k≠0时，y＝kx＋2与y2＝8x联立消x得ky2－8y＋16＝0，由Δ＝0得k＝1. 答案　0或1 [对应学生用书P67] 题型一　直线与抛物线的位置关系 　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点． [解析]　联立消去y， 得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*) 当k＝0时，(*)式只有一个解x＝， ∴直线l与C只有一个公共点， 此时直线l平行于x轴． 当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程， Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)． ①当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时， 直线l与C有两个公共点，此时直线l与C相交； ②当Δ＝0，即k＝1时，直线l与C有一个公共点，此时直线l与C相切； ③当Δ＜0，即k＞1时，直线l与C没有公共点，此时直线l与C相离． 综上所述，当k＝1或0时，直线l与C有一个公共点； 当k＜1，且k≠0时，直线l与C有两个公共点； 当k＞1时，直线l与C没有公共点． [素养聚集]　直观想象、数学运算等核心素养在本例中得以体现． 求轨迹问题的方法 判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点． [触类旁通] 1．已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2,0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________． 答案　[－1,1] 题型二　抛物线的轨迹问题 　设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系Oxy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大. (1)求点P的轨迹方程； (2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值． [解析]　(1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N(图略)，则|PN|＝y， 由题意知|PM|－|PN|＝， ∴＝y＋，化简得x2＝2y. 故点P的轨迹方程为x2＝2y. (2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y化简得x2－2kx－2＝0， ∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2. ∵|AB|＝·＝·＝2， ∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0， ∴k2＝1，∴k＝±1. (1)直接法：根据动点适合条件直接代入求方程． (2)定义法：若动点满足某曲线定义，可用待定系数法列方程(组)求解． [触类旁通] 2．若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程． 解析　设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得圆C的圆心为C(2,0)，半径r＝1. 因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1. 又动圆M与已知直线x＋1＝0相切， 所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R. 所以|MC|＝d＋1. 即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离． 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＝－2为准线的抛物线，且＝2，p＝4，故动圆圆心M的轨迹方程为y2＝8x. 题型三　抛物线标准方程的实际应用 　河上有抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？ 解析　如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设桥拱抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－，又知船面露出水面上部分高为0.75 m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)． 所以水面涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航． 求抛物线实际应用的五个步骤 [触类旁通] 3．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m. 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2 m. 答案　2 知识落实 技法强化 1．直线和抛物线的位置关系． 2．抛物线的轨迹问题. 1．位置关系的判断方法：直接法、定义法、代数法． 2．求轨迹时注意：轨迹方程的等价性；防止数学运算的失误. 学科网（北京）股份有限公司 $$