第2章 2.1 双曲线及其标准方程（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§2　双曲线 2．1　双曲线及其标准方程 学业标准 素养目标 1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点) 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点) 1．通过双曲线概念的学习，培养学生的数学抽象等核心素养． 2．通过双曲线标准方程以及与双曲线有关的轨迹问题的探究，提升逻辑推理、数学运算等核心素养. [对应学生用书P50] 导学1　双曲线的定义 　若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，点F1到点F2的长为2c(c>0)．把笔尖放在拉链开口的咬合处M，点M到点F1的距离与点M到点F2的距离之差等于2a(c>a>0)．随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖就画出一条曲线，那么曲线上的点M应满足怎样的几何条件？ [提示]　如图，曲线上的点M满足条件：|MF1|－|MF2|＝2a； 如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝2a，可得到另一条曲线． ◎结论形成 双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之__差的绝对值__等于常数(__大于零且小于|F1F2|__)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线． 这两个定点F1，F2叫作双曲线的__焦点__，两个焦点间的距离|F1F2|叫作双曲线的__焦距__． 导学2　双曲线的标准方程 　双曲线的标准方程是左右两侧各具有怎样的结构特征？ [提示]　双曲线的标准方程左端为两平方项的差，右端为常数1. 　类比椭圆的标准方程，双曲线的标准方程可以根据x2与y2的分母大小来判断双曲线焦点的位置吗？ [提示]　双曲线的焦点位置不是由标准方程中x2与y2的分母大小判断，而是根据x2与y2项的系数的正负区分． ◎结论形成 双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) 　－＝1　 (a＞0，b＞0) 焦点坐标 __F1(－c,0)，F2(c,0)__ __F1(0，－c)，F2(0，c)__ a，b，c的关系 c2＝__a2＋b2__ [对应学生用书P50] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹就是双曲线．(　　) (2)对于双曲线标准方程，三个参数a，b，c中，最大的一定是c.(　　) (3)方程－＝1(mn＞0)表示的曲线一定是双曲线．(　　) (4)在双曲线方程－＝1(a＞0，b＞0)中，必有a＞b＞0.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　 (4)× 2．已知点F1(－4,0)，F2(4,0)，曲线上的动点P到F1，F2的距离之差为6，则曲线方程为(　　) A．－＝1(x＞0)　　　 B．－＝1 C．－＝1(y＞0) D．－＝1 解析　由双曲线定义可知，所求曲线方程为双曲线一支，故选A． 答案　A 3．若点M在双曲线－＝1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，则|MF2|＝(　　) A．2　　　 B．4 C．8　　　 D．12 解析　双曲线中a2＝16，a＝4,2a＝8，由双曲线定义知＝8，又|MF1|＝3|MF2|，所以3|MF2|－|MF2|＝8，解得|MF2|＝4. 答案　B 4．双曲线－＝1的焦距为(　　) A．3 B．4 C．3 D．4 解析　a2＝10，b2＝2，c2＝a2＋b2＝12，c＝2，2c＝4，故选D． 答案　D [对应学生用书P51] 题型一　双曲线定义的应用 　(1)(多选)双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(　　) A．27　　 B．7　　　 C．22　　 D．2 (2)设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为(　　) A．6 B．12 C．12 D．24 [解析]　(1)∵a2＝25，∴a＝5，由双曲线定义可得＝10， 由题意知|PF1|＝12，∴|PF1|－|PF2|＝±10， ∴|PF2|＝22或2. (2)由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|∶|PF2|＝3∶2， ∴|PF1|＝6，|PF2|＝4. 又|F1F2|＝2c＝2，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝0.∴△PF1F2为直角三角形，∴＝×6×4＝12. [答案]　(1)CD　(2)B 双曲线中的焦点三角形 双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的△PF1F2称为焦点三角形，令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有： (1)定义：|r1－r2|＝2a； (2)余弦定理：4c2＝r＋r－2r1·r2cos θ； (3)面积公式：＝r1r2sin θ. [触类旁通] 1．已知双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，点A，B在双曲线右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一个焦点，则△ABF1的周长为(　　) A．2a＋2m B．4a＋2m C．a＋m D．2a＋4m 解析　设△ABF1的周长为C，则C＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋2|AB|＝2a＋2a＋2m＝4a＋2m. 