第2章 1.1 椭圆及其标准方程（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§1　椭圆 1．1　椭圆及其标准方程 学业标准 素养目标 1．掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决有关问题．(重点) 2．掌握椭圆的标准方程，了解其推导过程．会求椭圆的标准方程．(重点、难点) 1．通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养学生的数学抽象、直观想象等核心素养． 2．借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算等核心素养. [对应学生用书P41] 导学1　椭圆的定义 　通过探讨以下几个问题，初步形成对椭圆的认识． 将一条细绳的两端用图钉分别固定在平面内的两个定点F1，F2上，用笔尖将细绳拉紧并运动，在纸上能得到怎样的图形？ [提示]　得到一个椭圆． 　如果调整细绳两端点F1，F2的相对位置，细绳的长度不变，猜想椭圆会发生怎样的变化？ [提示]　当细绳两个端点逐步靠近时，所画的椭圆越接近圆，当细绳两端点逐步远离时，所画的椭圆越扁平． ◎结论形成 1．椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于__常数(大于|F1F2|)__的点的集合(或轨迹)叫作椭圆． 这两个定点__F1，F2__叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离__|F1F2|__叫作椭圆的焦距． 2．椭圆的对称性 椭圆是轴对称图形，直线__F1F2__及线段F1F2的__垂直平分线__都是它的对称轴；椭圆也是中心对称图形，线段F1F2的__中点__是它的对称中心． 导学2　椭圆的标准方程 　推导椭圆的标准方程是如何建坐标系的？椭圆的标准方程有几种形式？ [提示]　以椭圆的对称中心为坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴，建立平面直角坐标系，由于焦点在x轴上或y轴上，故标准方程有两种形式． 　推导椭圆的标准方程过程中，对含有的两个根式是怎样处理的？ [提示]　将两个根式分开即移项，先变成＝2a－，再两边平方(可消去很多项，简单了很多)． ◎结论形成 椭圆的标准方程 名称 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 　＋＝1(a＞b＞0)　 　＋＝1 (a＞b＞0) 图形 名称 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦点坐标 __(－c,0)，(c,0)__ __(0，－c)，(0，c)__ a，b，c 的关系 __a2＝b2＋c2__ [对应学生用书P42] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹就是椭圆．(　　) (2)椭圆的焦点只能在坐标轴上．(　　) (3)方程＋＝1(m＞0，n＞0)不一定表示椭圆．(　　) (4)两种椭圆的标准方程中，有时a＞b＞0，有时b＞a＞0.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　 (4)× 2．以下方程表示椭圆的是(　　) A．＋＝1　　　　　 B．2x2－3y2＝2 C．－2x2－3y2＝－1 D．＋＝0 解析　A中方程为圆的方程，B，D中方程不是椭圆方程． 答案　C 3．(多选)以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析　若椭圆的焦点在x轴上，则c＝1，b＝2，得a2＝5，此时椭圆方程是＋＝1；若焦点在y轴上，则a＝2，c＝1，则b2＝3，此时椭圆方程是＋＝1. 答案　AB 4．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________． 解析　∵方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴a2＞a＋6＞0，∴a＞3或－6＜a＜－2. 答案　(－6，－2)∪(3，＋∞) [对应学生用书P42] 题型一　对椭圆标准方程的理解 　(1)若方程＋＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是(　　) A．(－9,25)　　　　 B．(－9,8)∪(8,25) C．(8,25) D．(8，＋∞) (2)若方程x2－3my2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________． [解析]　(1)依题意有 解得－9＜m＜8或8＜m＜25， 即实数m的取值范围是(－9,8)∪(8,25)． (2)由题意知m≠0， 将椭圆方程化为＋＝1， 依题意有解得m＜－， 即实数m的取值范围是. [答案]　(1)B　(2) 1．给出方程＋＝1，其表示椭圆的条件是其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m＞n＞0，其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是n＞m＞0. 2．若给出椭圆方程Ax2＋By2＝C，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式＋＝1，再研究其焦点的位置等情况． [触类旁通] 1．已知椭圆的标准方程为＋＝1(m＞0)，并且焦距为6，则实数m的值为________． 解析　∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2，a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4. 当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25，a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝.综上，实数m的值为4或. 答案　4或 题型二　求椭圆的标准方程 　(1)求适合下列条件的椭圆的标准方程： ①焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3)； ②经过两点(2，－)，. (2)已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点Q(2，1)且与椭圆＋＝1有公共的焦点，求椭圆的标准方程． [解析]　(1)①解法一　因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 由椭圆的定义知 2a＝ ＋＝12， 所以a＝6.