第1章 2.4 圆与圆的位置关系（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

2．4　圆与圆的位置关系 学业标准 素养目标 1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点) 2．掌握两圆相交或相切时简单的几何性质，并能综合应用．(重点) 1．通过学习圆与圆的位置关系，培养直观想象等核心素养． 2．借助圆与圆的位置关系的判断，培养数学运算、逻辑推理等核心素养. [对应学生用书P34] 导学　圆与圆的位置关系 　已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－a)2＋y2＝1. (1)两圆半径分别为多少？ [提示]　r1＝2，r2＝1. (2)若a＝4，两圆圆心分别为多少？圆心距为多少？与两半径有何关系？两圆有何位置关系？ [提示]　圆心C1(0,0)，C2(4,0)，d＝4，d＞r1＋r2，相离． (3)若a＝3，两圆圆心分别为多少？圆心距为多少？与半径有何关系？两圆有何位置关系？ [提示]　圆心C1(0,0)，C2(3,0)，d＝3，d＝r1＋r2，外切． (4)若a＝2，两圆圆心分别为多少？圆心距为多少？与半径有何关系？两圆有何位置关系？ [提示]　圆心C1(0,0)，C2(2,0)，d＝2，r1－r2＜d＜r1＋r2，相交． (5)若a＝1，两圆圆心分别为多少？圆心距为多少？与半径有何关系？两圆有何位置关系？ [提示]　圆心C1(0,0)，C2(1,0)，d＝1，d＝r1－r2，内切． (6)若a＝0，两圆圆心分别为多少？圆心距为多少？与半径有何关系？两圆有何位置关系？ [提示]　圆心C1(0,0)，C2(0,0)，d＝0，d＜r1－r2，内含． ◎结论形成 1．平面内两个不等的圆之间的位置关系有5种：__外离、外切、相交、内切、内含__． 2．当两个圆是等圆时，它们之间的位置关系只有3种：__外离、外切和相交__． 3．圆与圆位置关系的判定 圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r(r1＞0)，圆C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r(r2＞0)，两圆的圆心距d＝|C1C2|＝， 则有： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 __d＞r1＋r2__ __d＝r1＋r2__ |r1－r2|＜ d＜__r1＋r2__ __d＝|r1－__ __r2|__ __d＜|r1__ __－r2|__ [对应学生用书P35] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(　　) (2)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．(　　) (3)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．(　　) (4)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　 (4)√ 2．两圆x2＋y2＝r2与(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)外切，则r＝(　　) A．　　　　　　　　　　 B．5 C． D．2 解析　∵两圆外切，∴圆心距d＝＝2r，解得r＝. 答案　C 3．两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是(　　) A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 解析　两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半径分别为3和4. 所以两圆的圆心距d＝＝5. 又4－3＜5＜3＋4，故两圆相交． 答案　B 4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________． 解析　圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10，又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0. 答案　x＋3y＝0 [对应学生用书P35] 题型一　两圆位置关系的判定 　已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＝0. (1)m＝1时，圆C1与圆C2有什么位置关系？ (2)是否存在m使得圆C1与圆C2内含？ [解析]　(1)∵m＝1，∴两圆的方程分别可化为：C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝9. C2：(x＋1)2＋y2＝1. 两圆的圆心距d＝＝2， 又∵r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2， ∴r1－r2＜d＜r1＋r2，所以圆C1与圆C2相交． (2)假设存在m使得圆C1与圆C2内含， 则＜3－1， 即(m＋1)2＜0，显然不等式无解． 故不存在m使得圆C1与圆C2内含． 判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围，有以下几个步骤： ①化成圆的标准方程，写出圆心和半径； ②计算两圆圆心的距离d； ③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． [触类旁通] 1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． 解析　圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1. ∴|C1C2|＝＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交． (3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离． (4)当|C1C2|＜3，即0＜a＜3时，两圆内含． 题型二　圆与圆的相交问题 　已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． [解析]　(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组 的解． ①－②，得x－y＋4＝0. ∵A，B两点坐标都满足此方程， ∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程． 又圆C1的圆心(－3,0)，r＝， C1到直线AB的距离为d＝＝， ∴|AB|＝2＝2＝5， 即两圆的公共弦长为5. (2)解法一　解方程组得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)． 设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4. 则＝， 解得a＝，故圆心为，半径为. 故圆的方程为2＋2＝， 即x2＋y2－x＋7y－32＝0. 解法二　设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)， 其圆心为，代入x－y－4＝0，解得λ＝－7.故所求圆的方程是为x2＋y2－x＋7y－32＝0. (1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数． (2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程．再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解． (3)已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)． [触类旁通] 2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长为________． 解析　由题意将两圆的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0.圆C3的圆心为(1,1)，其到直线l的距离为d＝＝，由条件知，r2－d2＝－＝，所以弦长为2×＝. 答案　 题型三　圆与圆的相切问题一题多变 　求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程． [解析]　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切， 则＝r＋1.① 又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0， 故＝.② ＝r.③ 解由①②③组成的方程组得 a＝4，b＝0，r＝2，或a＝0，b＝－4，r＝6. 故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. [母题变式] 1．(变条件)将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－)的圆的方程”，如何求？ 解析　因为圆心在x轴上， 所以可设圆心坐标为(a,0)，设半径为r，则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－)， 所以解得 所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4. 2．(变条件、变结论)将本例改为：若圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2－8x－8y＋m＝0相外切，试求实数m的值． 解析　圆x2＋y2－2x＝0的圆心为A(1,0)，半径为r1＝1，圆x2＋y2－8x－8y＋m＝0的圆心为B(4，4)，半径为r2＝. 因为两圆相外切， 所以＝1＋， 解得m＝16. [素养聚焦]　 逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养在本例中得以体现． 处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)． [触类旁通] 3．已知圆C1：x2＋y2－2x＝0与圆C2：x2＋y2－4y＋3＝0，则两圆的公切线条数为(　　) A．1　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析　圆C1：x2＋y2－2x＝0化为标准形式是(x－1)2＋y2＝1，圆心是C1(1,0)，半径是r1＝1；圆C2：x2＋y2－4y＋3＝0化为标准形式是x2＋(y－2)2＝1，圆心是C2(0,2)，半径是r2＝1；则|C1C2|＝＞r1＋r2，∴两圆外离，公切线有4条．故选D． 答案　D 知识落实 技法强化 1．两圆位置关系的判定及应用． 2．两圆相交时的公共弦方程及公共弦长． 3．圆系方程的应用. 1．若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程． 2．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长. 学科网（北京）股份有限公司 $$