答案　B 题型二　求双曲线的标准方程一题多变 　已知双曲线过P1和P2两点，求双曲线的标准方程． [解析]　解法一　当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)． 因为P1，P2在双曲线上， 所以解得(不合题意，舍去)． 当双曲线的焦点在y轴上时， 设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)． 因为P1，P2在双曲线上， 所以解得即a2＝9，b2＝16. 所以所求双曲线方程为－＝1. 解法二　因为双曲线的焦点位置不确定， 所以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)． 因为P1，P2在双曲线上， 所以解得 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. [母题变式] (变条件)将本例条件改为“焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)”，试求双曲线的标准方程． 解析　解法一　因为焦点在x轴上，故可设其标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 代入点的坐标得 解得a2＝8，b2＝4， 所以双曲线的方程为－＝1. 解法二　设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＜0)， 则所以 所以双曲线方程为－＝1. [素养聚焦]　在求双曲线标准方程过程中，逻辑推理、数学运算核心素养得以体现． 1．双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 2．求双曲线标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解．此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论． [触类旁通] 2．已知与双曲线－＝1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程． 解析　已知双曲线－＝1，得c2＝a2＋b2＝16＋9＝25，所以c＝5. 设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)． 依题意，c＝5，所以b2＝c2－a2＝25－a2， 故双曲线方程可写为－＝1， 因为点P在双曲线上， 所以－＝1. 化简得，4a4－129a2＋125＝0， 解得a2＝1或a2＝. 又当a2＝时，b2＝25－a2＝25－＝－＜0，不合题意，舍去，故a2＝1，b2＝24. 所以所求双曲线的标准方程为x2－＝1. 题型三　与双曲线有关的轨迹问题 　如图，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程． [解析]　以AB边所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(－2，0)，B(2，0)． 由正弦定理得sin A＝，sin B＝， sin C＝(R为△ABC的外接圆半径)． 因为2sin A＋sin C＝2sin B， 所以2|BC|＋|AB|＝2|AC|， 从而有|AC|－|BC|＝|AB|＝2＜|AB|. 由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)． 因为a＝，c＝2，所以b2＝c2－a2＝6， 即所求轨迹方程为－＝1(x＞)． 求与双曲线有关的轨迹问题的常用方法 (1)列出等量关系，化简得到方程．注意化简变形的等价性． (2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程． 提醒：检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支． [触类旁通] 3．(1)(多选)当α∈时，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示的轨迹可以是(　　) A．两条直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 (2)动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________． 解析　(1)当α∈时，sin α∈， cos α∈. ①当sin α＞0，cos α＞0时， 可得方程x2sin α＋y2cos α＝1表示椭圆． ②当sin α＞0，cos α＜0时，表示双曲线． ③当sin α＝1，cos α＝0时，可能是两条直线．故选A、C、D． (2)设动圆半径为R， 因为圆M与圆C1外切，且与圆C2内切， 所以|MC1|＝R＋3，|MC2|＝R－1， 所以|MC1|－|MC2|＝4. 所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支， 且有a＝2，c＝3，b2＝c2－a2＝5， 所以所求轨迹方程为－＝1(x＞0)． 答案　(1)ACD　(2)－＝1(x＞0) [缜密思维提能区]　易错辨析 忽视双曲线焦点位置的讨论致误 [典例]　若双曲线－＝1的焦距等于6，求实数m的值． [错解]　依题意，a2＝m－2，b2＝m－7，又2c＝6， ∴m－2＋(m－7)＝9，解得m＝9. [正解]　因为双曲线的焦距等于6，即2c＝6，所以c＝3，即a2＋b2＝c2＝9. (1)当双曲线焦点在x轴上时，方程为－＝1，a2＝m－2，b2＝m－7， 所以m－2＋m－7＝9，解得m＝9， 即实数m的值为9. (2)当双曲线焦点在y轴上时，方程为－＝1，a2＝7－m，b2＝2－m，所以7－m＋2－m＝9，解得m＝0，即实数m的值为0. 综上可知，实数m的值为0或9. [纠错心得]　当双曲线的焦距已知时，并不能确定其焦点在x轴上还是在y轴上，因此应进行分类讨论，在解决双曲线有关问题时，务必注意分类讨论思想方法的应用． 知识落实 技法强化 1．双曲线的定义． 2．双曲线的标准方程． 3．双曲线定义及标准方程的应用. 1．双曲线定义中的限定条件：0＜2a＜|F1F2|. 2．双曲线标准方程的两种形式：－＝1，－＝1，a＞0，b＞0，都满足c2＝a2＋b2.注意与椭圆中的关系进行区别. 学科网（北京）股份有限公司 $$