第2章 2.2 第2课时 双曲线方程及性质的应用（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

第2课时　双曲线方程及性质的应用 [对应学生用书P56] 题型一　双曲线中的焦点三角形一题多变 　若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．如图，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，则△F1PF2的面积为________． [解析]　双曲线的标准方程为－＝1， 故a＝3，b＝4，c＝＝5. 将|PF2|－|PF1|＝2a＝6两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， 则|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝0，且0°＜∠F1PF2＜180°，所以∠F1PF2＝90°，故＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16. [答案]　16 [母题变式] (变条件)将本例中的条件“|PF1|·|PF2|＝32”改为“∠F1PF2＝60°”，其他条件不变，求△F1PF2的面积． 解析　由－＝1得a＝3，b＝4，c＝5. 由双曲线的定义和余弦定理得|PF2|－|PF1|＝6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°， 所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64， 所以＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝×64×＝16. 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)根据双曲线的定义求出＝2a. (2)利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式． (3)通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值． (4)利用公式＝×|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2求得面积． (5)双曲线焦点三角形面积常用＝. (6)通径公式. [触类旁通] 1．设F1，F2是双曲线C：－＝1的两个焦点，P为双曲线C上一点，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为________． 解析　①当∠F1PF2＝90°时，∵双曲线C：－＝1，∴a＝3，b＝2. 根据c＝＝，不妨设|PF1|＞|PF2|， ∴|PF1|－|PF2|＝2a＝6，|F1F2|＝2c＝2， ∵|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|， 即|F1F2|2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|， 故(2)2＝62＋2|PF1|·|PF2|， ∴|PF1|·|PF2|＝8， ∴S＝|PF1|·|PF2|＝4. ②当∠PF1F2＝90°时，根据双曲线通径公式可得|PF1|＝＝， ∴S＝|PF1|·|F1F2|＝××2＝. 同理，当∠PF2F1＝90°时，S＝. 综上所述，△PF1F2的面积为4或. 答案　4或 题型二　共渐近线的双曲线方程的设法 　(1)求与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标准方程； (2)求渐近线方程为y＝±x，且经过点A(4,2)的双曲线的标准方程． [解析]　(1)设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)． ∵点M(3，－2)在双曲线上， ∴－＝λ，即λ＝－2. ∴双曲线的标准方程为－＝1. (2)由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)， ∵A(4,2)在双曲线上，∴－22＝λ，即λ＝4. ∴所求双曲线的标准方程为－＝1. [素养聚焦]　本例通过考查共渐近线的双曲线方程的求法和应用，提升学生逻辑推理和数学运算核心素养． (1)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． (2)渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． [触类旁通] 2．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)与双曲线－＝1有相同的渐近线，且经过点M(，－)． (1)求双曲线C的方程； (2)求双曲线C的实轴长、离心率、焦点到渐近线的距离． 解析　(1)设双曲线C：－＝λ，把点M(，－)代入方程得，λ＝－， ∴双曲线C的方程为x2－＝1. (2)由(1)知双曲线C：x2－＝1， ∴a＝1，b＝，c＝， ∴实轴长为2a＝2，离心率e＝＝，设双曲线C的一个焦点为(－，0)，一条渐近线方程为y＝x，∴d＝＝，即焦点到渐近线的距离为. 题型三　双曲线中的最值问题 　若原点O和点F(－2,0)分别是双曲线－y2＝1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为(　　) A．[3－2，＋∞)　　　 B．[3＋2，＋∞) C． D． [解析]　因为F(－2,0)是双曲线的左焦点，所以a2＋1＝4，即a2＝3， 所以双曲线的方程为－y2＝1. 设点P(x0，y0)(x0≥)，则－y＝1(x0≥)，得y＝－1(x0≥)． 因为＝(x0＋2，y0)，＝(x0，y0)， 所以·＝x0(x0＋2)＋y＝x0(x0＋2)＋－1＝＋2x0－1＝2－. 因为x0≥，所以当x0＝时，·取得最小值，为×3＋2－1＝3＋2， 故·的取值范围是[3＋2，＋∞)． [答案]　B (1)解决双曲线中的最值或范围问题时，要注意双曲线定义的合理运用，通过定义的运用，一是发现常数，二是利用双曲线上的点到两个焦点的距离间的关系进行转化，以便对问题进行求解． (2)将距离问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题，同时要注意双曲线上点的坐标的范围． [触类旁通] 3．已知双曲线－＝1的一个焦点为(2,0)，若已知点M(4,0)，点N(x，y)是双曲线上的任意一点，则MN的最小值是________． 解析　由题意，可知m＋3m＝4，∴m＝1，∴双曲线的方程为x2－＝1.由x2－＝1，得y2＝3x2－3，∴MN＝＝＝.又x≤－1或x≥1，∴当x＝1时，MN取得最小值，为3. 答案　3 知识落实 技法强化 1．双曲线焦点三角形的面积． 2．双曲线中的范围问题． 3．共渐近线的双曲线的设法. 1．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与－＝1(a＞0，b＞0)有相同的渐近线，离心率分别为e1，e2，且＋＝1. 2．过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线被双曲线截得的弦长为. 3．求双曲线的渐近线与离心率的关键是通过给出的几何关系建立关于参数a，c(或a，b或a，b，c)的关系式求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$