第1章 2.3 直线与圆的位置关系（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

2．3　直线与圆的位置关系 学业标准 素养目标 1．理解直线与圆的三种位置关系．(重点) 2．会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系．(重点、难点) 3．能解决直线与圆位置关系的综合问题．(难点) 1．通过直线与圆的位置关系的学习，培养直观想象等核心素养． 2．通过解决直线与圆的综合问题，提升数学运算等核心素养. [对应学生用书P31] 导学　直线与圆的位置关系 　怎样用几何法即用圆心到直线的距离d同圆的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系？ [提示]　利用圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系判断它们之间的位置关系如下：若d＞r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d＜r，则直线与圆相交． 　如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ [提示]　把直线的方程与圆的方程组成方程组 当方程组无解即Δ＜0时，直线与圆相离；当方程组有一解即Δ＝0时，直线与圆相切；当方程组有两解即Δ＞0时，直线与圆相交． ◎结论形成 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点 __两个__ __一个__ __零个__ 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 d＝(A，B不全为0) __d＜r__ __d＝r__ __d＞r__ 代数法：由 __两组__ 不同解 __一组__实数解(两组相等实数解) __没有__实数解 [对应学生用书P32] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断．(　　) (2)过圆外一点作圆的切线有两条．(　　) (3)当直线与圆相离时，可求圆上点到直线的最大距离和最小距离．(　　) (4)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　 (4)√ 2．(多选)设直线l过点P(－2,0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是(　　) A．－1　　　　　　　 B．－ C． D． 解析　设l：y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0. 又l与圆相切，∴＝1.∴k＝±. 答案　BD 3．直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　) A．1 B．2 C．4 D．4 解析　圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心(1,2)到直线x＋2y－5＋＝0的距离d＝＝1，所以弦长为2＝4. 答案　C 4．若直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，则m的取值范围是________． 解析　因为直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，所以＞，解得m＜－2或m＞2. 答案　m＜－2或m＞2 [对应学生用书P32] 题型一　直线与圆的位置关系的判断 　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆满足下列关系． (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． [解析]　解法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程，化简、整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，∴当Δ＞0，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当Δ＜0，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 解法二　已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为(2,1)，半径r＝2. 圆心(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离 d＝＝. 当d＜2，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交， 即直线与圆有两个公共点； 当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当d＞2，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． [触类旁通] 1．(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　) A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 解析　转化点与圆、点与直线的位置关系为a2＋b2，r2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解． 圆心C(0,0)到直线l的距离d＝， 若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2， 所以d＝＝|r|， 则直线l与圆C相切，故A正确； 若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2， 所以d＝>|r|， 则直线l与圆C相离，故B正确； 若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2， 所以d＝<|r|， 则直线l与圆C相交，故C错误； 若点A(a，b)在直线l上， 则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，直线l与圆C相切，故D正确． 故选ABD． 答案　ABD 题型二　直线与圆的相切问题 　过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程． [解析]　∵点A到圆心C的距离的平方为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，∴点A在圆外． ①若所求的切线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)． ∵圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1， ∴＝1，即|k＋4|＝， 解得k＝－， ∴切线方程为y＋3＝－(x－4)， 即15x＋8y－36＝0. ②若切线斜率不存在，则切线方程为x＝4，圆心C(3，1)到切线的距离为1，和半径相等，符合题意，∴另一条切线方程是x＝4.综上所述，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4. 圆的切线方程的两种求解方法 (1)几何法：设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知量的值．此种方法需要注意斜率不存在的情况，要单独验证，若符合题意则直接写出其切线方程． (2)代数法：设出直线的方程后与圆的方程联立消元，利用Δ＝0求未知量的值．若消元后的方程是一元一次方程，则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在，可直接写出其切线的方程． [触类旁通] 2．过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为________________． 解析　∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1， ∴点A在圆外． 当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意． 设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋4＋k＝0. 圆心(2,3)到切线l的距离为＝1， 解得k＝0或k＝－， 因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0. 答案　y＝4或3x＋4y－13＝0 题型三　圆的弦长问题一题多变 　直线l经过点P(5,5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦长为4，求直线l的方程． [解析]　据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 解法一　联立方程组 消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0. 由Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)＞0，解得k＞0， 又x1＋x2＝－， x1x2＝， 由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2)． ∴|AB|＝ ＝ ＝ ＝ ＝4. 两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0， 解得k＝或k＝2符合题意． 故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0. 解法二　如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半． 在Rt△AHO中，|OA|＝5，|AH|＝|AB|＝×4＝2， 则|OH|＝＝. ∴＝，解得k＝或k＝2. ∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0. [母题变式] 1．(变条件、变结论)圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为2，则此圆的方程为________． 解析　圆心到直线的距离d＝＝，由于弦长距d、半径r及弦长的一半构成直角三角形，所以r2＝d2＋()2＝4，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝4. 答案　(x－2)2＋(y＋1)2＝4 2．(变条件)经过点P(2，－1)且被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长最短，求此时直线l的方程． 解析　圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝25.圆心C(3，1)．所以点P在圆内．当CP⊥l时，弦长最短． 又kCP＝＝2.所以kl＝－，所以直线l的方程为y＋1＝－(x－2)，即x＋2y＝0. [素养聚焦]　通过求解圆的弦长问题，将数学运算、直观想象核心素养体现在解题过程中． 求弦长常用的三种方法 圆的 性质 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋2解题 交点 坐标 若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长 弦长 公式 设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝|x1－x2|＝ [触类旁通] 3．(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值________． 解析　设C到AB的距离为d，AB＝2，∴S△ABC＝·2·d＝， ∴d＝或，若d＝＝，则m＝±2；若d＝＝，则m＝±，∴m＝2或－2或－或(填其中一个即可)． 答案　m＝2或－2或－或(填其中一个即可) [缜密思维提能区]　易错辨析 忽略方程中未知量的取值范围致错 [典例]　已知直线l：y＝x＋b，与曲线C：y＝有两个不同的公共点，求实数b的取值范围． [错解]　y＝可变形为x2＋y2＝1，其半径为1，圆心(0,0)到直线x－y＋b＝0的距离为.当直线与圆相交，有两个交点时，|b|＜，即－＜b＜. [正解]　如图． 方程y＝x＋b表示斜率为1，在y轴上截距为b的直线，方程y＝表示单位圆在x轴上及其上方的半圆， 当l经过A(－1,0)，B(0,1)时，l与曲线C有两个交点，此时b＝1，记直线为l1；当l与半圆相切时，b＝，切线记为l2；当l在l1与l2之间(包含l1)时，l和曲线C有两个不同的公共点．因此1≤b＜. [纠错心得]　有关直线与圆的位置关系问题，要看清运动中的不变量，例如本例中直线的平行关系，并注意方程中变量的取值范围． 知识落实 技法强化 1．直线与圆的位置关系． 2．圆的切线问题． 3．圆的弦长问题. 1．解决直线与圆的位置问题时，勿漏斜率不存在的情况． 2．常用方法：几何法、代数法. 学科网（北京）股份有限公司 $$