又c＝2， 所以b＝＝4. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 解法二　因为椭圆的焦点在y轴上， 所以可设其标准方程为＋＝1(a＞b＞0) 由题意得解得 所以椭圆的标准方程为＋＝1. ②解法一　若椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 同理可得：焦点在y轴上的椭圆不存在． 综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 解法二　设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)． 将两点(2，－)，代入， 得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)解法一　由已知的椭圆方程知：所求的椭圆的焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0)， 由＋＝1⇒c2＝5，则a2－b2＝5，① 又Q(2,1)在椭圆上，则＋＝1，② 由①②解得：a2＝＋5，b2＝， 即所求的方程是＋＝1. 解法二　由已知设所求的椭圆的标准方程是： ＋＝1(k＞－4)． 则＋＝1， 整理得： k2＋8k＋11＝0⇒k＝＝－4±， k＞－4，∴k＝－4＋， 故所求的椭圆的标准方程是＋＝1. 确定椭圆方程的“定位”与“定量” 提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)． [触类旁通] 2．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (2)经过点P和点Q. 解析　(1)由于椭圆的焦点在y轴上， ∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)， ∴⇒ 故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1. (2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)， 则∴ ∴椭圆方程为x2＋＝1. 题型三　椭圆定义的应用一题多变 　如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P为椭圆上的点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积． [解析]　由已知a＝2，b＝，得c＝＝＝1，|F1F2|＝2c＝2， 在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|·cos 120° 即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.① 由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4， 即|PF2|＝4－|PF1|.② ②代入①解得|PF1|＝. 所以＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝××2×＝，即△PF1F2的面积是. [母题变式] 1．(变结论)在本例题设条件不变的情况下，求点P的坐标． 解析　设P点坐标为(x0，y0)． 由本例题解答可知 ＝|F1F2|·|y0|＝， 解得|y0|＝，即y0＝±，将y0＝±代入＋＝1得x＝±， 所以点P的坐标为或或或. 2．(变条件)把本例中的“∠PF1F2＝120°”变为“∠F1PF2＝60°”，其他条件不变，求△PF1F2的面积． 解析　由已知得a＝2，b＝， 得c＝＝＝1. 所以|F1F2|＝2，在△PF1F2中，由余弦定理，得 |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°， 即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝4， 又因为|PF1|＋|PF2|＝4， 所以|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16. 所以|PF1|·|PF2|＝4， 所以△PF1F2的面积为＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝×4×＝. [素养聚焦]　直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养在本例中得以体现． (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解． [触类旁通] 3．(1)已知P为椭圆＋＝1上一点，若P到一个焦点的距离为1，则P到另一个焦点的距离为(　　) A．3　　　　　　　　　 B．5 C．8 D．12 (2)若动点M(x，y)始终满足关系式＋＝8，则动点M的轨迹方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析　(1)椭圆＋＝1的长轴长为2a＝6，由椭圆的定义得：|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又因为P到一个焦点的距离为1，即|PF1|＝1，所以P到另一个焦点的距离为|PF2|＝6－|PF1|＝5. (2)因动点M(x，y)满足关系式＋＝8， 则该等式表示点M(x，y)到两个定点F1(0，－2)，F2(0,2)的距离的和为8，而|F1F2|＝4＜8，即动点M的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长2a＝8的椭圆，于是短半轴长b有b2＝a2－22＝12，所以动点M的轨迹方程为＋＝1. 答案　(1)B　(2)B [缜密思维提能区]　易错辨析 忽视椭圆标准方程的条件致误 [典例]　“2＜m＜8”是“方程＋＝1表示椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [错解]　由得2＜m＜8，故选C． [正解]　当方程表示椭圆时，应满足 所以2＜m＜8且m≠5. 因此应为必要不充分条件，故选B． [答案]　B [纠错心得]　在椭圆的标准方程中，分母都大于零且不相等，在解题时，不仅要注意分母都大于零，还要注意分母应该不能相等，否则该方程就变成了圆的方程． 知识落实 技法强化 1．椭圆的定义． 2．椭圆的标准方程. 1．求椭圆的标准方程的两种方法：①待定系数法；②定义法． 2．用待定系数法求椭圆的标准方程时，要“先定位，再定量”. 学科网（北京）股份有限公司 $$