第2章 2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

2．2　双曲线的简单几何性质 学业标准 素养目标 1．掌握双曲线的简单几何性质．(重点) 2．能运用双曲线的几何性质解决一些简单问题．(难点、重点) 1．通过对双曲线几何性质的学习，培养学生直观想象核心素养． 2．借助于几何性质的应用，提升学生的数学运算等核心素养. 第1课时　双曲线的简单几何性质 [对应学生用书P53] 导学　双曲线的简单几何性质 　观察图形思考下面问题． (1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么它是否与椭圆一样有范围限制？ (2)观察双曲线图形，它是否为轴对称图形？对称轴是哪条直线？是否为中心对称图形？对称中心是哪个点？ [提示]　(1)有限制，因为≥1，即x2≥a2，所以x≥a或x≤－a. (2)关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫作双曲线的中心． 　双曲线有几个顶点？它的顶点和焦点能在虚轴上吗？ [提示]　有两个顶点，但它的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上． ◎结论形成 双曲线的简单几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 焦点 __F1(－c,0)，F2(c,0)__ __F1(0，－c)，F2(0，c)__ 范围 　|x|≥a，y∈R　 　|y|≥a，x∈R　 顶点 __A1(－a,0)，A2(a,0)__ __A1(0，－a)，A2(0，a)__ 焦距 |F1F2|＝__2c(a2＋b2＝c2)__ 轴长 实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b 对称性 __关于x轴、y轴、原点对称，既是轴对称图形，又是中心对称图形__ 渐近线 　±＝0　 　±＝0　 离心率 　e＝＝(e＞1)　 [对应学生用书P54] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上．(　　) (2)若两条双曲线的焦点相同，则其渐近线也一定相同．(　　) (3)焦点在x轴上的双曲线的离心率越大，其渐近线斜率的绝对值就越大．(　　) (4)焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　 (4)× 2．若0＜k＜a，则双曲线－＝1与－＝1有(　　) A．相同的实轴　　　　　 B．相同的虚轴 C．相同的焦点 D．相同的渐近线 解析　∵0＜k＜a，∴a2－k2＞0. ∴c2＝(a2－k2)＋(b2＋k2)＝a2＋b2. 答案　C 3．下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．x2－＝1 D．－y2＝1 解析　由双曲线渐近线方程的求法知：双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x，故选A． 答案　A 4．(2022·北京卷)已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝________. 解析　双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±，故m＝－3. 答案　－3 [对应学生用书P54] 题型一　由双曲线方程求其几何性质 　求双曲线nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． [解析]　把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程为－＝1(m＞0，n＞0)，由此可知，实半轴长a＝， 虚半轴长b＝，c＝， 焦点坐标为(，0)，(－，0)， 离心率e＝＝＝， 顶点坐标为(－，0)，(，0)，所以渐近线方程为y＝± x．即y＝±x. 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几个性质． [触类旁通] 1．求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． 解析　双曲线的方程化为标准形式是－＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝. 又双曲线的焦点在x轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－，0)，(，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x. 题型二　由双曲线的几何性质求其标准方程 　求适合下列条件的双曲线标准方程． (1)虚轴长为12，离心率为； (2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x； (3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程． [解析]　(1)设双曲线的标准方程为 －＝1或－＝1(a＞0，b＞0)． 由题知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2， ∴b＝6，c＝10，a＝8， ∴标准方程为－＝1或－＝1. (2)解法一　当焦点在x轴上时， 由＝且a＝3，∴b＝. ∴所求双曲线方程为－＝1. 当焦点在y轴上时，由＝且a＝3，∴b＝2. ∴所求双曲线方程为－＝1. ∴标准方程为－＝1或－＝1. 解法二　设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)， 当λ＞0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝， 当λ＜0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的方程为－＝1或－＝1. (3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2， ∴双曲线的标准方程为－＝1. 利用双曲线的几何性质求双曲线方程的解题方法 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线系方程－＝λ(λ≠0，a＞0，b＞0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性． [触类旁通] 2．(1)(2021·全国乙卷)已知双曲线C：－y2＝1(m＞0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为________． (2)已知双曲线C：－＝1(a＞0)的一个焦点为(2,0)，则双曲线C的渐近线方程为________． 解析　(1)易知双曲线渐近线方程为y＝±x，由题意得a2＝m，b2＝1，且一条渐近线方程为y＝－x，则有m＝0(舍去)，m＝3.故焦距为2c＝4. (2)因为双曲线C：－＝1(a＞0)的一个焦点为(2,0)， 所以a3＋3＝4，故a2＝1，因此双曲线的方程为x2－＝1，所以其渐近线方程为y＝±x. 答案　(1)4　(2)y＝±x 题型三　求双曲线的离心率一题多变 　(1)(2024·全国甲卷·理)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4)，(0，－4)，点(－6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　) A．4 B．3 C．2 D． (2)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________． [解析]　(1)解法一　(方程组法)　根据焦点坐标可知c＝4，根据焦点在y轴上，可设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则得所以离心率e＝＝2. 解法二　(定义法)　根据双曲线的定义，得2a＝|－|＝|6－10|＝4，根据焦点坐标可知c＝4，所以离心率e＝＝＝2. (2)不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，则在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，由余弦定理得(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2·4a·2c·cos 30°，整理得(e－)2＝0，所以e＝. [答案]　(1)C　(2) [母题变式] (变条件)本例(2)中条件“若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°”改为“若PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°”，其他条件不变，结果如何？ 解析　在Rt△PF1F2中，由题意可知：|F1F2|＝2c，|PF2|＝c，|PF1|＝c，又|PF1|－|PF2|＝2a，所以2a＝c－c，e＝＝＝＋1. 答案　1＋ [素养聚焦]　数学运算、直观想象在研究离心率的过程中得以体现． 1．求双曲线离心率的常见方法 (1)依据条件求出a，c，再计算e＝. (2)依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e＝求离心率． 2．求离心率的范围技巧 (1)根据条件建立a，b，c的不等式． (2)通过解不等式得或的范围，求得离心率的范围． [触类旁通] 3．(1)已知双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率e＝________. (2)(2023·全国甲卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A． B． C． D． 解析　(1)当双曲线的焦点在x轴上时， 因为渐近线方程为y＝x，所以＝，所以离心率e＝＝＝＝. 当双曲线的焦点在y轴上时，因为渐近线方程为y＝x，所以＝，这时＝. 所以离心率e＝＝＝＝. 故双曲线的离心率为或. (2)由e＝，则＝＝1＋＝5， 解得＝2， 所以双曲线的一条渐近线不妨取y＝2x， 则圆心(2,3)到渐近线的距离d＝＝， 所以弦长|AB|＝2＝2＝. 答案　(1)或　(2)D 知识落实 技法强化 1．双曲线的简单几何性质． 2．由简单几何性质求标准方程． 3．双曲线的离心率. 渐近线是双曲线特有的性质．把双曲线的标准方程－＝1(a＞0，b＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程mx±ny＝0变为m2x2－n2y2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程. 学科网（北京）股份有限公司 $$